Chuyên đề số phức ôn thi THPTQG môn Toán chọn lọc (có lời giải)

122 0

Miễn phí

Tải về máy để xem đầy đủ hơn, bản xem trước là bản PDF

Tags: #toán 12#số phức#THPTQG toán 12#đề thi toán 12

Mô tả chi tiết

Chuyên đề số phức luyện thi thpt Quốc gia có lời giải bao gồm các chủ đề sau: các phép toán cơ bản, biểu diễn hình học các số phức, tìm tập hợp điểm, một số dạng toán về chứng minh số phức, tìm số phức thỏa mãn điều kiện, phương trình số phức, hệ phương trình, dạng lượng giác số phức, ứng dụng số phức giải toán sơ cấp. Ứng với mỗi chuyên đề sẽ trình bày theo bố cục: Tóm tắt các kiến thức và phương pháp, các ví dụ có lời giải, câu hỏi trắc nghiệm khách quan có đáp án.

Ví dụ 13. Số phức thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: .

Ví dụ 14. Cho số phức , với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của .

Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i. B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2.

C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2.

Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức và . Tính môđun của số phức

Nội dung

Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 1. CÁC PHÉP TOÁN C B NỦ Ề Ơ ẢPh ng phápươCho hai s ph c ố ứ ta c n nh các đ nh nghĩa và phép tính c b nầ ớ ị ơ ảsau:V n d ng các tính tính ch t trên ta có th d dàng gi i các bài toán sau.ậ ụ ấ ể ễ ảTa cũng c n chú ý k t qu sau: V iầ ế ả ớ , thì N u ế thì  N u ế thì  N u ế thì  N u ế thì I. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d ụ 1 . Cho s ph c: ố ứ . Tính các s ph c sau: ố ứVí d 2.ụ Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c:ầ ự ầ ả ủ ố ứa) b) c) ; d) Ví dụ 3 . Th c hi n các phép tính sau:ự ệa) ; b) ; c) d) ; e) Ví d ụ 4 . Vi t các s ph c sau đây d i d ng ế ố ứ ướ ạa) b) c) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2www.thuvienhoclieu .com    z a bi , z ' a ' b ' i, a , b, a ', b '                       22 2 2 2a a 'z z ' .b b 'z z ' a a ' b b ' i; z z ' a a ' b b ' i.z.z ' a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' a ' b i.a ' b ' i a bi aa ' bb ' ab ' a ' b iz ' z ' .z.zza b a bninn 4k k kn 4 k 4i i i 1  n 4k 1 k  n 4 ki i i 1.i i  n 4k 2 k  n 4k 2i i i 1. 1 1   n 4k 3 k  n 4 k 3i i i 1. i i    3 1z i2 2 2 3 2z; z ; (z) ; 1 z z .   z 9 5i 1 2i ;  z 4 3i 4 5i ; 3z 2 i2iz .i 1 1A1 i 4 3i 5 6iB4 3i  1C1 3i2 23 2iDi     20261 7i4 3i a bi , a , b R :      3 3z 2 i 1 2i 3 i 2 i ;      1 i 3 i 1 2iz ;1 i 2 i 1 i   22 i 1 iz ;2 1 i 3 1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Ví d ụ 5 . Tìm ngh ch đ o c a s ph c sau:ị ả ủ ố ứVí d ụ 6 . Cho . Tìm các s ố đ ểa) là s th cố ự b) là s o.ố ảVí d 7.ụ Tìm đ :ểa) S ph c ố ứ là s thu n o.ố ầ ảb) S ph c ố ứ là s th c.ố ựVí d ụ 8 . Tìm các s th c x, y sao cho ố ự , v i t ng tr ng h pớ ừ ườ ợc)d) Ví d ụ 9 . Ch ng minh r ng : ứ ằVí d 10ụ . a) Tính mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .b ) Cho s ph c ố ứ th a mãn ỏ . Tìm m ô đun c a s ph củ ố ứ. Ví d 11ụ . Xét s ph c: ố ứ . Tìm m đ ểVí d 12.ụ Tính Ví d 13ụ . S ph c ố ứ thay đ i th a mãn ổ ỏ . Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c aị ớ ấ ỏ ấ ủbi u th c: ể ứ .Ví d 14ụ . Cho s ph c ố ứ , v i s ớ ố thay đ i. Tìm giá tr nh nh t, l n nh tổ ị ỏ ấ ớ ấc a ủ .Ví d 15ụ . (Đ Minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c z = 3 – 2i. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph cố ứ ầ ự ầ ả ủ ố ứ A. Ph n th c b ng –3 và Ph n o b ng –2ầ ự ằ ầ ả ằ i . B. Ph n th c b ng –3 và Ph n o b ng –2.ầ ự ằ ầ ả ằ C. Ph n th c b ng 3 và Ph n o b ng 2ầ ự ằ ầ ả ằ i . D. Ph n th c b ng 3 và Ph n o b ng 2.ầ ự ằ ầ ả ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 3 532 iz1 2i651 iz .2 2i      21 i 5a)z 3 4i; b) z 3 2i; c)z ; d)z 3 i 2 .3 2i     z 2a 1 3b 5 i, a , ba , bz zm R    2z 1 1 mi 1 mi  m 1 2 m 1 iz1 miz z '             a)z 3x 9 3i, z ' 12 5y 7 i;b)z 2x 3 3y 1 i , z ' 2y 1 3x 7 i.       2 32( x 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i.      962 2 243 ix y 2i 3i 1 y 2x 320 896i1 i    100 98 963 1 i 4i 1 i 4 1 i .   3z 3i 2 i 2iz31 3iz1 iz iz i mz1 m m 2i 1z.z2     2 3 2012S 1 i i i ... i .  z x 2yi x, yz 1 P x y     z cos 2 sin cos izzChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 16ụ . (Đ Minh H a c a B ). ề ọ ủ ộ Cho hai s ph c ố ứ và . Tính môđun c a s ủ ốph cứ A. . B. . C. . D. .Ví d 17ụ . (Đ minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c ố ứ Tìm s ph c ố ứ A. B. C. D. Ví d 17. ụ (Đ th nghi m l n 1 c a B ).ề ử ệ ầ ủ ộ Tìm s ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứA. B. C. D. Ví d 18ụ : (Đ th nghi m l n 1 c a B ).ề ử ệ ầ ủ ộ Tính môđun c a s ph c ủ ố ứ tho mãn ảA. B. C. D. Ví d 19ụ : ( Đ Th nghi m l n 1-B Giáo d c). ề ử ệ ầ ộ ụ Xét s ph c ố ứ tho mãn ảM nh đ nào sau đây đúng?ệ ềA. B. C. D. II. CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ắ ỆCâu 1. Cho Tính:1.1. Tính A. B. C. D. 1.2. Tính A. B. C. D. 1.3. Tính A. B. C. D. Câu 2 . Tính lũy th a ừ b ng ằA. B. C. D. Câu 3. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 4. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 5. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 4www.thuvienhoclieu .com11z i  2 2 3z i  1 2 .z z 1 2 13z z  1 2 5z z  1 21z z 1 25z z 2 5 .z i w iz z 7 3 .w i 3 3 .w i 3 7 .w i 7 7w i (3 1)z i i 3z i 3z i 3z i 3z i zz(2 i) 13i 1  34.z 34z 5 343z  343z z10(1 2i) z 2 i.z   3z 22 2z12z1 32 2 z     1 2 3z 1 3i, z 2 i, z 3 4i.1 2 3z 2z z 1 4i2 4i.2 5i4 6i1 2 2 3z z z z1 4i2 3i.2 5i.1 6i21 2 3 2 3z z z z z11 45i20 33i.20 35i11 61i20061 i10032 i10032 i20062 i20062 i32 3i46 9i 4 9i 4 19i6 12i54 5i 4 3i    32i9i19i12i22 i 34 2 3i  1 2 6i  3 3i  6 3i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 6. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 7. Vi t các s ph c ế ố ứ d i d ng ướ ạ , A. B. C. D. Câu 8. Vi t các s ph c ế ố ứ d i d ng ướ ạ , A. B. C. D. Câu 9. Tính A. B. C. D. Câu 10. Tính A. B. C. D. Câu 11. Tính Câu 12 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 13 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 14 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 15 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 16 . Các c p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 531 3i2 2     64 411 i 2 2 iz5 i 3 3 i 5   a bia , b6 i 34 42 i 54 43 i 53 32 3 2i 73 310117 8iz8 7ia bia , b4 7 i133 133  8 7i113 113 4 7i23 23  4 5i123 123 771 1A i2ii    iii1          33101 i 1B 1 i 2 3i 2 3i ;1 i i13 3i33 31i13 32i3 32i         2 3 20C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i2x 1 1 2 y i 2 x 3y 2 i      1 3x , y3 5  1 1x , y5 5  1 1x , y3 5  1 3x , y3 5 4x 3 3y 2 i y 1 x 3 i      5 2x , y11 11 5 2x , y11 11 5 2x , y11 11  5 2x , y11 11 3x 3 5i y 1 – 2i 7 32i   x 6; y 1 x 6; y 1 x 6; y 1 x 6; y 1 y 1x 11 i 1 i  x 1; y 1 x 1; y 1 338 61x ; y49 49 x 1; y 1 y12 3ix i 3 3i   x, y 0; 12 ; 1; 15 x, y 0; 2 ; 1; 5x, y 10; 2 ; 10; 5x, y 1; 2 ; 1; 15Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 17 . Các c p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 18 . Tìm đi u ki n cho 2 s th c x, và y đề ệ ố ư ể là s th cố ựA. B. C. D. Câu 19 . Tìm đi u ki n cho 2 s th c x, và y đề ệ ố ư ể là s oố ảA. B. C. D. Câu 20. Tìm s th c m đ bình ph ng c a s ph c ố ự ể ươ ủ ố ứ là s th c.ố ựA. B. C. D. Câu 21 . Cho s ph c ố ứ . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ .Câu 22. Cho Hãy vi t d i d ng đ i s c a ế ướ ạ ạ ố ủ . A. B. C. D. Câu 23. Tính t ng ổ A. B. C. D. Câu 24. Cho hai s ph c liên hi p th a mãn ố ứ ệ ỏ và Tính A. B. C. D. Câu 25. Tìm c bi t a,b và c các s nguyên d ng th a mãn:ế ố ươ ỏ A. B. C. D. Câu 26. Cho s ph c z có ph n o b ng 164 và v i s nguyên d ng n th a mãn ố ứ ầ ả ằ ớ ố ươ ỏ Tìm n.A. B. C. D. Câu 27. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Tìm mô đun c a s ph c ủ ố ứA. B. C. D. Câu 28. Tìm s th c m bi t: ố ự ế và ( trong đó i là đ n v o) ơ ị ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 6www.thuvienhoclieu .comx i 1 yi 3 2i x 1 4i     x, y 1; 1 ; 1; 2 5x, y 1; 2 ; ; 42        1x, y ; 2 ; 1; 32       1 3x , y 1; ; 2;2 2            2x iyx 1y 1x 1y 1x 0y 0x 2y 12x iyx 03x y2 2x 03x yx 0x 3y2 2x 0x 3ym 3iz1 im 2 m 3 m 4 m 5 z 3 2i w iz zz 2 3i , x , y .    32z zw z zz 1z 6z 6z 6 i z 6 i     2 3 2012S i 2i 3i ... 2012.i .1006 1006i 1006 1006i1006 1006i 1006 1006i ,2R   2 3..33 25  3c a bi 107i.400312198123z4i.z nn 14 n 1496977891 3iz1 iz iz2357 i mz1 m m 2i 2 mzz2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. Câu 29. Tìm ph n th c c a s ph c: ầ ự ủ ố ứ th a mãn ph ng trình:ỏ ươ.A. B. C. D. Câu 30. Cho s ph cố ứ . Tìm m, bi t s ph c ế ố ứ có môđun b ng 9.ằA. B. C. D. Câu 31. Cho s ph c ố ứ . Tìm giá tr nh nh t c a s th c k sao cho t n t i m ị ỏ ấ ủ ố ự ồ ạđ ểA. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 7m 1m 1m 0m 1m 0m 1m 2m 1  nz 1 i , n   4 4log n 3 log n 9 36889  m 3iz m1 i2w zm 1m 1m 3m 1m 3m 1m 3m 3  i mz , m1 m m 2i z 1 k5 1k25 2k25 1k25 2k2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 2. BI U DI N HÌNH H C CÁC S PH CỦ Ề Ể Ễ Ọ Ố ỨPh ng phápươ Trong m t ph ng ph c, s ph c ặ ẳ ứ ố ứ đ c bi u di n b ng :ượ ể ễ ằ Đi m ể kí hi u ệ  Vect ơ Vectơ Bi u di n hình h c c a ể ễ ọ ủ và đ i x ng v i nhau qua g c t a đ .ố ứ ớ ố ọ ộ và đ i x ng v i nhau qua tr c Ox.ố ứ ớ ụ Bi u di n hình h c c a ể ễ ọ ủG i M, ọ l n l t bi u di n s ph c ầ ượ ể ễ ố ứ bi u bi u di n s ph c z’. Ta có:ể ể ễ ố ứ và bi u di n s ph c ể ễ ố ứ ;và bi u di n s ph c ể ễ ố ứ ; bi u di n s ph c kz.ể ễ ố ứ V i M, A, B l n l t bi u di n s ph c z, a, b thì :ớ ầ ượ ể ễ ố ứI. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d 1.ụ Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m A,B,C không th ng hàng bi u di n các s ph c a,b,c.ặ ẳ ứ ể ẳ ể ễ ố ứG i M là trung đi m c a AB, G là tr ng tâm tam giác ABC và D là đi m đ i x ng c a A qua G. Cácọ ể ủ ọ ể ố ứ ủđi m M,G,D l n l t bi u di n các s ph c m,g,d.ể ầ ượ ể ễ ố ứa) Tính các s ph c m, g, d theo a, b, c.ố ứb) N u thêm gi thi t ế ả ế ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác đ u n u và ch n uứ ằ ề ế ỉ ếVí d 2.ụ Cho hình bình hành ABCD. Ba đ nh A, B ,C l n l t bi u di n các s ph cỉ ầ ượ ể ễ ố ứ a) Tìm s ph c d (bi u di n đi m D);ố ứ ể ễ ểb) Đ nh m sao cho ABCD là hình ch nh t.ị ữ ậVí d 3.ụ Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m M, A, B l n l t bi u di n các s ph c : ặ ẳ ứ ể ầ ượ ể ễ ố ứz, và Ch ng minh r ng:ứ ằa) tam giác OMA vuông t i M;ạb) tam giác MAB là tam giác vuông;c) t giác OMAB là hình ch nh t.ứ ữ ậVí d 4.ụ G i A, B, C là ba đi m l n l t bi u di n các s ph c ọ ể ầ ượ ể ễ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8www.thuvienhoclieu .com  z x yi , ( x, y )M x; y ,M zOM x; yu (x; y)z, z,zM zM zM zM( z)  ' 'z z , z z , kz kuz;'M , v              OM OM 'u vz z’                             OM OM ' M ' Mu vz z’kOM , ku  OM z ; AB b a . a b c ,  a b c 0.     a 2 2i, b 1 i, c 5 mim R .    3 i 3z3iz.3 z C, z C, z C,     a 1 i , b i, c 1 ki , k .Chuyên Đ S Ph cề ố ứ a) Đ nh k đ ba đi m A, B, C th ng hàng;ị ể ể ẳb) Xét hàm s ố Đ t ặ Tính a’, b’,c’c) G i A’, B’, C’ l n l t là các đi m bi u di n các s ph c a’, b’, c’. Đ nh k đ A’, B’, C’ là ba đi m ọ ầ ượ ể ể ễ ố ứ ị ể ểth ng hàng;ẳd) N u ế l n l t bi u di n các s ph c z, z’. Ch ng minh r ng ầ ượ ể ễ ố ứ ứ ằ là s o.ố ảÁp d ng: Tính k đ tam giác A’B’C’ vuông t i A’.ụ ể ạVí d ụ 5 . Cho s ph c ố ứa) Tìm m đ bi u di n s ph c n m trên đ ng phân giác góc ph n t th hai ể ể ễ ố ứ ằ ườ ầ ư ứb) Tìm m đ bi u di n s ph c n m trên Hyperbol ể ể ễ ố ứ ằc) Tìm m đ kho ng cách c a đi m bi u di n s ph c đ n g c t a đ nh nh tể ả ủ ể ể ễ ố ứ ế ố ọ ộ ỏ ấ .Ví d ụ 6 . Xét các đi m A, B, C trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các sể ặ ẳ ứ ứ ự ễ ễ ốa) Ch ng minh ABC là tam giác vuông cân.ứb) Tìm s ph c bi u di n b i đi m D sao cho t giác ABCD là hình vuông.ố ứ ể ễ ở ể ứVí d 7.ụ Trong m t ph ng ph c cho các đi m: O (g c t a đ ), A đi m bi u di n s 1, B đi m bi u ặ ẳ ứ ể ố ọ ộ ể ể ễ ố ể ểdi n s ph c z không th c, A’ bi u di n s ph c ễ ố ứ ự ể ễ ố ứ và B’ bi u di n s ph c ể ễ ố ứ Ch ng minh ứr ng: Tam giác ằ và tam giác đ ng d ng.ồ ạVí d 8.ụ Bi t A, B, C, D là b n đi m trong m t ph ng ph c bi u di n theo th t các s : ế ố ể ặ ẳ ứ ể ễ ứ ự ốa) Tìm các s ố theo th t bi u di n các vect ứ ự ể ễ ơ b) Tính và t đó suy ra A, B, C, D cùng n m trên m t đ ng tròn. Tâm đ ng tròn bi u di nừ ằ ộ ườ ườ ể ễs ph c nào? ố ứII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . G i A, B theo th t là các đi m c a m t ph ng ph c bi u di n s z khác 0 và ọ ứ ự ể ủ ặ ẳ ứ ể ễ ố . Lúc đó,tam giác OAB là tam giác gì A. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 2. Các đi m A,ể B, C và A’, B’, C’ t ng ng bi u di n các s ph c ươ ứ ể ễ ố ứ và ( trongđó A, B, C và A’, B’ , C’ không th ng hàng). ẳ Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng tr ng tâm khi và chọ ỉkhi A. B. C. D. Câu 3 . Cho A, B, C, D là b n đi m trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các số ể ặ ẳ ứ ứ ự ể ễ ố. Ch n kh ng đ nh đúngọ ẳ ịThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 9 2w f z z .  a ' f a , b ' f b , c ' f c .              u , v               zu vz '   z m m 3 i , my x 2yx  4i 2 6i; 1 i 1 2i ;i 1 3 iz ' 0zz ' .OABOA ' B '    1 i , 1 i, 2i , 2 2i.1 2 3 4z , z , z , z   AC, AD, BC, BD.312 4 zz,z z1 iz ' z21 2 3z , z , z' ' '1 2 3z , z , z    ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z    ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z    2 2 2 2 ' 2 ' 21 2 3 1 2 3z z z z ' z z         4 3 3 i; 2 3 3 i; 1 3i; 3 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. ABCD là hình bình hànhB. C. D là tr ng tâm c a tam giác ABCọ ủ D. T giác ABCD n i ti p đ c đ ng trònứ ộ ế ượ ườCâu 4. Cho ba đi m A ,B, C l n l t bi u di n các s ph c ể ầ ượ ể ễ ố ứ và Câu 4.1. Xác đ nh ị sao cho A,B,C là ba đ nh c a m t tam giácỉ ủ ộA. B. C. D. Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đ nh c a tam giác. H i tam giác ABC là tam giác gì?ỉ ủ ỏA. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 4.3. Tìm s ph c d bi u bi n b i D sao cho ABCD là hình ch nh tố ứ ể ễ ở ữ ậA. B. C. D. Câu 5. Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m A, B, C không th ng hàng theo th t bi u di n s ặ ẳ ứ ể ẳ ứ ự ể ễ ốph c ứ H i tr ng tâm c a tam giác ABC bi u di n s ph c nào?ỏ ọ ủ ể ễ ố ứA. B. C. D. Câu 6. Xét ba đi m A, B,C c a m t ph ng ph c theo th t bi u di n ba s ph c phân bi tể ủ ặ ẳ ứ ứ ự ể ễ ố ứ ệth a mãn ỏ . Ba đi m A, B, C là ba đ nh c a m t tam giác đ u khi và ch khi ể ỉ ủ ộ ề ỉ A. B. C. D. Câu 7. Cho M, N là hai đi m trong m t ph ng ph c bi u di n theo th t các s ph c ể ặ ẳ ứ ể ễ ứ ự ố ứ khác 0 th aỏmãn đ ng th c ẳ ứ . Tam giác OMN là tam giác gì?A. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 8. Cho ba đi m A, B, C bi u di n các s ph c ể ể ễ ố ứ và Tìm x sao choCâu 8.1. Tam giác ABC vuông t i BạA. B. C. D. Câu 8.2. Tam giác ABC cân t i CạA. B. C. D. Câu 9. Cho là bi u di n c a hai s ph c ể ễ ủ ố ứ và . G i ọ là bi u di n c a s ph c ể ễ ủ ố ứ . Hãy phân tích qua A. B. C. D. Câu 10. Tìm các đi m bi u di n c a s ph c z bi t đi m bi u di n c a các s ph c ể ể ễ ủ ố ứ ế ể ể ễ ủ ố ứ l p ậthành Câu 10.1. Tam giác vuông t i AạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng trònỷ ủ ườ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 10www.thuvienhoclieu .comAD 2CB   a 1, b 1 i2c b .1 1 1 0 2d 1 i.        2d 1 i.2d 1 i.    2d 1 i.    1 2 2z , z , z .1 2 2z z z .  1 2 2 z z z  1 2 21z z z3 1 2 21z z z3  1 2 2z , z , z 1 2 3z z z  1 2 3z z z 0.1 2 3z z z  1 2 3 z z z 0   1 2 2 3 3 1z z z z z z 0   2 2 21 2 3z z z 1 2z , z2 21 2 1 2z z z z    2a 1 i, b a  c x i, x .x 1x 2 x 3x 5x 7  x 2 x 3x 5              u , v1 3i3 2ix6 4ix              u , v24 14x u v11 11                24 14x u v11 11                24 14x u v11 11  24 14x u v11 11  2 3z, z , zx 1.2 2x y 1 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ C. Qu tích c a z là đ ng elipỷ ủ ườ D. Qu tích c a z là Parabol ỷ ủCâu 10.2. Tam giác vuông t i BạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng th ngỷ ủ ườ ẳ C. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ tr g c t a đừ ố ọ ộD. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ tr g c t a đừ ố ọ ộCâu 10.3 Tam giác vuông t i CạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng th ngỷ ủ ườ ẳ C. Qu tích c a z là đ ng tròn ỷ ủ ườD. Qu tích c a z là hai đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ Câu 11 . (Đ minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c ố ứ th a mãnỏ H i đi m bi u di n c aỏ ể ể ễ ủ là đi m nào trong ểcác đi m ể M , N , P , Q hình bên ?ởA. Đi m ể P . B. Đi m ể Q .C. Đi m ể M . D. Đi m ể N .Câu 12 . (Đ th nghi m l n 1 c a b ).ề ử ệ ầ ủ ộ Đi m ể M trong hình vẽbên là đi m bi u di n c a s ph c ể ể ễ ủ ố ứ z . Tìm ph n th c và ph n ầ ự ầo c a s ph c ả ủ ố ứ z .A. Ph n th c là −4 và ph n o là 3.ầ ự ầ ảB. Ph n th c là 3 và ph n o là −4ầ ự ầ ả i .C. Ph n th c là 3 và ph n o là −4.ầ ự ầ ả D. Ph n th c là −4 và ph n o là 3ầ ự ầ ả i .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1122yx1.1 2 21y x2x 0.y 0x 0,y 0 ,x 2y 1      221 1x y2 4y 0,x 0z(1 ) 3 .i z i  zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 3. TÌM T P H P ĐI MỦ Ề Ậ Ợ ỂPh ng phápươ Gi s các đi m ả ử ể l n l t bi u di n các s ph c ầ ượ ể ễ ố ứ o thu c đ ng trung tr c c a đo n AB.ộ ườ ự ủ ạothu c elip (E) nh n A, B là hai tiêu đi m và có đ dài tr c l n b ng k.ộ ậ ể ộ ụ ớ ằ Gi s M và M’ l n l t bi u di n các s ph c z và ả ử ầ ượ ể ễ ố ứĐ t ặ và H th c ệ ứ t ng đ ng v i hai h th c liên h gi a ươ ươ ớ ệ ứ ệ ữ o N u bi t m t h th c gi a x,y, ta tìm đ c m t h th c gi a u,v và suy ra đ c t p ế ế ộ ệ ứ ữ ượ ộ ệ ứ ữ ượ ậh p các đi m M’.ợ ểo N u bi t m t h th c gi a u,v ta tìm đ c m t h th c gi a x,y và suy ra đ c t p ế ế ộ ệ ứ ữ ượ ộ ệ ứ ữ ượ ậh p các đi m M.ợ ểI. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d 1.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sauậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ : {Đ ng th ng }ườ ẳa) b) c) v i ớVí d 2.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sauậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ : {Đ ng tròn }ườa) ; b) c) ; d) . Ví d 3.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: ậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ {Elip} :Ví d 4.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: ậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ { o th c}Ả ựa) là s o;ố ả b) là s th c.ố ựVí d 5.ụ Tìm t p h p các đi m bi u di n c a s ph c ậ ợ ể ể ễ ủ ố ứ , v i ớ Ví d 6.ụ Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho s ph c z th a mãn ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ố ứ ỏ .Tìm t p h p ậ ợbi u di n s ph c ể ễ ố ứ .Ví d 7ụ . Hãy xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn:ị ậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ ỏ. {Hình vành khăn}Ví d 8ụ . Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ ỏ ề ệVí d 9.ụ Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏVí dụ 10 . Xác đ nh t p h p các đi m bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n:ị ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ ề ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12www.thuvienhoclieu .comM , A , Bz, a , b.z a z b MA MB M     z a z b k , k R , k 0, k a b MA MB k          Mw f z .z x iy w u iv x, y, u , v R .w f zx, y, u, vz i z i ;  z 1 3i1;z 1 i  0 0z z z z 1 0   0z 1 i. z 3 4i 2  z i 1 i z  23z 2iz 2i z 0  2iz 1 5     z 1 z 1 4.2z 1z 1z 1, z 2iz 2i'z 2z 3 i  23z i z.z 9  z 1 2 w 2z i 1 z i 2  2 z i z z 2i   z 3z 2 i 3 z  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ a) là s th c d ng v i ố ự ươ ớ ; b) c) ; d) Ví d 11.ụ G i ọ và là các đi m l n l t bi u di n các s ph c z và z’ể ầ ượ ể ễ ố ứ Đ tặvà a) Tính theo và tính x,y theo . b) Cho M di đ ng trên đ ng tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính ộ ườ Tìm t p h p các đi m M’.ậ ợ ểc) Cho M di đ ng trên đ ng th ng ộ ườ ẳ , tìm t p h p các đi m M’.ậ ợ ểVí d 12.ụ Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a mãn đi u ki nỏ ề ệ II. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Gi s M(z) là đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n s ph c z. T p h p nh ng đi m M(z)ả ử ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ậ ợ ữ ểth a mãn đi u ỏ ề làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng th ng ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng th ng ườ ẳCâu 2. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng th ng ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng th ng ườ ẳCâu 3. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng trònườA. Đ ng elipườ D. Đ ng ParabolườCâu 4. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ , B. Hai đu ng th ng ờ ẳ , A. Hai đu ng th ng ờ ẳ , D. Hai đu ng th ng ờ ẳ , Câu 5. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ B. Hai đu ng th ng ờ ẳ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 13z iz iz i22z z2z 2z 5  13z 2 2log 1.4 z 2 1  MM '1, z 0 .z z x iy z ' x ' iy ', x , y, x ', y ' R  x’, y’x, yx’, y’R 2 .d : y x 1 z x yi  2y x 1a) ; b) 1 z 2.y 2x  2 z i z  4x 2y 3 0  4x 2y 3 0  x 2y 3 0  x 9y 3 0  z 2i z 1 i    x y 3 0  x 2y 3 0  x 2y 3 0  x y 1 0  5 1 i z 3 2i 1 7i z i     z z 3 4  1x27x21x27x21x27x21x27x2z z 1 i 2   1 3 1 3y ; y2 2  1 3 1 3y ; y2 2  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. Hai đu ng th ng ờ ẳ D. Hai đu ng th ng ờ ẳCâu 6. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ , . B. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .C. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .D. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .Câu 7 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng th ng ờ ẳB. Đ ng tròn ườC. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng tròn tâm ườ và bán kính Câu 8 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườD. Đ ng tròn tâm ườ và bán kính Câu 8 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườ D. Câu 9 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườ D. Câu 9. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng elip ờ B. Đu ng elip ờC. Đu ng elip ờ D. Đu ng elip ờCâu 10. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng trònờ B. Đu ng elipờThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 14www.thuvienhoclieu .com1 5 1 3y ; y2 2  1 5 1 3y ; y2 2  2 z 1 z z 2   x 0y 0x 0y 2x 0x 2 x 2y 2z 1 i 2  x y 2 0  2 2x 1 y 1 4   x y 2 0  I 1; 1R 2.z3z 12 218 9x y y 08 8    2 2 18 9x y y 08 8   2 2 18 9x y y 08 8   9I 0;8    1R .8z 3 2i 2z 1 2i    2 22 4 8x y x y 03 3 3     2 22 4 8x y x y 03 3 3    2 22 4 8x y x y 03 3 3     2 22 4 8x y x y 03 3 3    z i 1 i z  22x y 1 2  22x y 1 2  2 2x 1 y 1 2   2 2x 1 y 1 2   z 4i z 4i 10   22yx19 16 22yx116 9 22yx14 3 22yx19 4 z 2 z 2 5   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ C. Đu ng parabolờ D. Đu ng th ngờ ẳCâu 11. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên ph i tr c tung ể ử ặ ẳ ở ả ụB. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên trái tr c tungể ử ặ ẳ ở ụC. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía trên tr c hoànhể ử ặ ẳ ụD. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía d i tr c hoànhể ử ặ ẳ ướ ụCâu 12. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể , bán kính 2B. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ và các bán kính l n và nh l n l t làớ ỏ ầ ượ C. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể , bán kính 1D. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ và các bán kính l n và nh l n l t làớ ỏ ầ ượCâu 13. Tìm t t c các đi m c a m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z sao cho ấ ả ể ủ ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ là s th cố ự . A. T p h p đi m g m hai tr c t a đ ậ ợ ể ồ ụ ọ ộB. T p h p đi m là tr c hoànhậ ợ ể ụC. T p h p đi m g m hai tr c t a đ b đi đi m ậ ợ ể ồ ụ ọ ộ ỏ ểD. T p h p đi m là tr c tung, b đi ậ ợ ể ụ ỏCâu 14. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z sao cho ậ ợ ể ể ễ ố ứ là m t s thu n oộ ố ầ ả . A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính D. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . Câu 15 . Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a mãn đi u ki nỏ ề ệ làA. Ba c nh c a tam giácạ ủB. B n c nh c a hình vuôngố ạ ủC. B n c nh c a hình ch nh tố ạ ủ ữ ậD. B n c nh c a hình thoiố ạ ủCâu 16. G i M và P l n l t là các đi m bi u di n các s ph c ọ ầ ượ ể ể ễ ố ứ và . Tìm t p h p các đi m P trong các tr ng h p sau đây:ậ ợ ể ườ ợCâu 16. 1. M thu c đ ng th ng d: ộ ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 152 z z 2  1 z 1 i 2   I 1; 1A 1;12; 1I 1; 1I 1; 12; 1z iz iA(0;1)A(0;1)z 2 3iuz i I 1; 1 R 5 I 1; 1 R 5 A 0; 1 ; B 2; 3 I 1; 1R 5I 1; 1R 5A 0; 1 ; B 2; 3 z x yi  x y 1 z x iy , x, y R  2w zy 2x4d ' : y x3Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com B. Tia C. Đ ng th ng ườ ẳD. Tia Câu 16.2. M thu c đ ng th ng d: ộ ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳB. Parabol C. Đ ng tròn ườ D. Elip Câu 16.3. M thu c đ ng tròn ộ ườA. Đ ng th ng ườ ẳB. Parabol C. Đ ng tròn ườD. Elip Câu 16.4. M thu c hypebol ộA. Đ ng th ng ườ ẳB. Đ ng th ng ườ ẳC. Đ ng th ng ườ ẳD. Đ ng th ng ườ ẳCâu 17. Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãnặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ là s thu n o.ố ầ ảA. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 16www.thuvienhoclieu .com4d ' : y x, x 0.3 4d ' : y x34d ' : y x, x 0.3 y x 1 1 1d' : y x .3 3 21 1P : y x .2 2 2 2x 1 y 3 3   22yx125 16 2 2C : x y 1; 1d' : y x .3 21P : y x42 2x y 1 22xy 12 1C : y x 0 .x d' : x 2d' : y 2d' : y 1d' : y 2z i z iz 1z 1 1I ; 02   1R21I ; 02   1R21; 01I ; 02   1R4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ D. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . Câu 19. Tìm qu tích các đi m trên m t ph ng ph c bi u di n cho s ph c ỹ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ , bi t z là sế ốph c th a mãn: ứ ỏ .A. Đ ng tròn ườB. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườD. Đ ng tròn ườCâu 20. Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n s ph c w th a mãn:ặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ, bi t z là s ph c th aế ố ứ ỏ .A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 21. Trong m t ph ng ph c Oxy, tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c ặ ẳ ứ ậ ợ ể ể ễ ố ứbi t z là s ph c th a mãn: ế ố ứ ỏ .A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 22. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ v i ớ . A. H ình tròn tâm , .B. Đ ngườ tròn tâm , .C. Hình t ròn tâm bán kính .D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 23. Tìm t p h p các đi m bi u di n trong m t ph ng ph c ậ ợ ể ể ễ ặ ẳ ứ bi t r ng sế ằ ốph c z th a mãn ứ ỏ A. H ình tròn tâm , .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 171I ; 02   1R40; 1w iz 1 3z 2i 1 8  2 2C : x 3 y 1 4   2 2C : x 3 y 1 2   2 2C : x 3 y 1 4   2 2C : x 3 y 1 4   w z 2 i  z 1 2i 1  I 1; 2R 2I 2; 1R 2I 1; 1R 1 I 3; 3R 1 w 1 2i z 3  z 2 5 I 1; 2R 5 I 2; 1R 5I 1; 4R 5 5 I 1; 3R 5z ' 1 i 3 z 2  z 1 2 I 3; 3R 4I 3; 3R 4I 1; 4R 5I 1; 3R 5w 1 i 3 z 2  z 1 2. I 3; 3R 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. Hình tròn tâm bán kính Câu 24. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ v i ớ . A. H ình tròn tâm , .B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. H ình tròn tâm , Câu 25 (Đ minh h a c a b )ề ọ ủ ộ . Cho các s ph c ố ứ th a mãnỏ . Bi t r ng t p h p các đi m ế ằ ậ ợ ểbi u di n các s ph cể ễ ố ứ là m t đ ng tròn. Tính bán kính ộ ườ r c a đ ng tròn đó.ủ ườ A. r  4. B. r  5. C. r  20. D . r  22.Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 18www.thuvienhoclieu .comI 3; 3R 4I 3; 3R 4I 3; 3R 4.z ' 2z 3 i  23z i zz 9  I 3; 3R 4I 3; 3R 4I 3; 3R 47I 3;4   73R4z4z(3 4 )w i z i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ CH ĐỦ Ề 4. M T S D NG TOÁN V CH NG MINHỘ Ố Ạ Ề Ứ S PH CỐ ỨPh ng phápươ : Ta nh c l i m t s công th c c b n sau:ắ ạ ộ ố ứ ơ ảCho s ph c ố ứ . Lúc đó .  . Công th c này ch ng minh d dàng nh sau: ứ ứ ễ ư I. CÁC VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỤ ỆVí d 1.ụ Ch ng minh r ng: ứ ằÁp d ng:ụ Cho ba s ph c ố ứ đ u có môđun b ng 1. Ch ng minhề ằ ứGi iảGi s : ả ử a) Ta có: và nên Mà V y ậ .b) Ta có:M t khác: ặ V y ậ .c) Ta c n ch ng minh b đ sau: ầ ứ ổ ề Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19  z x yi , x , y z x yi 2 2z x y .2z z.z           222 2 2z.z x yi x yi x y x y z .          1 11 2 1 2 1 2 1 2 222z za) z z z z ; b) z .z z .z ; c) , z 0zz1 2 3z , z , z    1 2 3 1 2 2 3 1 3z z z z z z z z z .    1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x , x , y , y 1 1 1z x y i 2 2 2z x y i    1 2 1 2 1 2z z x x y y i          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y i z z x x y y i  1 2 1 2z z z z      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i    1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x x y y x y x y i1 2 1 2z .z z .z  11z z , z 0Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Vì nên ta có Áp d ng b đ trên, ta có: ụ ổ ề (ĐPCM)Áp d ng: ụ Vì nên L u ý:ư Ta có công th c t ng quát sau: Cho n s ph c ứ ổ ố ứ b t kỳ. ấTa luôn có: Tr c h t ta ch ng minh: ướ ế ứGi s : ả ử và Trong đó: Ta có: Hay Bây gi ta ch ng minh ờ ứ b ng quy n pằ ạV i ớ Gi s ả ử Ta có: Suy ra: M t khác: ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 20www.thuvienhoclieu .com1z. 1z              111 1z. 1 z. 1 z zz z                         111 11 1 1 2 1 22 2 22z z1 1z . z . z .z z . z .z z zz1 2 3z z z 1                 1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 11 2 2 3 3 11 2 3 1 2 31 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 z z z z z zz z z z z z1 1 1z z z z z zz z z z z zz z zz z z z z z z z z1 2 nz , z ,..., z           1 2 3 n 1 2 3 n1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... zz z z ...z z .z .z ...z .        1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z  k k kz a b i , k 1, 2, 3,..., n  nkk 1z z a bi   n nk kk 1 k 1a a , b b             n n n nk k k k kk 1 k 1 k 1 k 1z a bi a b a b i z        1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z1 2 3 n 1 2 3 nz z z ...z z .z .z ...z * *n 2 :   1 1 1 2 2 2z a b i, z a b i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i   1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a a b b a b a b i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b iChuyên Đ S Ph cề ố ứ V y v i ậ ớ đ ng th c đúng.ẳ ứGi s (**) đúng v i ả ử ớ ta s ch ng minh h th đúng v i ẽ ứ ệ ứ ớ Th t v y:ậ ậĐ t ặ , ta có: V i hai s ph c ớ ố ứ và ta có: H th c cu i đ c ch ng minh v i ệ ứ ố ượ ứ ớ Ví d 2.ụ Ch ng minh r ng:ứ ằa) ; b) Áp d ng:ụ Tìm mô đun các s ph c sau:ố ứ H ng d n gi i ướ ẫ ảa) Cách 1. Đ t ặTa có: và T đó:ừ M t khác: ặDo đó:T (1) và (2) ta suy ra đi u ph i ch ng minhừ ề ả ứCách 2. Vì nên Suy ra: b) Cách 1. Tr c h t ta ch ng minh b đ : ướ ế ứ ổ ề Th t v y: ậ ậ hay Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 21n 2 n k, n 2 n k 11 2 kz z z ...z 1 2 3 n 1 2 3 kz z z z ...z z .z .z ...zzk 1z   k 1 k 1 1 2 3 k k 1z.z z.z z .z .z ...z .z n k 1.1 2 1 2z .z z . z1122zzzz      2 22 24 4x y i 2xyx y 2xyiu , w , x , y .x y 2i xyxy 2 i x y    1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i , z x y i , x , x , y , y 2 21 1 1z x y  2 22 2 2z x y         2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2z z x y , x y x y x yx x y y x y y x 1      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x y i x y i x x y y x y y x i        2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x x y y x y y x x x y y x y y x 12z z.z   2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2z .z z .z .z .z z .z .z .z z .z .z .z z . z1 2 1 2z .z z .z 11 *z z , z    1 1 1 1z. 1 z . 1z z zz 11 *z z , zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Áp d ng b đ trên ta có: ụ ổ ềCách 2. Vì nên L u ý:ư Không có công th c: V i m i s ph c ứ ớ ọ ố ứ : . Tuy nhiên ta có b tấđ ng th c sau: ẳ ứ Th t v y, g i ậ ậ ọ bi u di n ể ễ , bi u di n ể ễ thì bi u di n ể ễ Ta có: * TH 1: Khi thì :Do đó: * TH 2: Khi thì rõ ràng V y ậÁp d ng:ụ Ta s áp d ng ẽ ụTa có: T ng t : ươ ự Ví d ụ 3. a) Ch ng minh: ứ S ph c z là s th c khi và ch khi ố ứ ố ự ỉV n d ng:ậ ụ Cho hai s ph c ố ứ đ u có mođun b ng 1ề ằ , . Ch ng minhứ là s th cố ự . b) Ch ng minh: ứ S ph c z là s o khi và ch khiố ứ ố ả ỉ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 22www.thuvienhoclieu .com       111 111 1 2 1 2 1 22 22zz1z . z .z z z z zz zz2 2z z     1 2 1 21 2 11 1 2 1 22 2 2 2222 22 2 2 2z .z z . zz . z zz z .z z .zzzz .zz z z z1 2z , z  1 2 1 2z z z z  1 2 1 2z z z z1u1z2u2z              1 2u u1 2z z                1 2 1 2z z u u1 2z z 0                                                                                                                                                                                           222 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 221 2 1 2 1 2 1 2u u u u u u 2u .u u u 2 u u cos u , uu u 2 u u u u z z                  1 2 1 2 1 2z z u u z z1 2z z 0  1 2 1 2z z z z    1 2 1 2 1 2z z z z , z , z1122zzzz           22 2 2 22 22 24 4 2 2 4 44 422 222 2 x y 4x yx y 2xyix y 2xyiuxy 2 i x y 2x y x yxy 2 i x yx y1x y        2 222 22 2x y i 2xyx yx y 2xyw 1.x y 2i xyx y 4xy x yz z .1 2z , z 1 2z .z 11 21 2z zz1 z zz zChuyên Đ S Ph cề ố ứ V n d ng:ậ ụ Ch ng minh hai s ph c phân bi t ứ ố ứ ệ th a ỏ khi và ch khi ỉ làs o. ố ảGi iảĐ t ặ a) Ta có: z là s th c.ố ựV y, ậ z là s th c khi và ch khi ố ự ỉV n d ng:ậ ụ Ta có: , t ng t ta có ươ ựXét b) Ta có: V y, ậ z là s o khi và ch khiố ả ỉ V n d ng:ậ ụ Ta có là s o ố ả Ví d 4.ụ Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c. Ch ng minh r ng z là s th c.ố ự ứ ằ ố ựGi iảTa bi t r ng s ph c w là s th c ế ằ ố ứ ố ự Do đólà s th c ố ựlà s th c.ố ựVí d 5.ụ Cho n là s nguyên d ng, ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 231 2z , z1 2z z 1 21 2z zz z  z a bi, a , b         z z a bi a bi 2 bi 0 b 0z z   21 1 1 111z z z 1 zz221zz          1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 21 1z z z z z z z z z zz z ÑPCM1 11 z z 1 z z1 z z 1 z .z1 .z z         z z a bi a bi 2a 0 a 0 z laø soá aûo.z z 1 21 2z zz z                                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z z z0 0z z z z z z z z z zz zz z .z z z z .z z 0z z . z z z z . z z 02 z z z z 0 z z z z z z z z2z 1z 1 w w.2z 1z 1             2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 1 z 1 z 1 z 1               2z 1 z 1 2z 1 z 12zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z zzChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảa) Ta cóSuy ra: V y z là s th c.ậ ố ựb) Ta cóV y z là s th c. ậ ố ựVí dụ 6 . Ch ng minh r ngứ ằ c) V i m i s ph c ớ ọ ố ứ Ch ng minh r ng: ứ ằ Gi iảa) Ta có:b) Ta có:M t khác: ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 24www.thuvienhoclieu .comn n 2nn6 17i 3 28i 13 6ia) z ; b) z 3 4i4 3i 5 6i 4 5i                         n nn n6 17i 3 28iz 3 2i 3 2i4 3i 5 6i                n nn n n nn nz 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i3 2i 3 2i z               2nnn 2n n 2 nnn nn13 6iz 3 4i 2 i 3 4i 2 i 3 4i4 5i3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25                              2 2 2 2a) z z ' z z ' 2 z z ' , z,z'        222 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2b) 1 z .z z z 1 z z z z , z ,z1 2 3z ,z ,z .2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 21 2 3z z z z z z z z z z z z4 z z z .                                         2 22 2 2 2VT z z ' z z ' z z ' .z z ' z z ' .z z 'z z ' z z ' z z ' . z z 'z.z z.z ' z ' z z ' .z ' zz z.z ' z ' z z ' .z '2 z 2 z ' 2 z z ' VP                  221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2VT 1 z .z z z 1 z .z .1 z .z z z .z z1 z .z 1 z z z z z z1 z z z z *Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (*) và (**) ta suy ra đi u ph i ch ng minh. ừ ề ả ức) Ta có T ng tươ ựC ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta đ c ộ ế ế ượVí d 7ụ . Ch ng minh r ng n u s ph c ứ ằ ế ố ứ thì Gi iảTa có: , m t khác ta có: ặ .Do đó:Đ t ặ lúc đó ta đ cượVí d 8.ụ Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế thì .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 25             2 21 2 1 22 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2VP 1 z z z z1 2 z z z z z 2 z z z 1 z z z z * *21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 1                           21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 2                                21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 3                           21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 4                           2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 21 2 3z z z z z z z z z z z z4 z z z .                 331z 2z 1z 2.z              3331 1 1z z 3 zz zz  1 2 1 2z z z z              33 33 31 1 1 1 1 1z z 3 z z 3 z 2 3 zz z z zz z 1a zz         231a 2 3a a 2 a 1 0 a 2 hay z 2zz 12z i12 izChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảGi s ả ử theo gi thi t ta có ả ế Khi đó:Do đó:Ví d 9.ụ Cho và là hai s ph c th a ố ứ ỏ Ch ng minh r ng v i m i sứ ằ ớ ọ ốth c a, ta có: ựGi iảGi s ả ử v i ớ . Khi đóTa có:(2) đúng, d n đ n đi u ph i ch ng minh.ẫ ế ề ả ứVí dụ 10 . Ch ng minh r ng v i m i s ph c ứ ằ ớ ỗ ố ứ , có ít nh t 1 trong hai b t đ ng th c sau x yấ ấ ẳ ứ ảra ho c ặH ng d n gi iướ ẫ ảGi s ta có đ ng th i ả ử ồ ờ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 26www.thuvienhoclieu .com  z a bi , a , b    2 2 2 2a b 1 a b 1          22222a 2b 1 i 4a 2 b 12a 2b 1 i2z i2 iz2 b ai2 b ai2 b a             222 22 2222 2 4a 2 b 12z i1 1 4a 2 b 1 2 b a2 iz2 b aa b 11z2z1 2 1 2z 2z 2z z .  1 2 1 2z az az z .  1 2z p qi, z r si    p,q,r,s  1 2 1 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2z 2z 2z z p 2r i q 2s 2p r i 2q sp 2r q 2s 2p r 2q sp 2r q 2s 2p r 2q sp 4pr 4r q 4qs 4s 4p 4pr r 4q 4qs sr s p q 1                                      1 2 1 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2z az az z p ar i q as ap r i aq sp ar q as ap r aq sp ar q as ap r aq sp 2apr a r q 2aqs a s a p 2apr r a q 2aqs sp q a p q r s a s ra 1 p q a 1 r s 2                                               z  1z 12  2z 1 1   2 1z 12*z 1 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ t ặ . Lúc đó L y (1) c ng (2) v theo v ta đ c: ấ ộ ế ế ượ (vô lý). T đó ta đ c đi u ph i ch ng minh. ừ ượ ề ả ứ Ví d 10ụ *. Cho là ba s th c phân bi t sao cho ố ự ệ . Ch ng minh r ng: N uứ ằ ế là các s th c thì ố ự và H ng d n gi iướ ẫ ảVì là ba s th c phân bi t và ố ự ệ nên đ u khác không ềvà .N u ế là các s th c thì ta cóố ựDo đó: T ng t :ươ ự.Áp d ng tính ch t c a t l th c ụ ấ ủ ỉ ệ ứ Ta có: T ng t :ươ ựSuy ra: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 27  z a bi , a , b              22 22222 2 2 22 2 2 212 a b 4a 1 0 11 a b2*a b 2 a b 0 21 a b 4a b 1 22 2a b 22a 1 01 2 3z ,z ,z1 2 3z z z r 0   1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z   r 11 2 3 z z z 1. 1 2 3z ,z ,z1 2 3z z z r 0   1 2 3 1 2 2 3 3 1z , z , z , z z , z z , z z   21 1 2 2 3 3z z z z z z r  1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z   1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 13 1 2 3 1 2 3 1 2z z z z z z z .z zz z z z z z z .z zz z z z z z z .z z             2 2 221 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 34 2 21 2 31 1 2 2 3 1 2 3 33 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3 r z z z r z z z r z z z z z zrz z zz z .z z .z z z z zr z r z z z z r zz z z z z z        21 2 3 2 3 1 3 1 22 2 21 2 31 2 3 2 3 1 3 1 2z z z z z z z z zrz z zz z r z z z r z z z r z       a c a cb d b d 21 2 3 2 3 1 1 2 31 2 312 22 2 21 2 31 2 3 11 2 3 2 3 1 2 3 1 z z z z z z z 1 z zz z zz 1rz z zz z r z z rz z r z z z r z z z z r             2 21 231 2 1 22 2 22 21 2 3 1 2 3 1 21 2 31 2 z 1 z 1z 1z 1 z 1 z zr r1z z z z z z z zz r z r z rz r z r               221 2 321 2 3121 2 31 2 321 11z z z rz z z rr 1r 1z 1z z z 11z z z 1z 1 z rz r           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com II. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1 . Cho s ph c ố ứ . 1.1. Ph n th c c a s ph c z b ng:ầ ự ủ ố ứ ằA. B. C. D. 1.2. P h n o c a s ph c zầ ả ủ ố ứ :A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặV y ch n đáp án 1.1.D và 1.2 Bậ ọCâu 2. Cho s ph cố ứ . Kh ng đ nh nào sau đây đúngẳ ịA. và . B. và .C. và . D. và .H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có V y ậ và . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 3. Cho z là s ph c th a mãn ố ứ ỏ là s o. Tìm kh ng đ nh đúngố ả ẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: là s oố ả V y ậ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4. Cho . Kh ng đ nh nào sau đây ẳ ị saiThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 28www.thuvienhoclieu .comz x yi, x,y  z z z z1z z2 1z z21z z2i1z z2i1z z2 1z z2     z x yi , x, y z x yi.        1x z zz z 2x2Töø ñoù1z z 2yiy z z2i  z a bi, a , ba zb za zb za zb za zb z       22 22z a a az a bz b b ba zb zz 1z 1z 5z 1z 2z 2z 1z 1                z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 10 0z 1 z 1 z 1 z 1 z 1z 1                   2z 1 .z 1 z 1 .z 1 0z 1 . z 1 z 1 . z 1 0 z.z 1 z 1 z 1z 1. 1 2z , zChuyên Đ S Ph cề ố ứ A. là s th cố ựB. là s th cố ựC. là s oố ả D. là s th cố ựH ng d n gi iướ ẫ ảĐ nh h ng:ị ướ Ta s d ng k t qu sau: ử ụ ế ả và z là s o khi và ch khi ố ả ỉ Ta có: V y ậ là s th cố ựB) V y ậ là s th cố ựC) . V y ậ là s oố ảD) V y ậ là s o. V y đáp án D sai.ố ả ậV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 5. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c. Kh ng đ nh nào sau đây ố ự ẳ ị saiA. B. là s oố ảC. D. H ng d n gi i ướ ẫ ả là s th cố ự V y ậ là s th c. ố ựV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 6 . Đ ng th c ẳ ứ b ngằA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 291 2 1 2z z z .z22z z33z zz z22z z1 z.z   z z zz z          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2A) z z z .z z z z .z z .z z .z z .z z zz z z .z z z z .z1 2 1 2z z z .z2 222 2 2z z z z z z .     22z z3 3 33 3 3 z z z z z zz z z z z z      33z zz z2 2 22 2 2z z z z z z.1 z.z 1 z.z 1 z.z       22z z1 z.z 2z 1z 2 zzz zz z2z 1z 2  2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 2 z 2 z 2 z 2z 2 z 2                2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z           z          2 221 2 1 2 1 2 1 21z z z z i z iz i z iz412zz1 2z .z1 2z z1 2z zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta cóSuy ra: V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 7. Ch n đ ng th c đúng trong các đ ng th c sau:ọ ẳ ứ ẳ ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 8. Cho s ph c ố ứ th a đi u ki n ỏ ề ệ . Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 9. G i z là s ph c khác 0 sao cho ọ ố ứ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 30www.thuvienhoclieu .com                     2 221 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2z z z z i z iz i z izz z z z z .z z .z z z z z z .z z .ziz z z z z .z iz .z iz z z z z .z iz .z4z z             2 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1z z z z z z i z iz i z iz , z ,z .4     22 2 21 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z             2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 22 21 2z z 1 z z z z z z z z 1 z z z z z z1 z 1 zz6z i12 3izz 1 z 31z31z36z i1 6z i 2 3iz2 3iz    2 226z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz1 127z.z 3 z z9 3              338z 9.z 2z 3.z 2z 3.z 2z 3.z 2z 3.z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: , m t khác ta có: ặ .Do đó:Đ t ặ lúc đó ta đ c:ượ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 10. Cho th a ỏ . Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s : ả ử v i ớ Theo đ : ềT (1) ừT (2) ừV y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 11 *. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có Hay: (*)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 31                        33 33 32 8 2 2 8 2z z 3z. z z 6 zz z z zz z  1 2 1 2z z z z                     33333332 8 2z z 6 zz zz2 8 2 2z z 6 z 9 6 zz z zz2 2z 6 z 9 0z z 1a zz         3 2a 6a 9 0 a 3 a 3a 3 0 a 3 .a, b,c,d  na bi c di  n2 2 2 2a b 2 c d  2 2 2 2a b c d  2 2 n 2 2a b 2 c d  n2 2 2 2a b c d  c di r cos i sin    2 2r c d 1 . nn n 2 2c di r cosn i sinn a bi r a b 2         n2 2 2n 2 2r c d r c d    n 2 2 2n 2 2r a b r a b    n2 2 2 2a b c d     10 911z 10iz 10iz 11 0.z 1  z 1  z 1 1z3       10 9 911z 10iz 10iz 11 0 z 11z 10i 11 10iz.911 10izz11z 10iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ v i ớ T (*) suy ra:ừXét các tr ng h p:ườ ợ N u ế thì nên:Do đó (mâu thu n).ẫ N u ế thì nên:Suy ra (mâu thu n).ẫ N u ế thì (th a mãn)ỏV y ậ . V y ch n đáp án B. ậ ọCách 2. Casio nhanh ch ng b ng cách th tr c ti p. ố ằ ử ự ếCH Đ Ủ Ề 5 . TÌM S PH C TH A MÃN ĐI U KI NỐ Ứ Ỏ Ề ỆPh ng phápươ Tìm s ph c ố ứ th t ra là tìm ph n th c x và ph n o y c a nó.ậ ầ ự ầ ả ủ Chú ý r ng: ằ , khi là s th cố ự ,  . Khi đó:  . Khi đó là s o (thu n o) khi ố ả ầ ả , là s th c khi ố ự . Trong tr ng h p tườ ợ ìm s ph c có môđun l n nh t, nh nh tố ứ ớ ấ ỏ ấ ta làm nh sau:ư B c 1:ướ Tìm t p h p đi m ậ ợ ể các đi m bi u di n c a ể ể ễ ủ z th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệB c 2: ướ Tìm s ph c ố ứ z t ng ng v i đi m bi u di n ươ ứ ớ ể ể ễ sao cho kho ng ảcách OM có giá tr l n nh t ( ho c nh nh t )ị ớ ấ ặ ỏ ấI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d ụ 1 . Tìm s ph c z ố ứ th aỏ mãnThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 32www.thuvienhoclieu .com z x iyx, y .      2 2 2 292 2 2 210 x y 11 220yf x, y11 10izz11z 10ig x, y11 x y 10 220yz 1 2 2x y 1              2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2g x, y 11 x y 10 220 y 10 x y 21 x y 10 220y10 x y 11 220y f x, y .  9z 1 z 1z 1 2 2x y 1              2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2g x, y 11 x y 10 220 y 10 x y 21 x y 10 220y10 x y 11 220y f x, y .  9z 1 z 1z 1g x, y f x, yz 1z x yi, x,y  22z z22z zzx 0z x yi 0y 0   1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i   1 21 21 2x xz zy y z x yi, x,y  zx 0zy 0 ( ) M ( ) 2a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.Chuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Gi iảa) Đ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành :ở V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . b) Đ t ặPh ng trình ươ tr thành: ởV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượV y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầc) Đ t ặ Ph ng trình ươ tr thànhởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 332z z z  3z zzf ) z 2.z z x yi, x, y  2z z 0  2 2 2 22 2 2 2x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0        22 22 22 2 2x 0y 0 x 0y 0x 0y yy y 0x x 0x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1                                                       z 0, z i, z i   2 2 2z x - yiz x yi, x,yz x y 2xyi     2z z 0 2 2 2 22 22 22 2x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *x x y 0x x y 0y 0y 2x 1 02xy y 01x2                         y 0 2x 0x x 0x 1  1x23y23y21 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2     z x yi x,y R z x yi.     2z 2z2 22 2x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)(2) y x 1 0 y 0,x 1.          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , (1) v i ớ , (1) V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) Gi s ả ử . Khi đó:  TH1: ta đ c ượ TH2: V y có 3 s ph c th a mãn là: ậ ố ứ ỏe) Gi s ả ử V y ph ng trình cho có 5 nghi m ậ ươ ệCách 2: ho c ặKhi thì , do đó là m t nghi m c a ph ng trình ộ ệ ủ ươKhi nên ph ng trình ươ hayThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 34www.thuvienhoclieu .comy 0 2x 2x 0 x 0 x 2.      x 12y 3 y 3   z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3     z x yi x, y22 2 22 2 2 22 2 2 2z z z x yi x y x yix y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y                    1x22 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4       222 4 24 233y 0y5 2 54y421 3 19y y y16y 40y 5 04 2 16            2y 0 x x x x 0 x y 0.         1 5 2 5z 0;z i2 2  z x yi x,y z x yi     33 3 2 2 32 23 22 32 22 2222 2z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yix x 3y xx 3xy x3x y y yy 3x y yx 0x 0,y 0 z 0x 3y 1 0x 0,y 1 z iy 0x 1,y 0 z 13x y 1 0                                 z 0,z i,z 1   2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0           2z 0 2z 1 0 2z 0z 0z 03z zz 1 0 z 0   3 3z z z.z z.z  4z z.z 1 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình đã cho có 5 nghi m ậ ươ ệ .f) G i s ph c ọ ố ứ . Đi u ki n: ề ệTa có: Gi i h ta đ c: ả ệ ượ ho c ặ (lo i)ạTh l i ta th y ử ạ ấ th a mãn bài toán. V y s ph c c n tìm là ỏ ậ ố ứ ầ .Ví d 2.ụ Tìm s ph c z th a mãn ph ng trìnhố ứ ỏ ươa) ; b) ; Gi iảa) Đ t ặ . Ta có ph ng trìnhươ G i ọTa có  V i ớ  V i ớ V y ậb) Đ t ặKhi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 3522 22z 1 0 z 1z 1 z 1 0z iz 1 0         z 0,z i,z 1   za bi; a, b a 0z 0b 0 2 2zz 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz          2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b        a 1b 0 a 0b 0z 1z 13z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z zt z 2z 3 3 22t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2t 2t 1 3it 2t 4 0t 1 3i             z a bi a, b  t z 2z a bi 2 a bi a 3bi       a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0              t 1 3i a 3bi 1 3i      a 1a 13z 1 .i333b 3b3       3z 2;z 1 i3  z a bi a, b  2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Do đó N u ế thì (vô lý). Do đó . D n đ n ẫ ếV y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầc) Đ t ặ . Ta có: thay vào (*) , thay vào (*) .V y ậVí d ụ 3 . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ th a mãn:ỏa) ; b) . c) ; d) . Gi iảa) Ta có: V y s ph c z đã cho có ph n th c là 2, ph n o là ậ ố ứ ầ ự ầ ả . b) Đ t ặ .Lúc đó:V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là , ph n o là ầ ả .c) Đ t ặ , ta có:V y s ph c z c n tìm có ph n th c b ng 7 và ph n o b ng 17.ậ ố ứ ầ ầ ự ằ ầ ả ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 36www.thuvienhoclieu .com2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0          b 02a 2011 0 b 0 a 0  b 20112011.iz x yi 2 3 2 2 32 2 3xy 0z z x y 2xyi z 0x y z 0 *        x 022 33y 0y z 0 y 0 z 0z 0       y 0 z x  2 3x x 0 x 0, x 1     z 0, z 1 z21 i 2 i z 8 i 1 2i z     22 3i z 4 i z 1 3i    22 3i z 4 i z 1 3i    z 2z 3 2i   21 i 2 i z 8 i 1 2i z     2z 1 i 2 i 1 2i 8 i         z 2i 2 i 1 2i 8 i        8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5     3z x yi z x yi, x,y     2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5                          z25z a bi, (a, b )  2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i4a 2b 6 b 17                          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ph n th c c a s ph c c n tìm là ầ ự ủ ố ứ ầ , ph n o là 1.ầ ảd) Đ t ặ . T gi thi t ta có:ừ ả ếV y s ph c z có ph n th c b ng 1, ph n o b ng ậ ố ứ ầ ự ằ ầ ả ằ .Ví d 3.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c aầ ự ầ ả ủs ph c ố ứ .b) T ìm ph n th c và ph n oầ ự ầ ả c a s ph c ủ ố ứ , bi t r ng ế ằ .Gi iảa) Gi s ả ử . T gi thi t suy raừ ả ế .Do đó .b) G i ọ .Ta có Do đó .V y ph n th c là -4, ph n o là 3. ậ ầ ự ầ ảVí d 4ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s thu n oố ẩ ả . b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và z là s o.ố ảc) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o. ầ ự ủ ằ ầ ầ ảd) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ựe) Tìm s ph c z bi t ố ứ ế và là s thu n o.ố ầ ảGi iảa) Đ t ặ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 373z a bi, (a, b )  3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2ib 2 b 2               2z 1 2i z 2 1 2i   2w z 3z 25iz z4 3i z 26 6i2 i    z x yi (x,y )  2x 4 x 2z 2 ix y 1 y 1          22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i       z a bi, (a, b )  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i            22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3z 3 4i14a 18b 30 b 4                  25i 3 4i25i4 3iz 25   z 22zz 2z 51 3i zz 2 5i 1  iz 1 2 1 i z 1 2i  z x yi, x, y  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có: M t khác: ặ là s thu n o nên ố ầ ả Ta có h : ệ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s o nên ố ả . Thay vào (*) ta đ c ượ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ c) Đ t ặ . Ta có: M t khác: S ph c có ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o nên ặ ố ứ ầ ự ủ ằ ầ ầ ả thay vào ph ngươtrình (*) ta đ c: ượ V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) G iọTa cólà s th c ố ựta có (th a mãn)ỏV y có hai s ph c z th a mãn là ậ ố ứ ỏ e) Đ tặ và , khi đó ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 38www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2      22 2 2z x yi x y 2xyi     2 2x y 0  2 2 22 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1         1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.       z x yi, x,y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *      z x yi x 0x 02y 2y 4 .y 2 1 2z 2i, z 2i. z x yi, x,y  2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *      x 2y2 25y 25 y 5 y 5.    1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i   z a bi; a, b  1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i           1 3i zb 3a 0 b 3a    z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1              a 27a57 21z 2 6i;z i.5 5   z' 1z' iz 1 z *i    2z' 2 z'z'  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ S ph c này là s o, do đó ta có:ố ứ ố ả . Thay vào (*) ta có .Ví d 5ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và b) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và .c) Tìm s ph c z bi t: ố ứ ế và d) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i: ố ứ ỏ ồ ờ và e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .f) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .Gi iảa) G i z = a + bi ọ , Ta có: T gi thi t ta có: ừ ả ế và Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượV y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ ho c ặb) G i ọ , ta có: T (1) và (2) tìm đ c ừ ượ .V y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và .c) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 391 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i             1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'      21 i.2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'        z 1;z 1 2i   z 2 i 10  zz 2522z 2z.z z 8  z z 2 z 2z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14     z i1z 1z i1z 3i z 1 5 17 z z 5zz 0  z 1 2i 5  z.z 34a R, b R z 2 i a 2 b 1 i;     z 2 i 10  2 2a 2 b 1 10 1    z.z 252 2a b 25 2  a 3 a 5b 4 b 0     z 3 4i z 5z x yi 22 2z x yi; z z zz x y x,y      222 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1z z 2 2x 2 x 1 2           x 1; y 1 1 i1 i2z z 3i 2z z 3i 10   2 z z 3i z z 10    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặD n đ n: ẫ ếK t h p v i gi thi t ban đ u: ế ợ ớ ả ế ầNên k t h p l i ta đ c s ph c: ế ợ ạ ượ ố ứd) G i ọ . T bài toán suy ra:ừ.V y ậe) Đ t ặ , ta có: M t khác ặThay (2) vào (1) đ c ượ . K t h p v i (1) có ế ợ ớV y có hai s ph c th a mãn bài toán là ậ ố ứ ỏ và .f) G i ọTa có T (1) và (2) ta có h ừ ệV y ậ .Ví d 6.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ph ng trình ố ứ ỏ ươ . Tính mô-đun c aủz. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 40www.thuvienhoclieu .comz a bi, z a bi   5 3b2a 3b 5 a2    2 2z 2 a b 4   13 3 3z 1 3i; z i7 7   z x yi, x,y  x 1y,x 0y 32 22 22 22 2x y 1 x 10 yx yx y 18y 8x y 1 x y 3            z 1 i z a bi 22 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1          2 23417 z z 5z.z 0 a b a 25     24a 24 a 55   2b 9 b 3  5 3i5 3iz a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5           2 2a 1 b 2 5 1    2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2       2 22 22 2 a 3b 5a 2b 7a b 2a 4b 203aa b 34a b 34529b5          29 3z 3 5i, z i5 5   1 i z 2 i z 4 i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Tìm mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .c) Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a s ph c z.ủ ố ứ d) Tìm mô-đun c a s ph c z, bi t r ng ủ ố ứ ế ằe) Cho hai s ph c ố ứ th a các đi u ki n sau: ỏ ề ệ và Hãy tính Gi iảa) Ta có:G i ọb) Đ t ặ . Khi đó theo gi thi t ta có:ả ế c) Đ t ặV y ậ .d) G i ọ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 41z 3z 1 2i  2z 1 i z 11i   z4 3i z 26 6i2 i    1 2z ,z1 2z 3z 4 1 2z z 1. 1 23z z .1 i z 2 i z 4 i *    z a bi (a, b )  a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 ib 1z 5              z a bi, (a, b )  1a1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i44b 11 17z 116 4              z a bi, (a, b )  2 2 22 222 22z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 ia ba 2a b2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a ba b 1a b 1 a 32ab a b 112ab a b 11b 22b 2b 12 0                                    2 2z a b 13  z a bi a, b  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i                  22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậCách 1. Ta có:V y ậCách 2. Đ t ặ Ta cóLúc đó:Do đó: Ví d 7ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ .b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ d) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 42www.thuvienhoclieu .comz 3 4i z 5   21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 21 1 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16z 3 z z z z 9 z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2                           21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 23z z 3z z 3z z 3z z 3z z9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4              1 23z z 2. 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y    2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1       2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1                 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 23z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4             1 23z z 2. 2 2z i z z 0  z 1 1 izi1zz 1 iz 1 i z .1 i z   2z iz 1 1 i z1 i   2 iz z 2i2z2 i 1 2i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảa) Ta có: Gi i (1): Đ t ả ặ . Ph ng trình (1) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ (vô nghi m)ệV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V y ậ  Gi i (2): Đ t ả ặ . Ph ng trình (2) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượV y ta đ c ậ ượ V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượ V y ta đ c ậ ượ b) Đi u ki n: ề ệ .Gi s ả ử . Khi đó tr thành:ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 4322 22z i 0 1z i z z 0z z 0 2     z x yi, x, y  2 2 2 22 2x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x yx y 0x y2xy 1 02xy 1 0 *             x y22x 1 0 x y222x 1 0 x2    1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2   z a bi, a, b  2 2 2 22 22 2a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 * *a b a 0b 02ab b 01a2                  b 02a 0a a 0 a a 1 0a 1     3 4z 0, z 1 1a22 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2      5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2   z 0, z 1 22z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 iz 1 z 1z 1z i z z 1 i *               z x yi; x,y  *Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com N u ế thì , th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệN u ế thì , khi đó không th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .c) Đ t ặ v i ớ ). Ta có+) V i ớ tac có th a mãn (1). Suy ra ỏ +) V i ớ tac có không th a mãn (1), lo iỏ ạd) Đ t ặ v i ớ . Khi đó V y ậ ho c ặe) Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 44www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0x 0x 0x 0y 1y y y 1 0x y x y y 1 0y 1 2                                       x 0,y 1 2  z 1 2 i x 0,y 1 z iz 1z 1 2 i (z x yi 2 2x,y ; x y 0  2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y x y x y x y x y1 x y x y x y x y 1x y 0 1xy 0x y x y 1 2                                    x 0,22 y y 1 y 1,   z iy 0,22 x x 1 x 1,   z x yi x,y2z iz 1 1 i z1 i   2 22 22 22x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x yx 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 010 10                               z i3 1z i10 10 2 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ (1).+) G a s ỉ ử .Lúc đó: (1) V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .Ví d 8.ụ a) Tính môđun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ng.ầ ự ươb) Tìm s ph c z có ph n o b ng 164 và ố ứ ầ ả ằ th a :ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn hai đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ và là m t s thu n o.ộ ố ầ ảd) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ là s th c và ố ự .Gi iảa) Gi s ả ửTh ế vào ph ng trình th hai ta đ c:ươ ứ ượSuy ramôđun c a s ph c z là: ủ ố ứb) G i ọTheo gi thi t, ta có ả ếc) Gi s ả ử . Theo bài ra ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 452 4i 2 i z 4 3i z     z a bi a, b  2 4i 2 i a bi 4 3i a bi       2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                z i 1 3z 12i z *nz4iz nz 1 2i z 3 4i    z 2iz iz 1 . z 2i z i 2  z x yi x 0, x,y 33 3 2 2 33 2 2 22 3 2 3z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yix xy x x 3y 1dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y                            2 2x 3y 1 2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .              z 2 y  z 5z a 164i a  z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n          a 656a 656a 164i 656 a n i4 a n 164n 697          z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i       2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com S ph c ố ứ .w là m t s o ộ ố ảV y ậd) Gi s ả ửKhi đó:T (1) và (2) ta đ c ừ ượ ho c ặV y ậVí d ụ 9. a) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c z có mođunố ứnh nh t.ỏ ấb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ự đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấc) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c z có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấd) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấGi iảa) Đ t ặ . Khi đó Các đi m M bi u di n s ph c z th a mãn h th c đã cho n m trên đ ng tròn tâm I(2;-3)ể ể ễ ố ứ ỏ ệ ứ ằ ườvà bán kính Ta có: khi và ch khi M n m trên đ ng tròn và g n O nh t.ỉ ằ ườ ầ ấĐó là đi m ể (B n đ c t v hình).ạ ọ ự ẽThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 46www.thuvienhoclieu .com222x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iwx 1 y iz ix y 1          222x y 2 y 1 012x72y 3 0, x y 1 0 *23yy x 57              12 23z i7 7 z a bi, a, b  z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1                        22z 2 2 a b 1 2 2     a 1, b 0 1 12a , b5 5 1 21 12z 1, z i5 5  3z 2 3i2  z 1 z 2i zz 3i iz 3 10   z 2 i z 1 4i    z x yi, x, y  2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4       3R= .2Min z1MChuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: K ẻTheo đ nh lý talet ta có: ịV y ậb) Gi s ả ử . Khi đó:Đ ể là s th c thì ố ự hay . Suy ra t p h p cácậ ợđi m M bi u di n s ph c z th a mãn ể ể ễ ố ứ ỏ là s th c là đ ng th ng ố ự ườ ẳ cóph ng trình ươ .Đ ể nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ỏ ấ ả ế ủ lên .T đó tìm đ c ừ ượ nên .c) Áp d ng công th c: ụ ứTa có: . Gi i b t ph ng trình ta có ả ấ ươV y ậ đ t đ c khi ạ ượd) Gi s ả ử . Khi đó: và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 47 OI= 4 9 13.  1M H Ox.1 11313M H OM78 9 132M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132OH .2 1313      26 3 13 78 9 13z= i13 26 z x yi x,y  z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i            z 1 z 2i x 1 2 y xy 0   2x y 2 0  z 1 z 2i 2x y 2 0  zO 0; 04 2M ;5 5   4 2z i5 5 2z.z z ; z w z w   2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3              222 z 3i iz 32 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3                  24 z.z 9 4 z 36   z 4min z 4z 3i iz 3z 4, z 4z 4    z a bi, a, b  z 2 i a 2 b 1 i     z 1 4i a 1 b 4 i     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ th a mãn đ bài.ỏ ềII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Tìm s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảCách 1. Gi s ả ửTa có . V y ậ . V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 2. S ố s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ , suy ra .Thay vào ph ng trình đã cho ta có ươV y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 3. Số s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ . Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 48www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 22 2 2z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 bz a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2                       z 1 i z 2 z z 2 6i   2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 z x yi (x,y )  z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i           25x yi 2 6i x; y ; 65         2z 6i5 21 1z z z 1 z z i2 2    z a bi (a, b )  22 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a       2 2a b bi 1 ai   2 21a ba b 121b aa b2    1 1 1 1z i, z i2 2 2 2   2 2z 1 z 1 10i z 3     z a bi a, b  2 2z 1 z 1 10i z 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ ho c ặ . V y ch n đáp án Cậ ọCâu 4. Bi t ế là hai s ph c th a đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCó hai s ph c c n tìm ố ứ ầSuy ra: . V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 5. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 492 22 222a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 02a a 1 02ab 3b 10 01a; b 1; 2 a; b ; 52                              z 1 2i 1z 5i2 1 2z ,z22 z 1 z 1 1 i z    1 2z z3 11i10 10  3 11i10 10 3 11i10 103 11i10 1022 22 22 2 2 22 222 22 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a ba 03ab 3a 1a 010a 3a 0310ab 1 1103a 1 a b b 3a 1b10b 3a 1                                                1 2 3 1z i; z i10 10  1 23 11z z i10 10  1 iz 1 i z1 i z   1 ii 1 ii2 2z x yi, x,y , x y 0    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , ta có , th a mãn (1). Suy ra ỏ .V i ớ , ta có , không th a mãn (1).ỏV y ậ .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: ỏ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ , ta đ c: ượV y ậ . Suy ra . Câu 7. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: th a mãn ph ng trình ỏ ỏ ươ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐi u ki n ề ệ . G i ọ . Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 50www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 2 2 22 22 22 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y 0 1x y x y x yx y x yxy 0x y x y 11 x y x yx y x y 1 2                                   x 022 y y 1 y 1   z iy 0 22 x x 1 x 1   z i1 2z ,z2 2z 1 z 1 10i z 3     2 21 2z z .111i4 111 i 111 4i 44 i z a bi a, b  2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3        22a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 012ab 3b 10 0a2b 5            1z 1 2i, z 5i2    2 21 2 111z z i4  1 2z ,zz 104 3i1 i z  1 21 1z z 7 23i25 50 7 23i25 507 23i25 507 23i25 50 z 0z a bi a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ ho c ặ . Suy ra: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Tìm mô đun s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ửV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 9 . Tìm s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặTa có Ph ng trình ươ tr thành :ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 512 22 22z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10a 2a 2, b 45a 19a 18 09a9 13a , b5b 10 7a5 5b 10 7a                          z 2 4i 9 13z i5 5 1 21 1 7 23iz z 25 50  2 iz z 2i2z2 i 1 2i    122 2 22 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z 1     z a bi, a, b  1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                       z 1 i z 2   z z 1 i z z 2 3i 4 i.      1 1z i.2 2 1 1z i.2 2  1 1z i.2 2 1 1z i.2 2 z x yi z x yi, x,y     z z 2xz z 2yi  z z 1 i z z 2 3i 4 i      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y z c n tìm là: ậ ầ V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 10 . Tìm môđun s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặPh ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là ậ ầ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 11 . Tìm S s ph c th a đi u ki n:ố ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ ta có:K t lu n ế ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 11 . Bi t ế là s ph c th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 52www.thuvienhoclieu .com2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 422x 6y 2x 4y i 4 i2x 4y 1 1y2                    1 1z i.2 2 i z zz z4 6i.1 i 2 2i   z 101 z 10z 1z 11z x yi z x yi, x,y     i z zz z4 6i1 i 2 2i   22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10                             z 1 10i z 101.    i z zz z4 6i1 i 2 2i   1234z a bi, a, b  2 22 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7ia 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7                 z i, z 1 i  zz1 i z 5 7i.1 i   1wz1 1w i10 5 1 1w i10 5 1 1w i10 5  1 1w i10 5 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ G i ọ , khi đó (*) tr thành: ởV y ậ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 12 . Tìm s ph c z th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ởV y ậ V yậ ch n đáp án C.ọCâu 13. Bi t ế là các s ph c th a mãn đi u ki n ố ư ỏ ề ệ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ở V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V y ậ Suy ra: . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm s s ph c th a mãn đi u ki n ố ố ứ ỏ ề ệ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 53z a bi a, b  2 a bi a bi 2 12i    a 2 a 2a 3bi 2 12i3b 12 b 4           1 1z 2 4i w i10 5    z 2z 2 4i  w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3 1w 2i14 a) Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    23x 2xx yi 2 x yi 2 4i 3x - yi 2- 4i3y 4y 4          2z 4i.3 1 2z ,z2z 2z 0 1 2z z1 21z z2 1 2z z 2  1 2z z 2 2 1 2z z 2 Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    2 2 2 22 22 2x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1                   y 0 2x 0x 2x 0x 2  x 12y 3 y 3.   1 2z 3i, z 2 3i.  1 2z z 2 2z 2z 0 2310Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ Ph ng trình ươ T (2) ừ ho c ặ  V i ớ Suy ra ho c ặ ho c ặ  V i ớ Suy ra V y ph ng trình ậ ươ ho c ặ ho c ặ V y ch n đáp án B. ậ ọCách khác: Ta gi i ph ng trình h qu r i th l i.ả ươ ệ ả ồ ử ạPh ng trình ươ (1) ho c ặ V i ớ V i ớ ph ng trình (1) ươTh l i: Ta th các giá tr c a z v a tìm đ c vào ph ng trình (1).ử ạ ế ị ủ ừ ượ ươV i ớ ta có ph ng trình (1) đ c nghi m đúng.ươ ượ ệV i ớ ta có và V y ph ng trình ậ ươ đ c nghi m đúng.ượ ệK t lu n: Ph ng trình có 3 nghi m là: ế ậ ươ ệ Câu 14. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành:ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 54www.thuvienhoclieu .com2 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.      2 2 2 2 2z 2 z 0 x y 2xyi 2 x y       2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2  x 0 y 0.22 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1y 2y 2y       z 0z 2iz 2i. y 0, 12 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.      z 0.2z 2 z 0 z 0   z 2iz 2i. 2z 2 z 0 22 2z 2 z z 2 z z 2 z      z 0 z 2.z 0 z 0.  z 2,2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.        z 0, 2z 0 z 2i,22 2z 2i 4i 4   2 z 2 2i 2.2 4.   2z 2 z 0 1 2 3z 0,z 2i,z 2i.  1 2z ,z22z z 1 0  1 21 1z z ii1 i0z x yi, x, y  22z z 1 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ . Suy ra .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 15. Bi t ế là các s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thànhở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ .Suy ra . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 17. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c ố ứ có ph n o âmầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 552 2 2 2 222 2x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 011 1yy y2xy 02 22                           1 1z i,z i2 2 1 21 10z z  1 2 3 4z ,z ,z ,z2z ii.z 11 2 3 4z z z z  3232 3z x yi, x, y  22z ii z i iz iz 1    2 222 22 222x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x1yx 0x y y 021 1x 2y 1 0y y 0x 04 21yx 0 x 02y 0 y 13x2                                 3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2     1 2 3 4z z z z 3   z2z i z 0 z1z 1 i2 1 1z i2 2 1 1z i2 2 1z 1 i2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ Ph ng trình ươ T ừ o V i ớ Suy ra V y ậ o V i ớ o V i ớ o V i ớ o V i ớ V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 18. Bi t ế là s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ Tìm s ph c ố ứ có ph n th c d ngầ ự ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ o V i ớ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 56www.thuvienhoclieu .comz x yi, x,y R  2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y      2 22 2x y 0 12xy x y 2  1 y x. 2 22xy x, x22 x 0   y 0.z 0.y x :22 2 22 x 02x x 212 2x 2x 2x x 2 x22x x 21x2       x 0 y 0  1 1x y2 2  1 1x y .2 2  z2iz z 1 0.   z22 5 2 5z i.4 4    22 3 2 3z i.2 2    22 10 2 10z i.4 4    22 5 2 5z i.2 2    z x yi, x,y R  2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0         2 2 2 22 22 22 2( 2xy x y 1) x y i 0x y1x y 0x y2xy x y 1 02xy x y 1 0 2                    2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra o V i ớ (vô nghi m)ệV y s ph c z c n tìm là:ậ ố ứ ầ và V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 19. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có : Nh v y ph ng trình đã cho tr thành :ư ậ ươ ở V y ph ng trình có 1 nghi m ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 20. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Suy ra:V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 21 *. S ố s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 5722 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4        2 10y x .4 2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0        22 x x 2 1 0   12 10 2 10z i4 4    22 10 2 10z i.4 4    2z z z z 1 1 i 2     z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i. z x yi, x, y  2z z 2x 2yi x yi x 3yi      z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i           x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i3y 2x 1 y 1             z 1 i. 21 2i z z 4i 20   z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i. z a bi, (a, b ) z a bi     21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3                    z 2z.z 1 z 2 6iz  120z 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Xét là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươXét . Đ t ặ , t gi thi t ta có:ừ ả ếL y (1) tr (2) v theo v ta có ấ ừ ế ếTh (3) vào(1), ta đ c: ế ượ (do )V y ta có hai s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 22. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ử v i ớ và a, b không đ ng th i b ng 0.ồ ờ ằKhi đó Khi đó ph ng trình ươ. L y (1) chia (2) theo v ta có ấ ế , th vào (1) ta cóếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 58www.thuvienhoclieu .comz 0z 02 2z a bi; a, b ,a b 0    2 22 2 3 2 2 3z 3 z 1 2 z 6 z z.i z.z 3 z 1 2 z .z 6z z z.iz 3 z 1 2 z a bi 6 z .i z . 3 z 1 2a z 6 z 2b z i                   2 222 2 223 2z . 3 z 1 4az . 3 z 1 2a z z . 3 z 1 2a3 z b 06 z 2b z 0 3 z b 0a 0, b 0                    2222 2b b 1 12ab b 1 12a 13 z b 3a 3b b 2a 0, b 0 a 0, b 0             2 2 2 2 49a 4b a b 39  2 216 3 2b b b b a ,3 13 13     a 0, b 0 2 3z i.13 13  2 3z 0,z i.13 13  25z 8 6iz  w iz 3 3 4i5i4iz 1 4i z a bi a; b2 21 1 a biz a bi;z a bia b   2 225 a bi25z 8 6i a bi 8 6iza b       2 2 2 22 2 2 2a a b 25 8 a b 1b a b 25 6 a b 2      3b a4a 0 a 4  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ (lo i)ạV i ớ . Ta có s ph c ố ứ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 23. Tìm s ph c z bi t ố ứ ế . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo đ cho ta suy ra:ềS ph c c n tìm là ố ứ ầ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 24. Tính mô- đun c a s ph c ủ ố ứ bi t ế (i là đ n v o).ơ ị ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảa) Đ t ặ , ta có . V y mô-đun c a s ph c ậ ủ ố ứ b ng ằ .Câu 25. Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Ta có:V y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 26. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 59a 0 b 0  a 4 b 3  z 4 3i z 2 3i z 1 9i   3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi a, b z a bi     a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i3a 3b 9 b 1                      z 2 i z iz i z i 2iz  3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi, (a, b )  z i z i 2iz  2 22 222 2 2z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2aia b 1 2ba b 2b 1 2 a b 1 22a 2a                     22z i a b 1 i a b 1 2        z i21 2i z 2 2i z i   12531513z a bi, (a, b )  1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0a3b 1b 1            2 216 5z a b 19 3    2 z 1 3z i 5 i   22 2 24Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c Đ t ặ . Khi đó:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 27. S ố s ph c ố ứ z th a ỏ và là s th cố ự là: A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t ta có:ả ếV y ậ .V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 28. Tìm ngh ch đ o c a ị ả ủ s ph c zố ứ , bi t ế th a mãn ỏ và là sốthu n o.ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì V i ớ ho c ặ , ta có:Vì là s thu n o nên ố ầ ảK t h p ế ợ ta có . V y s ph c đó là ậ ố ứ .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 29. Tìm mo đun s ph cố ứ z th a mãn ỏ và là s th c.ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 60www.thuvienhoclieu .comz a bi, (a, b )  2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1z 2b 1                 z 23z62543 3 2 2 3z a bi, (a, b ) z a 3ab 3a b b i       2 222 22 22 32 22 2b 0b 0a b 4a 4a 2a b 2b 0a 1b 3a3a b b 0b 3ab 3a 3a 4             z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3          zz 2i z 2 4i   z iz i1 5i4 12 3 5i17 17 3 5i17 17 3 5i2 2 z a bi, (a, b )  z 2i z 2 4i a b 4 1      a 0b 12222 22 2 a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz ia b 1 a b 1                  z iz i22a b 1a b 1 0a 1 b     13 5a , b2 2 3 5z i2 2 z 22z1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Suy ra .T gi thi t ừ ả ế là s th c nên ta có ố ự .Khi đó V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và . T đây suy ra ừ .V y ch n đáp án ậ ọCâu 30. Tính mô-đun c a s ph c z, bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ngầ ự ươ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ửDo . Th vào (2) ta đ c:ế ượGi i ph ng trình (3) ta đ c ả ươ ượ . Do nên .V y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 31. Tìm z th a mãn đi u ki n : ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 61212 2 2z a bi a, b  2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2        2z1 ib 12z 2 a i 2 a 1 2 a 3.        z 3 i z 3 i z 23z 12i z 2z 7z 3z 533z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi         3 23 2 2 32 3x 3xy x 1x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2          2 2x 0 1 x 3y 1    2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3       2y 1 x 4  x 0x 2z 2 i z 5    4z i1z i   z 0,z 1,z i.  z 0,z 1 z i,z i  z i,z 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 32. Tìm s s ph c z th a mãn:ố ố ứ ỏ .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d nướ ẫ gi iảNh n xét:ậ N u làm b ng cách g i ế ằ ọ , thay vào và tính toán v trái, r i đ ng nh t ph n ế ồ ồ ấ ầth c và ph n o c a 2 v s r t dài và d n t i h đ ng c p b c 4 r t c ng k nh. Áp d ng ự ầ ả ủ ế ẽ ấ ẫ ớ ệ ẳ ấ ậ ấ ồ ề ụcách tính căn b c hai b ng máy tính c m tay , ta có cách gi i ng n g n:ậ ằ ầ ả ắ ọĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởL n l t tay ầ ượ v a tìm đ c vào công th c (*), ta tìm đ c:ừ ượ ứ ượ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 33. Bi t ế là các s ph c ố ứ th a mãn ỏ và là s thu n o.ố ầ ả Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22H ng d n gi iướ ẫ ả Đ t ặDo đó Nh th ư ếĐ ể là s thu n o thì ố ầ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 62www.thuvienhoclieu .com22z i1 (1)z iptz i1 (2)z iz 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1                             z 0,z 1,z i.  4iz 27 24iz 3    z a bi '''iz 2 2 3zz z *z 3z i   'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2       1 2 3z ,z ,zz 3i 1 iz  9zz2 2 21 2 3z z z z x yi, x, y  2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x              2 2y 3 1 y y 2     z x 2i 2 2 29 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2ix 4 x 4 x 4                     9zz22 x 0 x 09xx 0x 5x 5x 4      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có ba s ph c th a mãn yêu c u đ toán là ậ ố ứ ỏ ầ ề và V y ch n đáp án D.ậ ọCâu 34. Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và là s thu n o.ố ầ ảA. , B. ,B. , D. , , , H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọV i ớ ho c ặV i ớ ho c ặV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35. Tìm s ph c z ố ứ có ph n o âm, ầ ả bi t ế và s ph c ố ứ có ph n oầ ảb ng 1.ằ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặTa có Vì ; có ph n o b ng 1 nên ầ ả ằThay (2) vào (1) ta đ c: ượV i ớV i ớV y có hai s ph c là ậ ố ứ và .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 36. Có bao nhiêu s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s th c.ố ựA. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 63z 2i, z 5 2i   z 5 2i z 52z iz 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i 2 2 22 22 2a b 5 b b 2 0z a bia b 1 0 a b 1                b 1 a 2 z 2 i     z 2 i b 2 a 1 z 1 2i     z 1 2i z 1 1 1 i z 1 z iz 2 i z 1 i z 3 i z x yi x,y z x yi     22z 1 1 x 1 y 1 1     1 i z 1 x y 1 x y 1 i       1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2      22 2y 0y 1 y 1 2y 2y 0y 1      y 0 x 2 z 2    y 1 x 1 z 1 i     z 2z 1 i z 5z 7iz 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com G i ọCó w là s th c ố ựT (2) có ừ , thay vào (1) đ c ph ng trình:ượ ươThay vào (*) tìm đ c y t ng ng t đó tìm đ c các s ph c: ượ ươ ứ ừ ượ ố ứ ; ;.Câu 37. Tìm môđun s ph c z bi t ố ứ ế là m t s thu n o và ộ ố ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Khi đó:u là s thu n o khi và ch khi:ố ầ ả ỉTa có:T (1) và (2) ta có: ừ . V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 39. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ , tìm s ph c z có môđun nh ố ứ ỏnh t.ấThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 64www.thuvienhoclieu .com2 2z x yi z 5 x y 25 1       2 22 2x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1x 1 y x 1 y          xy x 1 y 7 0 2    7 x 1y *2x 1 4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 02x 3; x 4; x2            z 3 4i z 4 3i 2 7 2z i2 2 z 2 3iuz i z 1 3i z 1 i    365z5265z5215z5235z5z x yi, x,y  222 222 x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iux y 1 ix y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 ix y 1                       2 22 222x y 2x 2y 3 0x 1 y 1 51x y 1 0x; y 0;1            2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2               3 16 265x; y ; z5 5 5       z 1 2i 2  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ ; G i ọ là đi m bi u di n s ph c .ể ể ễ ố ứTa có : Đ ng tròn ườ có tâm I(1;2) . Đ ng th ng ườ ẳ OI có ph ng trình ươS ph c ố ứ z th a mãn đi u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi đi m bi u di n sỏ ề ệ ỏ ấ ỉ ể ể ễ ốph c đó thu c đ ng tròn (ứ ộ ườ C ) và g n g c t a đ ầ ố ọ ộ O nh t, đi m đó ch là m t trong hai giaoấ ể ỉ ộđi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ OI v i (ớ C ), khi đó t a đ c a nó th a mãn h ọ ộ ủ ỏ ệ ho c ặ Ch n ọ nên s ph c ố ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 40. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c aị ỏ ấ ị ớ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . T gi thi t:ừ ả ếT p h p đi m bi u di n c a z là đ ng tròn tâm ậ ợ ể ể ễ ủ ườ bán kính . G i M là đi m bi u di n c a z, ta có:ọ ể ể ễ ủThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 652 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            z x yi, x,y  M x;yz 1 2i 2  2 2x 1 y 2 4    2 2x 1 2C   :y 4   y 2x2 2y 2xx 1 y 2 4   2x 15 2x 15 2x 15 4y 25  2 4z 1 2 i5 5            z 2 i2z 1 i   zmin maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   z x yi z 2 i2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i          2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10              I 0; 3R 10I M I O OM IM IO 10 3 OM 10 3        min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 41. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là m t s th c. Tìm giá tr nh nh t c aộ ố ự ị ỏ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảGi s ả ử .T gi thi t: ừ ả ếTa có T p h p bi u di n c a z là đ ng th ng ậ ợ ể ễ ủ ườ ẳ . G i M là đi m bi u di n c a z.ọ ể ể ễ ủTìm đ c ượ . Suy ra: . V y ch n đáp án B.ậ ọ CH Đ Ủ Ề 5 . TÌM S PH C TH A MÃN ĐI U KI NỐ Ứ Ỏ Ề ỆPh ng phápươ Tìm s ph c ố ứ th t ra là tìm ph n th c x và ph n o y c a nó.ậ ầ ự ầ ả ủ Chú ý r ng: ằ , khi là s th cố ự ,  . Khi đó:  . Khi đó là s o (thu n o) khi ố ả ầ ả , là s th c khi ố ự . Trong tr ng h p tườ ợ ìm s ph c có môđun l n nh t, nh nh tố ứ ớ ấ ỏ ấ ta làm nh sau:ư B c 1:ướ Tìm t p h p đi m ậ ợ ể các đi m bi u di n c a ể ể ễ ủ z th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệB c 2: ướ Tìm s ph c ố ứ z t ng ng v i đi m bi u di n ươ ứ ớ ể ể ễ sao cho kho ng ảcách OM có giá tr l n nh t ( ho c nh nh t )ị ớ ấ ặ ỏ ấI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d ụ 1 . Tìm s ph c z ố ứ th aỏ mãnThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 66www.thuvienhoclieu .comz 3 i z 1 3i   zminz 2minz 2 2minz 2min2z2z x yi w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i           2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i       w x y 4 0    d : x y 4 0  minminz OM OM d  M 2;2 z 2 2i   minz 2 2z x yi, x,y  22z z22z zzx 0z x yi 0y 0   1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i   1 21 21 2x xz zy y z x yi, x,y  zx 0zy 0 ( ) M ( ) Chuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Gi iảa) Đ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành :ở V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . b) Đ t ặPh ng trình ươ tr thành: ởV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượV y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầc) Đ t ặ Ph ng trình ươ tr thànhởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 672a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.2z z z  3z zzf ) z 2.z z x yi, x, y  2z z 0  2 2 2 22 2 2 2x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0        22 22 22 2 2x 0y 0 x 0y 0x 0y yy y 0x x 0x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1                                                       z 0, z i, z i   2 2 2z x - yiz x yi, x,yz x y 2xyi     2z z 0 2 2 2 22 22 22 2x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *x x y 0x x y 0y 0y 2x 1 02xy y 01x2                         y 0 2x 0x x 0x 1  1x23y23y21 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2     z x yi x,y R z x yi.     2z 2zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , (1) v i ớ , (1) V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) Gi s ả ử . Khi đó:  TH1: ta đ c ượ TH2: V y có 3 s ph c th a mãn là: ậ ố ứ ỏe) Gi s ả ử V y ph ng trình cho có 5 nghi m ậ ươ ệCách 2: ho c ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 68www.thuvienhoclieu .com2 22 2x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)(2) y x 1 0 y 0,x 1.          y 0 2x 2x 0 x 0 x 2.      x 12y 3 y 3   z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3     z x yi x, y22 2 22 2 2 22 2 2 2z z z x yi x y x yix y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y                    1x22 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4       222 4 24 233y 0y5 2 54y421 3 19y y y16y 40y 5 04 2 16            2y 0 x x x x 0 x y 0.         1 5 2 5z 0;z i2 2  z x yi x,y z x yi     33 3 2 2 32 23 22 32 22 2222 2z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yix x 3y xx 3xy x3x y y yy 3x y yx 0x 0,y 0 z 0x 3y 1 0x 0,y 1 z iy 0x 1,y 0 z 13x y 1 0                                 z 0,z i,z 1   2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0           2z 0 2z 1 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Khi thì , do đó là m t nghi m c a ph ng trình ộ ệ ủ ươKhi nên ph ng trình ươ hayV y ph ng trình đã cho có 5 nghi m ậ ươ ệ .f) G i s ph c ọ ố ứ . Đi u ki n: ề ệTa có: Gi i h ta đ c: ả ệ ượ ho c ặ (lo i)ạTh l i ta th y ử ạ ấ th a mãn bài toán. V y s ph c c n tìm là ỏ ậ ố ứ ầ .Ví d 2.ụ Tìm s ph c z th a mãn ph ng trìnhố ứ ỏ ươa) ; b) ; Gi iảa) Đ t ặ . Ta có ph ng trìnhươ G i ọTa có  V i ớ  V i ớ V y ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 692z 0z 0z 03z zz 1 0 z 0   3 3z z z.z z.z  4z z.z 1 22 22z 1 0 z 1z 1 z 1 0z iz 1 0         z 0,z i,z 1   za bi; a, b a 0z 0b 0 2 2zz 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz          2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b        a 1b 0 a 0b 0z 1z 13z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z zt z 2z 3 3 22t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2t 2t 1 3it 2t 4 0t 1 3i             z a bi a, b  t z 2z a bi 2 a bi a 3bi       a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0              t 1 3i a 3bi 1 3i      a 1a 13z 1 .i333b 3b3       3z 2;z 1 i3  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) Đ t ặKhi đó:Do đó N u ế thì (vô lý). Do đó . D n đ n ẫ ếV y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầc) Đ t ặ . Ta có: thay vào (*) , thay vào (*) .V y ậVí d ụ 3 . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ th a mãn:ỏa) ; b) . c) ; d) . Gi iảa) Ta có: V y s ph c z đã cho có ph n th c là 2, ph n o là ậ ố ứ ầ ự ầ ả . b) Đ t ặ .Lúc đó:V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là , ph n o là ầ ả .c) Đ t ặ , ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 70www.thuvienhoclieu .comz a bi a, b  2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi            2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0          b 02a 2011 0 b 0 a 0  b 20112011.iz x yi 2 3 2 2 32 2 3xy 0z z x y 2xyi z 0x y z 0 *        x 022 33y 0y z 0 y 0 z 0z 0       y 0 z x  2 3x x 0 x 0, x 1     z 0, z 1 z21 i 2 i z 8 i 1 2i z     22 3i z 4 i z 1 3i    22 3i z 4 i z 1 3i    z 2z 3 2i   21 i 2 i z 8 i 1 2i z     2z 1 i 2 i 1 2i 8 i         z 2i 2 i 1 2i 8 i        8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5     3z x yi z x yi, x,y     2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5                          z25z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm có ph n th c b ng 7 và ph n o b ng 17.ậ ố ứ ầ ầ ự ằ ầ ả ằPh n th c c a s ph c c n tìm là ầ ự ủ ố ứ ầ , ph n o là 1.ầ ảd) Đ t ặ . T gi thi t ta có:ừ ả ếV y s ph c z có ph n th c b ng 1, ph n o b ng ậ ố ứ ầ ự ằ ầ ả ằ .Ví d 3.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c aầ ự ầ ả ủs ph c ố ứ .b) T ìm ph n th c và ph n oầ ự ầ ả c a s ph c ủ ố ứ , bi t r ng ế ằ .Gi iảa) Gi s ả ử . T gi thi t suy raừ ả ế .Do đó .b) G i ọ .Ta có Do đó .V y ph n th c là -4, ph n o là 3. ậ ầ ự ầ ảVí d 4ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s thu n oố ẩ ả . b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và z là s o.ố ảc) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o. ầ ự ủ ằ ầ ầ ảd) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 712 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i4a 2b 6 b 17                          3z a bi, (a, b )  3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2ib 2 b 2               2z 1 2i z 2 1 2i   2w z 3z 25iz z4 3i z 26 6i2 i    z x yi (x,y )  2x 4 x 2z 2 ix y 1 y 1          22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i       z a bi, (a, b )  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i            22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3z 3 4i14a 18b 30 b 4                  25i 3 4i25i4 3iz 25   z 22zz 2z 51 3i zz 2 5i 1  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com e) Tìm s ph c z bi t ố ứ ế và là s thu n o.ố ầ ảGi iảa) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s thu n o nên ố ầ ả Ta có h : ệ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s o nên ố ả . Thay vào (*) ta đ c ượ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ c) Đ t ặ . Ta có: M t khác: S ph c có ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o nên ặ ố ứ ầ ự ủ ằ ầ ầ ả thay vào ph ngươtrình (*) ta đ c: ượ V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) G iọTa cólà s th c ố ựta có (th a mãn)ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 72www.thuvienhoclieu .comiz 1 2 1 i z 1 2i  z x yi, x, y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2      22 2 2z x yi x y 2xyi     2 2x y 0  2 2 22 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1         1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.       z x yi, x,y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *      z x yi x 0x 02y 2y 4 .y 2 1 2z 2i, z 2i. z x yi, x,y  2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *      x 2y2 25y 25 y 5 y 5.    1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i   z a bi; a, b  1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i           1 3i zb 3a 0 b 3a    z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1              a 27a5Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có hai s ph c z th a mãn là ậ ố ứ ỏ e) Đ tặ và , khi đó ta có:S ph c này là s o, do đó ta có:ố ứ ố ả . Thay vào (*) ta có .Ví d 5ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và b) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và .c) Tìm s ph c z bi t: ố ứ ế và d) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i: ố ứ ỏ ồ ờ và e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .f) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .Gi iảa) G i z = a + bi ọ , Ta có: T gi thi t ta có: ừ ả ế và Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượV y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ ho c ặb) G i ọ , ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 737 21z 2 6i;z i.5 5   z' 1z' iz 1 z *i    2z' 2 z'z'  1 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i             1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'      21 i.2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'        z 1;z 1 2i   z 2 i 10  zz 2522z 2z.z z 8  z z 2 z 2z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14     z i1z 1z i1z 3i z 1 5 17 z z 5zz 0  z 1 2i 5  z.z 34a R, b R z 2 i a 2 b 1 i;     z 2 i 10  2 2a 2 b 1 10 1    z.z 252 2a b 25 2  a 3 a 5b 4 b 0     z 3 4i z 5z x yi 22 2z x yi; z z zz x y x,y      222 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1z z 2 2x 2 x 1 2           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (1) và (2) tìm đ c ừ ượ .V y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và .c) Ta có: Đ t ặD n đ n: ẫ ếK t h p v i gi thi t ban đ u: ế ợ ớ ả ế ầNên k t h p l i ta đ c s ph c: ế ợ ạ ượ ố ứd) G i ọ . T bài toán suy ra:ừ.V y ậe) Đ t ặ , ta có: M t khác ặThay (2) vào (1) đ c ượ . K t h p v i (1) có ế ợ ớV y có hai s ph c th a mãn bài toán là ậ ố ứ ỏ và .f) G i ọTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 74www.thuvienhoclieu .comx 1; y 1 1 i1 i2z z 3i 2z z 3i 10   2 z z 3i z z 10    z a bi, z a bi   5 3b2a 3b 5 a2    2 2z 2 a b 4   13 3 3z 1 3i; z i7 7   z x yi, x,y  x 1y,x 0y 32 22 22 22 2x y 1 x 10 yx yx y 18y 8x y 1 x y 3            z 1 i z a bi 22 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1          2 23417 z z 5z.z 0 a b a 25     24a 24 a 55   2b 9 b 3  5 3i5 3iz a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5           2 2a 1 b 2 5 1    2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta có h ừ ệV y ậ .Ví d 6.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ph ng trình ố ứ ỏ ươ . Tính mô-đun c aủz. b) Tìm mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .c) Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a s ph c z.ủ ố ứ d) Tìm mô-đun c a s ph c z, bi t r ng ủ ố ứ ế ằe) Cho hai s ph c ố ứ th a các đi u ki n sau: ỏ ề ệ và Hãy tính Gi iảa) Ta có:G i ọb) Đ t ặ . Khi đó theo gi thi t ta có:ả ế c) Đ t ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 752 22 22 2 a 3b 5a 2b 7a b 2a 4b 203aa b 34a b 34529b5          29 3z 3 5i, z i5 5   1 i z 2 i z 4 i    z 3z 1 2i  2z 1 i z 11i   z4 3i z 26 6i2 i    1 2z ,z1 2z 3z 4 1 2z z 1. 1 23z z .1 i z 2 i z 4 i *    z a bi (a, b )  a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 ib 1z 5              z a bi, (a, b )  1a1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i44b 11 17z 116 4              z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ .d) G i ọ . Ta có:V y ậCách 1. Ta có:V y ậCách 2. Đ t ặ Ta cóLúc đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 76www.thuvienhoclieu .com2 2 22 222 22z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 ia ba 2a b2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a ba b 1a b 1 a 32ab a b 112ab a b 11b 22b 2b 12 0                                      2 2z a b 13  z a bi a, b  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i                  22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4         z 3 4i z 5   21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 21 1 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16z 3 z z z z 9 z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2                           21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 23z z 3z z 3z z 3z z 3z z9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4              1 23z z 2. 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y    2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1       2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Do đó: Ví d 7ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ .b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ d) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Gi iảa) Ta có: Gi i (1): Đ t ả ặ . Ph ng trình (1) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ (vô nghi m)ệV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V y ậ  Gi i (2): Đ t ả ặ . Ph ng trình (2) tr thành:ươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 772 2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 23z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4             1 23z z 2. 2 2z i z z 0  z 1 1 izi1zz 1 iz 1 i z .1 i z   2z iz 1 1 i z1 i   2 iz z 2i2z2 i 1 2i    22 22z i 0 1z i z z 0z z 0 2     z x yi, x, y  2 2 2 22 2x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x yx y 0x y2xy 1 02xy 1 0 *             x y22x 1 0 x y222x 1 0 x2    1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2   z a bi, a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượV y ta đ c ậ ượ V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượ V y ta đ c ậ ượ b) Đi u ki n: ề ệ .Gi s ả ử . Khi đó tr thành:ở N u ế thì , th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệN u ế thì , khi đó không th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .c) Đ t ặ v i ớ ). Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 78www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 22 2a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 * *a b a 0b 02ab b 01a2                  b 02a 0a a 0 a a 1 0a 1     3 4z 0, z 1 1a22 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2      5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2   z 0, z 1 22z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 iz 1 z 1z 1z i z z 1 i *               z x yi; x,y  *2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0x 0x 0x 0y 1y y y 1 0x y x y y 1 0y 1 2                                       x 0,y 1 2  z 1 2 i x 0,y 1 z iz 1z 1 2 i (z x yi 2 2x,y ; x y 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ +) V i ớ tac có th a mãn (1). Suy ra ỏ +) V i ớ tac có không th a mãn (1), lo iỏ ạd) Đ t ặ v i ớ . Khi đó V y ậ ho c ặe) Ta có (1).+) G a s ỉ ử .Lúc đó: (1) V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .Ví d 8.ụ a) Tính môđun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ng.ầ ự ươb) Tìm s ph c z có ph n o b ng 164 và ố ứ ầ ả ằ th a :ỏ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 792 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y x y x y x y x y1 x y x y x y x y 1x y 0 1xy 0x y x y 1 2                                    x 0,22 y y 1 y 1,   z iy 0,22 x x 1 x 1,   z x yi x,y2z iz 1 1 i z1 i   2 22 22 22x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x yx 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 010 10                               z i3 1z i10 10 2 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z     z a bi a, b  2 4i 2 i a bi 4 3i a bi       2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                z i 1 3z 12i z *nz4iz nChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c) Tìm s ph c z th a mãn hai đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ và là m t s thu n o.ộ ố ầ ảd) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ là s th c và ố ự .Gi iảa) Gi s ả ửTh ế vào ph ng trình th hai ta đ c:ươ ứ ượSuy ramôđun c a s ph c z là: ủ ố ứb) G i ọTheo gi thi t, ta có ả ếc) Gi s ả ử . Theo bài ra ta có: S ph c ố ứ .w là m t s o ộ ố ảV y ậd) Gi s ả ửKhi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 80www.thuvienhoclieu .comz 1 2i z 3 4i    z 2iz iz 1 . z 2i  z i 2  z x yi x 0, x,y 33 3 2 2 33 2 2 22 3 2 3z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yix xy x x 3y 1dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y                            2 2x 3y 1 2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .              z 2 y  z 5z a 164i a  z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n          a 656a 656a 164i 656 a n i4 a n 164n 697          z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i       2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5          222x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iwx 1 y iz ix y 1          222x y 2 y 1 012x72y 3 0, x y 1 0 *23yy x 57              12 23z i7 7 z a bi, a, b  z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta đ c ừ ượ ho c ặV y ậVí d ụ 9. a) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c z có mođunố ứnh nh t.ỏ ấb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ự đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấc) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c z có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấd) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấGi iảa) Đ t ặ . Khi đó Các đi m M bi u di n s ph c z th a mãn h th c đã cho n m trên đ ng tròn tâm I(2;-3)ể ể ễ ố ứ ỏ ệ ứ ằ ườvà bán kính Ta có: khi và ch khi M n m trên đ ng tròn và g n O nh t.ỉ ằ ườ ầ ấĐó là đi m ể (B n đ c t v hình).ạ ọ ự ẽTa có: K ẻTheo đ nh lý talet ta có: ịV y ậb) Gi s ả ử . Khi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8122z 2 2 a b 1 2 2     a 1, b 0 1 12a , b5 5 1 21 12z 1, z i5 5  3z 2 3i2  z 1 z 2i zz 3i iz 3 10   z 2 i z 1 4i    z x yi, x, y  2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4       3R= .2Min z1M OI= 4 9 13.  1M H Ox.1 11313M H OM78 9 132M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132OH .2 1313      26 3 13 78 9 13z= i13 26 z x yi x,y  z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ ể là s th c thì ố ự hay . Suy ra t p h p cácậ ợđi m M bi u di n s ph c z th a mãn ể ể ễ ố ứ ỏ là s th c là đ ng th ng ố ự ườ ẳ cóph ng trình ươ .Đ ể nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ỏ ấ ả ế ủ lên .T đó tìm đ c ừ ượ nên .c) Áp d ng công th c: ụ ứTa có: . Gi i b t ph ng trình ta có ả ấ ươV y ậ đ t đ c khi ạ ượd) Gi s ả ử . Khi đó: và V y ậ th a mãn đ bài.ỏ ềII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Tìm s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảCách 1. Gi s ả ửTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 82www.thuvienhoclieu .comz 1 z 2i x 1 2 y xy 0   2x y 2 0  z 1 z 2i 2x y 2 0  zO 0; 04 2M ;5 5   4 2z i5 5 2z.z z ; z w z w   2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3              222 z 3i iz 32 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3                  24 z.z 9 4 z 36   z 4min z 4z 3i iz 3z 4, z 4z 4    z a bi, a, b  z 2 i a 2 b 1 i     z 1 4i a 1 b 4 i     2 2 2 22 22 2 2z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 bz a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2                       z 1 i z 2 z z 2 6i   2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 z x yi (x,y )  z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ . V y ậ . V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 2. S ố s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ , suy ra .Thay vào ph ng trình đã cho ta có ươV y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 3. Số s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ . Ta có V y ậ ho c ặ . V y ch n đáp án Cậ ọCâu 4. Bi t ế là hai s ph c th a đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8325x yi 2 6i x; y ; 65         2z 6i5 21 1z z z 1 z z i2 2    z a bi (a, b )  22 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a       2 2a b bi 1 ai   2 21a ba b 121b aa b2    1 1 1 1z i, z i2 2 2 2   2 2z 1 z 1 10i z 3     z a bi a, b  2 2z 1 z 1 10i z 3     2 22 222a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 02a a 1 02ab 3b 10 01a; b 1; 2 a; b ; 52                              z 1 2i 1z 5i2 1 2z ,z22 z 1 z 1 1 i z    1 2z z3 11i10 10  3 11i10 10 3 11i10 103 11i10 10Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Có hai s ph c c n tìm ố ứ ầSuy ra: . V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 5. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có:V i ớ , ta có , th a mãn (1). Suy ra ỏ .V i ớ , ta có , không th a mãn (1).ỏV y ậ .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: ỏ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ , ta đ c: ượThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 84www.thuvienhoclieu .com22 22 22 2 2 22 222 22 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a ba 03ab 3a 1a 010a 3a 0310ab 1 1103a 1 a b b 3a 1b10b 3a 1                                                1 2 3 1z i; z i10 10  1 23 11z z i10 10  1 iz 1 i z1 i z   1 ii 1 ii2 2z x yi, x,y , x y 0    2 2 2 22 2 2 22 22 22 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y 0 1x y x y x yx y x yxy 0x y x y 11 x y x yx y x y 1 2                                   x 022 y y 1 y 1   z iy 0 22 x x 1 x 1   z i1 2z ,z2 2z 1 z 1 10i z 3     2 21 2z z .111i4 111 i 111 4i 44 i z a bi a, b  2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ . Suy ra . Câu 7. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: th a mãn ph ng trình ỏ ỏ ươ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐi u ki n ề ệ . G i ọ . Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớV y ậ ho c ặ . Suy ra: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Tìm mô đun s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ửThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8522a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 012ab 3b 10 0a2b 5            1z 1 2i, z 5i2    2 21 2 111z z i4  1 2z ,zz 104 3i1 i z  1 21 1z z 7 23i25 50 7 23i25 507 23i25 507 23i25 50 z 0z a bi a, b  2 22 22z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10a 2a 2, b 45a 19a 18 09a9 13a , b5b 10 7a5 5b 10 7a                          z 2 4i 9 13z i5 5 1 21 1 7 23iz z 25 50  2 iz z 2i2z2 i 1 2i    122 2 22 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z 1     z a bi, a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 9 . Tìm s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặTa có Ph ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là: ậ ầ V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 10 . Tìm môđun s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặPh ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là ậ ầ V y ch n đáp án A.ậ ọ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 86www.thuvienhoclieu .com1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                       z 1 i z 2   z z 1 i z z 2 3i 4 i.      1 1z i.2 2 1 1z i.2 2  1 1z i.2 2 1 1z i.2 2 z x yi z x yi, x,y     z z 2xz z 2yi  z z 1 i z z 2 3i 4 i      2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 422x 6y 2x 4y i 4 i2x 4y 1 1y2                    1 1z i.2 2 i z zz z4 6i.1 i 2 2i   z 101 z 10z 1z 11z x yi z x yi, x,y     i z zz z4 6i1 i 2 2i   22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10                             z 1 10i z 101.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 11 . Tìm S s ph c th a đi u ki n:ố ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ ta có:K t lu n ế ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 11 . Bi t ế là s ph c th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ , khi đó (*) tr thành: ởV y ậ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 12 . Tìm s ph c z th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ởV y ậ V yậ ch n đáp án C.ọCâu 13. Bi t ế là các s ph c th a mãn đi u ki n ố ư ỏ ề ệ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 87i z zz z4 6i1 i 2 2i   1234z a bi, a, b  2 22 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7ia 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7                 z i, z 1 i  zz1 i z 5 7i.1 i   1wz1 1w i10 5 1 1w i10 5 1 1w i10 5  1 1w i10 5 z a bi a, b  2 a bi a bi 2 12i    a 2 a 2a 3bi 2 12i3b 12 b 4           1 1z 2 4i w i10 5    z 2z 2 4i  w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3 1w 2i14 a) Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    23x 2xx yi 2 x yi 2 4i 3x - yi 2- 4i3y 4y 4          2z 4i.3 1 2z ,z2z 2z 0 1 2z z1 21z z2 1 2z z 2  1 2z z 2 2 1 2z z 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ở V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V y ậ Suy ra: . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm s s ph c th a mãn đi u ki n ố ố ứ ỏ ề ệ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ T (2) ừ ho c ặ  V i ớ Suy ra ho c ặ ho c ặ  V i ớ Suy ra V y ph ng trình ậ ươ ho c ặ ho c ặ V y ch n đáp án B. ậ ọCách khác: Ta gi i ph ng trình h qu r i th l i.ả ươ ệ ả ồ ử ạPh ng trình ươ (1) ho c ặ V i ớ V i ớ ph ng trình (1) ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 88www.thuvienhoclieu .comÑaët z x yi z x - yi , x,y .    2 2 2 22 22 2x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1                   y 0 2x 0x 2x 0x 2  x 12y 3 y 3.   1 2z 3i, z 2 3i.  1 2z z 2 2z 2z 0 23102 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.      2 2 2 2 2z 2 z 0 x y 2xyi 2 x y      2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2  x 0 y 0.22 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1y 2y 2y       z 0z 2iz 2i. y 0, 12 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.      z 0.2z 2 z 0 z 0   z 2iz 2i. 2z 2 z 0 22 2z 2 z z 2 z z 2 z      z 0 z 2.z 0 z 0.  z 2,2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Th l i: Ta th các giá tr c a z v a tìm đ c vào ph ng trình (1).ử ạ ế ị ủ ừ ượ ươV i ớ ta có ph ng trình (1) đ c nghi m đúng.ươ ượ ệV i ớ ta có và V y ph ng trình ậ ươ đ c nghi m đúng.ượ ệK t lu n: Ph ng trình có 3 nghi m là: ế ậ ươ ệ Câu 14. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành:ở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ . Suy ra .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 15. Bi t ế là các s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thànhở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 89z 0, 2z 0 z 2i,22 2z 2i 4i 4   2 z 2 2i 2.2 4.   2z 2 z 0 1 2 3z 0,z 2i,z 2i.  1 2z ,z22z z 1 0  1 21 1z z ii1 i0z x yi, x, y  22z z 1 0  2 2 2 2 222 2x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 011 1yy y2xy 02 22                           1 1z i,z i2 2 1 21 10z z  1 2 3 4z ,z ,z ,z2z ii.z 11 2 3 4z z z z  3232 3z x yi, x, y  22z ii z i iz iz 1    2 222 22 222x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x1yx 0x y y 021 1x 2y 1 0y y 0x 04 21yx 0 x 02y 0 y 13x2                                 3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Suy ra . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 17. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c ố ứ có ph n o âmầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ T ừ o V i ớ Suy ra V y ậ o V i ớ o V i ớ o V i ớ o V i ớ V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 18. Bi t ế là s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ Tìm s ph c ố ứ có ph n th c d ngầ ự ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 90www.thuvienhoclieu .com1 2 3 4z z z z 3   z2z i z 0 z1z 1 i2 1 1z i2 2 1 1z i2 2 1z 1 i2 z x yi, x,y R  2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y      2 22 2x y 0 12xy x y 2  1 y x. 2 22xy x, x22 x 0   y 0.z 0.y x :22 2 22 x 02x x 212 2x 2x 2x x 2 x22x x 21x2       x 0 y 0  1 1x y2 2  1 1x y .2 2  z2iz z 1 0.   z22 5 2 5z i.4 4    22 3 2 3z i.2 2    22 10 2 10z i.4 4    22 5 2 5z i.2 2    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ t ặ Ph ng trình ươ o V i ớ Suy ra o V i ớ (vô nghi m)ệV y s ph c z c n tìm là:ậ ố ứ ầ và V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 19. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có : Nh v y ph ng trình đã cho tr thành :ư ậ ươ ở V y ph ng trình có 1 nghi m ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 20. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 91z x yi, x,y R  2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0         2 2 2 22 22 22 2( 2xy x y 1) x y i 0x y1x y 0x y2xy x y 1 02xy x y 1 0 2                    2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0         22 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4        2 10y x .4 2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0        22 x x 2 1 0   12 10 2 10z i4 4    22 10 2 10z i.4 4    2z z z z 1 1 i 2     z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i. z x yi, x, y  2z z 2x 2yi x yi x 3yi      z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i           x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i3y 2x 1 y 1             z 1 i. 21 2i z z 4i 20   z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i. Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Suy ra:V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 21 *. S ố s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảXét là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươXét . Đ t ặ , t gi thi t ta có:ừ ả ếL y (1) tr (2) v theo v ta có ấ ừ ế ếTh (3) vào(1), ta đ c: ế ượ (do )V y ta có hai s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 22. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 92www.thuvienhoclieu .comz a bi, (a, b ) z a bi     21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3                    z 2z.z 1 z 2 6iz  120z 4z 0z 02 2z a bi; a, b ,a b 0    2 22 2 3 2 2 3z 3 z 1 2 z 6 z z.i z.z 3 z 1 2 z .z 6z z z.iz 3 z 1 2 z a bi 6 z .i z . 3 z 1 2a z 6 z 2b z i                   2 222 2 223 2z . 3 z 1 4az . 3 z 1 2a z z . 3 z 1 2a3 z b 06 z 2b z 0 3 z b 0a 0, b 0                    2222 2b b 1 12ab b 1 12a 13 z b 3a 3b b 2a 0, b 0 a 0, b 0             2 2 2 2 49a 4b a b 39  2 216 3 2b b b b a ,3 13 13     a 0, b 0 2 3z i.13 13  2 3z 0,z i.13 13  25z 8 6iz  w iz 3 3 4i5i4iz 1 4i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi s ả ử v i ớ và a, b không đ ng th i b ng 0.ồ ờ ằKhi đó Khi đó ph ng trình ươ. L y (1) chia (2) theo v ta có ấ ế , th vào (1) ta cóếV i ớ (lo i)ạV i ớ . Ta có s ph c ố ứ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 23. Tìm s ph c z bi t ố ứ ế . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo đ cho ta suy ra:ềS ph c c n tìm là ố ứ ầ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 24. Tính mô- đun c a s ph c ủ ố ứ bi t ế (i là đ n v o).ơ ị ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảa) Đ t ặ , ta có . V y mô-đun c a s ph c ậ ủ ố ứ b ng ằ .Câu 25. Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 93z a bi a; b2 21 1 a biz a bi;z a bia b   2 225 a bi25z 8 6i a bi 8 6iza b       2 2 2 22 2 2 2a a b 25 8 a b 1b a b 25 6 a b 2      3b a4a 0 a 4  a 0 b 0  a 4 b 3  z 4 3i z 2 3i z 1 9i   3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi a, b z a bi     a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i3a 3b 9 b 1                      z 2 i z iz i z i 2iz  3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi, (a, b )  z i z i 2iz  2 22 222 2 2z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2aia b 1 2ba b 2b 1 2 a b 1 22a 2a                     22z i a b 1 i a b 1 2        z i21 2i z 2 2i z i   12531513z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 26. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảc Đ t ặ . Khi đó:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 27. S ố s ph c ố ứ z th a ỏ và là s th cố ự là: A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t ta có:ả ếV y ậ .V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 28. Tìm ngh ch đ o c a ị ả ủ s ph c zố ứ , bi t ế th a mãn ỏ và là sốthu n o.ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì V i ớ ho c ặ , ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 94www.thuvienhoclieu .com1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0a3b 1b 1            2 216 5z a b 19 3    2 z 1 3z i 5 i   22 2 24z a bi, (a, b )  2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1z 2b 1                 z 23z62543 3 2 2 3z a bi, (a, b ) z a 3ab 3a b b i       2 222 22 22 32 22 2b 0b 0a b 4a 4a 2a b 2b 0a 1b 3a3a b b 0b 3ab 3a 3a 4             z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3          zz 2i z 2 4i   z iz i1 5i4 12 3 5i17 17 3 5i17 17 3 5i2 2 z a bi, (a, b )  z 2i z 2 4i a b 4 1      a 0b 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì là s thu n o nên ố ầ ảK t h p ế ợ ta có . V y s ph c đó là ậ ố ứ .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 29. Tìm mo đun s ph cố ứ z th a mãn ỏ và là s th c.ố ựA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Suy ra .T gi thi t ừ ả ế là s th c nên ta có ố ự .Khi đó V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và . T đây suy ra ừ .V y ch n đáp án ậ ọCâu 30. Tính mô-đun c a s ph c z, bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ngầ ự ươ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ửDo . Th vào (2) ta đ c:ế ượGi i ph ng trình (3) ta đ c ả ươ ượ . Do nên .V y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 952222 22 2 a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz ia b 1 a b 1                  z iz i22a b 1a b 1 0a 1 b     13 5a , b2 2 3 5z i2 2 z 22z1 i212 2 2z a bi a, b  2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2        2z1 ib 12z 2 a i 2 a 1 2 a 3.        z 3 i z 3 i z 23z 12i z 2z 7z 3z 533z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi         3 23 2 2 32 3x 3xy x 1x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2          2 2x 0 1 x 3y 1    2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3       2y 1 x 4  x 0x 2z 2 i z 5    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 31. Tìm z th a mãn đi u ki n : ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 32. Tìm s s ph c z th a mãn:ố ố ứ ỏ .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d nướ ẫ gi iảNh n xét:ậ N u làm b ng cách g i ế ằ ọ , thay vào và tính toán v trái, r i đ ng nh t ph n ế ồ ồ ấ ầth c và ph n o c a 2 v s r t dài và d n t i h đ ng c p b c 4 r t c ng k nh. Áp d ng ự ầ ả ủ ế ẽ ấ ẫ ớ ệ ẳ ấ ậ ấ ồ ề ụcách tính căn b c hai b ng máy tính c m tay , ta có cách gi i ng n g n:ậ ằ ầ ả ắ ọĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởL n l t tay ầ ượ v a tìm đ c vào công th c (*), ta tìm đ c:ừ ượ ứ ượ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 33. Bi t ế là các s ph c ố ứ th a mãn ỏ và là s thu n o.ố ầ ả Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22H ng d n gi iướ ẫ ả Đ t ặDo đó Nh th ư ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 96www.thuvienhoclieu .com4z i1z i   z 0,z 1,z i.  z 0,z 1 z i,z i  z i,z 0 22z i1 (1)z iptz i1 (2)z iz 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1                             z 0,z 1,z i.  4iz 27 24iz 3    z a bi '''iz 2 2 3zz z *z 3z i   'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2       1 2 3z ,z ,zz 3i 1 iz  9zz2 2 21 2 3z z z z x yi, x, y  2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x              2 2y 3 1 y y 2     z x 2i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ ể là s thu n o thì ố ầ ảV y có ba s ph c th a mãn yêu c u đ toán là ậ ố ứ ỏ ầ ề và V y ch n đáp án D.ậ ọCâu 34. Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và là s thu n o.ố ầ ảA. , B. ,B. , D. , , , H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọV i ớ ho c ặV i ớ ho c ặV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35. Tìm s ph c z ố ứ có ph n o âm, ầ ả bi t ế và s ph c ố ứ có ph n oầ ảb ng 1.ằ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặTa có Vì ; có ph n o b ng 1 nên ầ ả ằThay (2) vào (1) ta đ c: ượV i ớV i ớV y có hai s ph c là ậ ố ứ và .V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 972 2 29 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2ix 4 x 4 x 4                     9zz22 x 0 x 09xx 0x 5x 5x 4      z 2i, z 5 2i   z 5 2i z 52z iz 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i 2 2 22 22 2a b 5 b b 2 0z a bia b 1 0 a b 1                b 1 a 2 z 2 i     z 2 i b 2 a 1 z 1 2i     z 1 2i z 1 1 1 i z 1 z iz 2 i z 1 i z 3 i z x yi x,y z x yi     22z 1 1 x 1 y 1 1     1 i z 1 x y 1 x y 1 i       1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2      22 2y 0y 1 y 1 2y 2y 0y 1      y 0 x 2 z 2    y 1 x 1 z 1 i     z 2z 1 i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 36. Có bao nhiêu s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s th c.ố ựA. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọCó w là s th c ố ựT (2) có ừ , thay vào (1) đ c ph ng trình:ượ ươThay vào (*) tìm đ c y t ng ng t đó tìm đ c các s ph c: ượ ươ ứ ừ ượ ố ứ ; ;.Câu 37. Tìm môđun s ph c z bi t ố ứ ế là m t s thu n o và ộ ố ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Khi đó:u là s thu n o khi và ch khi:ố ầ ả ỉTa có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 98www.thuvienhoclieu .comz 5z 7iz 12 2z x yi z 5 x y 25 1       2 22 2x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1x 1 y x 1 y          xy x 1 y 7 0 2    7 x 1y *2x 1 4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 02x 3; x 4; x2            z 3 4i z 4 3i 2 7 2z i2 2 z 2 3iuz i z 1 3i z 1 i    365z5265z5215z5235z5z x yi, x,y  222 222 x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iux y 1 ix y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 ix y 1                       2 22 222x y 2x 2y 3 0x 1 y 1 51x y 1 0x; y 0;1            2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta có: ừ . V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 39. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ , tìm s ph c z có môđun nh ố ứ ỏnh t.ấA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ ; G i ọ là đi m bi u di n s ph c .ể ể ễ ố ứTa có : Đ ng tròn ườ có tâm I(1;2) . Đ ng th ng ườ ẳ OI có ph ng trình ươS ph c ố ứ z th a mãn đi u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi đi m bi u di n sỏ ề ệ ỏ ấ ỉ ể ể ễ ốph c đó thu c đ ng tròn (ứ ộ ườ C ) và g n g c t a đ ầ ố ọ ộ O nh t, đi m đó ch là m t trong hai giaoấ ể ỉ ộđi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ OI v i (ớ C ), khi đó t a đ c a nó th a mãn h ọ ộ ủ ỏ ệ ho c ặ Ch n ọ nên s ph c ố ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 40. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c aị ỏ ấ ị ớ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . T gi thi t:ừ ả ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 993 16 265x; y ; z5 5 5       z 1 2i 2  2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            z x yi, x,y  M x;yz 1 2i 2  2 2x 1 y 2 4    2 2x 1 2C   :y 4   y 2x2 2y 2xx 1 y 2 4   2x 15 2x 15 2x 15 4y 25  2 4z 1 2 i5 5            z 2 i2z 1 i   zmin maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   z x yi z 2 i2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i          2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T p h p đi m bi u di n c a z là đ ng tròn tâm ậ ợ ể ể ễ ủ ườ bán kính . G i M là đi m bi u di n c a z, ta có:ọ ể ể ễ ủV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 41. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là m t s th c. Tìm giá tr nh nh t c aộ ố ự ị ỏ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảGi s ả ử .T gi thi t: ừ ả ếTa có T p h p bi u di n c a z là đ ng th ng ậ ợ ể ễ ủ ườ ẳ . G i M là đi m bi u di n c a z.ọ ể ể ễ ủTìm đ c ượ . Suy ra: . V y ch n đáp án B.ậ ọ CH ĐỦ Ề 6. PH NG TRÌNH S PH CƯƠ Ố ỨBÀI TOÁN 1. PH NG TRÌNH QUY V PH NG TRÌNH B C NH T S PH CƯƠ Ề ƯƠ Ậ Ấ Ố ỨI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩa) b) Gi iảa) Ta có: V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 100www.thuvienhoclieu .comI 0; 3R 10I M I O OM IM IO 10 3 OM 10 3        min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3     z 3 i z 1 3i   zminz 2minz 2 2minz 2min2z2z x yi w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i           2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i       w x y 4 0    d : x y 4 0  minminz OM OM d  M 2;2 z 2 2i   minz 2 22 i z z 2i 1;   1 i z 2i 2 i.   2 i z z 2i 1 z 2 i 1 1 2i z 1 i 1 2i            221 2i 1 i1 2i 1 2i i 2i 1 3i 1 3z z i.1 i 1 1 2 21 i 1 i1 i                 1 3z i.2 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầVí d 2.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩa) b) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: Ví d 3.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩ Gi iảa) Ta cób) Ta cóVí d 4.ụ Gi i ph ng trình sau:ả ươ Gi iả Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1012 i 1 i2 i1 i z 2i 2 i z 2i z 2i1 i1 i 1 i            222 i 3i 1 3i 1 7z 2i z 2i z i.2 2 21 i          1 7z i.2 2 2i 1 3i 1z ;i 2 i 3   2 3 z 5i 2.2i i 12i 1  2i 1 3i 1 3i 1 2i 1 3i 1 i 2z x : . 1i 2 i 3 i 3 i 2 i 3 2i 1               22i 1 3 4i;  3 2i i.i i 225i 2 2i 1z 5i 2 37 9z ii 1 i 1 2 22i 1        a) 5 4i z 3 2i 4 i ; b) z 2 i 3i z 1 3i .        3 2i 4 i14 5i 50 815 4i z 3 2i 4 i z i5 4i 5 4i 41 41          2z 2 i 3i z 1 3i i.z 2i 3i 9i z 3iz9 i 13 351 4i z 9 i z i1 4i 17 17                    2iz 3 z 5i z 3 6i 0.    2iz 3 02iz 3 z 5i z 3 6i 0 z 5i 0z 3 6i 03 3z z i2i 2z 5i z 5iz 3 6iz 3 6i                         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươVí d 5ụ . a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ .b) Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm mô-đun c a s ph củ ố ứ. Gi iảa) Đ t ặ . Theo đ ra ta có: ề nên .Khi đó .V y ậ .b) Ta có:.Khi đó: b) Ta có:.T đó ừ . Suy ra .Ví d 6ụ . Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủGi iảCách 1. Đ t ặ , khi đó . Theo bài ra ta có:Cách 2. Ta có: Suy ra: II. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1 . Gi i ph ng trình ả ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 102www.thuvienhoclieu .com3z i, z 5i, z 3 6i.2   1 i z 2z 2  w z 2 3i  1 i2 i z 5 i1 i    2w 1 z z  z a bi (a, b )  3a b 2 a 1a b 0 b 1       z 1 i w z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i        2 2w 3 4 5  1 i2 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i         2w z z 5 5i w 5 2.     1 i 52 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i 2 i            2w 1 z z 6 5i    w 36 25 61   2 i 1 i z 4 2i    z a bi, (a, b )  z a bi 2 2a 3 4 a 12 i 1 i z 4 2i a 3 1 b i 4 2i1 b 2 b 3z 1 3i z 1 3 10.                         2 i 1 i z 4 2i z 4 2i 2 i 1 i 1 3i            z 1 3i z 10    2 3i z z 1.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 2. Gi i ph ng trình ả ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ậ V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 2. Gi i ph ng trình ả ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 3. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ . V i đi u ki n trên, ph ng trình đã cho tr thành:ớ ề ệ ươ ở V y z c n tìm là: ậ ầ . V y ch n đáp án D.ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1031 3z i.10 10 1 3z i.10 10 1 3z i.10 10 1 3z i.10 10 2 21 3i1 1 32 3i z z 1 2 3i 1 z 1 1 3i z 1 z i.1 3i 10 101 3               2 i z 4 0  1 3z i.5 5 8 4z i.5 5 5 3z i.10 10 1 3z i.13 13 2 24 2 i4 8 42 i z 4 0 z i.2 i 5 52 1       8 4z i.5 5 2 i 1 3iz .1 i 2 i    1 3z i.5 5 8 4z i.5 5 22 4z i.25 25  1 3z i.13 13 2 i 1 3i 1 3 1 7 1 7 1 3 22 4z i z i z i : i z i .1 i 2 i 2 2 5 5 5 5 2 2 25 25                              2z 11 iz i 1 3z i.5 5 1 4z i.5 5 1 1z i.2 2 1 1z i2 2 z i222z 11 i 2z 1 1 i z i 2z 1 1 i z i iz ii 1 ii i i 1 12 1 i z i 1 1 1 i z i z z i .1 i 1 i 2 21 i 1 i                             1 1z i2 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 4. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ V i đi u ki n trên, ph ng trình đã cho tr thành:ớ ề ệ ươ ở V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 5. Tìm nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Gi i (1): ảGi i (2):ả V y ph ng trình có 2 nghi m là ậ ươ ệ và . V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 6. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ Ta có: . Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 104www.thuvienhoclieu .comi 1 1.z 2 i 3 6i   1 3z i.7 7 2 4z i.3 3 3 21z i.10 10 3 5z i2 2 z 0i 1 1 i 1 1 i 2 i 1 2iz 2 i 3 6i z 2 i z 4 13 1 2i 3 1 2i 1 2i3 2 ii 2 i 1 2i i 1 2i i 7 iz 5 z 15 15 z 153 1 415i 7 i15i 15 105i 3 21z z i.7 i 49 1 10 107 i 7 i                                11 2i z 2 i iz 0i         z 1,z i z 1,z i z i,z i   z i,z 1  1iz 0 (1)1i1 2i z 2 i iz 0i1 2i z 2 i 0 (2)              2(1) i z 1 0 z 1 0 z 1         2 i 1 2i2 i 2 2 i 4i(2) z z z i z i1 2i 1 41 2i 1 2i                 z iz i37 i 3 i2z 12i 1  z 1z iz iz 21z .232i 1 11 2i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 7. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Nên . . V y ậ .V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 9. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1053337 i 3 i7 i 2z 1 2i 1 3 i2z 12i 12i 1 3 i 11 2i 3 i2z 1 5 z 2.7 i 7 i                 22 i z 2z 1.10 5i3 i   z 2iz i 1 z iz 2 i 222 22 22 i z 2z 12 i z 10 5i 2z 1 3 i10 5i3 i2 i 10 5i 10 5i z 2 3 i z 3 i10 5i 2 3 i z 3 i 2 i 10 5i26 7i z 7 26i z i.                                 z 5i2i 3z 2 i  z 2i4 2 2 2 23 2z 5i 4 12i2i 3 z 5i 3 2i z 2 i z 4 2iz 2 i 2 2i               z 2i 4 4i  z 2i 4 2 1 3i1 2i z 2 i1 i   32 2 23 21 3i 1 71 2i z 2 i z i z 21 i 5 5        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com BÀI TOÁN 2. CĂN B C HAI S PH C, PH NG TRÌNH B C HAI VÀ PH NG Ậ Ố Ứ ƯƠ Ậ ƯƠTRÌNH QUY V PH NG TRÌNH B C HAIỀ ƯƠ ẬPh ng phápươ1. Ta nh c l i căn b c hai c a s ph cắ ạ ậ ủ ố ứĐ nh nghĩa: ị Cho s ph c w. M i s ph c z th a mãn ố ứ ỗ ố ứ ỏ đ c g i là m t căn b c haiượ ọ ộ ậc a w.ủ M i căn b c hai c a w là m t nghi m c a ph ng trình ỗ ậ ủ ộ ệ ủ ươ a) Tr ng h p w là s th cườ ợ ố ự Căn b c hai c a 0 là 0.ậ ủ Xét s th c ố ự Khi , ta có Ph ng trình ươ ho c ặ V y s th c a d ng có hai căc b c hai là ậ ố ự ươ ậ và Khi , ta có Ph ng trình ươ ho c ặ V y s th c a âm có hai căn b c hai là ậ ố ự ậ và Ví d : ụ -1 có hai căn b c hai là i và –i.ậ có hai căn b c hai là ai và –ai.ậb) Tr ng h p ườ ợ Đ t ặ ,z là căn b c hai c a wậ ủ Gi i h ph ng trình này, ta luôn tính đ c hai nghi m ả ệ ươ ượ ệ M i nghi m (x;y) c a h ph ng trình trên cho ta m t căn b c hai ỗ ệ ủ ệ ươ ộ ậ c a s ph củ ố ứ Kĩ thu t MTCT tìm căn b c hai c a s ph cậ ậ ủ ố ứGi s ta c n tìm căn b c hai s ph c ả ử ầ ậ ố ứ  B c 1: Nh p vào màn hình ướ ậ và n phím ấ {l u l i s ph cư ạ ố ứ } B c 2: Nh p vào màn hình ướ ậ r i n phím ồ ấ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 106www.thuvienhoclieu .com2z w2z w 0. w a 0 a 02z a z a z a .   2z a 0 z a   z a.aa.a 02 2 2z a z ai z ai z ai .        2z a 0 z ai    z ai. aiai. 21 i  2 2 2a a .i  2aw a bi a, b R, b 0 z x yi x,y R22 2 2z w x yi a bi x y 2xyi a bi          2 2x y a.2xy b x; y .z x yi w a bi. z a bi, a, b  a bia biarg AnsAns2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  B c 3: n phím ướ Ấ n u màn hình không hi n th đ y đ . Lúc này máy s hi nế ể ị ầ ủ ẽ ểth s ph c d ng ị ố ứ ạ  B c 4: K t lu n căn b c hai c n tìm là ướ ế ậ ậ ầVí d :ụ Tìm căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứ H ng d n th c hànhướ ẫ ự B c 1:ướ Nh p vào màn hình ậ và nấphím  B c 2:ướ Nh p vào màn hìnhậ r i n phím ồ ấ ta đ c k tượ ếqu là ả  B c 3:ướ B qua vì màn hình đã hi n th ỏ ể ị B c 4:ướ K t lu n căn b c hai c n tìm làế ậ ậ ầ2. Ph ng trình b c haiươ ậXét ph ng trình: ươ (A,B,C là s ph c ố ứ ) (1)Ta có  N u ế có 2 căn b c hai là ậ và , ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t là:ươ ệ ệ và  N u ế ph ng trình (1) có nghi m kép ươ ệ Chú ý: Ta ch ng minh đ c v i m i ph ng trình b c hai h s th c, n u ứ ượ ớ ọ ươ ậ ệ ố ự ế và là m t nghi m thì ộ ệ cũng là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươđó. Do tính ch t c a phép nhân s ph c, đ nh lí Vi-et v n đúng cho ph ng trình b c haiấ ủ ố ứ ị ẫ ươ ậv i n ớ ẩ Do đó các cách tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai v n áp ẩ ệ ủ ươ ậ ẫd ng đ c.ụ ượCh ng h n: ẳ ạ ; KĨ THU T GI I PH NG TRÌNH B C HAI H S PH CẬ Ả ƯƠ Ậ Ệ Ố ỨThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 107S D i  i   z 5 12i 5 12i arg AnsAns22 3i2 3i2 3i 2Az Bz C 0  A 02B 4AC.  0,  1Bz2A  2 Bz .2A  0, 1 2 Bz z .2A z x yi x,y Ry 0 z x yi z C.CA B C 0 z 1,zA     CA B C 0 z 1,z .A     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com  B c 1: Ghi vào màn hình ướ  B c 2: n CALC và khai báo các h sướ Ấ ệ ốVí d :ụ Gi i ph ng trình ả ươDùng MTCT V y hai nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ I. M T S VÍ S RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1ụ . Tìm căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứGi iảa) G i z là căn b c hai c a ọ ậ ủ , ta có: ho c ặ Vây -9 có hai căn b c hai là 3i và -3i.ậb) G i ọ là căn b c hai c a 3+4i, ta có:ậ ủ T (2) ừ và thay vào (1) ta đ c:ượ V i ớ V y ậ có hai căn b c hai là ậ và Dùng MTCTThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 108www.thuvienhoclieu .com2 arg DB E B ED B 4AC : E D : X : Y2 2A 2A         2z 2 1 2i z 7 4i 0;     z 1 2i,z 3 2i    1a) 9; b)3 4i ; c)1 3i; d) .4i  92 2 2z 9 z 9i z 3i    z 3i.z x yi, x,y R  22 2 22 22 2z 3 4i x yi 3 4i x y 2xyi 3 4ix y 3 1x y 32xy 4xy 2 2               x 0 2yx22 4 222x 1 loaïi41 x 3 x 3x 4 0xx 4       2x 2 y 1x 4x 2 y 1     3 4i2 i2 i . Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ có hai căn b c hai là ậ và c) G i ọ , là căn b c hai c a ậ ủLúc đó: T (2) ừ và thay vào ph ng trình (1) ta đ cươ ượ V i ớ V i ớ V y có hai căn b c hai c a ậ ậ ủ là và Dùng MTCTV y có hai căn b c hai c a ậ ậ ủ là và d) G i ọ là căn b c hai c a ậ ủ Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1093 4i2 i2 i . z x yi x, y R1 3i2 222 2x y 1 1x yi 1 3i x y 2xyi 1 3i2xy 3 2         x 0 3y2x22 4 222 1x loaïi3 321 x 1 4x 4x 3 0 x .234xx2         3 3 2x y2x 22   3 3 2x y .2x 22   1 3i6 2z i2 2 6 2i.2 2 1 3i6 2z i2 2 6 2i.2 2 z x yi, x,y R  14i222 2 22 224422 1 i iz x yi x y 2xyi4i 4i 4111yyx y 0y8x8x8x1112xyx 0x64x 1 046464x11 2 1 21xx xy4 48x2 22 2 2 2 hoaëc112 2xyy y .88x4 4                                           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ có hai căn b c hai là ậ và Dùng MTCTV y ậ có hai căn b c hai là ậ và Nh n xét: ậ M i s ph c đ u có hai căn b c hai đ i nhauọ ố ứ ề ậ ố . Ví d 2ụ . a) Tìm s ph c ố ứ th a mãn: ỏb) Tìm s ph c ố ứ th a mãn: ỏGi iảa) Đ t ặ , ta có: T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V iớ V i ớ V y có hai s ph c z th a mãn ậ ố ứ ỏ là b) Ta có và Suy ra: Theo k t qu trên ta có ế ả ho c ặ Đ t ặ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 110www.thuvienhoclieu .com14i2 2z i4 4  2 2z i .4 4     14i2 2z i4 4 2 2z i .4 4     z2z 164 48 5i w4w 164 48 5i z x yi, x,y R  222 22 2z 164 48 5i x yi 164 48 5ix y 2xyi 164 48 5ix y 164 1xy 24 5 2          x 0 24 5yx222 4 22x 18024 51 x 164 x 164x 2880 0 x 4xx 16             x 4 y 6 5.   x 4 y 6 5.   2z 164 48 5i z 4 6 5i, z 4 6 5i.   2z 164 48 5i 4w 164 48 5i 4 2 2 2 2w z w z w z 0 w z.      2z 4 6 5i w 4 6 5i    2w 4 6 5i. w x yi, x, y R .  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  Tr ng h p 1: V i ườ ợ ớ ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ V i ớ V y ậ  Tr ng h p 2: V i ườ ợ ớ ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ V i ớ V y ậ K t lu n: Có 4 s ph c w th a mãn ế ậ ố ứ ỏ là:, Ví d 3.ụ a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1112w 4 6 5i 2x yi 4 6 5i  2 22 2 x y 4 1x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2      x 0 3 5yx222 4 22x 53 5x 4 x 4x 45 0 x 3xx 9             3 5ix 3 y 5x   3 5ix 3 y 5.x   w 3 5i . 2w 4 6 5i, 2x yi 4 6 5i  2 22 2 x y 4 1x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2      x 0 3 5yx222 4 22x 93 5x 4 x 4x 45 0 x 5xx 5              3 5x 5 y 3x   3 5x 5 y 3.x   w 5 3i . 4w 164 48 5i w 3 5i w 5 3i . 4z 1;4z 11.z i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảa) Ta có:  V i ớ ta đ t ặ ta có: T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ o V i ớ o V i ớ V y ậ K t lu n: ế ậ b) Theo k t qu câu a ta có:ế ả Xét 4 tr ng h p:ườ ợ Tr ng h p 1:ườ ợThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 112www.thuvienhoclieu .com4 4 2 2 2 2z 1 z i z i z i 0 z i.        2z i,z x yi, x,y R  2 222 2 x y 0 1x yi i x y 2xyi i2xy 1 2       x 0 1y2x2 4 221 1 1 1x x x x .4 224x       1 1 1x y .2x2 2   1 1 1x y .2x2 2   1 1z i .2 2    4 1 1z i2 2z 11 1z i .2 2         4 z 1 1 iz iz 12 21 .z iz 1 1 iz i2 2            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  Tr ng h p 2:ườ ợ  Tr ng h p 3:ườ ợ  Tr ng h p 4:ườ ợThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 11322z 1 1 i2z 2 1 i z i 2z 2 z i iz 1z i2 22 1 i 2 1 i2 1 i2 1 i z 2 1 i z2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 1 2 2 1 i 2 2 2 2 2 1 i 1 2 2 1 iz4 2 2 2 22 1 11 2 2 1 i1 iz z .2 22 2 1                                                22 222z 1 1 i( ) 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 2 1 i2 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 1                                      2 2 2 2 2 1 i 2 1 2 1 i 2 1 2 1 iz4 2 2 2 22 2 11 iz .2 2              22z 1 1 1i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 12 2i 1 i 1 iz z .4 2 2 2 2 2 2 2 2                                                   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com K t lu n: ế ậ ho c ặ ho c ặ ho c ặ .Ví d 4.ụ Gi i các ph ng trình b c hai sau đây:ả ươ ậa) b) c) d) Gi iảa) Ph ng trình: ươ có các h s ệ ố nên ph ng trình có hai ươnghi m là ệ b) Ph ng trình ươ (chú ý là ) c) Ph ng trình ươ d) Ph ng trình ươ có: Ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ MTCTThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 114www.thuvienhoclieu .com 22z 1 1 1i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 12 2i 1 i 1 iz z .4 2 2 2 2 2 2 2 2                                                    4z 1 1 i1 zz i2 2      1 iz2 2  1 iz2 2 2 2  1 iz2 2 2 2  2z 4z 5 0;  2z 8z 16 2i 0;   22z 1 9 0;  2 25z 3z 0.4  2z 4z 5 0  A B C 1 4 5 0     1 2z 1,z 5. 22z 8z 16 2i 0 z 4 2i      2 2z 4 1 i   221 i 1 i 2i 1 1 2i 2i       z 4 1 i z 5 iz 4 1 i z 3 i            2 2 2 22z 1 9 0 2z 1 9 2z 1 3i        1 3z i2z i 3i2 22z i 3i 1 3z i2 2     2 25z 3z 04  22 253 4. 0 16 4i .4      3 4iz .2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 5.ụ Gi i các ph ng trình b c hai h s ph c sau đây:ả ươ ậ ệ ố ứa) b) c) ; d) Gi iảa) Ph ng trình ươ có: Đ t ặ Ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ ; V i ớ V y ậ Ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ L i bình:ờ Vi c tìm căn b c hai c a s ph c ệ ậ ủ ố ứ ta dùng MTCT cho nhanhb) Ph ng trình ươ có: Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ c) Ph ng trình ươ có: Đ t ặ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1152z 7z 11 3i 0;   2z 2 1 2i z 7 4i 0;     2z 2 2 i z 6 8i 0      2z 2 i z i 1 0.     2z 7z 11 3i 0   49 44 12i 5 12i     2x yi , x,y R .   2 22x y 5 1x yi 5 12i2xy 12 2    x 0 6yx22 4 222x 4 x 3361 x 5 x 5x 36 0x 3xx 9         x 3 y 2  x 3 y 2.  23 2i .  1 2 7 3 2i 7 2 2iz 5 i, z 2 i.2 2        5 12i2z 2 1 2i z 7 4i 0     2' 1 2i 7 4i 1 4 4i 7 4i 4.          1 2z 1 2i 2 1 2i, z 1 2i 2 3 2i.         2z 2 2 i z 6 8i 0     2' 2 i 6 8i 4 1 4i 6 8i 3 4i.           2 22 x y 3, 13 4i x yi , x,y R2xy 4, 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (2) ừ và thay vào (1) ta đ c:ượ V i ớ ; V i ớ V y ậ Ph ng trình có nhi m là: ươ ệ d) Ph ng trình ươ có các h s th a mãn ệ ố ỏSuy ra ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ Ví d 6ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c ả ươ ậ ố ứ :b) Gi iảa) Đi u ki n ề ệ Ph ng trình cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ hay Cách 1: Ph ng trình này có bi t s ươ ệ ố ho c ặCách 2: G i ọ là căn b c hai c a ậ ủ , khi đó haysuy ra ho c ặb) Ta có:Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ và Ví d ụ 7 . Gi i ả các ph ng trìnhươ sau :Gi iảa) Ph ng trình đã cho tr thànhươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 116www.thuvienhoclieu .comx 0 2yx22 4 222x 441 x 3 x 3x 4 0 x 1.xx 1         x 1 y 2  x 1 y 2.  2' 3 4i 1 2i .    1 2z 2 i 1 2i 3 i,z 2 i 1 2i 1 3i.           2z 2 i z i 1 0     a b c 1 2 i i 1 0.       1 2z 1,z 1 i.  4z 3 7ia) z 2i.z i  2z 1 i z 6 3i 0    z i4z 3 7i z i z 2i    2z 4 3i z 1 7i 0 *    223 4i i 4i 4 i 2         * z 1 2i  z 3 i x yi x, y   2x yi 3 4i  2 2x y 2xyi 3 4i     2 2x y 3x,y 2;1 , 2;12xy 4   * z 1 2i  z 3 i 2 21 i 4 6 3i 24 10i 1 5i        z 1 2i z 3i.2 22 2 2 2 2a) z z 4 z z 12 0; b) z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0.           2Ñaët t z z.  222t 6 z z 6 0t 4t 12 0t 2z z 2 0         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớV i ớV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươb) Cách 1. Ta có:V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươCách 2. Đ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở .Ta có: Ph ng trình (*) có hai nghi m: ươ ệ V i ớV i ớVí d 8.ụ a) Hãy gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c ả ươ ậ ợ ố ứ . b) Gi i ph ng trình: ả ươGi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 11721 23z i2 2z z 6 01 23z i2 2     2z 1z z 2 0z 2   1 23 1 23z i, z i, z 1, z 2.2 2 2 2     22 2 222 2 2 2222 22 22 222z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0z 3z 6 2z z 3z 6 z 4z 0z 3z 6 z 2z 0 z 4z 6 2z 0z 4z 6 2z z 4z 6 2z 0z 2z 6 0 z 1 5iz 3 3z 6z 6 0                                          z 1 5i, z 3 3.    2t z 3z 6  2 2t 2zt 3z 0 *  2 22 2' 2z 3z 4z 2z    t z 2z, t z 2z.   2 2z 1 5it z 2z z 3z 6 z 2z z 2z 6 0z 1 5i             2 2z 3 3t z 2z z 3z 6 z 2z z 6z 6 0 .z 3 3             2 22z i z i 5z 5 0    2z z z 3 z 2 10, z    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) Vi t l i ph ng trình v d ng: ế ạ ươ ề ạKhai tri n, rút g n, nhân t hóa ể ọ ửGi i các ph ng trình, thu đ c ả ươ ượ và r i k t lu n.ồ ế ậĐ t ặ . Khi đó ph ng trình tr thành: ươ ởV y ph ng trình có các nghi m: ậ ươ ệV y ph ng trình đã cho có hai nghi m ậ ươ ệ ho c ặVí d 9.ụ a) G i ọ là hai nghi m c a c a ph ng trình b c hai h s ph cệ ủ ủ ươ ậ ệ ố ứ Ch ng minh r ng: ứ ằ và Áp d ng 1:ụ Bi t ph ng trình b c hai ế ươ ậ có hai nghi m là ệTính B vá C.b) Cho hai s ph c có t ng ố ứ ổ và tích Ch ng minh r ng ứ ằ và là hai nghi m c a ph ng trình b c hai ệ ủ ươ ậ Áp d ng 2:ụ Tìm hai s ph c có t ng b ng 4 và tích b ng ố ứ ổ ằ ằ Gi iảa) Ph ng trình ươ có G i ọ là m t căn b c hai c a ộ ậ ủ Ph ng ươtrình có hai nghi m là: ệ Ta có : và Áp d ng 1: ụ có hai nghi m là ệ Áp d ng k t qu trên ta có:ụ ế ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 118www.thuvienhoclieu .com22 2z 1 5z 5 0   2 2z 1 z 4 0  z iz 22 2b) PT z z 2 z 1 z 3 10 z 2z z 2z 3 10         2t z 2z 2t 3t 10 0  z 1 it 2t 5z 1 6   z 1 6; z 1 i    z 1 2i z 3 i 1 2z ,z2Az Bz C 0, A 0 .   1 2 Bz zA 1 2 Cz .z .A21 i z Bz C 0    1 2z 2,z 1 2i.  1 2z z S 1 2z .z P.1z2z2z Sz P 0.  4 2i.2Az Bz C 0  2B 4AC.  .1 2 B Bz ,z .2A 2A      1 2 B B Bz z2A 2A A        2 2221 22 2B B 4ACBB B Cz .z . .2A 2A A4A 4A                    21 i z Bz C 0    1 2z 2,z 1 2i.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) ừ T (2) ừ V y ậ và b) Hi n nhiên ể là hai nghi m c a ph ng trình b c haiệ ủ ươ ậ Áp d ng 2: G i hai s ph c ph i tìm là ụ ọ ố ứ ả và Theo gi thi t ta cóả ế và Do đó và là hai nghi m c a ph ng trình b c hai ệ ủ ươ ậ hay Ph ng trình trên t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ V y ph ng trình ậ ươcó hai nghi m là ệ Ví d 10.ụ Cho ph ng trình b c hai h s th c ươ ậ ệ ố ự (1), v i ớ a) Ch ng minh r ng n u ph ng trình (1) có m t nghi m th c ứ ằ ế ươ ộ ệ ự thì nghi m còn l i ệ ạ cũng là s th c.ố ựb) Ch ng minh r ng n u ph ng trình (1) có m t nghi m th c ứ ằ ế ươ ộ ệ ự không là s th c thì ố ự cũng là m t nghi m.ộ ệÁp d ng:ụ Tìm ph ng trình b c hai h s th c bi t ph ng trình có 1 nghi m là ươ ậ ệ ố ự ế ươ ệ .Gi iảa) Ta bi t r ng ph ng trình b c hai ế ằ ươ ậ (1) có hai nghi m là ệ và Theo công th c Vi-et ta có ứ Vì nên và ta cũng có V y ậ b) Ta có là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1191 21 2 B Bz z 2 1 2i 1A 1 iC Cz .z 2. 1 2i 2A 1 i              2B 1 i 3 2i 3 2i 2i 3i 5 i          2C 1 i 2 4i 2 4i 2i 4i 6 2i.         B 5 i C 6 2i. 1 2z ,z2 21 2 1 2 1 2z z z z 0 z z z z z .z 0 z Sz P 0.            1z2z .1 2S z z 4  1 2P z .z 4 2i.  1z2z2z Bz P 0  2z 4z 4 2i 0.   2z 2 2i 2 2z 2 1 i z 2 1 i z 2 1 i 3 i,z 2 1 i 1 i.                  1 2z 3 i,z 1 i.   2Az Bz C 0  A 0.1z2z0z0z2 i2Az Bz C 0  1z2z .1 2 Bz zA A,B  BA1z .2z .0z2Az Bz C 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com ( Vì liên hi p c a s th c là chính s th c đó suy raệ ủ ố ự ố ựV y ậ cũng là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .Áp d ng: Theo ch ng minh trên, ph ng trình b c hai h s th c có 1 nghi m là ụ ứ ươ ậ ệ ố ự ệ thì nghi m kia là ệ Ta có và V y ậ là hai nghi m c a ph ng trình bâc hai: ệ ủ ươ hay Ví d ụ 11 . Bi t ế là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Hãy tính : Gi iảTheo đ nh lý Vi-et ta có: ị Do đó:Ví d 12ụ . G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ ; M, N l n l t là cácầ ượđi m bi u di n ể ể ễ trên m t ph ng ph c. Tính đ dài đo n th ng MN.ặ ẳ ứ ộ ạ ẳGi iảPh ng trình đã cho có ươ nên có hai nghi m ệ .T đó ừ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 120www.thuvienhoclieu .com2 20 0 0 0Az Bz C 0 Az Bz C 0      20 0A z Bz C 0  0z2Az Bz C 0  1z 2 i 2z 2 i. 1 2S z z 2 i 2 i 4       2 21 2P z .z 2 i 2 i 2 i 4 1 5.         1 2z ,z2z Sz P 0  2z 4z 5 0.  1 2z ,z22z 3iz 3i 1 0   2 2 3 3 4 41 21 2 1 2 1 22 1z za)z z ; b)z z ; c)z z ; d) .z z   1 21 2 3z z i21 3iz .z2 22 21 2 1 2 1 233 31 2 1 2 1 2 1 222 2 224 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 21 2 1 21 2 1 22 1 1 2 1 2 6 3a) z z z z 2z z 1 i23 3 7 3b) z z z z 2z z z z i2 8c) z z z z z z 2z z z z 2z z 2z z31 15i16 2z z 2z zz z z z43 9d) i.z z z z z z 20 20                               1 2z , z2z 4z 9 0  1 2z , z2' 4 9 5 5i    1;2z 2 i 5 M 2; 5 , N 2; 5 MN 2 5  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đáp s : ố .Ví d 13.ụ a) Gi i ph ng trình: ả ươ b) Tìm s ph c B đ ph ng trình b c ố ứ ể ươ ậ có t ng bình ph ng hai nghi m ổ ươ ệb ng 8. ằGi iảa) Ta cóGi i (1): Ta có ả Gi i (2): ảV y nghi m c a ph ng trình là ậ ệ ủ ươ .Ví d 14ụ . a) Tìm đ ph ng trình ể ươ nh n s ph c ậ ố ứ làm nghi m.ệ b) Tìm t t c các s th c a, b sao cho s ph c ấ ả ố ự ố ứ là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ.Gi iảa) Theo đ , ta có: ềb) Tính .Suy ra T đó, có h ừ ệVí d 15.ụ Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ , bi t s ph c ế ố ứ lànghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .Gi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 121MN 2 52 2z i z 2iz 1 0   2z Bz 3i 0  22 22z i 0 1z i z 2iz 1 0z 2iz 1 0 2       122 2 2z i2 2z i2 2z i2 2   22z 2iz 1 0 z i 0 z i       1 22 2 2 2z i, z i, z i2 2 2 2    a, b2z az b 0  z 1 i z 2 3i 2z az b 0  221 i a 1 i b 0 1 2i i a ai b 0           a 2 0 a 2a 2 i a b 0a b 0 b 2             2z 1 6i, az 2a 3a i   2z az b 2a b 1 3a 6 i       2a b 1 0 a 23a 6 0 b 3        w b ci b,c  871 i 1 2i1 i  2z bz c 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có: Vì là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên:Ta có Ví d 16ụ . Cho ph ng trình ươ , v i a là tham s . Tìm ớ ố để(1) có hai nghi m ệ th a mãn ỏ là s o, trong đó ố ả là s ph c có ph n o d ng.ố ứ ầ ả ươGi iảT gi thi t suy ra ừ ả ế không ph i là s th c. Do đó ả ố ự , haySuy ra Ta có là s o ố ả là s oố ảĐ i chi u v i đi u ki n (*) ta có giá tr c a a là ố ế ớ ề ệ ị ủ .Ví d 17.ụ a) Tìm đ ph ng trình ể ươ có hai nghi m phân ệbi t ệ th a mãn ỏ . b) G i ọ là hai nghi m ph c phân bi t c a ph ng trình ệ ứ ệ ủ ươ Tìm s ph c m sao cho ố ứ . c) Tr ê n t p s ph cậ ố ứ , tìm m đ ph ng trình b c ể ươ ậ hai: có t ng bình ph ng ổ ươhai nghi m b ng ệ ằ . Gi iảa) là nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ nên n u g i ế ọv i ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 122www.thuvienhoclieu .com4032i 1 2i 2 1 2i 1 iz 3 i2i2i 1 i        0z2z bz c 0  28 3b c 0 b 63 i b 3 i c 0 w 6 10i6 b 0 c 10                   2 2w 10 6 2 34  28z 4 a 1 z 4a 1 0 1     a1 2z , z12zz2z1 2z , z' 0 22 24 a 1 8 4a 1 0 4 a 6a 1 0 a 6a 1 0 *           2 21 2 1a 1 a 6a 1 i a 1 a 6a 1 iz , z z4 4           12zz21z22 2a 0a 1 a 6a 1 0 a 2a 0a 2          a 0, a 2 m2 24z 4 m 1 z m 3m 0    1 2z ,z1 2z z 10 1 2z ,z2z m 4i z 1 7i 0     1 22 1z z3 iz z 2 2z mz i 0  4i1 2z ,z2 24z 4 m 1 z m 3m 0    1 2z a bi z a bi    a,bChuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi thi t cho: ả ế M t khác theo Viet ta có :ặ ho c ặb) Xét ph ng trình ươ . Ta có Ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t ệ ệTheo đ nh lý Vi-ét, ta có ịM t khác ặc) Gi s ả ử là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ đã cho và v i ớ .Theo bài toán ta có : Suy ra d n t i h :ẫ ớ ệ ho c ặII. CÂU H I VÀ BÀI T P RÈN LUY N KĨ NĂNGỎ Ậ ỆCâu 1. Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ph ng trình đã cho có hai nghi m là: ươ ệV y ch n đáp án A.ậ ọCâu 2 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: . Ph ng trình đã cho có hai nghi m là:ươ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1232 21 2 1 2z z 10 z z 10    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10a b a b 2 a b 10 4 a b a b4           2 221 2m 3m m 3m 10z .z hay m 3m m 24 4 4      m 52z m 4i z 1 7i 0 1     2m 4i 4 7i 1    120 m 4i 4 7i 1 0       1 2 1 2z z m 4i;z .z 1 7i    2 21 2 1 22 1 1 2z z z z3 i 3 iz z 2 z .z 2     1 2z ,zm a bi a, b2 21 2z z 4i 2m 2i 2 2a b 0m 1 i2ab 2   m 1 i 2z 2z 5 0  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  1 2 z 1 2i; z -1 2i.   1 2 z -1 2i; z -1 2i.   2' 4 4i .  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  2z 1 3i z 2 1 i 0    1 2 z 2i; z -1- i. 1 2 z 2i; z -1 i.  1 2 z 1 2i; z -1 2i.   1 2 z -1 2i; z i.  22i 1 i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án B.ậ ọCâu 3 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là: ậ ươ ệ Câu 4 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B.C. D.H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: . Ta tìm căn b c hai ậ c a ủ Ta có: T đó, ph ng trình có hai nghi m ph c là: ừ ươ ệ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 124www.thuvienhoclieu .com1 2 1 3i 1 i 1 3i 1 iz 2i; z 1 i.2 2           2z 2 2 i z 7 4i 0    1 2 z 1 2i; z -1- i.  1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2 z 1 2i; z -1 3i.   1 2z 2 i, z 2 3i.   22' 2 i 7 4i 4 4i      1 2z 2 i, z 2 3i.   22iz 3z 4 i 0   11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2                11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2                11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               ' 9 8i 4 i 17 32i     x yi22 222256x 17x y 17xx yi 17 32i162xy 32yx        2 17 1313x217 1313x217 1313x162yx16yx     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 5 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Suy raV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 6 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có là m t căn b c hai c a ộ ậ ủ V y ph ng trình đã cho có hai nghi mậ ươ ệCâu 7 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 8 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12511 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               29z 12iz 11 9i 0    1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 21 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   2 2'6i 9 11 8i 135 72i 3 12i       1 26i 3 12i6i 3 12i 1 1 2z 2i;z i9 3 9 3 3       2z 2i 1 z 1 5i 0    1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2z i 1; z 2 3i   1 2 z 1 i; z -1 3i.   1 2z 2 i, z 2 3i.   2 2'2i 1 4 1 5i 7 24i 3 4i 3 4i            1 2z i 1; z 2 3i   2iz 2 1 i z 4 0   1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2z 2; z 2i. 1 2 z 1 i; z -1 i.   1 2z 2 4i, z 2 4i.   2 2' 1 i 4i 1 i     1 2z 2; z 2i. 2z 5 i z 8 i 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 9 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 10 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ : .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 10 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ : .A. B. C. D. ,H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 126www.thuvienhoclieu .com1 2 z 1 3i; z -1 4i.   1 2z 2 2i; z 2 2i.   1 2 z 1 5i; z -2 5i.   1 2z 2 i; z 3 2i.   2 25 i 4 8 i 8 6i 1 3i        1 2z 2 i; z 3 2i.   22z 2 5 2i z 28 4i 0     1 2 z 1 7i; z -1 5i.   1 2z 2 2i; z 2 i.   1 2z 3 4i; z 2 2i.   1 2z 2 2i; z 3 2i.   2 2' 5 2i 2. 28 4i 35 12i 1 6i        1 2z 3 4i; z 2 2i.   2z 3 4i z 1 5i 0    1 2z 1 i; z 2 3i.   1 2z 3 2i; z 2 2i.   1 2z 1 5i; z 1 2i.   1 2z 2 2i; z 3 3i.   2 23 4i 4 1 5i 3 4i 1 2i         1 2z 1 i; z 2 3i.   22z 3z 1 iz 4 3z i 0      1 5 1z 1 i; z i.13 13   1 2z 3; z 5 2i.  1 2z 1; z 1 2i.  z 15 1z i13 13 22 3i z 4i 3 z 1 i 0     2 24i 3 4 2 3i 1 i 3 4i 1 2i         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra và v y ph ng trình có hai nghi m là ậ ươ ệ và .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 12 . Tìm các s th c b,c đ ph ng trình (v i n z): ố ự ể ươ ớ ẩ nh n ậ làm m tộnghi mệ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTheo đ , ề làm m t nghi mộ ệ c a ph ng trình: ủ ươNên V y, ậ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 13. Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ : Tính giá tr c a ị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảXét ph ng trình: ươLúc đó: .V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 14. G i zọ1 và z2 l n l t là nghi m c a ph ng trình: ầ ượ ệ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1271 3 4i 1 2iz 12 2 3i   22 23 4i 1 2i 1 i 2 3i1 i 5 1z i2 3i 13 132 2 3i2 3        z 15 1z i13 13 2z bz c 0  z 1 i b 2,c 2.  b 2,c 3.  b 1,c 2.  b 2,c 2. z 1 i 2z bz c 0  2b c 0 b 21 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 .2 b 0 c 2                  b 2,c 2. 22z – 4z 11 0. 2 21 221 2z zAz z2 2172512122 3 2z 1 i22z – 4z 11 03 2z 1 i2    2 22 21 221 23 2 3 21 i 1 i2 2z z17A23 2 3 2z z1 i 1 i2 2          2z 2z 10 0  2 21 2A z z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ và và . V y ậV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 15. G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có .Do đó ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ ..V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 16. G i ọ và là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Ph ng trình đã cho có hai nghi m là ươ ệ và .N u ế thì N u ế thì V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 17. G i ọ và là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . TínhThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 128www.thuvienhoclieu .com151720102 22 4.10 36 36i    1z 1 3i 2z 1 3i. 221z 1 3 10     2 21z 1 3 10     2 21 2A z z 20.  1 2z , z22z 4z 11 0  2 21 2z z153721112' 18 18i  1 22 3 2i 2 3 2iz , z2 2  2 21 2 4 18 4 18z z 114 4              1z2z2z 2z 17 0  1 2A i z i z   A 2 23A 2 10, A 2 11 A 2 26,A 2 5 A 2 10, A 2 26  2 2' 1 17 16 4i     1 4i1 4i1z 1 4i A 2 i 1 4i 2 1 3i 2 10     1z 1 4i A 2 i 1 4i 2 1 5i 2 26      1z2z2z 4z 7 0  10 101 2z 3 2 z 3 2    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi i ph ng trình ta đ c ả ươ ượV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 18. Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình : ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Gi i (1): ả Gi i (2): ả có V y ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t là: ậ ươ ệ ệ Câu 19 . Bi t ế là nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ 19.1. T ính A. B. C. D. 19.2. T ính A. B. C. D. 19.3. T ính A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12950211 2z 2 3i; z 2 3i   10 10 10 101 210 10 5 55 55 5 5z 3 2 z 3 2 3 1 i 3 1 i3 1 i 1 i 3 2i 2i6 i i 0                          2x i 2 x 2 i x 7i 1 0        z 3 i,x 1 2i.     z 3 i,x 1 2i.    z 3 i,x 1 2i.   z 3 i,x 1 2i.   22x i 2 0 1x i 2 x 2 i x 7i 1 0x 2 i x 7i 1 0 2               x 2 i 2x 2 i x 7i 1 0    2 22 i 4 7i 1 7 24i 4 3i        1 22 i 4 3i 2 i 4 3ix 3 i; x 1 2i.2 2          1 2z ,z2z 2 i z 3 5i 0.    2 21 2z z3 14i3 14i 3 14i 3 14i4 41 2z z193 74i193 74i 193 74i193 74i 2 21 21 1z z93 157i.289 578 93 157i.289 57893 157i.289 578 93 157i.289 578Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com 19.4. T ính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTheo đ nh lý Vi-et ta có: ị Do đó:Câu 20 . G i A, B là hai đi m bi u di n cho các s ph c là nghi m c a ph ng trìnhọ ể ể ễ ố ứ ệ ủ ươ. Tính đ dài đo n th ng ộ ạ ẳ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảXét ph ng trình: ươ có .Ph ng trình có hai nghi m ươ ệ ..V y ậ .Câu 21 . Cho s ph c z ố ứ có ph n th c d ng ầ ự ươ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ . T ính . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án Aậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 130www.thuvienhoclieu .com4 42 1 1 2z z z z .67 251i. 67 251i.67 251i. 67 251i.1 21 2z z 2 iz .z 3 5i   22 21 2 1 2 1 222 2 224 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 21 2 1 21 22 2 2 21 21 2 1 234 4 3 32 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1z z z z 2z z 3 14iz z z z z z 2z z z z 2z z 2z z193 74iz z 2z zz z1 1 93 157i.289 578z zz z z zz z z z z z z z z z z z 3z z z                                2 z 67 251i.     2z 2z 3 0  AB2 23 22 332z 2z 3 0  2' 1 3 2 i 2    1 2z 1 i 2; z 1 i 2   A 1; 2 ; B 1; 2   AB 2 2z 11z 1z 2  z 4iz 2i12232 2z 2 3iz 11z 1 z 4z 13 0, ' 9 9iz 2z 2 3iz 4i 2 iz 2 3i 12 iz 2i                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 22. G i ọ l n l t là hai nghi m c a ph ng trình ầ ượ ệ ủ ươ và th a ỏmãn . Tìm giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớDo nên ta có và Ta có Câu 23 . G i ọ l n l t là hai nghi m c a ph ng trình ầ ượ ệ ủ ươ . Tính giá tr c a ị ủbi u th c ể ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ nh h ng: ị ướ Ta s ti n hành gi i ph ng trình đ u tiên đ tìm ra ẽ ế ả ươ ầ ể sau đó ti n hành ếl p vào bi u th c c n tính ta có: ắ ể ứ ầ . Đ n đây vì mũ 10 l n nên ta s ti n ế ơ ẽ ếhành làm t ng l p m t, t c là:ừ ớ ộ ứ T đó ta có l i gi i nh sau:ừ ờ ả ưPh ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớDo Q là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ nên không m t tính t ng quát, gi s ấ ổ ả ử Lúc đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1311 2z ,z2z 1 3i z 2 2i 0    1 2z z22111 2A z 1 z   133212322z 2iz 2i 1 i z 2i. 1 i 0 z 2i z i 1 0z i 1                  1 2z z1z 2i2z i 1 22 2 221121 1 1 i 1 3A z 1 i 1 i 12i i 2 2 2             1 2z ,z2z 4z 7 0  10 101 2Q z 3 2 z 3 2     13051 2z ,z10 1053 1 i 1 i     5 510 10 2 25 55 5 5 55 53 1 i 1 i 3 1 i 1 i3 2i 2i 6 i i 0                                       22 22z 4z 7 0 z 2 3 z 2 i 3 z 2 i 3           1 2z ,z12z 2 i 3z 2 i 3  2 2 10 10 10 1010 101 25 55 5 5 5Q z 3 2 z 3 2 i 3 3 i 3 3 3 i 1 3 i 13 2i 2i 6 i i 0                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án C. ậ ọL u ý:ư Cũng có th dùng d ng l ng giác c a s ph c đ gi i quy t bài toán này.ể ạ ượ ủ ố ứ ể ả ếCâu 24. Cho s ph c z có ph n th c d ng th a mãn ố ứ ầ ự ươ ỏ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có ho c ặV i ớ ta có V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 25. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: Ph ng trình đã cho có hai nghi m ươ ệ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 26. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:Do đó, ph ng trình đã cho có hai nghi mươ ệ V y ch n đáp án B. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 132www.thuvienhoclieu .com2z 6z 13 0   6zz i131777 32 2 22z 6z 13 0 z 3 4 z 3 2i z 3 2i           z 3 2i z 3 2i 6 6z 3 2i 4 i 17z i 3 3i       2z 2cos .z 1 0   1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       22 24cos 4 4sin 2sin .       12 2cos 2i sinz cos i sin ;22cos 2i sinz cos i sin2            2z cos i sin z i sin .cos 0.        1 2z i sin , z i sin   1 2z cos , z i sin   1 2z cos , z i sin   1 2z cos , z cos   22 22cos i sin 4i sin .cos cos sin 2i sin .coscos i sin                 11 cos i sin cos i sinz cos2cos i sin cos i sinz i sin2                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 31. Bi t ph ng trình ế ươ không có nghi m th c. Tìm nh ng ệ ự ữgiá tr có th có c a ị ể ủ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảN u ph ng trình có m t nghi m th c r thì:ế ươ ộ ệ ựT ph ng trình (2) ta có:ừ ươ N u ế thì t (1) suy ra ừ ph ng trình này không có nghi m th c.ươ ệ ự N u ế thì t (1) suy ra ừV y ph ng trình đã cho không có nghi m th c khi và ch khi ậ ươ ệ ự ỉV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 32. Cho và là các s ph c th a mãn ố ứ ỏ Gi s ả ử là các nghi m ệc a ph ng trình ủ ươ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ v i m là s ph c.ớ ố ứ32.1. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủA. B. C. D. 32.2. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảS d ng đ nh lý Viet ta có ử ụ ịDo đó: T ừ suy ra Do đó đi m M bi u di nể ể ễs ph c m trên m t ph ng ph c thu c đ ng tròn tâm I(4;5)ố ứ ặ ẳ ứ ộ ườvà bán kính R=7. Ta c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh tầ ị ớ ấ ị ỏ ấc a OM. Đ ng th ng OI c t đ ng tròn t i hai đi m A,B v iủ ườ ẳ ắ ườ ạ ể ớOn m gi a Avà I. Vì ằ ữ nên:32.1. Giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ khi khi đó: V y ch n đáp án A.ậ ọ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 13321 i x i x 1 i 0        .3 1 2 3 2 2 222221 i r i r 1 i 0 r r 1 i r r 0r r 1 0,(1)r r 1 0r r 1 01 r 1 0, 2r r 1 0r r 0                                             1 2r r 1 0,  r 11 1 0 2.      2. 1z2z21 2z 4z 16 20i.   , 21 2x z x z m 0   2 7,   m .maxm 7 41. maxm 9 47. maxm 7 34. maxm 5 35. m .maxm 3 47. maxm 7 41. maxm 7 34. maxm 5 35. 1 2z , . z m.       221 24 z 4z 4m 16 20i 4m              2 7   4 5i m 7.  2 2OI 4 5 41  mM B,maxm OB OI IB 7 41.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com 32.2. Giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ khi khi đó: V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 33 . Tìm mô-đun c a s ph c ủ ố ứ bi t s ph c ế ố ứ là nghi m c aệ ủph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Do đó Theo gi thi t ta có ả ếV y ch n đáp án C.ậ ọCâu 34. Cho a,b,c là 3 s ph c phân bi t khác 0 và ố ứ ệ . N u m t nghi m c a ế ộ ệ ủph ng trình ươ có môđun b ng 1 thì kh ng đ nh nào sau đây đúngằ ẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ử là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ v i ớ . Theo đ nh lý Viet ta cóị Suy ra B i vì ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 134www.thuvienhoclieu .commM A,minm OA IA OI 7 41.    w b ci 12661 3i 2 i1 3i 1 i  2z 8bz 64c 0  2 57291932 31 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 8     32 321 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 81 i 2i       1246 2 361 3i 2 i8 2 i 8 2 i8 1 2i 8 16ii8 2i1 3i 1 i         28 16i 8b 8 16i 64c 0    2221 2i b 1 2i c 0 2b 4 i b c 3 02b 4 0 b 2w 2 5 29b c 3 0 c 5                         a b c 2az bz c 0  2c ab2a bcb ac2b ac1 2z ,z2az bz c 0  z 11 2 21c c 1z z z .a a z  21c c 1z . 1a a z  21 2 1 2 1 2 1 2bz z , a b z z 1,suy ra z z z z 1a        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35 . Tìm nghi m c aệ ủ ph ng trình:ươ .A. B. C. , D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở V i ớV i ớV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 36. Tìm nghi m c aệ ủ ph ng trình:ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở V i ớV i ớV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 37. Tính giá tr c a ị ủ bi t ế là nghi m ph c ệ ức a ph ng trìnhủ ươ . A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1352221 2 1 2 1 21 21 1 b cz z 1 z z z .z b acz z a a                  2iz 3 iz 33 4 0z 3i z 3i       1 55 1 5z i,z i17 17 7 7   z 3i,z 3i 4   1 55z i17 17 z 3i 1 5z i,z 3i 47 7   iz 3tz 3i2t 4t 3t 4 0t 1   iz 3t 4 4 iz 3 4 z 3i iz 3 4z 13iz 3i           13i 3 1 554 i z 13i 3 z i4 i 17 17          iz 3t 1 1 iz 3 z 3i 1 i z 3 3i z 3i.z 3i            2z 3 i 6 z 3 i 13 0.       z 3i,z 1 2i    z i,z 3i 4   z 3i 4,z 3i   z 3i,z i t z 3 i  2t 3 2it 6t 13 0t 3 2i     t 3 2i z 3 i 3 2i z 3i.        t 3 2i z 3 i 3 2i z i.        2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    1 2 3 4z ,z ,z ,z2 25z 6iz 2 3z 2iz 0    122513451123 267Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi i ướ ẫ ảPh ng trình cho ươGi i ả : ta có Suy raDo đó: V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 38. G i ọ là b n nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ trên t p s ph c, tính t ng: ậ ố ứ ổ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảKhông m t tính t ng quát ta g i 4 nghi m c a ph ng trình là:ấ ổ ọ ệ ủ ươThay vào bi u th c ể ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 39. Cho là các nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ . TínhA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 136www.thuvienhoclieu .com2 23z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2      1 2 2i1 z 0,z3  22'3i 10 1   3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i;z i5 5 5 5 5 5      2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    2 224 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 5                                   4 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45                            1 2 3 4z ,z ,z ,z2z 1 z 2 z 2z 2 0    2 2 2 21 2 3 41 1 1 1Sz z z z   253554671 2 3 4z 1,z 2,z 1 i,z 1 i     2 2 2 2 2 21 2 3 41 1 1 1 1 1 1 5S 14 4z z z z1 i 1 i         1 2 3 4z , z , z , z2 2z 1 z 2z 2 0   2014 2014 2014 20141 2 3 4S z z z z   54232 22z 1 i z iPTz 1 iz 2z 2 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1372014 2014 20142014S i i 1 i 1 i      100710072 1007 1007 10072 1007 1007 1007i i 2i 2i 2 2 i 2 i 2              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com D NG 3. PH NG TRÌNH B C BAẠ ƯƠ ẬPh ng PhápươTheo đ nh lý c b n c a đ i s , ph ng trình b c ba có đúng 3 nghi m ph c (không ị ơ ả ủ ạ ố ươ ậ ệ ứnh t thi t phân bi t).ấ ế ệ1) Đ gi i ph ng trình b c ba t ng quát ể ả ươ ậ ổ (1), ta c n bi t ầ ếm t nghi mộ ệ c a ph ng trình. Khi đó ph ng trình (1) đ c bi n đ i thành ủ ươ ươ ượ ế ổph ng trình tíchươMu n xác đ nh ố ị ta có th dùng m t trong hai cách:ể ộCách 1: Ta th c hi n phép chia đa th c ự ệ ứ cho th ng s làươ ẽCách 2: Dùng s đ Horner sau đây đ xác đ nh h s A,b,c c a đa th c th ng làơ ồ ể ị ệ ố ủ ứ ươ. 2) Đôi khi ta có th xác đ nh ể ị b ng cách nh m nghi m nh sau:ằ ẩ ệ ưN u ế thì ph ng trình có 1 nghi m làươ ệ =1.N u ế thì ph ng trình có 1 nghi m là ươ ệ .3) Vi c bi n đ i thành ph ng trình tích có th th c hi n d dàng n u ta có th đ t ệ ế ổ ươ ể ự ệ ễ ế ể ặnhân t chung.ử4) Ta bi t r ng n u m t ph ng trình đa th c h s th c có 1 nghi m ph cế ằ ế ộ ươ ứ ệ ố ự ệ ứthì cũng là 1 nghi m. Nh v y:ệ ư ậo M i ph ng trình b c ba h s th c có ít nh t m t nghi m th c, nghĩa làọ ươ ậ ệ ố ự ấ ộ ệ ự- Ho c có 3 nghi m th cặ ệ ự- Ho c có 1 nghi m th c và 2 nghi m ph c (không th c) liên h p nhau.ặ ệ ự ệ ứ ự ợo Mu n gi i ph ng trình b c 3 h s th c, ta th ng ph i tìm nghi m th c c a ố ả ươ ậ ệ ố ự ườ ả ệ ự ủph ng trình r i bi n thành ph ng trình tích. Nghi m th c này có th tính ươ ồ ế ươ ệ ự ểchính xác nh máy tính b túi (n u là nghi m h u t ).ờ ỏ ế ệ ữ ỉo N u bi t ph ng trình b c 3 h s th c ế ế ươ ậ ệ ố ự có 1 nghi m không là s th c ệ ố ựthì cũng là nghi m, nên ph ng trình ph i có d ngệ ươ ả ạChia cho s tìm đ c th a s ẽ ượ ừ ốNh v y ph ng trình có 3 nghi m là ư ậ ươ ệI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 138www.thuvienhoclieu .com3 2Az Bz Cz D 0   A 00z0202z z 01 z z Az bz c 0Az bz c 0        2Az bz c, 3 2Az Bz Cz D  0,z z2Az bz c. 2Az bz c 0zA B C D 0   0zA B C D 0   z 10z x yi x, y ,y 0   0z x yi P z 00z0z1 0 0P z z z z z z z 0.    P z20 0 0 0 0 0z z z z z z z z z .z     1z z .0 0 1z ,z ,z .Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 1.ụ Gi i các ph ng trình sau:ả ươa) bi t 1 nghi m là ế ệ .b) bi t 1 nghi m là ế ệ .c) bi t 1 nghi m là ế ệGi iảa) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình đã cho vi t thành:ươ ếV y ph ng trình có 3 nghi m: ậ ươ ệb) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ. Do đó, h ng trình đã cho vi t thành:ươ ếGi i (1): ảGi i (2): Ta có: ảTa đi tìm căn b c hai c a ậ ủ Đ t ặT (ii) suy ra: ừT (1) suy ra: ừ (lo i) ho c ạ ặV i ớV i ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1393 2z 2 i z 2 2i z 2i 0      1z i3 2z 4z 4 i z 3 3i 0      1z i3 2z z 2 2i z 2 4i 0      1z 1 i. 3 2z 2 i z 2 2i z 2i     z i2z 2z 2  3 2 2z 2 i z 2 2i z 2i 0 z i z 2z 2 0          2 2z i 0 z iz iz 1 iz 2z 2 0 z 2z 2 0              1 2 3z i; z 1 i; z 1 i.    3 2P z z 4z 4 i z 3 3i      z i2z 4 i z 3 3i   3 2 2z 4z 4 i z 3 3i 0 z i z 4 i z 3 3i 0            2z i 0 1z 4 i z 3 3i 0 2     1 z i 24 i 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i.           23 4i x yi , x,y   2 22 2 x y 3 ix y 2xyi 3 4i2xy 4 ii      2x 0, yx 2 4 224x 3 x 3x 4 0x     2x 1 2x 4 x 2.  x 2 y 1  x 2 y 1.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Nh v y: ư ậPh ng trình ươ có 2 nghi m là:ệV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươc) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là: ượ ươ . Do đó, ph ng trình đã cho vi t thành:ươ ếGi i (1): ảGi i (2): Ta có ảĐ t ặT (ii) suy ra: ưT (i) suy ra: ừho c ặ (lo i)ạV i ớV i ớNh v y: ư ậPh ng trình (2) có 2 nghi m là ươ ệV y ph ng trình đã cho có ba nghi m là: ậ ươ ệVí d 2.ụ Gi i các ph ng trình:ả ươa) và bi t ph ng trình có 1 nghi m là ế ươ ệb) và bi t ph ng trình có 1 nghi m là ế ươ ệc) Tìm các s a, b, c đ ph ng trình ố ể ươ nh n ậ và làm nghi m.ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 140www.thuvienhoclieu .com22 i .  3 2z 4z 4 i z 3 3i 0      4 i 2 i 4 i 2 iz 1 i, z 3.2 2           z i, z 1 i, z 3.   3 2P z z z 2 2i z 2 4i      z 1 i 2z iz 1 3i  3 2z z 2 2i z 2 4i 0      22z 1 i 0 1z 1 i z iz 1 3i 0z iz 1 3i 0 2            1 z 1 i  2i 4 12i 5 12i.     25 12i x yi , x,y R    2 22 2 x y 5 ix y 2xyi 5 12i2xy 12 ii      6x 0,yx 2 4 2236x 5 x 5x 36 0x     2x 4 2x 9x 2.x 2 y 3  x 2 y 3.  22 3i .  i 2 3i i 2 3iz 1 2i; z 1 i2 2        1 2 3z 1 i; z 1 2i; z 1 i.     3 2z 1 i z az b 4i 0,a, b R       z 1 i. 3 2z aiz i b z 2 2i 0,a, b R      z 1 i. 3 2z az bz c 0   z 1 i z 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảa) Theo đ : ề là nghi m cu ph ng trình ệ ả ươ nênV i ớ ph ng trình đã cho tr thành: ươ ởVì ph ng trình có 1 nghi m là ươ ệ ta chia đa th cứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trìnhươt ng đ ng v iươ ươ ớV y ph ng trình có 3 nghi m ậ ươ ệb) Ta có: là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên V i ớ ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởBi t ế là 1 nghi m, chia đa th c ệ ứ cho ta đ c ượth ng là: ươ . Do đó, ph ng trình: ươ t ng đ ng ươ ươv i:ớGi i (1): ảGi i (2): ảV y ph ng trình có 3 nghi m là:ậ ươ ệ .c) Vì và là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 141z 1 i 3 2z 1 i z az b 4i 0      3 21 i 1 i 1 i a 1 i b 4i 0        a b 0a b a 4 i 0 a 4, b 4.a 4 0          a 4, b 4  3 2z 1 i z 4z 4 4i 0.     z 1 i,  3 2P z z 1 i z 4z 4 4i     z 1 i 2z 43 2z 1 i z 4z 4 4i 0      22 2z 1 iz 1 iz 1 i z 4 0z 2i.z 4 4i        z 1 i, z 2i, z 2i.   z 1 i. 3 2z aiz i b z 2 2i 0,a,b R      3 22 3 2 21 i ai 1 i i b 1 i 2 2i 01 3i 3i i ai 1 2i i i i b bi 2 2i 01 3i 3 i 2a i 1 b bi 2 2i 03 2a b 0 a 33 2a b b 3 i 0b 3 0 b 3.                                                 a 3, b 3 3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0.     z 1 i 3 2P z z 3iz i 3 z 2 2i     z 1 i 2z 1 2i z 2i    3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0     22z 1 i 0 1z 1 i z 1 2i z 2i 0z 1 2i z 2i 0 2             1 z 1 i  2z 12 z 1 2i z 2i 0, A B C 0z 2i.        z 1 i, z 1, z 2i   z 1 i z 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 3ụ . a) Cho ph ng trình: ươ , g i ọ l n l t là 3 nghi mầ ượ ệc a ph ng trình (1) trên t p s ph c. Tính giá tr bi u th c: ủ ươ ậ ố ứ ị ể ứ . b ) Gi i ph ng trình sau trong t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ức) Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c ả ươ ậ ố ứ . Gi iảa) Ta có: có 3 nghi m là: ệLúc đó: b) Ta có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ c) Ta có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 142www.thuvienhoclieu .com333 22 a 2 2b c 04a 2b c 8 0b c 2a b 2 i 01 i a 1 i b 1 i c 0b c 2 0 a 42a b 2 0 b 6 .4a 2b c 8 0 c 4                                   3 2z 5z 16z 30 0 1    1 2 3z , z , z2 2 21 2 3A z z z  3z 6z 9 0.  3 2z 3iz 3z 2i 0   3 2z 5z 16z 30 0   1 2 3z 3; z 1 3i; z 1 3i    2 22 2 2 21 2 3A z z z 3 1 3i 1 3i 7        3 22z 3pt z 9z 3z 9 0 z 3 z 3z 3 0z 3z 3 0z 33 3 3 3z i, z i2 2 2 2                3 3 3 3z 3, z i, z i.2 2 2 2    3 33 2 322z 3iz 3z 2i 0 z i i 0 z i i 0z 2i z i i z i 1 0z 2i z 2ii 3 i 3 i 3z 2i z 0 z z2 4 2 2 2i 3 i 3z z2 2 2                                                i 3 i 3z 2i; z ; z2 2   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 4ụ . Ch ng minh r ng ph ng trình sau có nghi m thu n oứ ằ ươ ệ ầ ả.Gi iảGi s ph ng trình có nghi m thu n o.ả ử ươ ệ ầ ảĐ t ặ (a là s th c khác 0), thay vào ph ng trình ta đ c:ố ự ươ ượV y ph ng trình đã cho có nghi m thu n o là ậ ươ ệ ầ ả .Ví d 5.ụ Gi i ph ng trìnhả ươ : , trên t p s ph c, bi t ph ngậ ố ứ ế ươtrình có nghi m thu n o.ệ ầ ảGi iảGi s ả ử là m t nghi m c a ph ng trình. Khi đó, ta có:ộ ệ ủ ươ là m t nghi m c a ph ng trình nên ta bi n đ i ộ ệ ủ ươ ế ổph ng trình đã cho v d ng:ươ ề ạ V y ph ng trình đã cho có nghi mậ ươ ệII. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1. Tìm nghi m c aph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình ệ ố ủ ươ th a mãn:ỏV y ph ng trình nh n ậ ươ ậ là nghi m.ệPh ng trình ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1433 22z 5i 3 z 8i 4 z 4i 4 0       z ai3 22 3 223 22 ai 5i 3 ai 8i 4 ai 4i 4 03a 8a 4 i 2a 5a 4a 4 03a 8a 4 0a 22a 5a 4a 4 0                        z 2i3 2z 2 2i z 5 4i z 10i 0     z xi3 22 3 2x i 2 2i x 5 4i x 10i 02x 4x x 2x 5x 10 i 0              23 22x 4x 0x 2 x 2ix 2x 5x 10 0          22z 2iz 2iz 2i z 2z 5 0z 1 2iz 2z 5 0        z 2i;z 1 2i  3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.     1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      A B C D 1 1 2i 2 1 i 2 0.         z 13 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi i (1): ảGi i (2): Ta có ảPh ng trình (2) có 2 nghi m là ươ ệV y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 2. Tìm nghi m c aph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình ệ ố ủ ươ th a mãn:ỏ nên ph ng trình nh n ươ ậ là 1 nghi m.ệPh ng trình ươGi i (1): ảGi i (2): ảPh ng trình (2) có hai nghi m là: ươ ệ, K t lu n: ph ng trình ế ậ ươ có 3 nghi m là:ệV y ch n đáp án Dậ ọ . Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 144www.thuvienhoclieu .com22z 1 0 1z 1 z 2iz 2 0z 2iz 2 0 2        (1) z 1 22' i 2 1 2 3 3i       z 1 3 i. 1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      A B C D 1 2i 2 i 3 i 0         z 13 2z 2iz 2 i z 3 i 0      22z 1 0 1z 1 z (1 2i)z 3 i 0z (1 2i)z 3 i 0 2            (1) z 1 21 2i 12 4i 1 4 4i 12 4i 15.          11 2i 15i 1 1z 2 15 i2 2 2    21 2i 15i 1 1z 2 15 i.2 2 2    3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 3. Bi t ế là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4. Bi t ế là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 5. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa th y ph ng trình ấ ươ nh n ậ là nghi m.ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1451 2 3z ,z ,z3 2z 2 i z z 2 i 0.      1 2 3A z z z  2 32 52 72 53 2z 2 i z z 2 i 0     2 2z z 2 i z 2 i 0 z 2 i z 1 0          2 2z 2 i 0 z 2 iz 2 iz i.z 1 0 z 1             z 2 i, z i, z i.   1 2 3z ,z ,z3 2z 3iz 3z 9i 0   1 2 31 1 1z z z  2 323 2 332 752 543 33 22z 3iz 3z 9i 0 z i 2i 0z iz i z i 2i z i 4 0 .z 3                 z i, z 3.  3 22z 9z 14z 5 0   1z , z 3 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 2 i2    3 22z 9z 14z 5 0   1z2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ả .Gi i (2): ả . Ta có: Do đó, ph ng trình (2) có hai nghi m là: ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa th y ph ng trình: ấ ươ có 1 nghi m là z=3.ệChia đa th c ứ cho z-3 ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng ươtrình t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ảGi i (2): Ta có:ảDo đó ph ng trình (2) có hai nghi m:ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệCâu 7. Cho ph ng trìnhươ bi t ph ng trình có 1 ế ươnghi m là ệ Tìm t ng mô đun hai s ph c còn l iổ ố ứ ạA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 146www.thuvienhoclieu .com3 2P z 2z 9z 14z 5    1z222z 8z 10 3 22z 9z 14z 5 0   22 1z 0 112z 2z 8z 10 022z 8z 10 0 2          11 z2 22 z 4z 5 0    2' 4 5 1 i    z 2 i. 1z , z 2 i, z 2 i2    3 2z 7z 17z 15 0   1z , z 3 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 2 i2    3 2z 7z 17z 15 0   3 2P z z 7z 17z 15    2z 4z 5 3 2z 7z 17z 15 0   22z 3 0 1z 3 z 4z 5 0z 4z 5 0 2       1 z 3 2' 4 5 1 i    z 2 i. 1 2 3z 3, z 2 i, z 2 i.    3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     1z 3 2i. 13 713 513 313 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ph ng trình: ươ h s th c có 1 nghi m là ệ ố ự ệSuy ra cũng là nghi m. ệDo đó ph ng trình ph i có d ng: ươ ả ạ Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươPh ng trình ươ t ng đ ng v iươ ươ ớV y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 8. Cho ph ng trình ươ và bi t ph ng trình có nghi m thu n ế ươ ệ ầo. Tìm bảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i nghi m thu n o c a ph ng trình là ai ọ ệ ầ ả ủ ươ ai th a mãn ph ng trình:ỏ ươTa có: V i ớ (lo i)ạV i ớV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 9. Cho ph ng trình ươ và bi t ph ng trình có ngi m ế ươ ệth c. Tìm các nghi m c a ph ng trìnhự ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1473 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     1z 3 2i. 1z 3 2i 1z z z 3 2i z 3 2i 0.     3 2P z z 6 2 z 13 6 2 z 13 2     2z 3 2i z 3 2i z 6z 13,       z 2.3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     z 2 z 3 2i z 3 2i 0.     1 2 3z 2,z 3 2i,z 3 2i.    3 2z 2z 25z b 0, b R    325505a R 3 23 2232ai 2 ai 25ai b 0 a i 2a 25ai b 0b 2a 12a b a 25a i 0a 25 a 0 2                a 02a 5a 0 b 0  a 5 b 50.  3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R       1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com G i x là nghi m th c c a ph ng trình: ọ ệ ự ủ ươ ta có: Suy ra ph ng trình có d ng:ươ ạv i z=2 là nghi m th c c a ph ng trình.ớ ệ ự ủ ươChia đa th c ứ cho z-2 ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ảGi i (2): Ta có: ả . Ph ng trình (2) có hai nghi m là:ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệCâu 10. Tìm nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảBi n đ i ph ng trình thành: ế ổ ươ .Đ t ặ thì ph ng trình tr thành:ươ ở.  V i ớ : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 148www.thuvienhoclieu .com3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R       3 23 23 2x bx (9 i)x 6 2i 0x bx 9x 6 2 x i 02 x 0x 2b 5x bx 9x 6 0                 3 2z 5z 9 i z 6 2i 0,     3 2P z z 5z 9 i z 6 2i     2z 3z 3 i  3 2z 5z 9 i z 6 2i 0      22z 2 0 1z 2 z 3z 3 i 0z 3z 3 i 0 2         1 z 2 29 12 4i 3 4i 1 2i       1 2z 2 i, z 1 i   1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    32z i z 1 2iz2 01 i 2i       1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    z 1 2i, z i, z 2 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    3 2z i z i2 01 i 1 i             z iw1 i3 2 222 2w w 2 0 w 1 w 2w 2 0w 1w 1w 2w 2 0 w 1 i 0              w 1w 1 iw 1 i   w 1z i1 z 1 2i1 i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  V i ớ :  V i ớ : V y ph ng trình có 3 nghi m: ậ ươ ệV y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 149w 1 i z i1 i z i1 i   w 2 i z i2 i z 2 i1 i    z 1 2i, z i, z 2 i.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com D NG 4. PH NG TRÌNH B C B N S PH CẠ ƯƠ Ậ Ố Ố ỨPh ng Phápươ V i d ng ph ng trình trùng ph ng, ta đ t ớ ạ ươ ươ ặ , s đ a v ph ng trình b c haiẽ ư ề ươ ậtheo w. Gi i ph ng trình này, ta tính w r i l i gi i ph ng trình ả ươ ồ ạ ả ươ đ tính z.ể N u ế thì ph ng trình ươ có 1 nghi m làệ . Chia cho , ph ng trình ươ t ng ươđ ng v i ph ng trình ươ ớ ươ N u ế thì ph ng trình ươ có 1 nghi m làệ . Chia cho , ph ng trình P(z)=0 t ng ươ ươđ ng v i ph ng trình ươ ớ ươNh v y ta nên vi t các h s c a ph ng trình đ xem ph ng trình có r i vào hai ư ậ ế ệ ố ủ ươ ể ươ ơtr ng h p đ c bi t này không.ườ ợ ặ ệ Tr ng h p ph ng trình h s th c, n u bi t 1 nghi m ườ ợ ươ ệ ố ự ế ế ệ (không là s th c) thì ố ựcũng là nghi m. Do đó ph ng trình có d ng:ệ ươ ạKhi khai tri n ph ng trình này và đ ng nh t v i ph ng trình đã cho s tìm đ c ể ươ ồ ấ ớ ươ ẽ ượh s b và c.ệ ốGi i ph ng trình: ả ươ ta đ c nghi m ượ ệNh v y ph ng trình đã cho có 4 nghi m là: ư ậ ươ ệI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các ph ng trình:ả ươa)b)c)Gi iảa) Ph ng trình: ươ ta coi là ph ng trình b c hai theo ươ ậ , ph ng trình có 2 ươnghi m là ệ ho c ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 150www.thuvienhoclieu .com2w z2w zA B C D E 0    4 3 2Az Bz Cz Dz E 0    z 14 3 2P z Az Bz Cz Dz E     z 1P z 03 2z 1 Az bz cz d 0.    A B C D E 0    4 3 2Az Bz Cz Dz E 0    z 14 3 2P z Az Bz Cz Dz E     z 13 2z 1 Az bz cz d 0.    0z0z20 0z z z z Az bz c 0.    2Az bz c 0  1 2z ,z .0 0 1 2z ,z ,z ,z .4 2z 4z 5 0  4 2z 8 8i z 63 16i 0     4 2iz 2 1 2i z 8 0.   4 2z 4z 5 0  2z2z 12 2z 5 5i z 1z 5i.Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Đ t ặ ph ng trình ươ (1) tr thànhởPh ng trình (2) ươV i ớV i ớV y ph ng trình (1) có 4 nhi m là: ậ ươ ệc) (1)Đ t ặ ph ng trình ươ tr thànhở(2)Ph ng trình (2) có 2 nghi m là: ươ ệV i ớV i ớV y ph ng trình ậ ươ có 4 nghi m là:ệ Ví d 2.ụ Cho ph ng trình b c b n h s th cươ ậ ố ệ ố ựBi t ph ng trình có 1 nghi m ế ươ ệ .Tính m và nghi m còn l i.ệ ạGi iảTa có là nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươPh ng trình tr thành ươ ở (1)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1512w z ,4 2z 8 8i z 63 16i 0     2 22 2w 8 8i w 63 16i 0 w 2 4 4i w 63 16i 2' 4 4i 63 16i 32i 63 16i 63 16i 1 8i                    w 4 4i 1 8i 5 12iw 4 4i 1 8i 3 4i          22w 5 12i z 5 12i 3 2i z 3 2i .         22w 3 4i z 3 4i 2 i z 2 i .         z 3 2i ,z 2 i .   4 2iz 2 1 2i z 8 0   2w z ,4 2iz 2 1 2i z 8 0   2iw 2 1 2i w 8 0   2 22 2' 1 2i 8i 1 4i 4i 8i 1 4i 4i 1 2i .            1 221 2i 1 2i 1 2i 1 2i 2 2iw 4, w 2i.i i ii            2 2w 4 z 4i z 2i    22w 2i z 1 i z 1 i .      4 2iz 2 1 2i z 8 0   z 2i,z 1 i .  4 3 2P z z 4z 9z mz 20 0,m R.       1z 2i1z 2i4 3 2z 4z 9z mz 20 0    4 3 22i 4 2i 9 2i m 2i 20 016 32i 36 2mi 20 0 32 2m i 0 m 16.                    4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta bi t r ng n u m t ph ng trình đa th c h s th c nh n ế ằ ế ộ ươ ứ ệ ố ự ậ là 1 nghi m ph c, không ệ ứth c, ự thì cũng là nghi m c a ph ng trình. Nh v y ệ ủ ươ ư ậph ng trình nh n 2 nghi m là ươ ậ ệ Do đó ph ng trình (1) ph i có d ng:ươ ả ạĐ ng nh t h s c a hai ph ng trình (1) và (2) ta đ c ồ ấ ệ ố ủ ươ ượV y ph ng trình ậ ươV y ph ng trình có 4 nghi m: ậ ươ ệVí d 3.ụ Ch ng minh r ng ph ng trình: ứ ằ ươ có hai nghi m là s ệ ốthu n o.ầ ảGi iảĐ t ặ là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươ V y ậ là nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươVí d 4.ụ Ph ng trình ươ có 4 ngh m không th c v i các giá tr th c a,ệ ự ớ ị ựb, c, d. Bi t tích hai trong b n nghi m đó là ế ố ệ và t ng c a hai nghi m còn l i là ổ ủ ệ ạ . Tìm giá tr c a bị ủGi iảG i 4 nghi m c a ph ng trình ọ ệ ủ ươ là Khi đónên ta suy ra (*).Theo bài ra ta có .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 152www.thuvienhoclieu .com1z1z x yi, x,y R,y 0   1z x yi 1 2z 2i,z 2i. 22 24 3 2P z z 2i z 2i z az b 0, a,b RP z z 4 z az b 0P z z az b 4 z 4az 4b 0, 2                  a 4, b 5. 4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0      22 222 22z 4 0z 4 z 4z 5 0z 4z 5 0z 4 0 z 4 z 2iz 4z 5 0 z 2 i.                    z 2i, z 2 i.  4 3 2z 4z 14z 36z 45 0    2 2 3 3 4 4z bi z b , z ib , z b     z bi34 24 24 2 33b 4 ib 14 b 36ib 45 0b 14b 45 0b 14b 45 i 4b 36b 0 b 34b 36b 0                 z 3i4 3 2x ax bx cx d 0    13 i3 4i4 3 2x ax bx cx d 0    , , , .   4 3 2x ax bx cx d x x x x , x              b         . 13 i, 3 4i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên cũng nh ư ph i là các s ph c liên h p, do đóả ố ứ ợ.Theo (*) thì V y giá tr c n tìm c a b là 51.ậ ị ầ ủVí d 5ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ứGi iảBi n đ i ph ng trình đã cho v d ng:ế ổ ươ ề ạV y nghi m c a ph ng trình là:ậ ệ ủ ươVí d 6ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p s ph cả ươ ậ ố ứ : Gi iảNh n xét ậ không là nghi m c a ph ng trình (1) v y ệ ủ ươ ậChia hai v PT (1) cho ế ta đ cượ : (2)Đ t ặ . Khi đó Ph ng trình (2) có d ngươ ạ : (3)PT (3) có 2 nghi m ệV i ớ ta có Có PT(4) có 2 nghi m: ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 153a, b,c,d R . ; .   ;    3 4i, . 13 i        b                  b 3 4i 3 4i 13 i 13 i 51.        4 3 2z 4z 11z 14z 10 0    222 22z 2z 2z 2z 7 z 2z 10 0z 2z 5       22z 1 iz 2z 2 0 z 1 iz 1 2iz 2z 5 0z 1 2i          z 1 i; z 1 i; z 1 2i; z 1 2i.       24 3zz z z 1 02    z 0z 02z221 1 1z z 0z 2z             1t zz 2 221t z 2z  2 221z t 2z   25t t 02  251 4. 9 9i2    1 3i 1 3it , t2 2  1 3it221 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 4z 2      2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i          1 3i 3 i 1 3i 3 ii 1z 1 i, z4 4 2         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ ta có: Có PT(5) có 2 nghi m: ệV y ph ng trình đã cho có 4 nghi m: ậ ươ ệV y ph ng trình có các nghi m ậ ươ ệII. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1. Tìm t ng mô đun các nghi m c a ph ng trình ổ ệ ủ ươ bi t ếph ng trình có nghi m th cươ ệ ựA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ là nghi m th c c a ph ng trình, ta có:ệ ự ủ ươ(1)Nh v y ph ng trình đ c bi n đ i thành ph ng trình tích có d ng:ư ậ ươ ượ ế ổ ươ ạĐ ng nh t ph ng trình (1) và (2) ta đ c: ồ ấ ươ ượV y ph ng trình (1) t ng đ ng v i: ậ ươ ươ ươ ớGi i (i): ảGi i (ii): Ta có: ả . Ph ng trình (ii) có hai nghi mươ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 154www.thuvienhoclieu .com1 3it2 21 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 5z 2       2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i          1 3i 3 i 1 3i 3 i1 iz 1 i, z4 4 2          i 1 i 1z 1 i, z 1 i, z , z2 2       3 3 3 3z 3; z i; z i2 2 2 2    4 3 2z z 3 i z 4z 4i 4 0,      5 23 2 3 27 2z x4 3 2x x 3 i x 4x 4i 4 0       4 3 2 224 3 2x x 3x 4x 4 i x 4 0x 4 0x 2.x x 3x 4x 4 0                2 2 24 3 2z 2 z 2 z az b 0 z 4 z az b 0z az b 4 z 4az 4b 0, 2               a 1b 4 3 i a 14a 4 b 1 i4b 4i 4         22 22z 4 iz 4 z z 1 i 0z z 1 i ii       2z 4 z 2  21 4 4i 1 2i     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m: ậ ươ ệV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 2. Bi t ph ng trình có ế ươ có nghi m thu n o. Tìm t ng mô đunệ ầ ả ổc a các nghi m ph c có ph n o d ng.ủ ệ ứ ầ ả ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i nghi m thu n o c a ph ng trình là ọ ệ ầ ả ủ ươ ta có:V y 2 nghi m thu n o c a ph ng trình là ậ ệ ầ ả ủ ươ và ph ng trình có d ng ph ng trình ươ ạ ươtích: Đ ng nh t ph ng trình này v i ph ng trình đã cho ta đ c:ồ ấ ươ ớ ươ ượPh ng trình tr thành:ươ ởK t lu n: Ph ng trình đã cho có 4 nghi m là: ế ậ ươ ệSuy ra: V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 3. Cho ph ng trình: ươ Ph ng trình có bao nhiêu ươnghi m th cệ ựA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình là:ệ ố ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1551 2 1 1 2i 1 1 2iz , z 1 i2 2        1 2 3 4z 2,z 2,z i,z 1 i.    4 3 2z 2iz z 2iz 2 0    2315xi, x R ,4 4 3 3 2 2 4 3 222 2 22 3 23 2x i 2ix i x i 2i.xi 2 0 x 2x x 2x 2 0x x 2x 1 2 x 1 0 x x 1 2 x 1 0x 1 x x 1 2 0 x 1 x x 2 0x 1 0x 1x 1.x x 2 0                                    z i2 2 24 3 2z i z i z az b 0, a, b C z 1 z az b 0z az b 1 z az b 0.                a 2i a 2ib 1 1 b 2      22z iz iz i z i z 2iz 2 0z i 1z 2iz 2 0         z i, z i, z 1 i, z 1 i.     i 1.4 3 2z 3z 2 i z 3z 3 i 0 1 .      2014A 1; B 3;C 2 i;D 3; E 3 i.       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có Suy ra ph ng trình có 1 nghi m: ươ ệ .Chia đa th c ứ cho , ta bi n đ i:ế ổPh ng trình (2) l i có các h s th a mãn: ươ ạ ệ ố ỏDo đó ph ng trình (2) có 1 nghi m z= -1.ươ ệSuy ra (3) có 2 nghi m là ệK t lu n: Ph ng trình (1) có 4 nghi m là:ế ậ ươ ệCâu 4. Cho là nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c a bi u ị ủ ểth c: ứ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: Gi iả ta có Suy ra Do đó Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 156www.thuvienhoclieu .comA B C D E 0.    z 14 3 2P z z 3z 2 i z 3z 3 i      z 13 23 2z 11 z 1 z 2z iz 3 i 0z 2z iz 3 i 0, 2           A ' B' C ' D ' 1 2 i 3 i 0.        222 z 12 z 1 z 3z 3 i 0z 3z 3 i 0, 39 12 4i 3 4i 1 2i                 z 1 i, z 2 i.   z 1, z 1, z 1 i, z 2 i.     1 2 3 4z ,z ,z ,z4z i12z i   2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    134511591411344 4z i1 z i 2z i2z i       4 4 2 2 2 22 2 2 2z i 2z i 0 z i 2z i z i 2z i 05z 6iz 2 3z 2iz 0 3z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2                                   1 2 2i1 z 0,z3  22'3i 10 1   3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i,z i5 5 5 5 5 5      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 5 . Bi t ế là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươTìm .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảD th y ễ ấ không ph i là nghi m c a ph ng trình nênả ệ ủ ươGi i (*) {ả Kĩ thu t MTCT}ậGhi vào màn hình: Ta đ c nghi m c a ph ng trình:ượ ệ ủ ươ Ch c n thay đ i các h s c a ph ng trình ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình (2)ỉ ầ ổ ệ ố ủ ươ ượ ệ ủ ươ Suy ra: V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 6. Gi i ph ng trình:ả ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1572 2 2 21 2 3 42 22P z 1 z 1 z 1 z 14 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 54 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45                                                                  1 2 3 4z ,z ,z ,z24 3zz z z 1 0.2    2 2 2 21 2 3 41 1 1 10z z z z    5379z 02221 1 1 1 1 5pt z z 0 z z 02 z z z 2z                    221 1 3iz2z 1 3i z 2 0 *z 2....1 1 3i2z 1 3i z 2 0 * *zz 2        2 arg DB E B ED B 4AC : E D : X : Y2 2A 2A         4 3 2z 4z 7z 16z 12 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D.H ng d n gi i ướ ẫ ảD th y ễ ấ là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 158www.thuvienhoclieu .comz 1,z 3,z 3i,z 2i     z 1,z 3,z 2i,z 5i    z 1,z 3,z 6i,z 2i   z 1,z 3,z 2i,z 2i   z 13 2 22(pt) z 1 z 3z 4z 12 0 z 1 z z 3 4 z 3 0z 1z 1z 3z 3z 2iz 4 0z 2i                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 7. Ủ Ề GI I H PH NG TRÌNHẢ Ệ ƯƠPh ng phápươ Ta nh c l i cách gi i h ph ng trình b ng đ nh th c nh sau:ắ ạ ả ệ ươ ằ ị ứ ư ; ; N u ế thì h có nghi m duy nh t: ệ ệ ấ N u ế và ho c ặ thì h vô nghi mệ ệN u ế thì h có vô s nghi m.ệ ố ệ Ngoài ph ng pháp đ nh th c trên ta có th s d ng ph ng pháp c ng đ i s ,ươ ị ứ ể ử ụ ươ ộ ạ ốph ng pháp rút th ...ươ ế Ngoài ra ta còn có th d a vào tính ch t t p h p đi m s ph c đ gi i và bi n lu nể ự ấ ậ ợ ể ố ứ ể ả ệ ậh ph ng trình. ệ ươI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các h ph ng trình sau trên t p s ph c:ả ệ ươ ậ ố ứGi iảa) Ta có các đ nh th cị ứ V y h ph ng trình có nghi m ậ ệ ươ ệ v iớ b) Ta có các đ nh th cị ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 159a bD ab' a'ba' b'  xc bD cb' c'bc' b'  ya bD ab' a'ba' b'  D 0yx DDx ; y .D D D 0xD 0Dy 0x yD D D 0  3 i x 4 2i y 2 6i 2 i x 2 i y 6a) ; b)4 2i x 2 3i y 5 4i 3 2i x 3 2i y 8                     xy 3 i 4 2iD 3 i 2 3i 4 2i 4 2i 21 23i4 2i 2 3i2 6i 4 2iD 2 6i 2 3i 5 4i 4 2i 2 44i5 4i 2 3i3 i 2 6iD 3 i 5 4i 4 2i 2 6i 23 21i4 2i 5 4i                                 x,yx2 2y2 22 44i 21 23iD2 44ix 1 iD 21 23i21 23D23 21i 21 23i23 21iy iD 21 23i21 23             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y h ph ng trình có nghi m ậ ệ ươ ệ v iớ Ví d 2.ụ Gi i các h ph ng trình sau v i hai n ả ệ ươ ớ ẩ và :a) b) Gi iảa) Ta có: b) H ph ng trình ệ ươV y h ph ng trình có 1 nghi m ậ ệ ươ ệVí d 3.ụ Gi i các h ph ng trình sau v i hai n ả ệ ươ ớ ẩ và :a) b) Gi iảa) Ta có: Đ t ặ h ph ng trình tr thànệ ươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 160www.thuvienhoclieu .comxy 2 i 2 iD 2 i 3 2i 3 2i 2 i 2i3 2i 3 2i6 2 iD 6 3 2i 8 2 i 2 4i8 3 2i2 i 6D 8 2 i 6 3 2i 2 4i3 2i 8                      x,yxyD2 4ix 2 iD 2iD2 4iy 2 iD 2i        zw2z w 4;2i z w 0  z w 4 3iz iw 3 2i    2z w 42z w 4 2z w 42 2i z 42i z w 0 2iz w 0               2 1 i2 1 i2zz 1 izz1 i 1 i1 11 iw 2 2iw 4 2zw 4 2 1 iw 4 2z               z w 4 3i (1)z w 4 3i1 i w 1 5i (2)z iw 3 2i1 5i 1 i1 5i 1 5 i 5i(2) w 3 2i1 i 1 i1 i 1 i(1) z 4 3i w 4 3i 3 2i 1 i.                               z 1 iw 3 2i  zwz w w i;z w z i    z w 1 w2z w 2 i w     z w w iz w w iz w z iz z w i         z x yi, w u vi , (x,y, u,v ),    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình có 1 nghi m là : ậ ươ ệb) Ta có: Đ t ặ và thì h ph ng trình tr thànhệ ươ ởV y h ph ng trình có 1 nghi m là : ậ ệ ươ ệVí d 4.ụ Gi i h ph ng trình trên t p s ph c: ả ệ ươ ậ ố ứ .Gi iảTa có:Kh x ta có h : ử ệ Lúc đó: V y h có nghi m là: ậ ệ ệ Ví d 5.ụ Tìm s ph c ố ứ th a mãn ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 161x 0x 0 x 0u 0x y 2v i ix yi 2vi i y 2v 1 u 03y2yi u vi i u 0 y 2v 1u 2y v i i52y v 1 2y v 1 1v5                                     3z i5;1w i5z w w 1z w 1 w2z w 2 i w2z w w 2 i           z x yi, w u vi(x,y,z,v R)  x 1x 2u 1y 0x 2u yi 1x yi 2u 1 y 0u 02x 2y 2v i 2 i2x 2yi 2vi 2 i 2x 212y 2v 1v2                        z 11w i2x iy 2z 10x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30       x iy 2z 10 x iy 2z 10x y 2iz 20 x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30 x 3y i 1 z 30i                       i 1 y 2 1 i z 104y 1 i z 20 30i      x 3 11i. x 3 11iy 3 9iz 1 7i   1 2z ,z1 22 21 2z .z 5 5iz z 5 2i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảTa có: Ta có Nên là nghi n ph ng trình: ệ ươTa đ c nghi m: ượ ệNên là nghi n ph ng trình: ệ ươV y nghi m c a h ph ng trình là:ậ ệ ủ ệ ươ Ví d ụ 6 . Gi i h ph ng trình hai n: ả ệ ươ ẩGi iảT (2) suy ra: ừ T (1) suy ra: ừ Do đó: nên t c là ứ Suy ra: t c là ứ T ừ và suy ra nên b ng 1 ằho c b ng -1. ặ ằT ừ và (2) suy ra t c ứ ho c ặ .Mà (1): nên và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 162www.thuvienhoclieu .com1 22 21 2z .z 5 5iz z 5 2i   22 21 2 1 2 1 2z z z z 2z z   2 21 21 2 1 21 21 21 2z z 1 4i5 2i z z 2 5 5i z z 15 8iz z 1 4iz z 1 4i*z .z 5 5i                  1 2z ,z2z 4i 1 z 5 5i 0    z 2 iz 1 3i  2 i; 1 3i ; 1 3i;2 i     1 21 2z z 1 4i*z .z 5 5i   1 2z ,z2z 1 4i z 5 5i 0    z 2 iz 1 3i  1 1 1 12 2 2 2z 2 i z 1 3i z 2 i z 1 3i; ; ;z 1 3i z 2 i z 1 3i z 2 i                             3 52 4z w 0 (1)z (w) 1 (2) 126z w 1.6 10z w1210w w 122w 1w 1106z w 1 z 1.1ww1210w w 12w 1w2w 12z 1z 1z 13 5z w 0 z 1 w 1  z 1 w 1  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y h có hai nghi m ậ ệ ệ . Ví d 7.ụ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ Gi iảPh ng trình th nh t c a h t ng đ ng: ươ ứ ấ ủ ệ ươ ươ ,(d ễ th y ấ không th a mãn).ỏTh vào ph ng trình th hai c u h ta đ cế ươ ứ ả ệ ượ :V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m:ậ ệ ươ ệNh n xét: ậ Vi c bi n đ i ph ng trình b c 4 có nghi m th c thì không quá khó khăn, có thệ ế ổ ươ ậ ệ ự ểdùng máy tính đ nh m nghi m và đoán nhân t chung. Th nh ng v i ph ng trình b cể ẩ ệ ử ế ư ớ ươ ậ4 nghi m ph c (và không có nghi m th c) thì vi c dùng máy tính đ nh m nghi m r iệ ứ ệ ự ệ ể ẩ ệ ồđoán nhân t chung là không th . V y nên ta ph i dùng kĩ thu t gi i ph ng trình b c 4ử ể ậ ả ậ ả ươ ậđ phân tích nhân t chung m t cách nhanh chóng:ể ử ộ .Bây gi ta thêm vào 2 v m t l ng là ờ ế ộ ượ (đ v trái đ c m t bình ể ế ượ ộph ng đúng):ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 163z,w 1; 1 ; z,w 1;1   2 22z w zw 7z,wz w 2w 2     w 72 z w w 7 z2 w    w 222 4 3 22 2w 7w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 02 ww 7w 19 w w 3 0                222 2 7 277 3i 3ww2 4w 7w+19 02 21 11w w 3 01 11ww2 22 4                7 3i 3 5 3i 3w z2 27 3i 3 5 3i 3w z2 21 i 11 3 i 11w z2 21 i 11 3 i 11w z2 2                5 3i 3 7 3i 3 5 3i 3 7 3i 3z;w ; , ; ,2 2 2 23 i 11 1 i 11 3 i 11 1 i 11; , ;2 2 2 2                                   24 3 2 2 2w 6w 15w 2w+57=0 w 3w 6w 2w 57       2 22m. w 3w m    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com (*)Mu n v ph i là m t bình ph ng đúng (ho c có th là l ng âm c a bình ph ng ố ế ả ộ ươ ặ ể ượ ủ ươđúng: ) thì:Vì lí do “th m m ” nên chúng ta ch nẩ ỹ ọ . Thay vào (*):Ví d 8.ụ Gi i h b t ph ng trình sau v i n là s ph c ả ệ ấ ươ ớ ẩ ố ứ z : Gi iả G i ọ là t a v c a đi m Mọ ị ủ ểb t kỳ trong m t ph ng ph c. T p h p cácấ ặ ẳ ứ ậ ợđi m M có t a v ể ọ ị z th a mãn (ỏ 1 ) là hình tròntâm , bán kính ( k c biên ).ể ảTa có T p h p các đi m M có t a ậ ợ ể ọ độ z th a mãnỏ ( 2 ) là ph n c a m t ph ng n m bên ngoàiầ ủ ặ ẳ ằ hình tròntâm , bán kính ( k c biên ).ể ảV y nghi m c a h b t ph ng trình đã cho ậ ệ ủ ệ ấ ươ là giao c a hai t p h p trên. Đó là “ hình ủ ậ ợtrăng l i li m ” không b bôi đen trong hình v .ưỡ ề ị ẽVí d 9.ụ Gi i h b t ph ng trình sau v i n là s ph c ả ệ ấ ươ ớ ẩ ố ứ z : Gi iảG i ọ là t a v c a đi m M b tọ ị ủ ể ấ kỳ trong m t ph ng ph c.ặ ẳ ứ T p h p các đi m M cóậ ợ ể t aọv z th a mãn (ị ỏ 1 ) là n a m t ph ng không ch aử ặ ẳ ứđi m Aể có b là đ ng trung tr c c a đo n th ngờ ườ ự ủ ạ ẳ AB( k c đ ng trung tr c ), v i ể ả ườ ự ớ và. T p h p các đi m M có t a v z th aậ ợ ể ọ ị ỏ mãn ( 2 ) là hình tròn tâm , bán kính ( k cể ảbiên ). Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 164www.thuvienhoclieu .com22 2 2w - 3w m 2m 6 w 2 1 3m w m 57      2A2' 277 3 330 1 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m4            m 11m 11222 2 2 2w -3w+11 16w 64w 64 4w 8 w -7w+19 w +w+3 0      z 3 i 2 (1)2z 9 2i 5 (2)    z x yi x,y  A 3 iR 29 5(2) z i2 2   9B i2   5R2z 3 2i1 (1)z 1z 1 2i 2 (2)   z x yi x,y  A 3 2i B 1E 1 2iR 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y nghi m c a h b t ph ng trình đã cho làgiao c a hai t p h p trên. Đó là ph n hình ậ ệ ủ ệ ấ ươ ủ ậ ợ ầtròn k c biên không b bôi đen trong hình vể ả ị ẽVí d 11ụ . Cho ba s ph c ố ứ th a mãn h ỏ ệTính giá tr bi u th c ị ể ứGi iảVì , do đó có th đ t:ể ặSuy ra Mà nên Ta có Suy ra ho c ặ ho c ặ ho c ặ , do đó hai trong ba s ố b ng ằnhau.Gi s ả ử thì hay ta có . Do đó V y ậ ho c ặ ho c ặ .II. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1. Tìm nghi m c a h ph ng trình:ệ ủ ệ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1651 2 3z ,z ,z1 2 331 22 3 1z z z 1zz z1z z z    1 2 3T az bz cz ;a, b,c R   31 21 2 32 3 1 zz zz z z 1 , 1z z z     1 22 3z zcosx i sinx, cosy i sinyz z   3 321 2 1z zz. cos x y i sin x y .z z z      31 22 3 1zz z1z z z  cosx cosy cos x y 1sinx siny sin x y 0        0 sinx siny sin x y    x y x y x y x y2sin cos 2sin cos2 2 2 2x y x y x y x y x y2sin cos cos 4sin sin sin .2 2 2 2 2 2            x k2 y k2 x y k2  1 2 3z ,z ,z1 2z z3 31 13 1 3 1z zz z0z z z z   233 11z1 z izz      221 2 3 1 1 1 1az bz cz az bz icz z a b ic a b c           22a b c   22b c a   22a c b  3x 1 i y 2 14iix 2i 1 y 4 9i      x,y 1 5i; 3 2i .   x,y 1 5i;3 2i .  x,y 1 5i; 3 2i .   x,y 1 5i; 3 2i .   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 2. Tìm nghi m c a h ph ng trình ệ ủ ệ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảT ph ng trình th (2) ta có: ừ ươ ứ thay vào ph ng trình th nh t ta đ c:ươ ứ ấ ượ Lúc đó: .V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ .Câu 3. Tìm s nghi m c a h ph ng trình ố ệ ủ ệ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảT ph ng trình th nh t ta đ c: ừ ươ ứ ấ ượ th vào ph ng trình th (2) ta đ c:ế ươ ứ ượ Ta có Do đó V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4 . S nghi m c a ố ệ ủ h ph ng trìnhệ ươ A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 166www.thuvienhoclieu .comxy 3 1 iD 3 1 2i i 1 i 4 7ii 1 2i2 14i 1 iD 2 14i 1 2i 4 9i 1 i 39 13i4 9i 1 2i3 2 14iD 3 4 9i i 2 14i 2 29ii 4 9i                               x,y 1 5i; 3 2i .   x 3y 2 3i2x y 5 2i    17 9i 1 4ix,y ;7 7       17 9i 1 4ix,y ;7 7      17 9i 1 4ix,y ;7 7      17 9i 1 4ix,y ;7 7     y 2x 5 2i  17 9ix 3 2x 5 2i 2 3i 7x 17 9i x7          1 4iy7 17 9i 1 4ix,y ;7 7     2 2x 2 i y 2.x 3iy 5 15i    1204x 2 2 i y  23 7i y 4 2 i y 1 15i 0 *      2' 120 22i 11 i    y i x 3 2i*26 51i 45 76iy x29 29        2 2z w zw 8z w 1   1234Chuyên Đ S Ph cề ố ứ H ng d n gi i ướ ẫ ảTa cóVậy chọn đáp án D. Câu 5 . Tìm nghi m c a ệ ủ h ph ng trìnhệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có h t ng đ ng: ệ ươ ươDo đó ta có h m i: ệ ớ nên u, v là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6 . Cho h ph ng trình ệ ươ . Tính A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1672z w zw 8zw 5 zw 13hpt i iiz w 3 z w 5z w 2 z w 15 03 i 11 3 i 11w w2 2i ;3 i 11 3 i 11z z2 25 i 27 5 i 27w w2 2ii5 i 27 5 i 27z z2 2                                            2 2u v 4uv 0u v 2i   u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .       u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     2u v 2uv 04 2uv 0 uv 2u v 2i        u v 2iuv 2 2z 1 3 iz 2iz 2 0z 1 3 i     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     1 22 21 2z z 4 iz z 5 2i    1 21 1z z 1 3i2 10 1 3i2 10 1 3i2 101 3i2 10Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Theo đ nh lý Vi-et thì ị là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươTóm l i, h đã cho có hai nghi m ạ ệ ệ là Vậy chọn đáp án D. Câu 7 . Gi i h ph ng trình hai n: ả ệ ươ ẩH ng d nướ ẫ gi iảTa có: Theo đ nh lí Vi-et ị là nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươTóm l i, h đã cho có hai nghi m ạ ệ ệ là Câu 8. Cho ba s ph c ố ứ th a mãn h ỏ ệTính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ v i n là s nguyên d ng.ớ ố ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 168www.thuvienhoclieu .com1 21 2z z 4 ihpt . z z 5 5i   1 2z ,z22t 4 i t 5 5i 0, 5 12i 2 3i4 i 2 3it 3 i2. 4 i 2 3it 1 2i2                  1 2z ;z3 i;1 2i ; 1 2i;3 i   3 3z w 3 1 iz w 9 1 i     33 3z w z w -3zw z w =9 1 i     z w 3 1 ihpt . zw 5i  1 2z ,z 22t 3 1 i t 5i 0, 2i 1 it 2 i. t 1 2i         z;w2 i;1 2i ; 1 2i;2 i   1 2 3z ,z ,z1 2 31 2 3z z z 1z z z 1    2n 1 2n 1 2n 11 2 3S z z z    S 2S 11S2S 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên . Do đóV yậ là ba nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươCh ng t trong ba s ph c ứ ỏ ố ứ ph i có m t s b ng 1 và hai s còn l i đ i nhau. ả ộ ố ằ ố ạ ốKhông m t tính t ng quát, gi s ấ ổ ả ử khi đó :V y ta có t ng S=1ậ ổChú ý: Có th gi i bài toán b ng cách s d ng bi u di n hình h c s ph c ho c dùng d ngể ả ằ ử ụ ể ễ ọ ố ứ ặ ạl ng giác ( ví d d i đây)ượ ụ ướCâu 9 . Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảC ng (1) và (2) v theo v ta đ c: ộ ế ế ượ Nhân (2) v i 3 r i c ng v i (3) ta đ c ớ ồ ộ ớ ượ Lúc đó h ph ng trình tr thành:ệ ươ ở Gi i h trên ta đ c: ả ệ ượ V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 10 . Tìm s nghi m c a h ph ng trình ố ệ ủ ệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có l u ý sau:ư Ch ng minh r ng n u 3 s ph c ứ ằ ế ố ứ thõa mãn: thì m t trong 3 s đó ph i b ng 1ộ ố ả ằ .Th t v y ậ ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1691 2 3z z z 1  1 2 31 2 31 1 1z , z , zz z z   1 2 3 1 2 31 2 31 2 2 3 3 1 1 2 31 1 1z z z z z z 1z z zz z z z z z z z z a            1 2 3z ,z ,z1 2 3z ,z ,z1 2 3z 1;z z 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 2 3 2 zS z z z 1 z z 1          1 2 31 2 31 2 3z z z 4 2i 12z z z 2 5i 2z 2z 3z 9 2i 3         1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .   1 23z 2z 6 7i 4  1 27z 5z 15 17i 5  1 2 31 21z z z 4 2i3z 2z 6 7i7z 5i 15 17i       1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 31 2 31 2 3z z z 1z z z 1z z z 1    S 2S 1S 3S 61 2 3z ;z ;z1 2 31 2 3z z z 1z z z 1    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có:  N u ế thì  N u ế thì , g i đi m P bi u di n s ph c ọ ể ể ễ ố ứ thì P sẽkhông trùng v i O và ớ nên đ ng trung tr c c a OP c t đ ng trònườ ự ủ ắ ườđ n v r i hai đi m ơ ị ạ ể và cũng là hai đi m bi u di n ể ể ễ Do đó ho cặ ho c ặ . V y ậ ho c ặ ho c ặ Áp d ng:ụ gi i h ph ng trình trên thì có m t n b ng 1 và t ng hai n còn l i b ng 0.ả ệ ươ ộ ẩ ằ ổ ẩ ạ ằXét thì có nên T gi thi t ừ ả ế nên hay thì có ho c ặ V y h có 6 nghi m là hoán v các ph n t c a b ba ậ ệ ệ ị ầ ử ủ ộ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 11. Cho h ph ng trình ệ ươ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. H có nghi m duy nh tệ ệ ấB. H đã cho vô nghi mệ ệC. Nghi m c a h là nh ng s th cệ ủ ệ ữ ố ựD. Thành ph n nghi m c a h có m t s th c và m t s ph cầ ệ ủ ệ ộ ố ự ộ ố ứH ng d n gi i ướ ẫ ảXét h ph ng trình ệ ươTa có (*)T (*) ta có ừ , vì th ế . Do đó nên h có ệd ng ạTh l i th y th a mãn, v y h đã cho có nghi m ử ạ ấ ỏ ậ ệ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 12 . Tìm s ph c z th a mãn : ố ứ ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 170www.thuvienhoclieu .com1 2 3 1 2 3z z z 1 1 z z z      z 12 3z z 0 z 111 z 0 1 2 31 z z z 0    1 2 31 z z z   11, z2 3z ,z .2 3 1z 1,z z 2 1 3z z ,z 1 1z 12z 13z 1.1z 12 3z z 0 2 3z z .1 2 3z z z 123z 1 2 23z 1 i 2 3z i,z i 2 3z i,z i. 1,i, i .3 25 3z w 0.z w 1 3 25 3z w 0 (1)z w 1 (2) 15 103 210 915 95 3 z wz w 0w w 1z w 1z w 1      10 9w w 1 w 1  910 91 w w w. w.w w  w 13 55 5z 1 z .z 1z 1z 1 z 1         z;w 1;12 22 z i z z 2iz (z) 4    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i s ph c ọ ố ứ H ệ V y s ph c c n tìm là : ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm tham s m đ h ph ng trình ph c có nghi m duy nh t:ố ể ệ ươ ứ ệ ấ, ( n z là s ph c)ẩ ố ứA. , B. , C. , D. , H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t, ta có ả ế là h ph ng trình t a đ giao đi m c a đ ng tròn (C): ệ ươ ọ ộ ể ủ ườVà đ ng th ng ườ ẳ : Đ ng tròn (C) có tâm ườ và bán kính .H ph ng trình có nghi m duy nh t ệ ươ ệ ấ ti p xúc v i (C).ế ớ Đ t ặ , ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 171331z 4 i4  33 1z 4 i4 331z 4 i4  33 1z 4 i4 z x yi x,y  2 x (y 1)i (2y 2)i4xyi 4    233xx 4y41y1 1y y4x x      33 1z 4 i4 z 3i 1 1z i 1 m z     m 1 3 m 1 15 m 1 3 m 1 5 m 1 5 m 1 15 m 1 5 m 1 3 z x yi, x,y  x 1 y 3 i 1x 1 y 1 i m x yi        2 22 22 2 222x 1 y 3 1x 1 y 3 1*2 m 1 x 2y 2 m 0x 1 y 1 m x y                   *2 2x 1 y 3 1   22 m 1 x 2y 2 m 0    I 1;3R 1 22 22m 2m 6d I , R 1 m 1 7 4 m 1 44 m 1 4             2t m 1 t 0  22t 7 4t 4 t 7 4t 4 t 18t 45 0 t 3,t 15             2t 3 m 1 3 m 1 3      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y giá tr c n tìm là ậ ị ầ hay V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 14. Tìm nghi m c a ệ ủ h ph ng trình sau v i n là s ph c ệ ươ ớ ẩ ố ứ z và là tham s th c ố ựkhác 0.A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ A , B theo th t là các đi m trong m t ứ ự ể ặph ng ph c ẳ ứ bi u di n s ph cể ễ ố ứ là , . Khi đó t p h p ậ ợ đi m M bi u di n s ph c ể ể ễ ố ứ z th a mãn (1) là đ ng ỏ ườ tròn đ ng kính AB, tr hai đi m A và B. Đ ng tròn ườ ừ ể ườ này có tâm E bi u di n s ph c ể ễ ố ứ và bán kính nên có ph ng trình làươ G i C, D theo th t là các đi m trong m t ọ ứ ự ể ặ ph ng ph cẳ ứbi u di n các s ph c ể ễ ố ứ . Khi đó t p h p đi m M bi uậ ợ ể ểdi n s ph c ễ ố ứ z th a mãn (2) là đ ng trung tr c c a đo nỏ ườ ự ủ ạth ng CD. Đ ng trung tr c này đi qua trung đi mẳ ườ ự ể c a đo n th ng CD và nh n ủ ạ ẳ ậ làm véctơpháp tuy n nên có ph ng trình là ế ươ . Suy ra giao đi m c a đ ng tròn vàể ủ ườđ ng trung tr c là nghi m c a h đã cho. Đó là các đi mườ ự ệ ủ ệ ể th a mãn (ỏ * ) và ( ** ), t c là nghi m c a h ph ng trình sauứ ệ ủ ệ ươ : ho c ặ .V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án A. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 172www.thuvienhoclieu .com2t 15 m 1 15 m 1 15      m 1 3 m 1 15 z 4 2ii (1)z 2z 21 (2)z 2i z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   4 2i21 i1R 6 2i 3 i 102    2 2x 1 y 1 10 *   2, 2i H 1 iCD 2 2i 2 x 1 2 y 1 0    x y 0 * *  x; y2 2 2 2x y 0 y xx 1 y 1 10 x 1 x 1 10               y x x 2x 2 y 2      x 2y 2z 2 2i, z 2 2i.   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 15. S nghi m c aố ệ ủ h ph ng trình sau v i ệ ươ ớ z là n s ẩ ố : A. 0 B. 1 C. 2 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i E là đi m trong m t ph ng ph c có t a v là ọ ể ặ ẳ ứ ọ ị . Khi đó t p h p đi m M bi u di n ậ ợ ể ể ễs ph c ố ứ z th a mãn (ỏ 1 ) là đ ng tròn tâm E, bán kính ườ .Ph ng trình đ ng tròn này là: ươ ườ ( * ) . G iọ A,B theo th t là các đi m bi u di n s ph c ứ ự ể ể ễ ố ứ .Khi đó t p h p đi m M bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ z th a mãn (ỏ 2 ) làđ ng tròn Appollonius chia đo n th ng AB theo t s ườ ạ ẳ ỷ ố .Đ ng tròn Appollonius có tâm F là đi m có t a ườ ể ọ độ và có bán kính Ph ng trình đ ng tròn Appollonius là ươ ườ : ( ** ) Suy ra nghi m c a h đã cho là giao đi m c a hai đ ng tròn (ệ ủ ệ ể ủ ườ * ) và ( ** ), t c là các đi mứ ể th a mãn h ph ng trình sau:ỏ ệ ươ ho c ặ .V y h ph ng trình đã cho có hai nghi m là ậ ệ ươ ệ và .V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 173z 1 4i 3 (1)z 3 2i2 (2)3z i2    1 4iR 32 2x 1 y 4 9   33 2i, i2   k 22233 2i 4 i2a k bf 1 2i1 41 k          2k a bR1 k32 3 2i i21 2i 51 4       2 2x 1 y 2 5   x; y2 22 22 2 2 2x 1 y 4 9x y 2x 8y 8 0x y 2x 4y 0x 1 y 2 5                22 2 2 y 2 xx y 2 0x y 2x 4y 0 x 2 x 2x 4 2 x 0                2y 2 xx 1y 1x x 2 0     x 2y 4z 1 i z 2 4i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 174www.thuvienhoclieu .comChuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 8. D NG L NG GIÁC S PH CỦ Ề Ạ ƯỢ Ố ỨBài toán 1: Vi t s ph c d i d ng l ng giácế ố ứ ướ ạ ượPh ng phápươ1. Đ vi t s ph c ể ế ố ứ d i d ng l ng giác ướ ạ ượTr c h t ta bi n đ i:ướ ế ế ổ Nh v y: ư ậ . Đ t ặ và T đó suy ra ừ là 1 acgumen c a ủ .2. Chú ý các công th c bi n đứ ế iổ l ng giác:ượ * I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) 5; b) -3 b)7i; d) . Gi iảa) b) c) d) Ví d 2. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) d) Gi iảa) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 175z a bi,(a, b )  z r(cos i sin )   2 22 2 2 2a bz a b ( i)a b a b   2 2r a b  2 2acosa b2 2bsina bz2*1 cos isin 2 cos 2i sin cos2 2 22 cos cos i sin2 2 2            sin 11 i tan 1 i (cos i sin )cos cos       2i5 5 1 0i 5 cos 0 i sin 0 .   3 3 1 0i 3 cos +sin i .      7i 7 0 i 7 cos i sin .2 2       2i 2 0 i 2 cos i sin2 2                   1 i 3 ;  3 i 3 ; 1 3i;3 37 37i.31 31 i 3 2 i 2 cos i sin .2 2 3 3                       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) c) d) Ví d 3. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) Gi iảa) b) c) Ví d 4. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) ; b) c) Gi iảa) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 176www.thuvienhoclieu .com1 i3 i 3 3 1 i 6 6 cos i sin .4 42 2                        1 3 2 1 3 2i i cos i sin .3 3 3 2 2 3 3 3            7 3 7 3 14 3 1 3 14 37i 1 i 3 i cos i sin .3 3 3 2 2 3 3 3                         1 3i 1 2i ; 1 i 1 3 2 i ;     2 2i . 2 3 2 4 i ;     21 3i 1 2i 1 6i 3i 2i 5 5i 5 1 i          1 1 3 35 2 i 5 2 cos i sin .4 42 2           1 i 1 3 2 i 1 3 2 3 2 1 i           3 3 3 1 i 3 3 1 3 1 i3 13 1 3 i 2 3 1 i2 22 3 2 cos i sin .6 6                      2 2i . 2 3 2 4 i 2 6 2 8 6 4 2 2 2 i           6 2 6 6 6 2 i 6 2 6 1 i1 12 6 2 6 i2 212 6 2 cos i sin .4 4                             12 2i3 i;1 2i 1 i 3.1 i1 1 2 2cos i sin2 2i 4 4 42 1 i4 cos i sin4 4                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) c) Ví d 5.ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) Gi iảa) Ta có:b) Cách khác:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 17723 i 1 2i3 i 3 2 6i i 5 5i1 i1 2i 1 41 2i 1 2i1 2i           1 12 i 2 cos i sin .4 42 2          1 i 3 2 7 7cos i sin 2 cos i sin1 i 3 4 3 4 12 122                                              i131 3 1 3 i.  sini 1 261 1 i tan 1 i cos i sin cos i sin .6 6 6 6 63 3cos cos6 6                      sin sin3 31 3 1 3 i 1 tan 1 tan i 1 1 i3 3cos cos3 3                      1 1cos sin cos i sin i3 3 3 3cos cos3 31 1cos sin sin cos i3 3 3 3cos cos3 3                                  1 12 cos 2 sin .i3 4 3 4cos cos3 32 2 cos i sin 2 2 cos i sin .12 12 12 12                                          1 31 3 1 3 i 1 3 1 i1 3tan tan4 31 3 1 i1 tan . tan4 31 3 1 i tan 1 3 1 i tan .4 3 12sin121 31 3 1 i cos i sin12coscos1212                                                                          .12       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Mà Do đó: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 178www.thuvienhoclieu .com1 3 1 3cos cos cos . cos sin . sin .12 3 4 3 4 3 42 2 2 2 2 2                1 31 3 1 3 .i cos i sin12 12cos122 2 cos i sin .12 12                                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ II. Bài t p t luy nậ ự ệBài t p 1.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) d) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta cóBài t p 2.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) ; b) ; c) d) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: c) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1792 i 3 i 2 2 i 26 2i1 i 1 ( 3 2)i  33 2i 3 i3     2 22 i 3 i 5 5i 5 2 i 5 2 cos i sin .2 2 4 4               2 2 i 2 2 2 1 2 2 1i i cos i sin6 2i 4 4 2 2 2 2 4 4              1 i 1 ( 3 2)i 3 3 1 3 i 1 3 3 i3 12 2 3 i 2 2 3 cos i sin .2 2 3 3                      3 7 3 33 2i 3 i 7 i 7 i3 3 314 3 1 3 14 3i. cos i sin .3 2 2 3 3 3                                         2 1 i 2 3 i  1 2 1 i; 1 2 3 i. 1 12 1 i 2 1 i 2 1 cos i sin4 42 2              22 2 cos 2i sin .cos 2 2 cos cos i sin .8 8 8 8 8 8                 3 i 5 52 3 i 2 1 2 1 cos i sin2 2 6 6               25 5 5 5 5 52 2 cos i sin . cos 4 cos cos i sin .12 12 12 12 12 12                 1 2 1 i 2 1 2 1 2 1 i      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com d) Bài t p 3. ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giácế ố ứ ướ ạ ượ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:b) Ta có:Bài t p 4.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:b) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 180www.thuvienhoclieu .com2 1 i2 1 2 1 i 2 2 1 12 23 32 2 1 1 cos i sin4 43 3 32 2 1 2 cos 2i sin . cos8 8 83 3 32 2 2 1 . cos . cos i sin .8 8 8                                 1 2 3 i 2 3 2 3 2 3 i      2 3 i2 3 2 3 i 2 2 3 12 22 2 3 1 cos i sin6 62 2 3 2 cos 2is sin . cos12 12 124 2 3 cos . cos i sin .12 12 12                                 a) z cos i sin ; b)z 5 cos i sin .9 9 6 6                z cos i sin cos i sin cos i sin9 9 9 9 9 9cos i sin .10 10                               5 5z 5 cos i sin 5 cos i sin 5 cos i sin6 6 6 6 6 6                                       a) cos i sin ; b) cos i sin ; c) cos i sin .          cos i sin cos i sin cos i sin               cos i sin cos i sin        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ c) Ta có: Bài t p 5.ậ Vi t d i d ng l ng giác các s ph c sau:ế ướ ạ ượ ố ứ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì không có d ng l ng giác.ạ ượb) Ta có  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì không có d ng l ng giác. ạ ượThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 181cos i sin cos i sin .           1 cos i sina) ; b) 1 cos i sin 1 cos i sin .1 cos i sin               222 sin 2i sin cos1 cos i sin1 cos i sin2 2 21 cos i sin 1 cos i sin2 cos 2i sin cos2 2 2sin i cos2 2tan . i tan2 2cos i sin2 2                       tan 02tan cos i sin2 2 2                tan 02tan cos i sin2 2 2               tan 021 cos i sin 1 cos i sin2 sin sin i cos .2 cos cos i sin2 2 2 2 2 22 sin cos i sin2 2 2                                            sin 022 sin cos i sin2 2 2                  sin 022 sin cos i sin2 2 2                   sin 02Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 2: Áp d ng công th c Moivre đ th c hi n các phép tínhụ ứ ể ự ệPh ng phápươ* * * * * I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1ụ . Tính các giá tr c a s ph c sau và vi t k t qu c a chúng d i d ng ị ủ ố ứ ế ế ả ủ ướ ạb) ; Gi iảa) Ta có: b) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 182www.thuvienhoclieu .comn(cos i sin ) cos n isin n     , , , ,(cos i sin )(cos i sin ) cos( ) i sin( )            , ,, ,cos i sincos( ) i sin( )cos i sin        21 cos i sin 2 cos 2i sin cos2 2 2      2 cos cos i sin2 2 2      sin 11 i tan 1 i (cos i sin )cos cos       a bi , a , b 2 2 3 3a) A cos i sin cos i sin . 7 7 14 14              7 cos i sin4 4B5 cos i sin12 12        34cos i sin5 5c) Ccos i sin15 15        2 2 3 3A cos i sin . cos i sin7 7 14 14              2 3 2 3cos i sin cos i sin i.7 14 7 14 2 2                    7 cos i sin4 47B cos i sin4 12 4 1255 cos i sin12 127 105 35cos i sin i.6 6 10 105                                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 2ụ . Tìm s nguyên d ng n bé nh t đ ố ươ ấ ể là s th c.ố ự(Trích đ thi th sề ử ố 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế )Gi iảTa có: Do đó S đó là s th c khi và ch khi ố ố ự ỉS nguyên d ng bé nh t c n tìm là ố ươ ấ ầ .Ví d 3.ụ Tính giá tr các bi u th c sau:ị ể ứ ; b) c) d) Gi iảa) Ta cób) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 18334 3 3cos i sin cos i sin5 5 5 5C4 4cos i sincos i sin15 1515 153 4 3 4 1 3cos i sin i.5 15 5 15 2 2                                            n3 i1 i    3 i 2 cos i sin ; 1 i 2 cos i sin6 6 4 4                            3 i 5 52 cos i sin1 i 12 12       nn23 i 5n 5n2 cos i sin1 i 12 12          5n 5n 5nsin 0 k k k12 12 12         n 12 9 91 i 1 ia) A2 2            7 71 i 3 1 i 3B2 2              6 65 5C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3 ;     5 54 41 i 3 1 i 3D1 i 1 i   99 991 i 1 iA cos i sin cos i sin4 4 4 42 29 9 9 9cos i sin cos i sin4 4 4 49 9 9 9cos i sin cos i sin cos cos 24 4 4 4 4 4                                                                             7 7771 i 3 1 i 3B cos i sin cos i sin2 2 3 3 3 37 7 7 7cos i sin cos i sin3 3 3 37 7 7 7cos i sin cos i sin 2i sin i 33 3 3 3 3                                                                    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c) Ta có d) Ta cóVí d 4. ụ Tính giá tr các bi u th c sauị ể ứa) b) ; c) .Gi iảa) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 184www.thuvienhoclieu .com6 65 56 65 55656556C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 31 i 3 1 i 1 i 1 i 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 cos i sin cos i sin3 3 4 42 2 cos i sin cos4 4 3                                                                                           6i sin3          88 6 6 5 52 2 cos i sin cos i sin3 3 4 45 5 6 62 2 cos i sin cos i sin4 4 3 3                                                    8 95 5 5 5 52 2 cos i sin cos i sin 2 2 cos 5124 4 4 4 4            5 55 55 54 4 4 44 455555 422 1 3 1 32 i 2 i1 i 3 1 i 32 2 2 2D1 i 1 i1 i 1 i2 22 2 2 22 cos i sin2 cos i sin3 33 32 cos i sin2 cos i sin4 44 4                                                                         5 55 5cos i sincos i sin3 33 38 8cos i sin5 5cos i sin4 41 i 3 1 i 38 82 2 2 281 1                                               4 45 5 5 5A 1 cos i sin 1 cos i sin ;3 3 3 3                 441 cos i sin6 6B1 cos i sin6 6            228 81 cos i sin3 3C8 81 cos i sin3 3           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1854 44 42 24 45 5 5 5A 1 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 35 5 5 5 5 52 cos 2i sin cos 2 cos 2i sin cos6 6 6 6 6 65 5 5 5 5 52 cos cos i sin 2 cos cos i sin6 6 6 6 6 65 52 cos cos i sin6 6                                                                 445 5 5 52 cos cos i sin6 6 6 6                                   4 42 3 20 20 2 3 20 20cos i sin cos i sin2 6 6 2 6 620 209 2 cos 18 cos 9.6 6                                               4 44 41 cos i sin 1 cos i sin6 6 6 6B1 cos i sin1 cos i sin6 66 64 4 2 21 cos i sin 1 cos i sin6 6 3 34 4 2 21 cos i sin 1 cos i sin6 6 3 31 co                                                                                 2 22 cos cos i sins i sin3 3 33 32 21 cos i sin2 cos cos i sin3 33 3 31 i 3cos i sin3 3 3 3 2 2                                           2 22 2228 8 2 21 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 3C8 8 2 21 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 32 2 4 41 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 342 21 cos1 cos i sin33 3                                                                               4i sin3    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 5. ụ a) Ch ng minh s ph c ứ ố ứ là s th c.ố ự(Trích Tr ng THPT Kon Tum, l n 3 – 2012)ườ ầb) Tìm t t c s nguyên d ng n th a mãn ấ ả ố ươ ỏ là s th c.ố ự(Trích Tr ng THPT Qu Võ s 1, l n 4 – 2013)ườ ế ố ầGi iảa) Ta có: b) Ta cóVí d 6ụ . Gi s z là s ph c th a mãn ả ử ố ứ ỏ . Tìm s ph c ố ứ(Trích Tr ng THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012)ườGi iảT gi thi t ừ ả ế ta có V i ớ ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 186www.thuvienhoclieu .com222 22 2 22 2 22 sin 2i sin cos2 sin 2i sin cos3 3 33 3 32 2 2 2 2 22 sin 2i sin cos 2 sin 2i sin cos3 3 3 3 3 32 2 22 22 sin sin i cossin i cos3 3 33 32 22 2 2sin i cos2 sin sin i cos3 33 3 3                                              cos i sin6 6cos i sin6 6cos i sin6 61 i 3cos i sin .6 6 6 6 2 2cos i sin6 6                                                                        241 iz3 3i   n3 i 3A3 3i    242424242412 12 2 cos i sin4 41 iz3 3i2 cos i sin6 6cos 6 i sin 61 140962 cos 4 i sin 4 2                                    nn3 i n nA cos i sin cos i sin2 6 6 6 6nA sin 0 n 6k , k , k 16                      2z 2z 4 0  71 3 zw2 z     2z 2z 4 0  2z 1 3 z 1 3i    z 1 3i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ ta có:Ví d 7ụ . Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c a ầ ự ầ ả ủ .(Trích Tr ng THPT Phan B i Châu, Ngh An l n 2 – 2013)ườ ộ ệ ầGi iảĐ t ặDo đó Ph n th c c a z là 16, ph n o c a z là 16.ầ ự ủ ầ ả ủVí d 8ụ . G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tìm s n nguyên d ngố ươnh nh t sao cho ỏ ấ .(Trích Tr ng THPT Nguy n Văn C , B c Ninh l n 3 – 2013)ườ ễ ừ ắ ầGi iảPh ng trình ươ (1). (1) có Do đó các căn b c hai c a ậ ủ là . V y (1) có các nghi m là ậ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1877777 7 cos i sin1 i4 43 3i 1w .3 3i 8 23 icos i sin6 6                 7 7cos i sin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 78 32 328 2 3 icos i sin6 6         z 1 3i  777 7 cos i sin1 i4 41w .8 23 icos i sin6 6            7 7cos i sin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 78 32 328 2 3 icos i sin6 6           z 1 2 i3 i2z 2i 9zz x yi , x, y z x yi     z 1 2 i3 i4 2i z 3 i z 2 4i x y 7 y 3x i 2 4i2z 2ix y 2x y 1 z 1 i7 y 3x 4                      999 9z 2 cos i sin 16 16i4 4       1 2z , z 25z 2 cos z 1 021     n n1 2z z 1 25z 2 cos z 1 021     2 2 5 5' cos 1 sin21 21     '5i sin211 2 5 5 5 5z cos i sin , z cos i sin21 21 21 21       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 9ụ . Cho là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tìm ph n th c, ph n oầ ự ầ ảc a s ph c: ủ ố ứ , bi t ế có ph n o d ng.ầ ả ươ(Trích Tr ng THPT Can L c, Hà Tĩnh l n 2 – 2014)ườ ộ ầGi iảVì nên ph ng trình có hai nghi m ph c: ươ ệ ứ (do có ph n o d ng)ầ ả ươTa có: Do đó: V y ph n th c b ng 1, ph n o b ng 0.ậ ầ ự ằ ầ ả ằVì n là s nguyên d ng nh nh t nên t (*) suy ra ố ươ ỏ ấ ừ .Ví d 10. ụ Cho s ph c z bi t ố ứ ế . Vi t d ng l ng giác c a ế ạ ượ ủ . Tìm ph n th c và ph n o ầ ự ầ ảc a s ph c ủ ố ứGi iảCách 1: Ta có ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình:ươ ươ ươ ớ ươDo đó: Suy ra: V y s ph c ậ ố ứ có ph n th c là ầ ự và ph n o là ầ ảCách 2: D ng l ng giác c a s ph c ạ ượ ủ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 188www.thuvienhoclieu .com1 2z , z2z 2z 4 0  201312zwz    1z3 1 2z 1 3i, z 1 3i   1z22212 1 3iz1 3i 1 3i cos i sinz 4 2 2 3 31 3i               2013402612zcos i sin cos 1342 i sin 1342 1z 3 3               n nn n1 2nn5 5 5 5z z 1 cos i sin cos i sin 121 21 21 215 5 5 5cos i sin cos i sin 121 21 21 21n5 n5 n5 n5cos i sin cos i sin 121 21 21 21n5 n5cos cos21                                                                          121n5 n5 7 42kcos cos k2 n k *21 3 21 3 5 5              n 7 z 1 3i  z5w 1 i z 1 i 3z 2 2 cos i. sin2 2 3 3           55 5 1 i 3z 32 cos i. sin 32 16 16i 33 3 2 2             w 1 i 16 16i 3 16 1 3 16 1 3 i      5w 1 i z 16 16 316 16 3z 1 3i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: Áp d ng công th c Movie, ta có ụ ứ V y ph n th c ậ ầ ực a s ph c w là ủ ố ứ và ph n o c a s ph c w là ầ ả ủ ố ứII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1.ậ Tính các giá tr c a s ph c sau và vi t k t qu c a chúng d i d ng ị ủ ố ứ ế ế ả ủ ướ ạ; b) ;H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta cób) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 189r 1 3 2r 21cos z 2 cos i sin2 3 333sin2                5 55 5 1 i 3z 2 cos i. sin 32 16 1 i 33 3 2 2             5w 1 i z 1 i .16 1 i 3 16 1 3 1 3 i 16 1 3 16 1 3 i               16 16 316 16 3a bi , a , b 5 5a) A 5 cos i sin cos i sin9 9 36 36                5i 3Bcos i sin6 6     1052 22 cos i sin 3 cos i sin3 3 3 3c) C .7 72 cos i sin6 6                               5 5A 5 cos i sin cos i sin9 9 36 365 5 5 2 5 25 cos i sin 5 cos i sin i .9 36 9 36 4 4 2 2                                             5 5 3 cos i sin 3 cos i sin2 2 2 2i 3B5 5cos i sincos i sin cos i sin6 66 6 6 65 5 3 33 cos i sin 3 cos i sin i2 6 2 6 3 3 2 2                                                                             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài t p 2.ậ Cho s ph c ố ứ . Tìm m nguyên đ ể là s th c, ố ự là s oố ảH ng d nướ ẫ gi iảTa có: B ài t p 3ậ . Cho s ph c ố ứ . Tính .(Trích Tr ng THPT Chuyên Nguy n T t Thành – 2013)ườ ễ ấGi iảTa có Suy ra Bài t p 4ậ . Cho s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ . Tìm ph n th c c a s ph c ầ ự ủ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Tr n Phú, l n 2 – 2013)ườ ầ ầGi iảG i s ph c ọ ố ứ thay vào (1) ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 190www.thuvienhoclieu .com1052 22 cos i sin 3 cos i sin3 3 3 3C7 72 cos i sin6 620 2032 3 cos i sin cos i sin3 3 3 335 3532 cos i sin6 620 35 20 353 cos i sin3 3 6 3 3 6                                                                      7 73 cos i sin6 63 i 3 33 i2 2 2 2               m7 iz4 3i   z zmm27 i m mz 2 cos i sin (*)4 3i 4 4              z laø soá thöïc m 4k, k ; z laø soá aûo m4k 2 , k       z 1 3i  7z1 3z 1 3i 2 i 2 cos i sin2 2 3 3             77 7z 128 cos i sin 128 cos i sin 64 64 3i3 3 3 3                 z 6 7iz1 3i 5 2013zz a bi , a , b z a bi       a bi 1 3ia bi 6 7i 6 7ia bi a bi1 3i 5 10 510a 10 bi a 3b i b 3a 12 14i9a 3b i 11b 3a 12 4i9a 3b 12 a 111b 3a 14 b 1                               201320132013a b 1 z 1 i z 1 i 2 cos i sin4 4                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là Bài t p 5ậ . G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tìm ph n th c, ph n oầ ự ầ ảc a s ph c ủ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Qu ng Bình, l n 2 – 2014)ườ ả ầGi iảTa có Áp d ng công th c Moa-vr :ụ ứ ơ. Ph n th c c a w là -1, ph n o là 0.ầ ự ủ ầ ảBài t p 6ậ . Cho các s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ . Ch ng minh r ng z có ph n th c b ng 1.ứ ằ ầ ự ằ(Trích Tr ng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr - 2014)ườ ả ịGi iảTa có không th a mãn ph ng trình nên ỏ ươ . nên đ t ặNên V y z luôn có ph n th c là 1.ậ ầ ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19110062013 20132 . 2 cos i sin4 4     2013z1006 1006 20132 2 . cos 24 1 2z , z2z z 1 0  2014 20141 2w z z 1221 3z i2 2z z 1 01 3z i2 2     1 21 3 1 3z i cos i sin ; z i cos i sin2 2 3 3 2 2 3 3            20141201422014 2014 2 2z cos i sin cos i sin cos i sin3 3 3 3 3 32014 2014 2 2z cos i sin cos i sin cos i sin3 3 3 3 3 3                                2 2w cos cos 13 3     552 z z z 0; z 2 555 2 z2 z z 1z       2 z0z2 zr cos i sinz   552 zr cos 5 i sin 5 1 1 cos k2 i sin k2z            2 z k2 k2 2 k2 k21 cos i sin 1 cos i sin 0z 5 5 z 5 5              2 2 22 2zk2 k2k k k1 cos i sin2 cos cos i sin5 55 5 5k k k kcos i sin cos i sink5 5 5 51 i tank5k k kcoscos cos i sin55 5 5                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài t p 7. ậ Bi t r ng s ph c ế ằ ố ứ th a mãn ỏ . Hãy tính H ng d nướ ẫ gi iảT ừBài t p 8.ậ Cho Tính H ng d nướ ẫ gi iảTa có: a) Ta có Do đó: b) Ta cóV y ậCách 2. Ta có th xem B là t ng c a c p s nhân 4 s h ng liên ti p, s h ng đ u là 1, công b i là ể ổ ủ ấ ố ố ạ ế ố ạ ầ ộ. Suy ra ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 192www.thuvienhoclieu .comz 1z 1z 201020101zz201020101 3z i cos i sin1 12 2 3 3z 1 z 2z1 3zz i cos -i sin2 2 3 3                       1 i 3z .212 6 9 6 38 4 2 2 3 82 3 9 10 2009 2010 2011a) A z z 1; b) B z z z 1;c) C z 2z z ; d) D 1 z z z ... z ;e) E 1 z z z ... z z ; f ) F z z z .                        1 i 3z cos i sin2 3 3               1212 12 12z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    66 6 6z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                   12 6A z z 1 3   99 9 9z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    66 6 6z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                   33 3 3z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    9 6 3B z z z 1 0    3z434129 6 313 31 z1 q1 zB z z z 1 u1 q1 z 1 z       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ V y ậ c) Ta cóV y ậd) Ta có là t ng c a c p s nhân có 9 s h ng, s h ng đ u b ng 1, công ổ ủ ấ ố ố ạ ố ạ ầ ằb i là ộ Do đó: v i ớ Do đó: e) Ta có là t ng c a c p s nhân có 11 s h ng, s h ng đ u b ng 1, ổ ủ ấ ố ố ạ ố ạ ầ ằcông b i là ộ Do đó: V i ớVà .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19312 3z 1, z 1. B 0.22 2 2 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                     44 4 4 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                    88 8 8 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                     8 4 2C z 2z z 2   2 3 8D 1 z z z ... z     z9 91 1 q 1 qD u .1 q 1 q    9z 14 1 i 31 1 4D 1 i 3.1 i 3 1 i 31 i 3 1 i 32 2        2 3 9 10E 1 z z z ... z z      z1111111 z1 q1 zE1 q 1 z1 z     1 i 3 3 i 3z z 12 2 2    1111 11 11 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                    113 i 3z 12 2   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ f) Ta cóV i ớV y ậ .Bài t p 9. ậ Ch ng minh r ng:ứ ằa) và b) Cho s ph c ố ứ . Tính H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có b) Theo câu a) ta cóTa cóDo đó: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 194www.thuvienhoclieu .com3 3i3 3i 1 i 32 2E .2 23 3 3 3ii2 2   2009 2010 2011 2009 2F z z z z 1 z z     2 21 i 3 1 i 3z z 1 z z 02 2 2       F 06 2sin12 4 6 2cos .12 4 6 2 6 2z i4 4  2 22 21 1 1 1A z z 2 ; B z z 2iz zz z         6 2sin sin sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4 46 2cos cos cos cos sin sin12 3 4 3 4 3 4 4                             2226 2 6 2z i cos i sin4 4 12 121 1z 1 z 1 hay z.z 1 z vaø zzz             2 22 2222 1 1 1 1A z z 2 z z 2z zz zz z 2.z.z z z z z z z vôùi z z 2 cos12                          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ .Bài t p 10ậ . Tìm ph n th c c a s ph c ầ ự ủ ố ứ . Trong đó n th a mãn:ỏ.Gi iảPh ng trình: ươ có nghi m duy nh t là ệ ấ (vì VT c a ph ng trình làủ ươm t hàm s đ ng bi n nên đ th c a nó c t đ ng th ng ộ ố ồ ế ồ ị ủ ắ ườ ẳ t i m t đi m duy nh t)ạ ộ ể ấTa có:Suy ra .Bài t p 11. ậ Cho s ph c ố ứ . Vi t z d i d ng l ng giác. Tìm ph n th c và ế ướ ạ ượ ầ ựph n o c a s ph c ầ ả ủ ố ứ .Gi iảTa có: Khi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19522A 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos12 12 12 12 6 123 6 2 6 22 1 2. 2 3 .2 4 2                                     4 2 3 6 2A2  2 22 222 1 1 1 1B z z 2i z 2i zz zz zz z 2i z z z z z z 2i - z z2i sin .2 cos 2i 2i sin 2i sin 2i 2i sin12 12 12 6 121 6 2 6 6 22i sin 1 sin 2i 1 i.6 12 2 4 2                                                 nz 1 i , n  4 5log n 3 log n 6 4   4 5log n 3 log n 6 4   n 19y 4191919 191919 199 91 1z 1 i 2 i 2 cos i sin4 42 219 19 1 12 cos i sin 2 i 2 i.24 42 2                          9Re z 2 512 7 i 3z1 2i 35w 1 i 3 z 227 i 3 1 2i 37 i 3z 1 i 31 2i 31 2 3     z 2 cos i sin3 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ph n th c c a w là ậ ầ ự ủ , ph n o là ầ ả .Bài t p 12.ậ Tìm đi u ki n đ i v i các s ph c a,b,c sao cho v i m i s ph c z th a mãn ề ệ ố ớ ố ứ ớ ọ ố ứ ỏ thì là s th c.ố ựL i gi iờ ảVì là s th c nên ta có các giá tr đ c bi t:ố ự ị ặ ệ Ch n ọ thì (1) Ch n ọ thì (2) Ch n ọ thì (3) Ch n ọ thì (4)T (1) và (2) ta có ừ Nh ng t (3) và (4) ta có ư ừ do đó Khi đó, t (1) và (3) thì ừVì nên đ t ặ ta có:khi và ch khi ỉĐi u đó x y ra khi và ch khi ề ả ỉ .V y giá tr c n tìm là ậ ị ầ và c là m t s th c tùy ý.ộ ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 196www.thuvienhoclieu .com55w 1 i 3 2 cos i sin3 35 5 1 i 31 i 3 .2 cos i sin 32. 1 i 3 32 32i 33 3 2 2                        3232 3z 12az bz c 2az bz c z 1a b c R.  z 1a b c R.  z i a ib c R.   z i a ib c R.   b R.ib Rb 0.a , c R.z 1z cos i sin R     2az bz c a cos 2 i sin 2 b cos i sin ca cos 2 c ia sin 2 R                a sin 2 0 ,  a 0a b 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài toán 3. Tìm môđun và acgumen c a s ph củ ố ứPh ng pháp:ươ Nhìn chung các bài t p này có cách gi i nh sau: ậ ả ưGi s ta c n tìm m t acgumen c a s ph c z. Ta c n bi n đ i sao cho z có d ngả ử ầ ộ ủ ố ứ ầ ế ổ ạ 1. V i ớ ta có mô đun c a ủ là Và 1 acgumen c a ủ là th a ỏ ; 2. V i ớ thì có mô đun là và 1 acgumen c a ủ là 3. V i ớ4. V i ớI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Cho s ph c ố ứ . Tìm m t acgumen c a s ph c z.ộ ủ ố ứGi iảDo neân . V yậ , m t acgumen c a z làộ ủ Ví d 2. ụ Cho s ph c z có mô đun b ng 1 và ố ứ ằ là m t acgumen c a z ộ ủ a) Tìm m t acgumen c a ộ ủb) Tìm m t acgumen c aộ ủ n uế H ng d nướ ẫT gi thi từ ả ế suy ra a) Ta c óV y m t acgumen c a z là ậ ộ ủb) Ta có :  N uế thì . Lúc đó là m tộ acgumen c aủ  N uế thì . Lúc đó là m t acgumenộ Ví d 3.ụ Tìm môđun và m t acgumen c a các s ph c sau:ộ ủ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 197z r cos i sin   z a bi ,(a , b )  z 2 2r a b  z 22 2 acosa b 22 2bsina bz r(cos isin )  zr zz r(cos i sin ) r cos( ) i sin( )          z r(sin i cos ) r cos( ) i sin( )2 2            z 1 sin i cos , 02       2z 1 sin i cos 1 cos i sin2 22 sin 2i sin cos4 2 4 2 4 22 sin sin i cos4 2 4 2 4 22 sin cos i sin4 2 4 2 4 2                                                                                                        02  2 sin 04 2     4 2 zzz z cos 0 z cos isin    cos i sinz cos i sincos 2 i sin 2z cos i sin cos i sin                  2 z z 2 cos  cos 0 z z 2 cos 2 cos cos 0 i sin 0      0z z cos 0 z z 2 cos .( 1) 2 cos cos i sin        z z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) ; b) c) ; d) e) Gi iảa) V y ậb) V y ậc) V y ậd) V y ậe) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 198www.thuvienhoclieu .comz 1 cos i sin4 4   z 1 cos i sin3 3   2 2z 1 cos i sin5 5   z 1 sin i sin3 6   z 1 sin i sin .6 6   2z 1 cos i sin 2 cos 2i sin cos4 4 8 8 8        2 cos cos i sin8 8 8      r 2 cos8.8 2z 1 cos i sin 2 cos 2i sin . cos3 3 6 6 6        2 cos cos i sin 2 cos cos i sin6 6 6 6 6 6                            r 2 cos 36.6   22 2z 1 cos i sin 2 sin 2i sin . cos5 5 5 5 5         3 32 sin sin i cos 2 sin cos i sin .5 5 5 5 10 10                  r 2 sin5310  z 1 sin i sin 1 cos 2i sin3 6 6 6        22 cos 2i sin cos12 12 1211 112 cos cos i sin 2 cos cos i sin12 12 12 12 12 12                      r 2 cos121112 z 1 sin i sin 1 cos i sin6 6 3 3        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậVí d 4. ụ Tìm môđun và m t acgumen c a các s ph c sau:ộ ủ ố ứa) b) c) d) Gi iảTa kí hi u r và ệ l n l t là môđun và acgumen c a s ph c z, ta cóầ ượ ủ ố ứa) V y ậb) V y ậc) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19922 sin 2i sin . cos6 6 61 7 72 sin sin i cos 2. sin i cos6 6 6 2 6 62 2cos i sin .3 3                                   r 12.3 1 1z 1 i;2 2  z 2 2 i 2 ;  z 2 3 3 i 3;  3 2 1z i.3 3 3  1 1z 1 i 1 cos i sin4 42 2       22 cos 2i sin . cos 2 cos cos i sin8 8 8 8 8 82 cos cos i sin8 8 8                            r 2 cos8.8 2 i 2z 2 2 i 2 2 1 2 1 cos i sin2 2 4 4                22 2 sin 2i sin . cos 4 sin sin i cos8 8 8 8 8 83 3 3 34 sin cos i sin 4 sin cos i sin8 8 8 8 8 8                                             r 4 sin83.8  3 1z 2 3 3 i 3 2 3 1 i 2 3 1 cos i sin2 2 6 6                22 3 2 cos 2i sin . cos 4 3 cos cos i sin12 12 12 12 12 12                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậd) V y ậVí d 5. ụ G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ có ph n th c âm. Tính môđunầ ựvà acgumen c a các s ph c sau:ủ ố ứa) b) c) d) Gi iảTa g i r và ọ l l t là môđun và acgumen c a s ph c w.ầ ượ ủ ố ứGi i ph ng trình: ả ươ ta đ c 2 nghi m là: ượ ệ có ph n th c âm vàầ ựa) Ta có: ; Suy ra:V y w có môđun và m t acgumen là: ậ ộ b) Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 200www.thuvienhoclieu .comr 4 3 cos12.12 3 2 1 2 3 1 2 3 1z i i 1 i3 3 3 3 3 3 3 2 2             22 42 sin 2i sin . cos sin sin i cos3 12 12 12 3 12 12 124 4 7 7sin sin i cos sin cos i sin3 12 12 12 3 12 12 12                                               4r sin3 127.12  1 2z , z21z 2iz 4 0 , z  21 2w z .z ;12zw ;z 21 2w z 2 z 2 ;  1 2w z . 2 z . 2z 2iz 4 0  1 13 1 5 5z 3 i 2 i 2 cos i sin , z2 2 6 6              23 1z 3 i 2 i 2 cos i sin .2 2 6 6             215 5z 4 cos i sin3 3      2z 2 cos i sin .6 6      21 25 5 11 11w z .z 4.2. cos i sin 8 cos i sin .3 6 3 6 6 6                             r 8116  23 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos i sin2 2 6 6                   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra:V y ậ có môđun và acgumen là c) Ta có theo câu b) vàSuy ra V y ậ có môđun và m t acgumen là:ộ Cách khác: Trong tr ng h p này, ta có th áp d ng công th c Vi-et:ườ ợ ể ụ ứTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 20122 2 sin 2i sin . cos 4 sin sin i cos12 12 12 12 12 127 74 sin sin i sin 4 sin cos i sin .12 12 12 12 12 12                                               12 5 52 cos i sinz6 61 5 7 5 7w cos i sinz 2 6 12 6 127 72 sin4 sin cos i sin1212 12 121 3 3 1cos i sin cos i sin .12 12 4 42 sin 2 sin12 12                                               12zwz 21r2 sin12.4 2 7 7z 2 4 sin cos i sin12 12 12        12 3 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos i sin2 2 6 62 2 cos 2i sin . cos 4 cos cos i sin12 12 12 12 12 1211 114 cos cos i sin .12 12 12                                              1 211 11 7 7w z 2 z 2 4 cos cos i sin .4 sin cos i sin12 12 12 12 12 1211 7 11 716. sin . cos cos i sin12 12 12 12 12 12                                       18 18 3 38. sin . cos i sin 8 sin cos i sin6 12 12 6 2 23 34 cos cos i sin .12 2 2                        1 2w z 2 z 2  r 43.2 1 2 1 2z z 2i, z z 4.   1 2 1 2 1 2w z 2 z 2 z .z 2 z z 4 4 2.2i 4 4i          3 34 0 i 4 cos i sin .2 2       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com d) V i ớvà Suy ra V y ậ có môđun và acgumen là: Ví d 6.ụ Tìm môđun và m t acgumen c a s ph c z th a mãn ph ng trình: ộ ủ ố ứ ỏ ươGi iảTa có Đ t ặTa có: Ch n ọ ta đ c ượV y có 2 s ph c z th a mãn ậ ố ứ ỏ là: có môđun , m t acgumen là ộ và có môđun , m t acgumen là ộ Ví d 7. ụ Trong các acgumen c a s ph c ủ ố ứ , tìm acgumen có s đo d ng nh nh t.ố ươ ỏ ấ(Trích Ebooktoan.com s 13 – 2013)ốThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 202www.thuvienhoclieu .com1 2 1 2 1 2 1 2w z . 2 z w z . 2 z z . 2 z z . z 2 .        15 5 5 5z 2 cos i sin 2 cos i sin6 6 6 6                 5 52 cos i sin 2 cos i sin6 6 6 6                                          2 7 7z 2 4 sin cos i sin .12 12 12        1 2 7 7w z . z 2 2 cos i sin .4 sin cos i sin6 6 12 12 127 7 5 58 sin . cos i sin 8 sin . cos i sin12 6 12 6 12 12 12 125 5w 8 sin . cos i sin 8 sin . co12 12 12 12                                                                        5 5s i sin .12 12                1 2w z . 2 z r 8 sin125.12 221 zi.1 z22 2 2 221 z 1 ii 1 z i iz 1 i z 1 i z1 i1 z            22 1 i 2i1 i 1 iz i cos i sin1 1 2 21 i 1 i           z 1. 2z cos i sin z cos 2 i sin 2 .        2z cos i sin cos 2 i sin 2 cos i sin2 2 2 22 k2 k .2 4                    k 0,11 25, .4 4    221 zi1 z1zr 1  14 2zr 1 5.4 81 3iChuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảTa có Theo công th c Moav r ta có: ứ ơ ơ . T đó suy ra z có các h acgumen là:ừ ọ. Ta th y v i ấ ớ thì acgumen d ng nh nh t c a z là ươ ỏ ấ ủ .Ví d 8. ụ Tìm acgume âm l n nh t c a s ph c ớ ấ ủ ố ứ .Gi iảAps d ng công th c Moa vro, ta có:ụ ứCác acgumen c a z đ u có d ng ủ ề ạ . Ta có hayAcgumen âm l n nh t c a z t ng ng v i ớ ấ ủ ươ ứ ớV y acgumen c n tìm c a z là ậ ầ ủVí d 9ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Lý T Tr ng, C n Th – 2013)ườ ự ọ ầ ơGi iảTa có: Gi s ả ửT (1) và (2) suy ra: ừCho ta nh n đ c các giá tr acgumen t ng ng c a s ph c ậ ượ ị ươ ứ ủ ố ứ làT đó ph ng trình đã cho có 4 nghi m l n l t là:ừ ươ ệ ầ ượ hay Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2031 31 3i 2 i 2 cos i sin2 2 6 3              8 8 8z 2 cos i sin3 3        82k , k3     k 24310z 1 i 3 10101010 10 1 3z 1 i 3 2 i 2 cos i. sin2 2 3 3             10 1010 10 4 4z 2 cos i. sin 2 cos i. sin3 3 3 3               4k 2 k Z3  4 2k2 0 k3 3      k ..., 4 , 3, 2 , 1    k 1234z i 1 i 3  4 42 2z i 1 i 3 z i 2 cos i sin 13 3          44z i r cos i sin , r z i r cos 4 i sin 4 2           44r 2r 22cos 4 cosk3k6 22sin 4 sin3            k 0, 1, 2  z i1 2 3 4 2 5, , ,6 3 3 6          4z i 2 cos i sin6 6      4418 2z 1 i2 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com hay hay hay Nh n xét: ậ D ng l ng giác luôn phát huy đ c u th c a mình khi x lí các bi u th c lũy th a ạ ượ ượ ư ế ủ ử ể ứ ừb c cao c a s ph c.ậ ủ ố ứVí d 10.ụ G i ọ là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tìm s n nguyên d ng ố ươnh nh t sao cho ỏ ấGi iảĐ t ặ (1). Bi t th c c a (1) làệ ứ ủ.V y (1)ậ có các nghi m là ệ và Vì n là s nguyên nh nh t nên t ố ỏ ấ ừ suy ra: Ví d 11.ụ Tìm s ph c z th a mãn: bi t ố ứ ỏ ế có m t acgument b ng m t acgument c aộ ằ ộ ủ c ng v i ộ ớ . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ .Gi iả Đ t ặ . Khi đó có m t acgument b ng acgument c aộ ằ ủ c ng v i ộ ớ nênv i ớ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 204www.thuvienhoclieu .com42 2z i 2 cos i sin3 3      442 18z 1 i2 2      4z i 2 cos i sin3 3                 442 18z 1 i2 2      45 5z i 2 cos i sin6 6                 4418 2z 1 i2 2      1 2z , z 2 5z 2 co s z 1 021      n n1 2z z 1 2 5z 2 co s z 1 021      2' 2 2 2 5 5 5co s 1 sin i sin21 21 21          1 5 5z co s i sin21 21   25 5z co s i sin21 21  n nn n1 2 5 5 5 5z z 1 co s i sin co s i sin 121 21 21 21                  nn5 5 5 5co s i sin co s i sin 121 21 21 21n5 n5 n5 n5co s i sin co s i sin 121 21 21 21n5 n 5 n5c o s co s 1 2 co s 121 21 21n5 n 5 7 42kco s co s k2 n k *21 3 21 3 5 5                                                                     *n 7 z 2iz 24T z 1 z i   z a bi a , b  z 2iz 24z 2ir cos i. sin4 4z 2      r 0Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra Ta có: do (*)Ap d ng b t đ ng th c Cosi,ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ượSuy ra , đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả V y, giá tr l n nh t c a T là ậ ị ớ ấ ủ , đ t khi ạII. Bài t p áp d ngậ ụBài t p 1ậ . Tính môđun và m t acgumen c a s ph c sauộ ủ ố ứ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta cóV y ậb) Ta cóV y ậc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2052 22 2a b 2 i a a 2 b b 2 a 2 b 2 abz 2iiz 2 a 2 bia 2 b a 2 b               2 22 2a a 2 b b 2 a 2 b 2 abi 0a 2 b a 2 b          2 222a b 2a 2 b 0 *a b 2 0      T z 1 z i a 1 bi a b 1 i         2 22 2a 1 b a b 1 3 2a 3 2b         2 2 2T 2 6 2a 2b 2 6 2 a b 20         T 2 5 a b 1 2 5z 1 i  355 i 18 8ia) z ; b) z ;2 3i 4 9i1 3i 3 3 ic)z ; c)z .2 i3 2i            5 i 2 3i5 i 13 13iz 1 i2 3i 132 3i 2 3i1 12 i 2 cos i sin4 42 2                 r 8. 18 8i 4 9i18 8iz 2i 2 cos i sin4 9i 2 24 9i 4 9i           r 8.2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậd) Ta có Suy ra V y ậBài t p 2ậ . Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm mô-đun c a s ph c ủ ố ứ .(Trích đ thi th Ng i Th y – 2013)ề ử ườ ầGi iảG i ọ . Ta có:, thay vào (2) ta có Suy ra Do đó Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 206www.thuvienhoclieu .com55 555551 3i 2 i1 3i 5 5iz 1 i2 i 52 i 2 i2 22 i 2 cos i sin2 2 4 4                                              55 5 5 52 cos i sin 4 2 cos i sin4 4 4 4                                       r 4 25.4 33 3 iz .3 2i    3 3 i 3 2i 9 2 6 3 3 i3 3 i3 43 2i3 2i 3 2i      7 7 3i 1 31 i 3 2 i 2 cos i sin .7 2 2 3 3               3333 3 iz 2 cos i sin 2 cos i sin3 33 2i                  r 8. 1 i 3 z z 3  5 10w 1 z z  z a bi a , b  2 22 22 221 i 3 z z 3 1 i 3 a bi a b 3a b 3 a b 3a b 3 a b b a 3 i 3b a 3 04a 4a 3 1b a 3 2                    22 3a3 4a 0141 a1 324a 3 4aa a2 2           3b21 i 3z cos i sin2 2 3 3               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậBài t p 3ậ . Tìm s ph c z bi t r ng ố ứ ế ằ và có m t acgumen b ng ộ ằ .(THPT Chuyên Đ i h c Vinh, l n 2 – 2013)ạ ọ ầGi iảTa có Đ t ặ . Khi đó:Theo bài ra ta có: . Suy ra T gi thi t c a bài toán ta có: ừ ả ế ủT đó ta có ừ .Bài t p 4ậ . Vi t d ng l ng giác c a s ph c z bi t ế ạ ượ ủ ố ứ ế và có m t acgumen b ng ộ ằ .(THPT L ng Th Vinh, Hà N i l n 3 – 2013)ươ ế ộ ầGi iảTa có /G i ọ là m t acgumen c a z. Ta có ộ ủT đó suy ra:ừCh n ọ sao cho Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2075 105 5 10 10w 1 z z 1 cos i sin cos i sin3 3 3 3                                   1 i 3 1 i 31 1 i 32 2 2 2      w 1 i 3 2  z 2z 3 i  1 i z1 3 1 3 i  62 21 i z1 i 1 3i. 1 3 1 3 i41 3 1 3 i1 3 1 3         1cos i sin2 3 3       z r cos i sin , r 0    1 i zrcos i sin2 3 31 3 1 3 i                      3 6 3       3r rz i2 2 3r ri 3r ri 3 i2 2    222 2 22 r 23r r3 r 1 r 1 r 4 r 122 2r3                3 1z 3 i, z i3 3   22z .z 16i.z622222z .z 16 z.z 16 z 16 z 2      z 2 cos i sin   i.z 2i cos i sin 2 sin i cos 2 cos i sin2 2                          2 6 3       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y z có d ng l ng giác là ậ ạ ượ .Bài t p 5ậ . Tìm s ph c z bi t ố ứ ế là s th c và ố ự có m t acgumen là ộ . (THPT ChuyênPhan B i Châu, Ngh An l n 1 – 2013)ộ ệ ầGi iảVì và có m t acgumen là ộ nên có m t acgumen là ộ , suy ra z cóm t acgumen là ộ .G i ọTa có là s th c khi và ch khi:ố ự ỉ. V y ậ .Bài t p 6ậ . Tìm s ph c z sao cho ố ứ có m t acgumen b ng ộ ằ và (THPT ChuyênVĩnh Phúc kh i B, D, l n 5 – 2013)ố ầGi iảĐ t ặ có m t acgumen b ng ộ ằL i có: ạT (1) và (2) suy ra ừ .Bài t p 7ậ . Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , s ph c nào có ố ứ nh nh t. Khi đó acgumenỏ ấc a nó b ng bao nhiêu?ủ ằ(Trích GSTT Group l n 4 – 2014)ầGi iảĐ t ặÁp d ng Bunhia copski:ụThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 208www.thuvienhoclieu .comz 2 cos i sin3 3     2z 2z1zz3z.z 1 0 1 z.z 1zz z 31z33r r 3z r cos i sin a bi a , b , r 03 3 2 2           2 2 2z 2z a b 2a 2 b a 1 i     a 1 r 22 b a 1 0b 0 r 0         z 1 3i  z iz i2z 1 z i  2 22 22 2x y 1z i 2xz x yi , x, y iz ix y 1 x y 1           z iz i2 2 2222 222x y 10x y 1x y 11x 02x0x y 1       z 1 z i x 1 y x y 1 i        2 22 2x 1 y x y 1 x y 2       2 2 2x y z i2 2 2    z 4 3i 1  z2 2z a bi z a b    2 2z 4 3i a 4 b 3 i a 4 b 3          2 22 2z 4 3i 1 a 4 b 3 1 1 a b 2 3b 4a 25             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ nh nh t khi ỏ ấD u “=” x y ra khi: ấ ả. Acgumen c a z là: ủ .Bài t p 8ậ . Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và có m t acgumen b ng ộ ằ . (TríchTr ng THPT Chuyên ĐH Vinh, l n 3 – 2014)ườ ầGi iảĐ t ặ .Suy ra . Khi đó:Theo gi thi t ta có ả ế . Khi đó .Suy ra (vì )V y ậ .Bài t p 9. ậ Xét s ph c z th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ a) Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a (*)ỏb) Trong các s ph c z th a (*) tìm s s ph c có acgumen d ng và nh nh t.ố ứ ỏ ố ố ứ ươ ỏ ấ H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2092 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23b 4a 3 4 b a 5 a b 1 a b 10 a b 251 a b 5 1 6 a b 4 6 z 4                       zz 42 23b 4a 016ab a 16 12 4 35z i 4 i123 4 5 5 5 5b5a b 16               z 4 cos i sin   4ar cos k25  z 2i 2 3  3 i z3z r cos i sin , r 0    z r cos i sin     3 i z 2r cos i sin6 6                   6 3 6       3r rz i2 2 3r rz 2i 2 3 2 i 2 32 2        2223r r2 12 r 2r 8 0 r 24 2             r 0z 3 i  2z 2 i 2 1 (*)  zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) K ti p tuy n OK v i đ ng tròn. D th y ẻ ế ế ớ ườ ễ ấ nên V yậBài t p 10.ậ Tìm s ph cố ứ sao cho và có m t acgumen b ngộ ằ .H ng d n gi iướ ẫ ảT ừLúc đó: . Vì có 1 acgumen b ng ằ nên có d ngạ T (1) và (2) suy ra ừ V y ậBài t p 11.ậ Xác đ nh t p h p các đi m trên m t ph ng ph c bi u di n s ph c z sao cho ị ậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ sao chos ph cố ứ c ó m t acgument b ngộ ằ H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì Do có m t acgument b ng ộ ằ nên ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 210www.thuvienhoclieu .com2 22 2 1a) M(z) (C) : x y2 2 4                OI 1IK 1sin IOK IOKIO 2 6KOx4 6 12        3z OK cos i sin cos i sin12 12 2 12 12                3z cos i sin2 12 12     zz i1z 3i z 1 6xz i1 vôùi z x yiy 1z 3i     z 1 x 1 i 1   z 1 6 z 1 z 1 r cos i sin , r 06 6rx 1 i 3 i 22                       r 3x 1x 3 12r r 212      z 2 3 1 i laø soá phöùc caàn tìm  zz 2z 2  3z x yi, x,y  2 22 22 2z 2 x y 4 4yiz 2x 2 y x 2 y      z 2z 2  3Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Do đó: T (1) và (2) ta suy ra ừ và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2112 22 22 2x y 4 4yi r cos i sin ,r 03 3x 2 y x 2 y             2 22222x y 4 r12x 2 y4y r 322x 2 y   y 0  2 22224y r 3 2 4x y23 3x 2 y               2 4Taäp hôïp ñieåm M(z) caàn tìm laø phaàn ñöôøng troøn taâm I 0; , baùn kính 3 3naèm phía treân truïc thöïc (y 0)   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 4 . Áp d ng công th c Moavr đ tính căn b c n c a s ph cụ ứ ơ ể ậ ủ ố ứPh ng phápươ1. Tính căn b c hai c a s ph c w: ậ ủ ố ứ Căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứ là s ph c w th a ố ứ ỏ*Căn b c hai c a 0 b ng 0ậ ủ ằ* V i ớĐ t ặ thì * S ph c ố ứ có 2 căn b c hai đó là ậ và TT có căn b c n:ậ I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1ụ . Tìm căn b c hai c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có Đ t ặ là m t căn b c hai c a w, ta có:ộ ậ ủV y w có hai căn b c hai là: ậ ậ và Ví d 2.ụ Tính căn b c ba c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác: ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 212www.thuvienhoclieu .com z2w zz 0, z r(cos i sin ), r 0    w R(cos i sin )  2 2w z R (cos2 i sin 2 ) r(cos i sin )       2R r2 k2 ,     R rk ,2     z r(cos i sin )   r cos i sin2 2     r cos i sin2 2    n nw z R (cos n i sin n )   r(cos i sin )  nR rn k2   nR rk22 1 3w i.2 2 1 3w i cos i sin .2 2 3 3    z r cos i sin   2 2z w r cos 2 i sin 2 cos i sin3 3r 1 r 12 k2 , k Z k , k Z.3 6                        1z cos i sin6 6  27 7z cos i sin .6 6  w 1 i 3.  1 3 2 2w 1 i 3 2 i 2 cos i sin2 2 3 3              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ w có môđun và m t acgumen ộSuy ra căn b c ba c a w là s ph c z có: Môđun ậ ủ ố ứ và m t acgumenộ L y ấ thì có ba giá tr :ịV y ậ có 3 căn b c ba là: ậVí d 3.ụ Tính căn b c b n c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác: ậ ố ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có: có môđun và m t acgumen ộSuy ra căn b c b n c a w là s ph c z có: môđun ậ ố ủ ố ứ và m t acgumen ộ L y ấ ta có 4 giá tr c a ị ủII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1. ậ Tìm căn b c ậ hai c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ủ ố ứ ế ướ ạ ượH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y w có 2 căn b c hai là:ậ ậBài t p 2.ậ Tìm căn b c ba c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 213R 22.3 3r 2k2 2 k2, k Z.3 3 9 3        k 0,1, 21 2 3 2 2 2 8 2 4 14, , .9 9 3 9 9 3 9                w 1 i 3 3 31 233 2 2 8 8z 2 cos i sin , z 2 cos i sin ,9 9 9 914 14z 2 cos i sin .9 9                     w i.w i cos i sin2 2   R 1 .2 r 1  k2 k, k Z.4 4 8 2        k 0,1, 2, 3:1 2 3 4 5 9 3 13, , , .8 8 2 8 8 8 8 2 8                      w 1 i 3 i .  1 i 3 1w 1 i 3 i 2 .2. i2 22 2            2 2 cos i sin cos i sin 2 2 cos i sin4 4 6 6 4 6 4 65 58 cos i sin .12 12                                          414 425 5z 8 cos i sin24 245 5 29 29z 8 cos i sin 8 cos i sin .24 24 24 24                                 2 2w i2 2 2 2w i cos i sin2 2 4 4               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com w có môđun R=1 và acgumen Suy ra căn b c ba c a w là s ph c z có: môđun ậ ủ ố ứ và m t acgumenộV i k = 0,1,2 ta có ba giá tr c a ớ ị ủ . V y ậ có 3 căn b c 3 là:ậBài t p 3.ậ Tính căn b c b n c a ậ ố ủH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: có:L y ấ ta có 4 giá tr cu ị ảV y ậ có 4 căn b c 4 là:ậBài t p 4.ậ Tính căn b c năm c a ậ ủH ng d n gi iướ ẫ ảCăn b c năm c a s ph c ậ ủ ố ứ là s ph c z th a mãn ố ứ ỏ Vì . Đ t ặ ta cóL y ấ ta đ c 5 giá tr c a ượ ị ủ :Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 214www.thuvienhoclieu .com.4 3r 1 1 k2 k2, k Z.3 3 12 3        1 2 3 2 7 4 15 5, , .12 12 3 12 12 3 12 4                  2 2w i2 2 1 2 37 7 5 5z cos i sin , z cos i sin , z cos i sin .12 12 12 12 4 4                     3 1w i.2 2 3 1 7 7w i cos i sin2 2 6 6    r 1k2 7 k, k Z.4 4 24 2         k 0, 1, 2, 3:1 32 47 7 31; ;24 24 247 19 7 3 43; .24 2 24 24 2 24                    3 1w i2 2 1 23 47 7 19 19z cos i sin , z cos i sin24 24 24 2431 31 43 43z cos i sin , z cos i sin .24 24 24 24            w i.w i5z i.5 5z i 1 z 1 z 1     z cos i sin ,    55z i cos i sin cos i sin2 2cos 5 i sin 5 cos i sin2 2k25 k2 , k Z2 10 5                         k 0,1, 2 , 3, 4 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có 5 căn b c năm c a i là:ậ ậ ủBài t p 5.ậ a) Vi t ế d i d ng l ng giác.ướ ạ ượb) Tính và suy ra các căn b c b n c a ậ ố ủH ng dân gi iướ ảa) b) Các căn b c 4 c a ậ ủ là : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2151 2 34 52 4 9, ,10 10 5 2 10 5 106 13 8 17, .10 5 10 10 5 10                           1 2 34 59 9z cos i sin , z cos i sin , z cos i sin ,10 10 2 2 10 1013 13 17 17z cos i sin , z cos i sin .10 10 10 10                0z 3 i 40zw 8 8i 3.  0z 2 cos i sin6 6      40z 8 8i 3. 8 8i 3 0 12 2z 2 cos i sin , z 2 cos i sin ,6 6 3 3               2 37 7 5 5z 2 cos i sin , z 2 cos i sin6 6 3 3               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com M C L CỤ ỤCH Đ 9. Ủ Ề M T S NG D NG C A S PH CỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ố Ứ ............................................................................. 3Bài toán 1. S d ng s ph c vào gi i h ph ng trìnhử ụ ố ứ ả ệ ươ .................................................................... 3Bài toán 2: ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c, đ ng th c l ng giácỨ ụ ố ứ ứ ứ ẳ ứ ượ .................... 10Bài toán 3: ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th cỨ ụ ứ ấ ẳ ứ ...................................................................... 20Bài toán 4. ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c Niut nỨ ụ ả ể ổ ị ứ ơ ..................................... 23Bài toán 5. ng d ng gi i toán đa th c và phép chia đa th cỨ ụ ả ứ ứ .......................................................... 27Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 216www.thuvienhoclieu .comChuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 9. Ủ Ề M T S NG D NG C A S PH CỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ố ỨBài toán 1. S d ng s ph c vào gi i h ph ng trìnhử ụ ố ứ ả ệ ươXét h ph ng trình:ệ ươ L y (2) nhân ấ sau đó c ng (tr ) (1) v theo v ta đ c : ộ ừ ế ế ượĐ t ặ , bi u di n (*) thông qua các đ i l ng ể ễ ạ ươI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ Gi iảL y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th hai nhân i ta đ cấ ươ ứ ấ ộ ớ ươ ứ ượ là m t căn b c ba c a s ph c ộ ậ ủ ố ứTa có: có ba căn b c ba là ậV y v i ậ ớ ta đ c nghi m c a ph ng trình là:ượ ệ ủ ươ Ví d 2. ụ Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ .Gi iảH đã cho t ng đ ng v i ệ ươ ươ ớ L y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th 2 nhân i ta đ cấ ươ ứ ấ ộ ớ ươ ứ ươ là m t căn b c 3 c a ộ ậ ủ .Ta có: nên có ba căn b c ba làậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 217f(x; y) g(x; y) (1)h(x; y) k(x; y) (2) if( x; y) h(x; y).i g(x; y) k(x; y).i (*)  z x yi z, z,|z|,...3 22 32x 6xy 5.6x y 2y 5 3  33 2 2 31 32x 6xy i 6x y 2y 5 5 3i x yi 5 i2 2            z x yi  1 35 i2 2    1 3 1 35 i 5 cos i sin 5 i2 2 3 3 2 2                    3 3 30 1 07 7 13 13z 5 cos i sin , z 5 cos i sin , z 5 cos i sin9 9 9 9 9 9                         0 1 2z z , z z , z z   3 3 33 3 3 7 13x 5 cos x 5 cos x 5 cos9 9 9, ,7 13y 5 sin y 5 sin y 5 sin9 9 9                      3 2 2 23 2x 3xy 3x 3y 3x 0y 3x y 6xy 3y 1 0        3223x 1 3y x 1 13 x 1 y y 1     3 22 3x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y 1 i          3x 1 iy 1 i z x 1 iy        1 i1 i 2 cos i sin4 4       1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y v i ậ ớ ta đ c nghi m c a ph ng trình là:ượ ệ ủ ươ Ví d 3. ụ Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ .Gi iảCách 1. L y (2) nhân ấ sau đó c ng v i (1) ta đ cộ ớ ượĐ t ặ . Lúc đó: . V y, nghi m c a h ph ng ậ ệ ủ ệ ươ trình là: . Cách 2. Ta th y ấ không là nghi m c a h ph ng trìnhệ ủ ệ ươ Nhân (1) v i ớ , nhân (2) v i ớ ta đ c ượ tr v theo v ta đ c ừ ế ế ượ Nhân (1) v i ớ , nhân (2) v i ớ ta đ c ượ c ng v theo v ta đ c ộ ế ế ượTa đ c h ượ ệ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 218www.thuvienhoclieu .com6 6 60 1 23 3 17 17z 2 cos i sin , z 2 cos i sin , z 2 cos i sin4 4 4 4 4 4                         0 1 2z z , z z , z z   6 6 66 6 6 3 17x 1 2 cos x 1 2 cos x 1 2 cos12 4 12, ,3 17y 2 sin y 2 sin y 2 sin12 4 12                         2 22 23x yx 3 (1)x yx 3yy (2)x y  i2 2 2 2 2 23x y x 3y i 3 x yi x yi ix yi 3 x yi 3(*)x y x y x y             z x yi; x , y  23 i z 3 iz 2 i(*) z 3 z 3z 1 iz|z|x 2y 1x yi 2 ix yi 1 ix 1y 1                x, y 2; 1 , x, y 1; 1  x 0 , y 0 xy 222 2222 23x xyx 3xx yxy 3yy 0x y  2 2x y 3 3x (*)  yx 22 222 23xy yxy 3yx yx 3xyxy 0x y  2xy 1 3y (*) 2 2x y 3 3x2xy 1 3y   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đáp s :ố Ví d 4. ụ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ .Gi iảL y (2) nhân ấ sau đó c ng v i (1) ta đ cộ ớ ượĐ t ặ . Lúc đó ph ng trình (*) tr thànhươ ởV y, nghi m c a h ph ng trình là ậ ệ ủ ệ ươ .Ví d ụ 5 . Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .Gi iảĐi u ki n: ề ệ . Đ t ặ . H đã cho có d ng: ệ ạ . Đ t ặ . Ta có .T h đã cho ta cóừ ệ Gi i ph ng trình (*), ta có ả ươ suy ra các nghi m:ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 219x, y 2; 1 , x, y 1; 1  3 2 2 23 2 2 2x 3xy x 1 x 2xy y (1)y 3x y y 1 y 2xy x (2)          i3 2 3 2 2 2 2 23 2 2 3 2 2 2 23 2 2x 3xy x 1 y 3x y y 1 i x 2xy y y 2xy x ix 3x( yi) 3x ( yi) ( yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y ix yi x yi i 1 x yi x yi i (*)                                  z x yi; x , y  3 2 z 1z 1 i z z 1 i 0 z 1 z 1 z 1 i 0 z 1z 1 ix 1 x 1 x 1y 0 y 0 y 1                            x; y 1; 0 ; x; y 1; 0 ; x; y 1; 1   x, y12x 1 23x y12y 1 63x y        x 0y 0y 3xu 3x , v y u , v 0   2 22 212u 1 2 3u v12v 1 6u v        z u iv 2 21 u vizu v2 2 22 22 12 12u 1 iv 1 2 3 6u v u vu iv 12u iv 12 2 3 6i z 2 3 6izu vz 2 2 3iz 12 0 ,(*)                          2'6 6 3i 3 3 i    z 3 3 3 3 i , z 3 3 3 3 i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Vì nên ta có: , suy ra nghi m c a h là:ệ ủ ệVí d 6. ụ Gi i h ph ng trình trên t p s ph cả ệ ươ ậ ố ứ : .(Đ thi h c sinh gi i Romania năm 2002)ề ọ ỏGi iảXét h ph ng trình ệ ươRõ ràng và x,y,z đôi m t khác nhau.ộT (1) và (2) ta có ừHay T ng t h đã cho tr thành ươ ự ệ ở (4)C ng v v i v ta đ c ộ ế ớ ế ượK t h p v i (4) ta có: ế ợ ớ Suy ra Đ t ặ thì t ừ và x,y,z đôi m t khác nhau nênộ v i ớMà nên Ta có nên a=1V y các s ph c ậ ố ứ c n tìm là các hoán v c a ầ ị ủII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1.ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m là s th c: ả ệ ươ ớ ệ ố ự .H ng d n gi iướ ẫ ảĐây là h đ ng c p b c ba. tuy nhiên, n u gi i b ng ph ng pháp thông th ng ta s đi đ n gi i ệ ẳ ấ ậ ế ả ằ ươ ườ ẽ ế ảph ng trình b c ba: ươ ậPh ng trình này không có nghi m đ c bi t!ươ ệ ặ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 220www.thuvienhoclieu .comu, v 0u 3 3, v 3 3    x; y 4 2 3 ; 12 6 3 .  x x y x z 3y y x y z 3z z x z y 3      x x y x z 3, 1y y x y z 3, 2z z x z y 3, 3      x, y, z 0x x y x z y y x y z x x z y y z        2 2x y xz yz.  2 22 22 2x y xz yzy z yx zxz x zy xy      2 2 2x y z xy yz zx.    2 2 2x yz, y zx, z xy.  2 2 2x y z xyz.  a xyz2 2 2x y z xyz a   23 3 3x a , y a , z a  3 21,1 0.      x x y x z 3  2a 1 1 3.    2 2 31 1 1 3           x, y , z2(1, , ). 3 23 2x 3xy 1y 3x y 3  3 23t 3t 3 3t 1 0    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Xét s ph c ố ứ . Vì ,nên t h đã cho ta cóừ ệ, t ng t cách làm ch ng 1, ta tìm đ c 3 giá tr c a ươ ự ở ươ ượ ị ủ là:, , T đó suy h đã cho có 3 nghi m là:ừ ệ ệBài t p 2ậ . Gi i h ph ng trình trong t p s th c: ả ệ ươ ậ ố ự .H ng d n gi i ướ ẫ ảXét s ph c ố ứVì , nên t h đã cho suy ra:ừ ệ(*)Các s ph c th a mãn (*):ố ứ ỏV y các nghi m c n tìm c a h là:ậ ệ ầ ủ ệBài t p 3. ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .L i gi iờ ảĐi u ki n ề ệ Đ t ặ . Ta có: Vì hai s ph c b ng nhau khi và ch khi ph n th c b ng nhau và ph n o b ng nhau, nên h đã choố ứ ằ ỉ ầ ự ằ ầ ả ằ ệt ng đ ng v i:ươ ươ ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 221z x iy 3 3 2 2 3z x 3xy i 3x y y   3 2 2z 1 3i 2 cos i sin3 3       z32 22 cos i sin9 9     38 82 cos i sin9 9     314 142 cos i sin9 9    3 3 33 3 3 2 8 14x 2 cos x 2 cos x 2 cos9 9 9; ;2 8 14y 2 cos y 2 sin y 2 sin9 9 9                      4 2 2 43 3x 6x y y 31x y y x4   z x iy. 4 2 2 4 3 3z 6x y y 4i x y y x   4z 3 i 2 cos i sin6 6       4 44 4 13 132 cos i sin , 2 cos i sin24 24 24 2425 25 37 372 cos i sin , 2 cos i sin24 24 24 24                           4 4 4 44 4 4 4 13 25 37x 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos24 24 24 24; ; ;13 25 37y 2 sin y 2 sin y 2 sin y 2 sin24 24 24 24                                  x, y R2 22 216x 11yx 7x y11x 16yy 1x y  2 2x y 0. z x iy 2 2x yi1.zx yChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ph ng trình ươ có hai nghi m ệ nên h đã cho có cácệnghi m ệ ho c ặChú ý: Mu n gi i đ c các h ph ng trình b ng ph ng pháp s d ng s ph c, c n nh m t ố ả ượ ệ ươ ằ ươ ử ụ ố ứ ầ ớ ộcông th c c b n c a s ph c, đăc bi t là v i m i s ph c ứ ơ ả ủ ố ứ ệ ớ ỗ ố ứ thì ta có là bình ph ng ươmođun và .Bài t p 4. ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .H ng d n gi i ướ ẫ ảT h suy ra ừ ệ Bài h này không có ngay dàng gi ng ví d trên, tuy nhiên v i m c đích chuy n m u s v d ng ệ ố ụ ớ ụ ể ẫ ố ề ạnình ph ng mođun c a s ph c, ch c n đ t ươ ủ ố ứ ỉ ầ ặ v i ớH đã cho có d ng: ệ ạĐ t ặ . Ta có: H đã cho t ng đ ng v i:ệ ươ ươ ớGi i ph ng trình (*), ta có ả ươ suy ra các nghi m là ệ Vì nên do đó V y nghi m c n tìm là ậ ệ ầThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 222www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 2 2 2216x 11y 11x 16 yx i y 7 ix y x yx iy x iyx iy 16 11i 7 ix y x y16 11iz 7 i z 7 i z 16 11i 0z                           2z 7 i z 16 11i 0    z 2 3i , z 5 2i   x; y 2; 3 x; y 5; 2 .z x iy 2 2x y2 2x iy1 zzzzx y  x, y310x 1 35x y3y 1 15x y        x 0, y 0. u 5x , v y u , v 0.2 22 23 3u 12u v3v 1 1u v        z u iv 2 21 u iv.zu v2 2 2 22 22 3 3 3u 1 iv 1 i2u v u vu iv 3 3 3 2 2iu iv 3 i zz 22u v2z 3 2 2i z 6 0 ,(*)                          2'34 12 2i 2 6i    2 2iz 2 2i , z .2  u , v 02 2iz22 1u , v 1 x , y 1.2 10    1x; y ; 1 .10   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài t p 5. ậ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ .H ng d n gi iướ ẫ ảH ph ng trình đã cho t ng đ ng v iệ ươ ươ ươ ớ Nh n th y ậ ấ là m t nghi m c a h ph ng trìnhộ ệ ủ ệ ươN u ế thì h đã cho vi t thành ệ ế Suy ra: Đ t ặ ta có ph ng trìnhươ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ Bài t p 6.ậ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ(Đ thi h c sinh gi i qu c gia năm 1996)ề ọ ỏ ốH ng d n gi i ướ ẫ ảT h suy ra ừ ệĐ t ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2234 4 3 222 2 3 3 2x y 4x 3xy 2x 4y 02x y 3x y 2xy 3y 2x 1 1 2 y 4y            2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2x y x y 3x x y 2 x 2y 02xy x y 3y x y 4 x y 2 2x y 0             x y 0 2 2x y 0 2 22 22 2x 2 yx y 3x 2. 0x y2x y2xy 3y 4 2. 0x y      2 22 2 2 2x 2y 2x yx y 3x 2. i 2xy 3y 4 2. 0x y x y              22 2 2 2x iy y ixx yi 3 x yi 2 4. 4i 0x y x y         2 2 2 2x iy y ix1 iz x yi ,z zx y x y      2 3 222 4iz 3z 4i 0 z 3z 4iz 2 4i 0z zz 1z 1 z 2z 4i 2 0 z 3 iz 1 i                    z 1x 0y 0z 3 i x 3y 1z 1 i  x 1y 113x 1 2x y17 y 1 4 2x y        x 0, y 0. u x , v y , u , v 0 .   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H đã chho có d ng: ệ ạĐ t ặTa có: H đã cho t ng đ ng v i:ệ ươ ươ ớGi i (*): Vì ả nên các nghi m:ệTa có nghi m ệ và do đó nghi m c a h là:ệ ủ ệho c ặBài toán 2: ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c, đ ng th c l ng giácỨ ụ ố ứ ứ ứ ẳ ứ ượPh ng phápươCho d ng l ng giác s ph c ạ ượ ố ứ ; ; . Ta có các công th c sau: ứCông th c Moa-vrứ ơ : N u ế v i ớ . Lúc đó I. Các ví d đi n hình th ng găpụ ể ườVí d 1. ụ Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảĐ t ặ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 224www.thuvienhoclieu .com2 22 2 1 2u 13u v1 4 2v 17u v        z u iv. 2 21 u iv.zu v2 22 u iv 2 4 2 1 2 4 2u iv i z iz3 7 3 7u v2 4 2z i z 1 0,(*)3 7                222 4 2 4i 4 2 2i3 7 21            1 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 71 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 7                             u, v221 2 2 2x & y 23 21 7           1 2 2 2x & y 23 21 7          z r cos i sin   1 1 1 1z r cos i sin   2 2 2z r cos i sin   1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2z rz .z r r cos( ) icos( ) ; cos( ) icos( )z r                     n nz r cos(n ) i sin(n )     1 1 1 2 2 2z a b i; z a b i;    1 2 1 2a , a , b , b 1 21 21 2a az zb b 3 3sin 3 3 sin 4 sin ; cos3 3cos 4cos         z cos i sin   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ M t khác: ặ . T (1) và (2) ta đ c: ừ ượNh n xét: ậ Ta có bài toán t ng quát sau: ổ Bi u di n ể ễ theo các lũy th a c a ừ ủ v i ơn là s nguyên d ng b t kỳ.ố ươ ấÁp d ng công th c Moivre ta có ụ ứM t khác, theo công th c khai tri n nh th c Newton:ặ ứ ể ị ứT đó suy ra:ừTrong đó:C th :ụ ể V i ớ ta có:Ví d 2. ụ Ch ng minh r ng: ứ ằa) ; b) Gi iảXét Ta có M t khác:ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2253 2 33 3 23 2 2 33 3z cos i sin cos 3 cos .i. sin 3 cos . i sin i sincos 3i 1 sin sin 3 cos 1 cos i. sin4cos 3 cos i 3 sin 4 sin (1)                               3z cos3 i sin 3 (2)   3 3sin 3 3 sin 4 sin ; cos3 3cos 4cos         cosnx; sinnxcosx; sinxncos x i sin x cos nx i sin nx  n0 n 1 n 1 2 2 n 2 2n n n3 3 n 3 3 n 1 n 1 n 1 n n nn n ncos x i sin x C cos x iC cos x sin x i C cos x sin xi C cos x sin x ... i C cos x sin x i C sin x           0 n 2 n 2 2 4 n 4 4n n n1 n 1 3 n 3 3n ncos nx C cos x C cos x sin x C cos x sin x ... Msin nx C cos x sin x C cos x sin x ... N          m2 mm2 m 2 m2 m 11 sin x, n 2mM , m1 C cos x sin x, n 2m 1      m 12 m 1 2 m 12 mm2 m 11 C cos x sin x, n 2mN , m1 sin x, n 2m 1       n 4 0 4 2 2 2 4 4 4 24 4 41 3 3 3 3 34 4cos 4x C cos x C cos x sin x C sin x 8 cos x 8 cos x 1sin 4x C cos x sin x C cos x sin x 4 cos x sin x 4 cos x sin x        3 5 1cos cos cos7 7 7 2      3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14      z cos i sin .7 7  3 53 5 3 5z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (1) và (2) suy ra:ừ và Ví d 3.ụ Cho . Tính Gi iảĐ t ặ . Khi đó:Mà nên , suy ra: Ta l i có ạ nên .Chú ý: Ta cũng có k t qu ế ả .Ví d 4. ụ Tính t ng v i ổ ớ và Gi iảĐ t ặ Theo công th c nhân và c ng th c Moivre ta có: ứ ộ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 226www.thuvienhoclieu .com73 52 222z z 1 z 1 1z z z1 zz 1 z 11 cos i sin7 71 cos i sin1 17 7i cot2 2 141 cos sin7 7                     3 5 1cos cos cos7 7 7 2      3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14      2 6sin a sin b , cos a cos b2 2   sin a b .1 2z cos a i sin a , z cos b i sin b   1 26 2z z i 2 cos i sin2 2 6 6        1 26 2z z i 2 cos i sin2 2 6 6        2 21 1 1 2 2 2z z z 1, z z z 1   1 21 21 2 1 2z z1 1z zz z z z   1 21 21 2 cos i sin cos i sinz z6 6 6 6z z cos i sin3 3z zcos i sincos i sin6 66 6                       1 2z .z cos a b i sin a b   3sin(a+b) sin3 2 1cos a b cos3 2  n a 2k k :   A cos x cos x a cos x 2a ... cos x naB sin x sin x a sin x 2a ... sin x na               z cos x i sin x, w cos a i sin a.   kkkzw cos x i sin x cos a i sin azw cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka .Xeùt A iB cos x i sin x cos x a i sin x acos x 2a i sin x 2a ... cos x na i sin x na                             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ (Vì nên ).V y ậXét ph n th c và ph n o c a hai v ta đ c:ầ ự ầ ả ủ ế ượNh n xét:ậ T hai lo i công th c trên, xét các tr ng h p riêng:ừ ạ ứ ườ ợa) N u ế thì suy ra: b) N u ế thì ta có:Ví d 5. ụ Ch ng minh các công th c: ứ ứ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 227n 12 n1 wz zw zw ... zw z1 w     a 2k w 1n 11 cos n 1 a i sin n 1 a1 wA iB z cos x i sin x1 w 1 cos a i sin a        n 1 n 1 n 1sin a sin a i cos a2 2 2cos x i sin xa a asin sin i cos2 2 2n 1sin an 1 n 1 a a2sin a i cos a sin i cos cos x i sin xa2 2 2 2sin2n 1sin ana na2cos i sin cos x i sin xa2 2sin2n 1sin ana2cos xa2sin2                               nai sin x2           n 1 n 1sin a sin ana na2 2A cos x ; B sin xa a2 2sin sin2 2             x 0n 1sin ana21 cos a cos 2a .... cos na cosa2sin2    n 1sin ana2sin a sin 2a ... sin 3a ... sin na sina2sin2     x 2asin 2 n 1 acos a cos 3a cos 5a ... cos 2n 1 a2 sin a      2sin n 1 asin a sin 3a sin 5a ... sin 2n 1 asin a     0 05 1 5 1a) sin 18 ; b) cos 36 .4 4  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảTa có: Do đó là nghi m d ng c a ph ng trình ệ ươ ủ ươ V y ậ suy ra Nh n xét:ậ Áp d ng công th cụ ứ ta tính đ c bi u th cượ ể ứ Đ làm đ c bài toán này tr c h t ta ch ng minh công th c sau:ể ượ ướ ế ứ ứ Th t v y:ậ ậS d ng công th c ử ụ ứ Ta có:Ví d 6. ụ Gi i ph ng trìnhả ươ : Gi iảĐ t ặ thì Ph ng trình đã cho tr thành ươ ở(*)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 228www.thuvienhoclieu .com0 0 0 03 0 0 0 02 0 2 0cos 54 sin 36 cos 3.18 sin 2.184 cos 18 3 cos 18 2 sin 18 cos 184 sin 18 2 sin 18 1 0        0sin 1824x 2x 1 0.  05 1sin 1840 2 05 1cos 36 1 2 sin 18 .4  05 1sin 1840 0 0 0 0 0 0 0 05 1sin 2 sin 18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 8210240 0 1sin a sin 60 a sin 60 a sin 3a.4  0 00 0 0 02 2 2 2sin a sin 60 a sin 60 asin a sin 60 cos a sin a cos 60 sin 60 cos a sin a cos 603 1 3 1sin a cos a sin a cos a sin a2 2 2 23 1 3 1sin a cos a sin a sin a 3 1 sin a sin a sin 3a.4 4 4 4                             0 0 1sin a sin 60 a sin 60 a sin 3a.4  0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0sin 2 sin 18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 s in 82sin 2 sin 58 sin 62 sin 18 sin 42 sin 78 sin 22 sin 38 s in 821 1 5 1sin 6 sin 54 sin 66 sin 18 .64 256 4   1cos x cos 2x cos 3x .2  z cos x i sin x 2 4 62 3z 1 z 1 z 1cos x , cos 2x , cos 3x2z2z 2z    2 4 62 3z 1 z 1 z 1 12z 22z 2z    6 5 4 3 2z z z z z z 1 0       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì không là nghi m nên v i ệ ớ ta có:(*)Hay nên v i ớ Vì nên không nh n giá tr k=3.ậ ịV y nghi m c a ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ươ V y nghi m c n tìm c a h đã cho ậ ệ ầ ủ ệ ho c ặVí d 7ụ . Ch ng minh r ng ứ ằL i gi iờ ảĐ t ặ Khi đó:M t khác ặ (do ), nh ng ư nên suuy ra T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứVí d 8.ụ Cho a,b,c là các s th c th a mãn các đi u ki nố ự ỏ ề ệCh ng minh r ng ứ ằ(Đ ngh IMO năm 1989)ề ịGi iảĐ t ặTa có . Do đó nên Vì nên V y ậT đó ta có ừThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 229z 1z 16 5 4 3 2 7z 1 z z z z z z 1 0 z 1 0           7z 1 cos i sin    2k 2kz cos i sin7 7               k 0; 6. z 13 5 9x m 2 , x m 2 , x m 2 , x m 2 ,7 7 7 711 13x m 2 , x m 2 , m Z.7 7                     x; y 2; 1x; y 1; 1 . 3 2 1sin sin .10 10 8   1 z zz cos i sin z , sin .10 10 z 10 2i       3 23 2 2 2z z z z 3 1sin sin z z i z z 1 (1).10 10 2i 2i 8 8                          5 4 3 2 5 5z cos i sin i z iz z iz 1 010 10          z 14 3z iz; iz z 2 2z z i z z 1 0,(2).    cos a cos b cos c sin a sin b sin cmcos a b c sin a b c       cos a b cos b c cos c a m.     x cos a i sin a , y cos b i sin b, z cos c i sin c.     x y z cos a cos b cos c i sin a sin b sin c       m. cos a b c i.m. sin a b c mxyz      x y z mxyz  1 1 1m.xy yz zx  x y z 1  1 1 1x x, y y, z z.    1 1 1m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c axy yz zx             i sin a b sin b c sin(c a) m        cos a b cos b c cos c a m.     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com II. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1ậ . Ch ng minh r ngứ ằ :a) H ng d n gi i ướ ẫ ảXét , ta có , nên z là nghi m khác -1 c a ph ng trìnhệ ủ ươ . Ta có:+) nên +) Do đó xét ph n th c c a đ ng th c ầ ự ủ ẳ ứ ta suy ra đ c:ượ;Bài t p 2. ậ Hãy bi u di n ể ễ qua H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: S d ng khai tri n nh th c Niu-ton cho v ph i và tách ph n th c và ph n o ta cóử ụ ể ị ứ ế ả ầ ự ầ ả T đó suy ra:ừ Bài t p 3. ậ Cho là các s th c th a mãn ố ự ỏ và Ch ng minh r ng: ứ ằ và Gi iảĐ t ặ , ta có:nên Vì th : ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 230www.thuvienhoclieu .com2 3 1 2 3 1 3cos cos cos ; b) sin sin sin cot .7 7 7 2 7 7 7 2 14            z cos i sin7 7  7z cos i sin 1    7z 1 0 7z 1 0 7z 1 0 6 5 4 3 2 2 3 3z 1 z z z z z z 1 0 z z z 1 z 1            33 3 3 3 31 z 1 cos i sin 2 sin . sin i sin7 7 14 14 14            31 1 3 3 1 1 3sin i cos i cot314 14 2 2 141 z2 sin14          2 32 3 2 3z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7               2 331z z z1 z  2 3 1cos cos cos7 7 7 2      2 3 1 3sin sin sin cot .7 7 7 2 14      tan 5xtan x5cos 5x i sin 5x cos x i sin x  5 3 2 44 2 3 5cos 5x cos x 10 cos x sin x 5 cos x sin xsin 5x 5 cos x sin x 10 cos x sin x sin x     3 52 45 tan x 10 tan x tan xtan 5x .1 10 tan x 5 tan x   a , b, csina sinb sinc 0  cosa cosb cosc 0.  sin2a sin2b sin2c 0  cos2a cos2b cos2c 0.  1 2 3z cos a i sin a; z cos b i sin b; z cos c i sin c      1 2 3 1 2 3z z z 0, z z z 1     kk1z k 1; 2; 3 .z  22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z 2 z z z z z z       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ = Nên T đó ta suy ra đ u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứBài t p ậ 4. Gi i ph ng trình ả ươL i gi iờ ảTa có không là nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươĐ t ặ v i ớTa có V y ph ng trình đã cho tr thành:ậ ươ ở N u ế thì nên Vì và nên Do đó nghi m c a ph ng trình đã cho là ệ ủ ươ N u ế thì nên:Vì và nên Suy ra nghi m c n tìm là ệ ầV y các nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ vàBài t p 5.ậ Cho a,b,c là các s th c th a mãn đi u ki nố ự ỏ ề ệCh ng minh r ng:ứ ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 23121 2 3 1 2 3 1 2 31 2 31 1 10 2z z z 2z z z z z zz z z         1 2 3 1 2 32z z z z z z 0   cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c 0     1cos x cos 3x cos 5x cos 7 x cos 9x .2    cos x 1z cos x i sin x x 0; 2 . 11 n nz 1, z cos x i sin x,2 cos x z z , 2 cos nx z z        3 5 7 93 5 7 92 4 18 9 20 11 911 9 11 91 1 1 1 1z z z z z 1zz z z z1 z z ... z z z 1 z zz 1 z 1 0 z 1, z 1                        9z 19z cos 0 i sin 0 k2 k2z cos i sin , k 0; 8.9 9    x 0; 2 z 1k2x , k 1; 8.9 k2x 2m k 1; 8 , m Z.9     11z 111z cos i sin   k2 k2z cos i sin , k 0; 10.11 11       x 0; 2 z 1k2x , k 0; 9.11   k2x 2m k 0; 9 , m Z.11      k2x 2m k 1; 8 , m Z9     k2x 2m k 0; 9 , m Z.11      cos a cos b cos c sin a sin b sin c 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) Gi iảĐ t ặSuy ra a) Ta có: nên l ng giác: ượT đó ta đ c: ừ ượ và b) V i ớ thì M t khác, t ặ ừ suy ra Vì th :ếDo đó V y nên ậBài t p 6.ậ Ch ng minh r ng: ứ ằGi iảXét s ph c ố ứ có Ta có Đ ng th c c n ch ng minh tr thànhẳ ứ ầ ứ ởRút g n và chú ý ọ ta có Hay: (đúng)V y đ ng th c đ c ch ng minh.ậ ẳ ứ ượ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 232www.thuvienhoclieu .comcos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c         cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b)b sin5c 0     x cos a i sin a , y cos b i sin b, z cos c i sin c.     x y z cos a cos b cos c i sin a sin b sin c 0        3 3 3 2 2 2x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx          3 3cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin c    3 cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin ccos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c3 cos a b c i sin(a b c)               cos 3a cos 3b cos 3c 3 cos a b c    sin 3a sin 3b sin 3c 3 sin a b c    x y z 0  5 5 5 2 2 22 x y z 5xyz x y z    x y z 1  1 1 1x x, y y , z z.    22 2 22 2x y z x y z 2 xy yz zxx y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 0                    5 5 5x y z 0  5 5 5cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin c 0cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c 0            cos 5a cos 5b cos 5c sin 5a sin 5b sin 5c 0.     0 0 0 01 1 1 1.cos 6 sin 24 sin 48 sin 12  0 0z cos 6 i sin 6 ,  15 0 0z cos 90 i sin 90 i.  2 4 8 160 0 0 02 4 8z 1 z 1 z 1 z 1cos 6 , sin 12 , sin 24 , sin 482z2iz 2iz 2iz      2 4 82 4 8 162z 2iz 2iz 2iz0z 1 z 1 z 1 z 1      z 016 14z 1 iz z 1 0.   15 15 2z z 1 iz iz 0 iz 1 i iz 0        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài t p 7. ậ Gi s ả ử và là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ và . Ch ng minhứGi iảTa có . Không m t tính t ng quát, l y ấ ổ ấ . Theo gi thi tả ế. Lúc đó : T ng tươ ự : Do đó . M t khácặ : T đóừ ta có đ cượ : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 233 2x 2x 2 0  cot y 1  n nny ysin nsin      2x 2x 2 0 x 1 i     1 i , 1 i     cot y 1 y cot 1      nn nncos 1y cot 1 1 i i cos n i sin nsinsin               nn nncos 1y cot 1 1 i i cos n i sin nsinsin               n nn1y y .2i sin nsin      2i   n nny ysin nsin      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 3: ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th cỨ ụ ứ ấ ẳ ứCho s ph c ố ứ . Lúc đó môđun c a s ph c ủ ố ứCho các s ph c ố ứ . Ta có các b t đ ng th c th ng dùng sauấ ẳ ứ ườ : I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta luôn có : .Gi iảB t đ ng th c t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét . Ta có M t khácặ : Áp d ngụ : ta đ c ượVí d 2. ụ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta có : Gi iảXét Ta có : Áp d ngụ : ta đ c ượVí d 3. ụ Cho th a mãn ỏ . Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 234www.thuvienhoclieu .comz a bi; a , b  2 2z a b 1 2 3z ; z ; z1 2 1 2 1 2 3 1 2 3z z z z ; z z z z z z       a , b, c2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b         2 22 2 2 2a c b a c b 2 a b      1 2z a c bi; z a c bi     2 22 21 2z a c b ; z a c b     2 2 2 21 2 1 2z z 2a 2bi z z 4 a b 2 a b        1 2 1 2z z z z   2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b         , 4 4 2 2cos cos sin sin 2       2 2 2 21 2 3z cos cos .i; z sin ; z sin .i       4 4 2 21 2 3z cos cos ; z sin ; z sin ;        2 2 2 21 2 3 1 2 3z z z cos cos .i sin sin .i 1 i z z z 2                1 2 3 1 2 3z z z z z z    4 4 2 2cos cos sin sin 2       a , b, c 0ab bc ac abc  2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c3 *ab cb ac    2 2 22 2 21 2 1 2 1 2bñt * 3b c aa b c                           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Theo gi thi t: ả ế . Do đó: Áp d ngụ : ta đ c ượ. Ví d 4. ụ Cho a, b, c, d là b n s th c th a mãn đi u ki nố ố ự ỏ ề ệ : .Ch ng minh r ngứ ằ : Gi iảT gi thi t ta cóừ ả ế : Xét Ta có : Vì nên II. Bài t p áp d ngậ ụBài t p 1. ậ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta luôn có : H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét s ph cố ứ : Lúc đó : Vì Bài t p 2. ậ Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ ta luôn cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2351 2 12 2 21 2 32 2 21 2 321 2 1 2 1 2 1 2Xeùt z i; z i; z i.a b b c c a1 2 1 2 1 2Ta coù: z ; z ; zb c aa b c1 1 1 1 1 1Maët khaùc: z z z 2 ia b c a b c1 1 1 z z z 3a b c                                                      1 1 1ab bc ac abc 1a b c      1 2 z z z 3  1 2 3 1 2 3z z z z z z    2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c3ab cb ac    2 2 2 2a b 1 2 a b ; c d 36 12 c d       62 2a c b d 2 1 .    2 2 2 2a 1 b 1 1; c 1 d 1 36.       1 2 3z 1 a 1 b i; z c 6 d 6 i; z 5 5i         1 2 3z z z c a d b i     1 2 3 1 2 3z z z z z z    62 2 2 21 6 5 2 c a d b a c b d 2 1           x ,2 2x 2x 5 x 2x 5 2 5     2 22 2x 1 2 1 x 2 2 5     1 2z x 1 2i; z 1 x 2i      1 2z z 2 4i   2 22 2 2 21 2 1 2z z z z x 1 2 1 x 2 2 4 2 5 ÑPCM            x, y, z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét Vì Bài t p 3.ậ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ , ta luôn có : H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớXét Ta luôn có : Bài t p 4. ậ Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ ta luôn cóH ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 236www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z       22222 2y y 3z z 3x x y yz z2 2 2 2                       1 2 1 2y y 3z z 3 1 3z x i; z x i z z y z y z i2 2 2 2 2 2           22221 2 1 2222 2y y 3z z 3z z z z x x2 2 2 21 3y z y z y yz z .2 2                                     x2 2 2 21 1 16 32 1 1 4 8x 2 x x x 4x 10 x x 4 2 2 .2 2 5 5 2 2 5 5            2 2 2 22 2 2 222 2 1 32 64 8 16x 4 x x x 8x 20 x x 4 2 42 5 5 5 516 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 54 2 4                                                   1 2 3 41 2 3 416 4 8z x 2i; z 4 x 2i; z x 8i; z x i5 5 5z z 4 4i; z z 4 4i                1 2 3 4 1 2 3 42 2 2 222 22 22 2z z z z z z z z16 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 512 164 4 4 2 4 ÑPCM5 5                                                           x, y, z 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z x xz z 3 x y z .           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớXét Ta có : Vì nên Bài toán 4. ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c Niut nỨ ụ ả ể ổ ị ứ ơPh ng phápươTa nh c l i công th c khai tri n nh th c Niut nắ ạ ứ ể ị ứ ơTa l u ý r ngư ằ : thì I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Tính t ng ổGi iảTa có:Ví d 2. ụ Ch ng minh r ng ứ ằL i gi i.ờ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 23722 222 2y y 3z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 23 x y z                                      1 2 3y y 3z z 3 x x 3z x i; z y i; z z i2 2 2 2 2 2        1 2 33 3z z z x y z x y z i2 2       1 2 3 1 2 3z z z z z z    22 222 22 2y y 3z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 29 3x y z x y z 3 x y z .4 4                                            nnk n k k o n 1 n 1 1 n 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n nk 0a b C a b C a C a b C a b ... C ab C b            *m 4 m 4 m 1 4 m 2 4 m 3i 1; i i; i 1; i i     2 4 6 1 3 5 71 n n n 2 n n n na) S 1 C C C ... b) S C C C C ...         n1 2 2 n nn n n2 4 6 1 3 5 7n n n n n n nnn nn n1 21 i 1 C i C i ... C i1 C C C ... i C C C C ... (1)n n1 i 2 cos i 2 sin (2)4 4n nTöø (1) vaø (2) suy ra: S 2 cos ; S 2 sin4 4                   0 2 4 6 98 100 50100 100 100 100 100 100C C C C ... C C 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 3. ụ Tính các t ng sauổGi iảXét khai tri n ểL y đ o hàm hai vấ ạ ếThay b i ở ta đ cượM t khác:ặ V y ậII. Bài t p rèn luyênậBài t p 1ậ . Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảXét khai tri n nh th c Newton:ể ị ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 238www.thuvienhoclieu .com1000 1 2 2 100 100100 100 100 1000 2 4 100 1 3 5 99100 100 100 100 100 100 100 1002 100 50500 2 4 100 50100 100 100 1001 i C C i C i ... C iC C C ... C C C C ... C i1 i 2i 1 i 2i 2Vaäy: C C C ... C 2                       0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 151 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 15A C 3C 5C 7 C .... 13C 15C ;B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C .             150 1 2 2 3 3 12 12 13 13 14 14 15 1515 15 15 15 15 15 15 151 x C C x C x C x ... C x C x C x C x         150 1 2 2 3 3 4 12 13 13 14 14 15 15 1615 15 15 15 15 15 15 15x 1 x C x C x C x C x ... C x C x C x C x          15 140 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 1514 14 15 1515 151 x 15x 1 x C 2C x 3C x 4C x ... 13C x 14C x15C x 16C x          xi15 140 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 1514 14 15 1515 150 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 151 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 151 i 15i 1 i C 2C i 3C i 4C i ... 13C i 14C i15C i 16C iC 3C 5C 7C .... 13C 15C2C 4C 6C 8C .... 14C 16C i                      15 1415 1415 1415 7 7 7 7 7 7 11 71 i 15i 1 i 2 cos i sin 15i 2 cos i sin4 4 4 42 22 i 15i.2 i 2 2 i 15.2 16.2 2 i 2 2 i2 2                                  0 2 4 6 12 14 1115 15 15 15 15 151 3 5 7 13 15 715 15 15 15 15 15A C 3C 5C 7C .... 13C 15C 2B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C 2               n0 2 4 6 81 n n n n nn1 3 5 7 92 n n n n nnS C C C C C ... 2 cos4nS C C C C C ... 2 sin4            n0 1 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 n nn n n n n n n1 i C iC i C i C i C ... i C i C         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên ta có: (1)M t khác, theo công th c Moivre thì:ặ ứ(2)T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứBài t p 2. ậ Tính t ng ổH ng d n gi i ướ ẫ ảChú ý r ng ằ nên:Vì và nên:V y ta có ậBài t p 3ậ . Tính t ng ổGi iảĐ t ặ thì Do đó ta có:Vì nên:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 239k1,(k 4m)i ,(k 4m 1)i1,(k 4m 2)i ,(k 4m 3)     m n0 2 4 1 3 5n n n n n n1 i C C C ... i C C C ....        nn nnn n1 i 2 cos i sin 2 cos i sin4 4 4 4                 1 3 5 72 n 2 n 2 n 2n1 1 1 1S C C C C ...2 4 6 8    2 k 1 2 k2 n 2 n 11 1C C2k 2n 1 1 3 5 72 n 2 n 2 n 2 n2 4 6 82 n 1 2 n 1 2 n 1 2n 12 4 6 82 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 11 1 1 1S C C C C ...2 4 6 81 1 1 1C C C C ...2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C C C ...2n 1                     2 n 10 2 4 1 3 52 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 11 i C C C ... i C C C ...             2 n 12 n 12n 1 2n 11 i 2 cos i sin4 4        2 n 10 2 4 62 n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 2n 1C C C C ... 2 cos4         2 n 11 2n 1S 1 2 cos .2n 1 4      n 0 1 2 n 1 nn n n n n0 1 2 n 1 nn n n n nA C cos a C cos 2a C cos 3a ... C cos na C cos(n 1)aB C sin a C sin 2a C sin 3a ... C sin na C sin(n 1)a             z cos a i sin a nz cos na i sin na. 0 1 2n n nn 1 nn nn0 1 2 2 3 3 n nn n n n nA iB C cos a i sin a C cos 2a i sin 2a C cos 3a i sin 3a... C cos na i sin na C cos(n 1)a i sin(n 1)az C C z C z C z ... C z z 1 z                    a a a1 z 1 cos a i sin a 2 cos cos i sin2 2 2        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậNh n xét:ậ Cho n là giá tr c th , suy ra đ c nhi u bi u th c l ng giác đ p.ị ụ ể ượ ề ể ứ ượ ẹThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 240www.thuvienhoclieu .comnn nn n a a aA iB cos a i sin a 2 cos cos i sin2 2 2a na na2 cos cos a i sin a cos i sin2 2 2a n 2 n 22 cos cos a i sin a2 2 2                     n n n n a n 2 a n 2A 2 cos cos a , B 2 cos sin a2 2 2 2   5 5 a 7acos a 5 cos 2a 10 cos 3a 10 cos 4a 5 cos 5a cos 6a 2 cos c os2 2     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài toán 5. ng d ng gi i toán đa th c và phép chia đa th cỨ ụ ả ứ ứPh ng phápươI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d ụ 1 . Ch ng minh r ng đa th c ứ ằ ứ chia h t cho đa th c ế ứ v i m i s t ớ ọ ố ựnhiên n.Vì nên có nghi m là ệĐ t ặ Ta có:Gi iảTrong các bài toán v phép chia đa th c, mu n ch nề ứ ố ứ g minh chia h t choế , ta ch ng minhứm i nghi m c a đa th c ọ ệ ủ ứ đ u là nghi m c a đa th c ề ệ ủ ứ . Cách làm này g p ph i khó khănặ ản nh ế ư không có nghi m th c, tuy nhiên s ph c giáp ta gi i quy t v n đ này.ệ ự ố ứ ả ế ấ ềV y ậ cũng là nghi m c a ệ ủ , do đó chia h t cho ếVí d 2.ụ Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n l n h n 1 và s th c ứ ằ ớ ọ ố ự ớ ơ ố ự th a mãn ỏ , đa th cứ chia h t cho đa th c ế ứ .Gi iảXét ph ng trình ươ nên có nghi mệ là hai s ph c liên h p.ố ứ ợĐ t ặ ta có:Suy ra hay V y ậ chia h t ếVí d 3.ụ Tìm s nguyên d ng n sao cho đa th c ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ứ .L i gi iờ ảCác nghi m cu đa th c ệ ả ứ là: Đ t ặ Vì là hai s ph c liên h p, nên ch c n tìm n sao cho ố ứ ợ ỉ ầ (khi đó s b ng không).ẽ ằTa có: nênThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2414 n 2 4 n 2x 1 x 1   2x 12x 1 0 x i x i 0      2x 1i.4 n 2 4 n 2f x x 1 x 1 .    4 n 2 4 n 2 2 n 12 n 1fi fi 1 i 1 (2i) 2i 0         4 n 2 2 n 1 2 n 14 n 2fi fi 1 ( i 1) 2i 2i 0            f xg xg xf xg xif xf x2x 1.sin 0 nx sin x sin n sin n 1     2x 2x cos 1  2 ' 2 2 2x 2x cos 1 0, cos 1 i sin         1 2x cos i sin , x cos i sin        2P x x sin x sin n sin n 1      1P x cos n i sin n sin cos i sin sin n sin n 1cos n sin cos sin n sin n 1 0                      1P x 02P x 0.P x2x 2x cos 1.  2 n nx x 1 2x x 1 2x x 1 1 21 3i 1 3ix , x2 2    2 n nf x x x 1.   1 2x , x1f x 02f x11 3i 2 2x cos i sin2 3 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y đa th c ậ ứ chia h t cho đa th c ế ứ khi và ch khi n là s nguyên d ng không ỉ ố ươchia h t cho 3.ếVí d ụ 4 . Tìm s nguyên d ng n sao cho đa th c ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ứ .L i gi iờ ảCác nghi m c a đa th c ệ ủ ứ là: Đ t ặVì do đoV y giá tr c n tìm c a n là nh ng s nguyên d ng chia cho 6 d 1 ho c chia 6 d 5.ậ ị ầ ủ ữ ố ươ ư ặ ưVí d 5.ụ Phân tích các đa th c sau thành nhân t v i h s nguyên:ứ ử ớ ệ ốa) ; b) Gi iảa) Ta có Mà: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 242www.thuvienhoclieu .com2 n n111 2 2 2 2f x cos i sin cos i sin 13 3 3 34n 2n 4n 2nf x cos cos 1 i sin sin3 3 3 32n 2n4n 2ncos 2 cos 1 0cos cos 1 03 33 3f x 04n 2n2n 2nsin sin 0sin 2 cos 1 03 33 3                                              2n2 cos 1 0 n 3k 1, k3        2 n nx x 1 2x x 1 nnx 1 x 1  2x x 1 2x x 1 1 21 3i 1 3ix , x .2 2  nnf x x 1 x 1.   1 11 3i 1 3i 2 2x cos i sin x 1 cos i sin2 3 3 2 3 3             11 2n 2n n nf x cos i sin cos i sin 1.3 3 3 3n n2n ncos 2 cos 1 0cos cos 1 03 33 3f x 02n nn nsin sin 0sin 2 cos 1 03 33 3n2 cos 1 0 n 6k 1.3                                 4x 4 242x 1 x x 1   24 4 2 2x 4 x 2i x 2i x 2i     2 22 2x 1 i . x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i                      22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Nên b) Ta có: B ng cách gi i các ph ng trình b c hai , ta phân tích đ c thành tích:ằ ả ươ ậ ượ M t khác: ặV y ậII. Bài t p áp d ngậ ụBài t pậ 1 . Có t n t i hay không s nguyên d ng n sao cho đa th c ồ ạ ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ưH ng d n gi iướ ẫ ảCác nghi m c a đa th c ệ ủ ứ là: Đ t ặ , ta có , nh ngư N u ế thì .N u ế thì V y không t n t i s nguyên d ng n đ đa th c ậ ồ ạ ố ươ ể ứ chia h t chho đa th cế ứBài t p 2ậ . Phân tích các đa th c sau thành nhân t v i h s nguyên:ứ ử ớ ệ ốa) ; b) H ng d n gi i ướ ẫ ảa) Ta có: Vì Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2434 2 2x 4 x 2x 2 x 2x 2     2 244 2 2 2(x 1) x x 1 x 1 i x x 1        2 22 2x 1 i x x 1 . x 1 i x x 1                 22x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i          22x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i          22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         21 i x i . 1 i x i 2x 2x 1            242 2 2x 1 x x 1 x 2x 2 2x 2x 1 .        2 n 2 n2 nx 1 x 1 2x   4x 1.4x 11, i. 2 n 2 n2 nf x x 1 x 1 2x    f 1 f 1 0  2 n 2 n n n n2 nfi i 1 i 1 2i 2i 2i 2 1         n 2m , m  m2 m 1fi 2 1 2 0   m  n 2m 1, m   fi 2 0. 2 n 2 n2 nx 1 x 1 2x   4x 1.222x 1 x 3  2223x 5x 4 5x 3   2 22 22 2 2x 1 x 3 x 1 i x 3      2 2x ix 1 3i x 3x 1 3i      2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i       2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com   V y ậb) Ta có: Vì v y ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 244www.thuvienhoclieu .com22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         22 2x 1 2i x 1 2i x 1 4i x 2x 5         222 2 2x 1 x 3 x 2x 2 x 2x 5 .       2 22 22 2 23x 5x 4 5x 3 3x 5x 2 i 5x 3        2 23x 5 1 i x 4 3i . 3x 5 1 i x 4 3i              23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i        23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i        22 2x 2 i x 2 i x 2 i x 4x 5         22 23x 1 2i 3x 1 2i 3x 1 4i 9x 6x 5         222 2 23x 5x 4 5x 3 x 4x 5 9x 6x 5 .        

- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Bình luận