Chuyên đề số phức ôn thi THPTQG môn Toán chọn lọc (có lời giải)

Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 1. CÁC PHÉP TOÁN C B NỦ Ề Ơ ẢPh ng phápươCho hai s ph c ố ứ ta c n nh các đ nh nghĩa và phép tính c b nầ ớ ị ơ ảsau:V n d ng các tính tính ch t trên ta có th d dàng gi i các bài toán sau.ậ ụ ấ ể ễ ảTa cũng c n chú ý k t qu sau: V iầ ế ả ớ , thì N u ế thì  N u ế thì  N u ế thì  N u ế thì I. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d ụ 1 . Cho s ph c: ố ứ . Tính các s ph c sau: ố ứVí d 2.ụ Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c:ầ ự ầ ả ủ ố ứa) b) c) ; d) Ví dụ 3 . Th c hi n các phép tính sau:ự ệa) ; b) ; c) d) ; e) Ví d ụ 4 . Vi t các s ph c sau đây d i d ng ế ố ứ ướ ạa) b) c) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2www.thuvienhoclieu .com    z a bi , z ' a ' b ' i, a , b, a ', b '                       22 2 2 2a a 'z z ' .b b 'z z ' a a ' b b ' i; z z ' a a ' b b ' i.z.z ' a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' a ' b i.a ' b ' i a bi aa ' bb ' ab ' a ' b iz ' z ' .z.zza b a bninn 4k k kn 4 k 4i i i 1  n 4k 1 k  n 4 ki i i 1.i i  n 4k 2 k  n 4k 2i i i 1. 1 1   n 4k 3 k  n 4 k 3i i i 1. i i    3 1z i2 2 2 3 2z; z ; (z) ; 1 z z .   z 9 5i 1 2i ;  z 4 3i 4 5i ; 3z 2 i2iz .i 1 1A1 i 4 3i 5 6iB4 3i  1C1 3i2 23 2iDi     20261 7i4 3i a bi , a , b R :      3 3z 2 i 1 2i 3 i 2 i ;      1 i 3 i 1 2iz ;1 i 2 i 1 i   22 i 1 iz ;2 1 i 3 1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Ví d ụ 5 . Tìm ngh ch đ o c a s ph c sau:ị ả ủ ố ứVí d ụ 6 . Cho . Tìm các s ố đ ểa) là s th cố ự b) là s o.ố ảVí d 7.ụ Tìm đ :ểa) S ph c ố ứ là s thu n o.ố ầ ảb) S ph c ố ứ là s th c.ố ựVí d ụ 8 . Tìm các s th c x, y sao cho ố ự , v i t ng tr ng h pớ ừ ườ ợc)d) Ví d ụ 9 . Ch ng minh r ng : ứ ằVí d 10ụ . a) Tính mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .b ) Cho s ph c ố ứ th a mãn ỏ . Tìm m ô đun c a s ph củ ố ứ. Ví d 11ụ . Xét s ph c: ố ứ . Tìm m đ ểVí d 12.ụ Tính Ví d 13ụ . S ph c ố ứ thay đ i th a mãn ổ ỏ . Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c aị ớ ấ ỏ ấ ủbi u th c: ể ứ .Ví d 14ụ . Cho s ph c ố ứ , v i s ớ ố thay đ i. Tìm giá tr nh nh t, l n nh tổ ị ỏ ấ ớ ấc a ủ .Ví d 15ụ . (Đ Minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c z = 3 – 2i. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph cố ứ ầ ự ầ ả ủ ố ứ A. Ph n th c b ng –3 và Ph n o b ng –2ầ ự ằ ầ ả ằ i . B. Ph n th c b ng –3 và Ph n o b ng –2.ầ ự ằ ầ ả ằ C. Ph n th c b ng 3 và Ph n o b ng 2ầ ự ằ ầ ả ằ i . D. Ph n th c b ng 3 và Ph n o b ng 2.ầ ự ằ ầ ả ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 3 532 iz1 2i651 iz .2 2i      21 i 5a)z 3 4i; b) z 3 2i; c)z ; d)z 3 i 2 .3 2i     z 2a 1 3b 5 i, a , ba , bz zm R    2z 1 1 mi 1 mi  m 1 2 m 1 iz1 miz z '             a)z 3x 9 3i, z ' 12 5y 7 i;b)z 2x 3 3y 1 i , z ' 2y 1 3x 7 i.       2 32( x 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i.      962 2 243 ix y 2i 3i 1 y 2x 320 896i1 i    100 98 963 1 i 4i 1 i 4 1 i .   3z 3i 2 i 2iz31 3iz1 iz iz i mz1 m m 2i 1z.z2     2 3 2012S 1 i i i ... i .  z x 2yi x, yz 1 P x y     z cos 2 sin cos izzChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 16ụ . (Đ Minh H a c a B ). ề ọ ủ ộ Cho hai s ph c ố ứ và . Tính môđun c a s ủ ốph cứ A. . B. . C. . D. .Ví d 17ụ . (Đ minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c ố ứ Tìm s ph c ố ứ A. B. C. D. Ví d 17. ụ (Đ th nghi m l n 1 c a B ).ề ử ệ ầ ủ ộ Tìm s ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứA. B. C. D. Ví d 18ụ : (Đ th nghi m l n 1 c a B ).ề ử ệ ầ ủ ộ Tính môđun c a s ph c ủ ố ứ tho mãn ảA. B. C. D. Ví d 19ụ : ( Đ Th nghi m l n 1-B Giáo d c). ề ử ệ ầ ộ ụ Xét s ph c ố ứ tho mãn ảM nh đ nào sau đây đúng?ệ ềA. B. C. D. II. CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ắ ỆCâu 1. Cho Tính:1.1. Tính A. B. C. D. 1.2. Tính A. B. C. D. 1.3. Tính A. B. C. D. Câu 2 . Tính lũy th a ừ b ng ằA. B. C. D. Câu 3. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 4. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 5. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 4www.thuvienhoclieu .com11z i  2 2 3z i  1 2 .z z 1 2 13z z  1 2 5z z  1 21z z 1 25z z 2 5 .z i w iz z 7 3 .w i 3 3 .w i 3 7 .w i 7 7w i (3 1)z i i 3z i 3z i 3z i 3z i zz(2 i) 13i 1  34.z 34z 5 343z  343z z10(1 2i) z 2 i.z   3z 22 2z12z1 32 2 z     1 2 3z 1 3i, z 2 i, z 3 4i.1 2 3z 2z z 1 4i2 4i.2 5i4 6i1 2 2 3z z z z1 4i2 3i.2 5i.1 6i21 2 3 2 3z z z z z11 45i20 33i.20 35i11 61i20061 i10032 i10032 i20062 i20062 i32 3i46 9i 4 9i 4 19i6 12i54 5i 4 3i    32i9i19i12i22 i 34 2 3i  1 2 6i  3 3i  6 3i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 6. Tính lũy th a ừ b ngằA. B. C. D. Câu 7. Vi t các s ph c ế ố ứ d i d ng ướ ạ , A. B. C. D. Câu 8. Vi t các s ph c ế ố ứ d i d ng ướ ạ , A. B. C. D. Câu 9. Tính A. B. C. D. Câu 10. Tính A. B. C. D. Câu 11. Tính Câu 12 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 13 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 14 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 15 . C p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 16 . Các c p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 531 3i2 2     64 411 i 2 2 iz5 i 3 3 i 5   a bia , b6 i 34 42 i 54 43 i 53 32 3 2i 73 310117 8iz8 7ia bia , b4 7 i133 133  8 7i113 113 4 7i23 23  4 5i123 123 771 1A i2ii    iii1          33101 i 1B 1 i 2 3i 2 3i ;1 i i13 3i33 31i13 32i3 32i         2 3 20C 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i2x 1 1 2 y i 2 x 3y 2 i      1 3x , y3 5  1 1x , y5 5  1 1x , y3 5  1 3x , y3 5 4x 3 3y 2 i y 1 x 3 i      5 2x , y11 11 5 2x , y11 11 5 2x , y11 11  5 2x , y11 11 3x 3 5i y 1 – 2i 7 32i   x 6; y 1 x 6; y 1 x 6; y 1 x 6; y 1 y 1x 11 i 1 i  x 1; y 1 x 1; y 1 338 61x ; y49 49 x 1; y 1 y12 3ix i 3 3i   x, y 0; 12 ; 1; 15 x, y 0; 2 ; 1; 5x, y 10; 2 ; 10; 5x, y 1; 2 ; 1; 15Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 17 . Các c p s th c x, y ặ ố ự th a mãnỏ là:A. B. C. D. Câu 18 . Tìm đi u ki n cho 2 s th c x, và y đề ệ ố ư ể là s th cố ựA. B. C. D. Câu 19 . Tìm đi u ki n cho 2 s th c x, và y đề ệ ố ư ể là s oố ảA. B. C. D. Câu 20. Tìm s th c m đ bình ph ng c a s ph c ố ự ể ươ ủ ố ứ là s th c.ố ựA. B. C. D. Câu 21 . Cho s ph c ố ứ . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ .Câu 22. Cho Hãy vi t d i d ng đ i s c a ế ướ ạ ạ ố ủ . A. B. C. D. Câu 23. Tính t ng ổ A. B. C. D. Câu 24. Cho hai s ph c liên hi p th a mãn ố ứ ệ ỏ và Tính A. B. C. D. Câu 25. Tìm c bi t a,b và c các s nguyên d ng th a mãn:ế ố ươ ỏ A. B. C. D. Câu 26. Cho s ph c z có ph n o b ng 164 và v i s nguyên d ng n th a mãn ố ứ ầ ả ằ ớ ố ươ ỏ Tìm n.A. B. C. D. Câu 27. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Tìm mô đun c a s ph c ủ ố ứA. B. C. D. Câu 28. Tìm s th c m bi t: ố ự ế và ( trong đó i là đ n v o) ơ ị ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 6www.thuvienhoclieu .comx i 1 yi 3 2i x 1 4i     x, y 1; 1 ; 1; 2 5x, y 1; 2 ; ; 42        1x, y ; 2 ; 1; 32       1 3x , y 1; ; 2;2 2            2x iyx 1y 1x 1y 1x 0y 0x 2y 12x iyx 03x y2 2x 03x yx 0x 3y2 2x 0x 3ym 3iz1 im 2 m 3 m 4 m 5 z 3 2i w iz zz 2 3i , x , y .    32z zw z zz 1z 6z 6z 6 i z 6 i     2 3 2012S i 2i 3i ... 2012.i .1006 1006i 1006 1006i1006 1006i 1006 1006i ,2R   2 3..33 25  3c a bi 107i.400312198123z4i.z nn 14 n 1496977891 3iz1 iz iz2357 i mz1 m m 2i 2 mzz2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. Câu 29. Tìm ph n th c c a s ph c: ầ ự ủ ố ứ th a mãn ph ng trình:ỏ ươ.A. B. C. D. Câu 30. Cho s ph cố ứ . Tìm m, bi t s ph c ế ố ứ có môđun b ng 9.ằA. B. C. D. Câu 31. Cho s ph c ố ứ . Tìm giá tr nh nh t c a s th c k sao cho t n t i m ị ỏ ấ ủ ố ự ồ ạđ ểA. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 7m 1m 1m 0m 1m 0m 1m 2m 1  nz 1 i , n   4 4log n 3 log n 9 36889  m 3iz m1 i2w zm 1m 1m 3m 1m 3m 1m 3m 3  i mz , m1 m m 2i z 1 k5 1k25 2k25 1k25 2k2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 2. BI U DI N HÌNH H C CÁC S PH CỦ Ề Ể Ễ Ọ Ố ỨPh ng phápươ Trong m t ph ng ph c, s ph c ặ ẳ ứ ố ứ đ c bi u di n b ng :ượ ể ễ ằ Đi m ể kí hi u ệ  Vect ơ Vectơ Bi u di n hình h c c a ể ễ ọ ủ và đ i x ng v i nhau qua g c t a đ .ố ứ ớ ố ọ ộ và đ i x ng v i nhau qua tr c Ox.ố ứ ớ ụ Bi u di n hình h c c a ể ễ ọ ủG i M, ọ l n l t bi u di n s ph c ầ ượ ể ễ ố ứ bi u bi u di n s ph c z’. Ta có:ể ể ễ ố ứ và bi u di n s ph c ể ễ ố ứ ;và bi u di n s ph c ể ễ ố ứ ; bi u di n s ph c kz.ể ễ ố ứ V i M, A, B l n l t bi u di n s ph c z, a, b thì :ớ ầ ượ ể ễ ố ứI. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d 1.ụ Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m A,B,C không th ng hàng bi u di n các s ph c a,b,c.ặ ẳ ứ ể ẳ ể ễ ố ứG i M là trung đi m c a AB, G là tr ng tâm tam giác ABC và D là đi m đ i x ng c a A qua G. Cácọ ể ủ ọ ể ố ứ ủđi m M,G,D l n l t bi u di n các s ph c m,g,d.ể ầ ượ ể ễ ố ứa) Tính các s ph c m, g, d theo a, b, c.ố ứb) N u thêm gi thi t ế ả ế ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác đ u n u và ch n uứ ằ ề ế ỉ ếVí d 2.ụ Cho hình bình hành ABCD. Ba đ nh A, B ,C l n l t bi u di n các s ph cỉ ầ ượ ể ễ ố ứ a) Tìm s ph c d (bi u di n đi m D);ố ứ ể ễ ểb) Đ nh m sao cho ABCD là hình ch nh t.ị ữ ậVí d 3.ụ Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m M, A, B l n l t bi u di n các s ph c : ặ ẳ ứ ể ầ ượ ể ễ ố ứz, và Ch ng minh r ng:ứ ằa) tam giác OMA vuông t i M;ạb) tam giác MAB là tam giác vuông;c) t giác OMAB là hình ch nh t.ứ ữ ậVí d 4.ụ G i A, B, C là ba đi m l n l t bi u di n các s ph c ọ ể ầ ượ ể ễ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8www.thuvienhoclieu .com  z x yi , ( x, y )M x; y ,M zOM x; yu (x; y)z, z,zM zM zM zM( z)  ' 'z z , z z , kz kuz;'M , v              OM OM 'u vz z’                             OM OM ' M ' Mu vz z’kOM , ku  OM z ; AB b a . a b c ,  a b c 0.     a 2 2i, b 1 i, c 5 mim R .    3 i 3z3iz.3 z C, z C, z C,     a 1 i , b i, c 1 ki , k .Chuyên Đ S Ph cề ố ứ a) Đ nh k đ ba đi m A, B, C th ng hàng;ị ể ể ẳb) Xét hàm s ố Đ t ặ Tính a’, b’,c’c) G i A’, B’, C’ l n l t là các đi m bi u di n các s ph c a’, b’, c’. Đ nh k đ A’, B’, C’ là ba đi m ọ ầ ượ ể ể ễ ố ứ ị ể ểth ng hàng;ẳd) N u ế l n l t bi u di n các s ph c z, z’. Ch ng minh r ng ầ ượ ể ễ ố ứ ứ ằ là s o.ố ảÁp d ng: Tính k đ tam giác A’B’C’ vuông t i A’.ụ ể ạVí d ụ 5 . Cho s ph c ố ứa) Tìm m đ bi u di n s ph c n m trên đ ng phân giác góc ph n t th hai ể ể ễ ố ứ ằ ườ ầ ư ứb) Tìm m đ bi u di n s ph c n m trên Hyperbol ể ể ễ ố ứ ằc) Tìm m đ kho ng cách c a đi m bi u di n s ph c đ n g c t a đ nh nh tể ả ủ ể ể ễ ố ứ ế ố ọ ộ ỏ ấ .Ví d ụ 6 . Xét các đi m A, B, C trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các sể ặ ẳ ứ ứ ự ễ ễ ốa) Ch ng minh ABC là tam giác vuông cân.ứb) Tìm s ph c bi u di n b i đi m D sao cho t giác ABCD là hình vuông.ố ứ ể ễ ở ể ứVí d 7.ụ Trong m t ph ng ph c cho các đi m: O (g c t a đ ), A đi m bi u di n s 1, B đi m bi u ặ ẳ ứ ể ố ọ ộ ể ể ễ ố ể ểdi n s ph c z không th c, A’ bi u di n s ph c ễ ố ứ ự ể ễ ố ứ và B’ bi u di n s ph c ể ễ ố ứ Ch ng minh ứr ng: Tam giác ằ và tam giác đ ng d ng.ồ ạVí d 8.ụ Bi t A, B, C, D là b n đi m trong m t ph ng ph c bi u di n theo th t các s : ế ố ể ặ ẳ ứ ể ễ ứ ự ốa) Tìm các s ố theo th t bi u di n các vect ứ ự ể ễ ơ b) Tính và t đó suy ra A, B, C, D cùng n m trên m t đ ng tròn. Tâm đ ng tròn bi u di nừ ằ ộ ườ ườ ể ễs ph c nào? ố ứII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . G i A, B theo th t là các đi m c a m t ph ng ph c bi u di n s z khác 0 và ọ ứ ự ể ủ ặ ẳ ứ ể ễ ố . Lúc đó,tam giác OAB là tam giác gì A. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 2. Các đi m A,ể B, C và A’, B’, C’ t ng ng bi u di n các s ph c ươ ứ ể ễ ố ứ và ( trongđó A, B, C và A’, B’ , C’ không th ng hàng). ẳ Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng tr ng tâm khi và chọ ỉkhi A. B. C. D. Câu 3 . Cho A, B, C, D là b n đi m trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các số ể ặ ẳ ứ ứ ự ể ễ ố. Ch n kh ng đ nh đúngọ ẳ ịThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 9 2w f z z .  a ' f a , b ' f b , c ' f c .              u , v               zu vz '   z m m 3 i , my x 2yx  4i 2 6i; 1 i 1 2i ;i 1 3 iz ' 0zz ' .OABOA ' B '    1 i , 1 i, 2i , 2 2i.1 2 3 4z , z , z , z   AC, AD, BC, BD.312 4 zz,z z1 iz ' z21 2 3z , z , z' ' '1 2 3z , z , z    ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z    ' ' '1 2 3 1 2 3z z z z z z    2 2 2 2 ' 2 ' 21 2 3 1 2 3z z z z ' z z         4 3 3 i; 2 3 3 i; 1 3i; 3 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. ABCD là hình bình hànhB. C. D là tr ng tâm c a tam giác ABCọ ủ D. T giác ABCD n i ti p đ c đ ng trònứ ộ ế ượ ườCâu 4. Cho ba đi m A ,B, C l n l t bi u di n các s ph c ể ầ ượ ể ễ ố ứ và Câu 4.1. Xác đ nh ị sao cho A,B,C là ba đ nh c a m t tam giácỉ ủ ộA. B. C. D. Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đ nh c a tam giác. H i tam giác ABC là tam giác gì?ỉ ủ ỏA. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 4.3. Tìm s ph c d bi u bi n b i D sao cho ABCD là hình ch nh tố ứ ể ễ ở ữ ậA. B. C. D. Câu 5. Trong m t ph ng ph c, cho ba đi m A, B, C không th ng hàng theo th t bi u di n s ặ ẳ ứ ể ẳ ứ ự ể ễ ốph c ứ H i tr ng tâm c a tam giác ABC bi u di n s ph c nào?ỏ ọ ủ ể ễ ố ứA. B. C. D. Câu 6. Xét ba đi m A, B,C c a m t ph ng ph c theo th t bi u di n ba s ph c phân bi tể ủ ặ ẳ ứ ứ ự ể ễ ố ứ ệth a mãn ỏ . Ba đi m A, B, C là ba đ nh c a m t tam giác đ u khi và ch khi ể ỉ ủ ộ ề ỉ A. B. C. D. Câu 7. Cho M, N là hai đi m trong m t ph ng ph c bi u di n theo th t các s ph c ể ặ ẳ ứ ể ễ ứ ự ố ứ khác 0 th aỏmãn đ ng th c ẳ ứ . Tam giác OMN là tam giác gì?A. Tam giác cân B. Tam giác đ uềC. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cânCâu 8. Cho ba đi m A, B, C bi u di n các s ph c ể ể ễ ố ứ và Tìm x sao choCâu 8.1. Tam giác ABC vuông t i BạA. B. C. D. Câu 8.2. Tam giác ABC cân t i CạA. B. C. D. Câu 9. Cho là bi u di n c a hai s ph c ể ễ ủ ố ứ và . G i ọ là bi u di n c a s ph c ể ễ ủ ố ứ . Hãy phân tích qua A. B. C. D. Câu 10. Tìm các đi m bi u di n c a s ph c z bi t đi m bi u di n c a các s ph c ể ể ễ ủ ố ứ ế ể ể ễ ủ ố ứ l p ậthành Câu 10.1. Tam giác vuông t i AạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng trònỷ ủ ườ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 10www.thuvienhoclieu .comAD 2CB   a 1, b 1 i2c b .1 1 1 0 2d 1 i.        2d 1 i.2d 1 i.    2d 1 i.    1 2 2z , z , z .1 2 2z z z .  1 2 2 z z z  1 2 21z z z3 1 2 21z z z3  1 2 2z , z , z 1 2 3z z z  1 2 3z z z 0.1 2 3z z z  1 2 3 z z z 0   1 2 2 3 3 1z z z z z z 0   2 2 21 2 3z z z 1 2z , z2 21 2 1 2z z z z    2a 1 i, b a  c x i, x .x 1x 2 x 3x 5x 7  x 2 x 3x 5              u , v1 3i3 2ix6 4ix              u , v24 14x u v11 11                24 14x u v11 11                24 14x u v11 11  24 14x u v11 11  2 3z, z , zx 1.2 2x y 1 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ C. Qu tích c a z là đ ng elipỷ ủ ườ D. Qu tích c a z là Parabol ỷ ủCâu 10.2. Tam giác vuông t i BạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng th ngỷ ủ ườ ẳ C. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ tr g c t a đừ ố ọ ộD. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ tr g c t a đừ ố ọ ộCâu 10.3 Tam giác vuông t i CạA. Qu tích c a z là đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳB. Qu tích c a z là đ ng th ngỷ ủ ườ ẳ C. Qu tích c a z là đ ng tròn ỷ ủ ườD. Qu tích c a z là hai đ ng th ng ỷ ủ ườ ẳ Câu 11 . (Đ minh h a c a b ).ề ọ ủ ộ Cho s ph c ố ứ th a mãnỏ H i đi m bi u di n c aỏ ể ể ễ ủ là đi m nào trong ểcác đi m ể M , N , P , Q hình bên ?ởA. Đi m ể P . B. Đi m ể Q .C. Đi m ể M . D. Đi m ể N .Câu 12 . (Đ th nghi m l n 1 c a b ).ề ử ệ ầ ủ ộ Đi m ể M trong hình vẽbên là đi m bi u di n c a s ph c ể ể ễ ủ ố ứ z . Tìm ph n th c và ph n ầ ự ầo c a s ph c ả ủ ố ứ z .A. Ph n th c là −4 và ph n o là 3.ầ ự ầ ảB. Ph n th c là 3 và ph n o là −4ầ ự ầ ả i .C. Ph n th c là 3 và ph n o là −4.ầ ự ầ ả D. Ph n th c là −4 và ph n o là 3ầ ự ầ ả i .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1122yx1.1 2 21y x2x 0.y 0x 0,y 0 ,x 2y 1      221 1x y2 4y 0,x 0z(1 ) 3 .i z i  zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com CH Đ 3. TÌM T P H P ĐI MỦ Ề Ậ Ợ ỂPh ng phápươ Gi s các đi m ả ử ể l n l t bi u di n các s ph c ầ ượ ể ễ ố ứ o thu c đ ng trung tr c c a đo n AB.ộ ườ ự ủ ạothu c elip (E) nh n A, B là hai tiêu đi m và có đ dài tr c l n b ng k.ộ ậ ể ộ ụ ớ ằ Gi s M và M’ l n l t bi u di n các s ph c z và ả ử ầ ượ ể ễ ố ứĐ t ặ và H th c ệ ứ t ng đ ng v i hai h th c liên h gi a ươ ươ ớ ệ ứ ệ ữ o N u bi t m t h th c gi a x,y, ta tìm đ c m t h th c gi a u,v và suy ra đ c t p ế ế ộ ệ ứ ữ ượ ộ ệ ứ ữ ượ ậh p các đi m M’.ợ ểo N u bi t m t h th c gi a u,v ta tìm đ c m t h th c gi a x,y và suy ra đ c t p ế ế ộ ệ ứ ữ ượ ộ ệ ứ ữ ượ ậh p các đi m M.ợ ểI. CÁC VÍ D M UỤ ẪVí d 1.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sauậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ : {Đ ng th ng }ườ ẳa) b) c) v i ớVí d 2.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sauậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ : {Đ ng tròn }ườa) ; b) c) ; d) . Ví d 3.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: ậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ {Elip} :Ví d 4.ụ Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z trong các tr ng h p sau: ậ ợ ể ể ễ ố ứ ườ ợ { o th c}Ả ựa) là s o;ố ả b) là s th c.ố ựVí d 5.ụ Tìm t p h p các đi m bi u di n c a s ph c ậ ợ ể ể ễ ủ ố ứ , v i ớ Ví d 6.ụ Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho s ph c z th a mãn ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ố ứ ỏ .Tìm t p h p ậ ợbi u di n s ph c ể ễ ố ứ .Ví d 7ụ . Hãy xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn:ị ậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ ỏ. {Hình vành khăn}Ví d 8ụ . Tìm t p h p đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ ỏ ề ệVí d 9.ụ Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏVí dụ 10 . Xác đ nh t p h p các đi m bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n:ị ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ ề ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12www.thuvienhoclieu .comM , A , Bz, a , b.z a z b MA MB M     z a z b k , k R , k 0, k a b MA MB k          Mw f z .z x iy w u iv x, y, u , v R .w f zx, y, u, vz i z i ;  z 1 3i1;z 1 i  0 0z z z z 1 0   0z 1 i. z 3 4i 2  z i 1 i z  23z 2iz 2i z 0  2iz 1 5     z 1 z 1 4.2z 1z 1z 1, z 2iz 2i'z 2z 3 i  23z i z.z 9  z 1 2 w 2z i 1 z i 2  2 z i z z 2i   z 3z 2 i 3 z  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ a) là s th c d ng v i ố ự ươ ớ ; b) c) ; d) Ví d 11.ụ G i ọ và là các đi m l n l t bi u di n các s ph c z và z’ể ầ ượ ể ễ ố ứ Đ tặvà a) Tính theo và tính x,y theo . b) Cho M di đ ng trên đ ng tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính ộ ườ Tìm t p h p các đi m M’.ậ ợ ểc) Cho M di đ ng trên đ ng th ng ộ ườ ẳ , tìm t p h p các đi m M’.ậ ợ ểVí d 12.ụ Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a mãn đi u ki nỏ ề ệ II. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Gi s M(z) là đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n s ph c z. T p h p nh ng đi m M(z)ả ử ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ậ ợ ữ ểth a mãn đi u ỏ ề làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng th ng ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng th ng ườ ẳCâu 2. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng th ng ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng th ng ườ ẳCâu 3. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đ ng th ng ườ ẳ B. Đ ng trònườA. Đ ng elipườ D. Đ ng ParabolườCâu 4. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ , B. Hai đu ng th ng ờ ẳ , A. Hai đu ng th ng ờ ẳ , D. Hai đu ng th ng ờ ẳ , Câu 5. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ B. Hai đu ng th ng ờ ẳ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 13z iz iz i22z z2z 2z 5  13z 2 2log 1.4 z 2 1  MM '1, z 0 .z z x iy z ' x ' iy ', x , y, x ', y ' R  x’, y’x, yx’, y’R 2 .d : y x 1 z x yi  2y x 1a) ; b) 1 z 2.y 2x  2 z i z  4x 2y 3 0  4x 2y 3 0  x 2y 3 0  x 9y 3 0  z 2i z 1 i    x y 3 0  x 2y 3 0  x 2y 3 0  x y 1 0  5 1 i z 3 2i 1 7i z i     z z 3 4  1x27x21x27x21x27x21x27x2z z 1 i 2   1 3 1 3y ; y2 2  1 3 1 3y ; y2 2  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. Hai đu ng th ng ờ ẳ D. Hai đu ng th ng ờ ẳCâu 6. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Hai đu ng th ng ờ ẳ , . B. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .C. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .D. Hai đu ng th ng ờ ẳ , .Câu 7 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng th ng ờ ẳB. Đ ng tròn ườC. Đ ng th ng ườ ẳ D. Đ ng tròn tâm ườ và bán kính Câu 8 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườD. Đ ng tròn tâm ườ và bán kính Câu 8 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườ D. Câu 9 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng tròn ờ B. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườ D. Câu 9. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng elip ờ B. Đu ng elip ờC. Đu ng elip ờ D. Đu ng elip ờCâu 10. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. Đu ng trònờ B. Đu ng elipờThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 14www.thuvienhoclieu .com1 5 1 3y ; y2 2  1 5 1 3y ; y2 2  2 z 1 z z 2   x 0y 0x 0y 2x 0x 2 x 2y 2z 1 i 2  x y 2 0  2 2x 1 y 1 4   x y 2 0  I 1; 1R 2.z3z 12 218 9x y y 08 8    2 2 18 9x y y 08 8   2 2 18 9x y y 08 8   9I 0;8    1R .8z 3 2i 2z 1 2i    2 22 4 8x y x y 03 3 3     2 22 4 8x y x y 03 3 3    2 22 4 8x y x y 03 3 3     2 22 4 8x y x y 03 3 3    z i 1 i z  22x y 1 2  22x y 1 2  2 2x 1 y 1 2   2 2x 1 y 1 2   z 4i z 4i 10   22yx19 16 22yx116 9 22yx14 3 22yx19 4 z 2 z 2 5   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ C. Đu ng parabolờ D. Đu ng th ngờ ẳCâu 11. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên ph i tr c tung ể ử ặ ẳ ở ả ụB. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên trái tr c tungể ử ặ ẳ ở ụC. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía trên tr c hoànhể ử ặ ẳ ụD. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía d i tr c hoànhể ử ặ ẳ ướ ụCâu 12. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi u ki nậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ề ệ làA. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể , bán kính 2B. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ và các bán kính l n và nh l n l t làớ ỏ ầ ượ C. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể , bán kính 1D. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ và các bán kính l n và nh l n l t làớ ỏ ầ ượCâu 13. Tìm t t c các đi m c a m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z sao cho ấ ả ể ủ ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ là s th cố ự . A. T p h p đi m g m hai tr c t a đ ậ ợ ể ồ ụ ọ ộB. T p h p đi m là tr c hoànhậ ợ ể ụC. T p h p đi m g m hai tr c t a đ b đi đi m ậ ợ ể ồ ụ ọ ộ ỏ ểD. T p h p đi m là tr c tung, b đi ậ ợ ể ụ ỏCâu 14. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z sao cho ậ ợ ể ể ễ ố ứ là m t s thu n oộ ố ầ ả . A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính D. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . Câu 15 . Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a mãn đi u ki nỏ ề ệ làA. Ba c nh c a tam giácạ ủB. B n c nh c a hình vuôngố ạ ủC. B n c nh c a hình ch nh tố ạ ủ ữ ậD. B n c nh c a hình thoiố ạ ủCâu 16. G i M và P l n l t là các đi m bi u di n các s ph c ọ ầ ượ ể ể ễ ố ứ và . Tìm t p h p các đi m P trong các tr ng h p sau đây:ậ ợ ể ườ ợCâu 16. 1. M thu c đ ng th ng d: ộ ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 152 z z 2  1 z 1 i 2   I 1; 1A 1;12; 1I 1; 1I 1; 12; 1z iz iA(0;1)A(0;1)z 2 3iuz i I 1; 1 R 5 I 1; 1 R 5 A 0; 1 ; B 2; 3 I 1; 1R 5I 1; 1R 5A 0; 1 ; B 2; 3 z x yi  x y 1 z x iy , x, y R  2w zy 2x4d ' : y x3Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com B. Tia C. Đ ng th ng ườ ẳD. Tia Câu 16.2. M thu c đ ng th ng d: ộ ườ ẳA. Đ ng th ng ườ ẳB. Parabol C. Đ ng tròn ườ D. Elip Câu 16.3. M thu c đ ng tròn ộ ườA. Đ ng th ng ườ ẳB. Parabol C. Đ ng tròn ườD. Elip Câu 16.4. M thu c hypebol ộA. Đ ng th ng ườ ẳB. Đ ng th ng ườ ẳC. Đ ng th ng ườ ẳD. Đ ng th ng ườ ẳCâu 17. Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãnặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ là s thu n o.ố ầ ảA. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 16www.thuvienhoclieu .com4d ' : y x, x 0.3 4d ' : y x34d ' : y x, x 0.3 y x 1 1 1d' : y x .3 3 21 1P : y x .2 2 2 2x 1 y 3 3   22yx125 16 2 2C : x y 1; 1d' : y x .3 21P : y x42 2x y 1 22xy 12 1C : y x 0 .x d' : x 2d' : y 2d' : y 1d' : y 2z i z iz 1z 1 1I ; 02   1R21I ; 02   1R21; 01I ; 02   1R4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ D. Đ ng tròn tâm ườ bán kính tr đi hai đi m ừ ể . Câu 19. Tìm qu tích các đi m trên m t ph ng ph c bi u di n cho s ph c ỹ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ , bi t z là sế ốph c th a mãn: ứ ỏ .A. Đ ng tròn ườB. Đ ng tròn ườC. Đ ng tròn ườD. Đ ng tròn ườCâu 20. Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n s ph c w th a mãn:ặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ, bi t z là s ph c th aế ố ứ ỏ .A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 21. Trong m t ph ng ph c Oxy, tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c ặ ẳ ứ ậ ợ ể ể ễ ố ứbi t z là s ph c th a mãn: ế ố ứ ỏ .A. Đ ng tròn tâm ườ bán kính B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 22. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ v i ớ . A. H ình tròn tâm , .B. Đ ngườ tròn tâm , .C. Hình t ròn tâm bán kính .D. Đ ng tròn tâm ườ , bán kính .Câu 23. Tìm t p h p các đi m bi u di n trong m t ph ng ph c ậ ợ ể ể ễ ặ ẳ ứ bi t r ng sế ằ ốph c z th a mãn ứ ỏ A. H ình tròn tâm , .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 171I ; 02   1R40; 1w iz 1 3z 2i 1 8  2 2C : x 3 y 1 4   2 2C : x 3 y 1 2   2 2C : x 3 y 1 4   2 2C : x 3 y 1 4   w z 2 i  z 1 2i 1  I 1; 2R 2I 2; 1R 2I 1; 1R 1 I 3; 3R 1 w 1 2i z 3  z 2 5 I 1; 2R 5 I 2; 1R 5I 1; 4R 5 5 I 1; 3R 5z ' 1 i 3 z 2  z 1 2 I 3; 3R 4I 3; 3R 4I 1; 4R 5I 1; 3R 5w 1 i 3 z 2  z 1 2. I 3; 3R 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. Hình tròn tâm bán kính Câu 24. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ v i ớ . A. H ình tròn tâm , .B. Đ ng tròn tâm ườ bán kính C. Đ ng tròn tâm ườ bán kính .D. H ình tròn tâm , Câu 25 (Đ minh h a c a b )ề ọ ủ ộ . Cho các s ph c ố ứ th a mãnỏ . Bi t r ng t p h p các đi m ế ằ ậ ợ ểbi u di n các s ph cể ễ ố ứ là m t đ ng tròn. Tính bán kính ộ ườ r c a đ ng tròn đó.ủ ườ A. r  4. B. r  5. C. r  20. D . r  22.Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 18www.thuvienhoclieu .comI 3; 3R 4I 3; 3R 4I 3; 3R 4.z ' 2z 3 i  23z i zz 9  I 3; 3R 4I 3; 3R 4I 3; 3R 47I 3;4   73R4z4z(3 4 )w i z i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ CH ĐỦ Ề 4. M T S D NG TOÁN V CH NG MINHỘ Ố Ạ Ề Ứ S PH CỐ ỨPh ng phápươ : Ta nh c l i m t s công th c c b n sau:ắ ạ ộ ố ứ ơ ảCho s ph c ố ứ . Lúc đó .  . Công th c này ch ng minh d dàng nh sau: ứ ứ ễ ư I. CÁC VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỤ ỆVí d 1.ụ Ch ng minh r ng: ứ ằÁp d ng:ụ Cho ba s ph c ố ứ đ u có môđun b ng 1. Ch ng minhề ằ ứGi iảGi s : ả ử a) Ta có: và nên Mà V y ậ .b) Ta có:M t khác: ặ V y ậ .c) Ta c n ch ng minh b đ sau: ầ ứ ổ ề Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19  z x yi , x , y z x yi 2 2z x y .2z z.z           222 2 2z.z x yi x yi x y x y z .          1 11 2 1 2 1 2 1 2 222z za) z z z z ; b) z .z z .z ; c) , z 0zz1 2 3z , z , z    1 2 3 1 2 2 3 1 3z z z z z z z z z .    1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x , x , y , y 1 1 1z x y i 2 2 2z x y i    1 2 1 2 1 2z z x x y y i          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y i z z x x y y i  1 2 1 2z z z z      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i    1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x x y y x y x y i1 2 1 2z .z z .z  11z z , z 0Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Vì nên ta có Áp d ng b đ trên, ta có: ụ ổ ề (ĐPCM)Áp d ng: ụ Vì nên L u ý:ư Ta có công th c t ng quát sau: Cho n s ph c ứ ổ ố ứ b t kỳ. ấTa luôn có: Tr c h t ta ch ng minh: ướ ế ứGi s : ả ử và Trong đó: Ta có: Hay Bây gi ta ch ng minh ờ ứ b ng quy n pằ ạV i ớ Gi s ả ử Ta có: Suy ra: M t khác: ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 20www.thuvienhoclieu .com1z. 1z              111 1z. 1 z. 1 z zz z                         111 11 1 1 2 1 22 2 22z z1 1z . z . z .z z . z .z z zz1 2 3z z z 1                 1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 11 2 2 3 3 11 2 3 1 2 31 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 z z z z z zz z z z z z1 1 1z z z z z zz z z z z zz z zz z z z z z z z z1 2 nz , z ,..., z           1 2 3 n 1 2 3 n1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... zz z z ...z z .z .z ...z .        1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z  k k kz a b i , k 1, 2, 3,..., n  nkk 1z z a bi   n nk kk 1 k 1a a , b b             n n n nk k k k kk 1 k 1 k 1 k 1z a bi a b a b i z        1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z1 2 3 n 1 2 3 nz z z ...z z .z .z ...z * *n 2 :   1 1 1 2 2 2z a b i, z a b i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i   1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a a b b a b a b i      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b iChuyên Đ S Ph cề ố ứ V y v i ậ ớ đ ng th c đúng.ẳ ứGi s (**) đúng v i ả ử ớ ta s ch ng minh h th đúng v i ẽ ứ ệ ứ ớ Th t v y:ậ ậĐ t ặ , ta có: V i hai s ph c ớ ố ứ và ta có: H th c cu i đ c ch ng minh v i ệ ứ ố ượ ứ ớ Ví d 2.ụ Ch ng minh r ng:ứ ằa) ; b) Áp d ng:ụ Tìm mô đun các s ph c sau:ố ứ H ng d n gi i ướ ẫ ảa) Cách 1. Đ t ặTa có: và T đó:ừ M t khác: ặDo đó:T (1) và (2) ta suy ra đi u ph i ch ng minhừ ề ả ứCách 2. Vì nên Suy ra: b) Cách 1. Tr c h t ta ch ng minh b đ : ướ ế ứ ổ ề Th t v y: ậ ậ hay Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 21n 2 n k, n 2 n k 11 2 kz z z ...z 1 2 3 n 1 2 3 kz z z z ...z z .z .z ...zzk 1z   k 1 k 1 1 2 3 k k 1z.z z.z z .z .z ...z .z n k 1.1 2 1 2z .z z . z1122zzzz      2 22 24 4x y i 2xyx y 2xyiu , w , x , y .x y 2i xyxy 2 i x y    1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i , z x y i , x , x , y , y 2 21 1 1z x y  2 22 2 2z x y         2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2z z x y , x y x y x yx x y y x y y x 1      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x y i x y i x x y y x y y x i        2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x x y y x y y x x x y y x y y x 12z z.z   2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2z .z z .z .z .z z .z .z .z z .z .z .z z . z1 2 1 2z .z z .z 11 *z z , z    1 1 1 1z. 1 z . 1z z zz 11 *z z , zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Áp d ng b đ trên ta có: ụ ổ ềCách 2. Vì nên L u ý:ư Không có công th c: V i m i s ph c ứ ớ ọ ố ứ : . Tuy nhiên ta có b tấđ ng th c sau: ẳ ứ Th t v y, g i ậ ậ ọ bi u di n ể ễ , bi u di n ể ễ thì bi u di n ể ễ Ta có: * TH 1: Khi thì :Do đó: * TH 2: Khi thì rõ ràng V y ậÁp d ng:ụ Ta s áp d ng ẽ ụTa có: T ng t : ươ ự Ví d ụ 3. a) Ch ng minh: ứ S ph c z là s th c khi và ch khi ố ứ ố ự ỉV n d ng:ậ ụ Cho hai s ph c ố ứ đ u có mođun b ng 1ề ằ , . Ch ng minhứ là s th cố ự . b) Ch ng minh: ứ S ph c z là s o khi và ch khiố ứ ố ả ỉ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 22www.thuvienhoclieu .com       111 111 1 2 1 2 1 22 22zz1z . z .z z z z zz zz2 2z z     1 2 1 21 2 11 1 2 1 22 2 2 2222 22 2 2 2z .z z . zz . z zz z .z z .zzzz .zz z z z1 2z , z  1 2 1 2z z z z  1 2 1 2z z z z1u1z2u2z              1 2u u1 2z z                1 2 1 2z z u u1 2z z 0                                                                                                                                                                                           222 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 221 2 1 2 1 2 1 2u u u u u u 2u .u u u 2 u u cos u , uu u 2 u u u u z z                  1 2 1 2 1 2z z u u z z1 2z z 0  1 2 1 2z z z z    1 2 1 2 1 2z z z z , z , z1122zzzz           22 2 2 22 22 24 4 2 2 4 44 422 222 2 x y 4x yx y 2xyix y 2xyiuxy 2 i x y 2x y x yxy 2 i x yx y1x y        2 222 22 2x y i 2xyx yx y 2xyw 1.x y 2i xyx y 4xy x yz z .1 2z , z 1 2z .z 11 21 2z zz1 z zz zChuyên Đ S Ph cề ố ứ V n d ng:ậ ụ Ch ng minh hai s ph c phân bi t ứ ố ứ ệ th a ỏ khi và ch khi ỉ làs o. ố ảGi iảĐ t ặ a) Ta có: z là s th c.ố ựV y, ậ z là s th c khi và ch khi ố ự ỉV n d ng:ậ ụ Ta có: , t ng t ta có ươ ựXét b) Ta có: V y, ậ z là s o khi và ch khiố ả ỉ V n d ng:ậ ụ Ta có là s o ố ả Ví d 4.ụ Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c. Ch ng minh r ng z là s th c.ố ự ứ ằ ố ựGi iảTa bi t r ng s ph c w là s th c ế ằ ố ứ ố ự Do đólà s th c ố ựlà s th c.ố ựVí d 5.ụ Cho n là s nguyên d ng, ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 231 2z , z1 2z z 1 21 2z zz z  z a bi, a , b         z z a bi a bi 2 bi 0 b 0z z   21 1 1 111z z z 1 zz221zz          1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 21 1z z z z z z z z z zz z ÑPCM1 11 z z 1 z z1 z z 1 z .z1 .z z         z z a bi a bi 2a 0 a 0 z laø soá aûo.z z 1 21 2z zz z                                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z z z0 0z z z z z z z z z zz zz z .z z z z .z z 0z z . z z z z . z z 02 z z z z 0 z z z z z z z z2z 1z 1 w w.2z 1z 1             2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 1 z 1 z 1 z 1               2z 1 z 1 2z 1 z 12zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z zzChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảa) Ta cóSuy ra: V y z là s th c.ậ ố ựb) Ta cóV y z là s th c. ậ ố ựVí dụ 6 . Ch ng minh r ngứ ằ c) V i m i s ph c ớ ọ ố ứ Ch ng minh r ng: ứ ằ Gi iảa) Ta có:b) Ta có:M t khác: ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 24www.thuvienhoclieu .comn n 2nn6 17i 3 28i 13 6ia) z ; b) z 3 4i4 3i 5 6i 4 5i                         n nn n6 17i 3 28iz 3 2i 3 2i4 3i 5 6i                n nn n n nn nz 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i3 2i 3 2i z               2nnn 2n n 2 nnn nn13 6iz 3 4i 2 i 3 4i 2 i 3 4i4 5i3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25                              2 2 2 2a) z z ' z z ' 2 z z ' , z,z'        222 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2b) 1 z .z z z 1 z z z z , z ,z1 2 3z ,z ,z .2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 21 2 3z z z z z z z z z z z z4 z z z .                                         2 22 2 2 2VT z z ' z z ' z z ' .z z ' z z ' .z z 'z z ' z z ' z z ' . z z 'z.z z.z ' z ' z z ' .z ' zz z.z ' z ' z z ' .z '2 z 2 z ' 2 z z ' VP                  221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2VT 1 z .z z z 1 z .z .1 z .z z z .z z1 z .z 1 z z z z z z1 z z z z *Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (*) và (**) ta suy ra đi u ph i ch ng minh. ừ ề ả ức) Ta có T ng tươ ựC ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta đ c ộ ế ế ượVí d 7ụ . Ch ng minh r ng n u s ph c ứ ằ ế ố ứ thì Gi iảTa có: , m t khác ta có: ặ .Do đó:Đ t ặ lúc đó ta đ cượVí d 8.ụ Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế thì .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 25             2 21 2 1 22 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2VP 1 z z z z1 2 z z z z z 2 z z z 1 z z z z * *21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 1                           21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 2                                21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 3                           21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2z z z z z z . z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z 4                           2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 21 2 3z z z z z z z z z z z z4 z z z .                 331z 2z 1z 2.z              3331 1 1z z 3 zz zz  1 2 1 2z z z z              33 33 31 1 1 1 1 1z z 3 z z 3 z 2 3 zz z z zz z 1a zz         231a 2 3a a 2 a 1 0 a 2 hay z 2zz 12z i12 izChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảGi s ả ử theo gi thi t ta có ả ế Khi đó:Do đó:Ví d 9.ụ Cho và là hai s ph c th a ố ứ ỏ Ch ng minh r ng v i m i sứ ằ ớ ọ ốth c a, ta có: ựGi iảGi s ả ử v i ớ . Khi đóTa có:(2) đúng, d n đ n đi u ph i ch ng minh.ẫ ế ề ả ứVí dụ 10 . Ch ng minh r ng v i m i s ph c ứ ằ ớ ỗ ố ứ , có ít nh t 1 trong hai b t đ ng th c sau x yấ ấ ẳ ứ ảra ho c ặH ng d n gi iướ ẫ ảGi s ta có đ ng th i ả ử ồ ờ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 26www.thuvienhoclieu .com  z a bi , a , b    2 2 2 2a b 1 a b 1          22222a 2b 1 i 4a 2 b 12a 2b 1 i2z i2 iz2 b ai2 b ai2 b a             222 22 2222 2 4a 2 b 12z i1 1 4a 2 b 1 2 b a2 iz2 b aa b 11z2z1 2 1 2z 2z 2z z .  1 2 1 2z az az z .  1 2z p qi, z r si    p,q,r,s  1 2 1 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2z 2z 2z z p 2r i q 2s 2p r i 2q sp 2r q 2s 2p r 2q sp 2r q 2s 2p r 2q sp 4pr 4r q 4qs 4s 4p 4pr r 4q 4qs sr s p q 1                                      1 2 1 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2z az az z p ar i q as ap r i aq sp ar q as ap r aq sp ar q as ap r aq sp 2apr a r q 2aqs a s a p 2apr r a q 2aqs sp q a p q r s a s ra 1 p q a 1 r s 2                                               z  1z 12  2z 1 1   2 1z 12*z 1 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ t ặ . Lúc đó L y (1) c ng (2) v theo v ta đ c: ấ ộ ế ế ượ (vô lý). T đó ta đ c đi u ph i ch ng minh. ừ ượ ề ả ứ Ví d 10ụ *. Cho là ba s th c phân bi t sao cho ố ự ệ . Ch ng minh r ng: N uứ ằ ế là các s th c thì ố ự và H ng d n gi iướ ẫ ảVì là ba s th c phân bi t và ố ự ệ nên đ u khác không ềvà .N u ế là các s th c thì ta cóố ựDo đó: T ng t :ươ ự.Áp d ng tính ch t c a t l th c ụ ấ ủ ỉ ệ ứ Ta có: T ng t :ươ ựSuy ra: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 27  z a bi , a , b              22 22222 2 2 22 2 2 212 a b 4a 1 0 11 a b2*a b 2 a b 0 21 a b 4a b 1 22 2a b 22a 1 01 2 3z ,z ,z1 2 3z z z r 0   1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z   r 11 2 3 z z z 1. 1 2 3z ,z ,z1 2 3z z z r 0   1 2 3 1 2 2 3 3 1z , z , z , z z , z z , z z   21 1 2 2 3 3z z z z z z r  1 2 3 2 3 1 3 1 2z z z , z z z , z z z   1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 13 1 2 3 1 2 3 1 2z z z z z z z .z zz z z z z z z .z zz z z z z z z .z z             2 2 221 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 34 2 21 2 31 1 2 2 3 1 2 3 33 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3 r z z z r z z z r z z z z z zrz z zz z .z z .z z z z zr z r z z z z r zz z z z z z        21 2 3 2 3 1 3 1 22 2 21 2 31 2 3 2 3 1 3 1 2z z z z z z z z zrz z zz z r z z z r z z z r z       a c a cb d b d 21 2 3 2 3 1 1 2 31 2 312 22 2 21 2 31 2 3 11 2 3 2 3 1 2 3 1 z z z z z z z 1 z zz z zz 1rz z zz z r z z rz z r z z z r z z z z r             2 21 231 2 1 22 2 22 21 2 3 1 2 3 1 21 2 31 2 z 1 z 1z 1z 1 z 1 z zr r1z z z z z z z zz r z r z rz r z r               221 2 321 2 3121 2 31 2 321 11z z z rz z z rr 1r 1z 1z z z 11z z z 1z 1 z rz r           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com II. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1 . Cho s ph c ố ứ . 1.1. Ph n th c c a s ph c z b ng:ầ ự ủ ố ứ ằA. B. C. D. 1.2. P h n o c a s ph c zầ ả ủ ố ứ :A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặV y ch n đáp án 1.1.D và 1.2 Bậ ọCâu 2. Cho s ph cố ứ . Kh ng đ nh nào sau đây đúngẳ ịA. và . B. và .C. và . D. và .H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có V y ậ và . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 3. Cho z là s ph c th a mãn ố ứ ỏ là s o. Tìm kh ng đ nh đúngố ả ẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: là s oố ả V y ậ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4. Cho . Kh ng đ nh nào sau đây ẳ ị saiThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 28www.thuvienhoclieu .comz x yi, x,y  z z z z1z z2 1z z21z z2i1z z2i1z z2 1z z2     z x yi , x, y z x yi.        1x z zz z 2x2Töø ñoù1z z 2yiy z z2i  z a bi, a , ba zb za zb za zb za zb z       22 22z a a az a bz b b ba zb zz 1z 1z 5z 1z 2z 2z 1z 1                z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 10 0z 1 z 1 z 1 z 1 z 1z 1                   2z 1 .z 1 z 1 .z 1 0z 1 . z 1 z 1 . z 1 0 z.z 1 z 1 z 1z 1. 1 2z , zChuyên Đ S Ph cề ố ứ A. là s th cố ựB. là s th cố ựC. là s oố ả D. là s th cố ựH ng d n gi iướ ẫ ảĐ nh h ng:ị ướ Ta s d ng k t qu sau: ử ụ ế ả và z là s o khi và ch khi ố ả ỉ Ta có: V y ậ là s th cố ựB) V y ậ là s th cố ựC) . V y ậ là s oố ảD) V y ậ là s o. V y đáp án D sai.ố ả ậV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 5. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c. Kh ng đ nh nào sau đây ố ự ẳ ị saiA. B. là s oố ảC. D. H ng d n gi i ướ ẫ ả là s th cố ự V y ậ là s th c. ố ựV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 6 . Đ ng th c ẳ ứ b ngằA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 291 2 1 2z z z .z22z z33z zz z22z z1 z.z   z z zz z          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2A) z z z .z z z z .z z .z z .z z .z z zz z z .z z z z .z1 2 1 2z z z .z2 222 2 2z z z z z z .     22z z3 3 33 3 3 z z z z z zz z z z z z      33z zz z2 2 22 2 2z z z z z z.1 z.z 1 z.z 1 z.z       22z z1 z.z 2z 1z 2 zzz zz z2z 1z 2  2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1z 2 z 2 z 2 z 2z 2 z 2                2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z           z          2 221 2 1 2 1 2 1 21z z z z i z iz i z iz412zz1 2z .z1 2z z1 2z zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta cóSuy ra: V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 7. Ch n đ ng th c đúng trong các đ ng th c sau:ọ ẳ ứ ẳ ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 8. Cho s ph c ố ứ th a đi u ki n ỏ ề ệ . Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 9. G i z là s ph c khác 0 sao cho ọ ố ứ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 30www.thuvienhoclieu .com                     2 221 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2z z z z i z iz i z izz z z z z .z z .z z z z z z .z z .ziz z z z z .z iz .z iz z z z z .z iz .z4z z             2 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1z z z z z z i z iz i z iz , z ,z .4     22 2 21 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z     22 2 21 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z             2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 22 21 2z z 1 z z z z z z z z 1 z z z z z z1 z 1 zz6z i12 3izz 1 z 31z31z36z i1 6z i 2 3iz2 3iz    2 226z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz1 127z.z 3 z z9 3              338z 9.z 2z 3.z 2z 3.z 2z 3.z 2z 3.z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: , m t khác ta có: ặ .Do đó:Đ t ặ lúc đó ta đ c:ượ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 10. Cho th a ỏ . Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s : ả ử v i ớ Theo đ : ềT (1) ừT (2) ừV y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 11 *. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có Hay: (*)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 31                        33 33 32 8 2 2 8 2z z 3z. z z 6 zz z z zz z  1 2 1 2z z z z                     33333332 8 2z z 6 zz zz2 8 2 2z z 6 z 9 6 zz z zz2 2z 6 z 9 0z z 1a zz         3 2a 6a 9 0 a 3 a 3a 3 0 a 3 .a, b,c,d  na bi c di  n2 2 2 2a b 2 c d  2 2 2 2a b c d  2 2 n 2 2a b 2 c d  n2 2 2 2a b c d  c di r cos i sin    2 2r c d 1 . nn n 2 2c di r cosn i sinn a bi r a b 2         n2 2 2n 2 2r c d r c d    n 2 2 2n 2 2r a b r a b    n2 2 2 2a b c d     10 911z 10iz 10iz 11 0.z 1  z 1  z 1 1z3       10 9 911z 10iz 10iz 11 0 z 11z 10i 11 10iz.911 10izz11z 10iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ v i ớ T (*) suy ra:ừXét các tr ng h p:ườ ợ N u ế thì nên:Do đó (mâu thu n).ẫ N u ế thì nên:Suy ra (mâu thu n).ẫ N u ế thì (th a mãn)ỏV y ậ . V y ch n đáp án B. ậ ọCách 2. Casio nhanh ch ng b ng cách th tr c ti p. ố ằ ử ự ếCH Đ Ủ Ề 5 . TÌM S PH C TH A MÃN ĐI U KI NỐ Ứ Ỏ Ề ỆPh ng phápươ Tìm s ph c ố ứ th t ra là tìm ph n th c x và ph n o y c a nó.ậ ầ ự ầ ả ủ Chú ý r ng: ằ , khi là s th cố ự ,  . Khi đó:  . Khi đó là s o (thu n o) khi ố ả ầ ả , là s th c khi ố ự . Trong tr ng h p tườ ợ ìm s ph c có môđun l n nh t, nh nh tố ứ ớ ấ ỏ ấ ta làm nh sau:ư B c 1:ướ Tìm t p h p đi m ậ ợ ể các đi m bi u di n c a ể ể ễ ủ z th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệB c 2: ướ Tìm s ph c ố ứ z t ng ng v i đi m bi u di n ươ ứ ớ ể ể ễ sao cho kho ng ảcách OM có giá tr l n nh t ( ho c nh nh t )ị ớ ấ ặ ỏ ấI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d ụ 1 . Tìm s ph c z ố ứ th aỏ mãnThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 32www.thuvienhoclieu .com z x iyx, y .      2 2 2 292 2 2 210 x y 11 220yf x, y11 10izz11z 10ig x, y11 x y 10 220yz 1 2 2x y 1              2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2g x, y 11 x y 10 220 y 10 x y 21 x y 10 220y10 x y 11 220y f x, y .  9z 1 z 1z 1 2 2x y 1              2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2g x, y 11 x y 10 220 y 10 x y 21 x y 10 220y10 x y 11 220y f x, y .  9z 1 z 1z 1g x, y f x, yz 1z x yi, x,y  22z z22z zzx 0z x yi 0y 0   1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i   1 21 21 2x xz zy y z x yi, x,y  zx 0zy 0 ( ) M ( ) 2a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.Chuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Gi iảa) Đ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành :ở V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . b) Đ t ặPh ng trình ươ tr thành: ởV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượV y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầc) Đ t ặ Ph ng trình ươ tr thànhởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 332z z z  3z zzf ) z 2.z z x yi, x, y  2z z 0  2 2 2 22 2 2 2x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0        22 22 22 2 2x 0y 0 x 0y 0x 0y yy y 0x x 0x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1                                                       z 0, z i, z i   2 2 2z x - yiz x yi, x,yz x y 2xyi     2z z 0 2 2 2 22 22 22 2x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *x x y 0x x y 0y 0y 2x 1 02xy y 01x2                         y 0 2x 0x x 0x 1  1x23y23y21 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2     z x yi x,y R z x yi.     2z 2z2 22 2x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)(2) y x 1 0 y 0,x 1.          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , (1) v i ớ , (1) V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) Gi s ả ử . Khi đó:  TH1: ta đ c ượ TH2: V y có 3 s ph c th a mãn là: ậ ố ứ ỏe) Gi s ả ử V y ph ng trình cho có 5 nghi m ậ ươ ệCách 2: ho c ặKhi thì , do đó là m t nghi m c a ph ng trình ộ ệ ủ ươKhi nên ph ng trình ươ hayThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 34www.thuvienhoclieu .comy 0 2x 2x 0 x 0 x 2.      x 12y 3 y 3   z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3     z x yi x, y22 2 22 2 2 22 2 2 2z z z x yi x y x yix y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y                    1x22 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4       222 4 24 233y 0y5 2 54y421 3 19y y y16y 40y 5 04 2 16            2y 0 x x x x 0 x y 0.         1 5 2 5z 0;z i2 2  z x yi x,y z x yi     33 3 2 2 32 23 22 32 22 2222 2z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yix x 3y xx 3xy x3x y y yy 3x y yx 0x 0,y 0 z 0x 3y 1 0x 0,y 1 z iy 0x 1,y 0 z 13x y 1 0                                 z 0,z i,z 1   2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0           2z 0 2z 1 0 2z 0z 0z 03z zz 1 0 z 0   3 3z z z.z z.z  4z z.z 1 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình đã cho có 5 nghi m ậ ươ ệ .f) G i s ph c ọ ố ứ . Đi u ki n: ề ệTa có: Gi i h ta đ c: ả ệ ượ ho c ặ (lo i)ạTh l i ta th y ử ạ ấ th a mãn bài toán. V y s ph c c n tìm là ỏ ậ ố ứ ầ .Ví d 2.ụ Tìm s ph c z th a mãn ph ng trìnhố ứ ỏ ươa) ; b) ; Gi iảa) Đ t ặ . Ta có ph ng trìnhươ G i ọTa có  V i ớ  V i ớ V y ậb) Đ t ặKhi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 3522 22z 1 0 z 1z 1 z 1 0z iz 1 0         z 0,z i,z 1   za bi; a, b a 0z 0b 0 2 2zz 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz          2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b        a 1b 0 a 0b 0z 1z 13z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z zt z 2z 3 3 22t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2t 2t 1 3it 2t 4 0t 1 3i             z a bi a, b  t z 2z a bi 2 a bi a 3bi       a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0              t 1 3i a 3bi 1 3i      a 1a 13z 1 .i333b 3b3       3z 2;z 1 i3  z a bi a, b  2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Do đó N u ế thì (vô lý). Do đó . D n đ n ẫ ếV y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầc) Đ t ặ . Ta có: thay vào (*) , thay vào (*) .V y ậVí d ụ 3 . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ th a mãn:ỏa) ; b) . c) ; d) . Gi iảa) Ta có: V y s ph c z đã cho có ph n th c là 2, ph n o là ậ ố ứ ầ ự ầ ả . b) Đ t ặ .Lúc đó:V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là , ph n o là ầ ả .c) Đ t ặ , ta có:V y s ph c z c n tìm có ph n th c b ng 7 và ph n o b ng 17.ậ ố ứ ầ ầ ự ằ ầ ả ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 36www.thuvienhoclieu .com2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0          b 02a 2011 0 b 0 a 0  b 20112011.iz x yi 2 3 2 2 32 2 3xy 0z z x y 2xyi z 0x y z 0 *        x 022 33y 0y z 0 y 0 z 0z 0       y 0 z x  2 3x x 0 x 0, x 1     z 0, z 1 z21 i 2 i z 8 i 1 2i z     22 3i z 4 i z 1 3i    22 3i z 4 i z 1 3i    z 2z 3 2i   21 i 2 i z 8 i 1 2i z     2z 1 i 2 i 1 2i 8 i         z 2i 2 i 1 2i 8 i        8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5     3z x yi z x yi, x,y     2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5                          z25z a bi, (a, b )  2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i4a 2b 6 b 17                          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ph n th c c a s ph c c n tìm là ầ ự ủ ố ứ ầ , ph n o là 1.ầ ảd) Đ t ặ . T gi thi t ta có:ừ ả ếV y s ph c z có ph n th c b ng 1, ph n o b ng ậ ố ứ ầ ự ằ ầ ả ằ .Ví d 3.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c aầ ự ầ ả ủs ph c ố ứ .b) T ìm ph n th c và ph n oầ ự ầ ả c a s ph c ủ ố ứ , bi t r ng ế ằ .Gi iảa) Gi s ả ử . T gi thi t suy raừ ả ế .Do đó .b) G i ọ .Ta có Do đó .V y ph n th c là -4, ph n o là 3. ậ ầ ự ầ ảVí d 4ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s thu n oố ẩ ả . b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và z là s o.ố ảc) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o. ầ ự ủ ằ ầ ầ ảd) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ựe) Tìm s ph c z bi t ố ứ ế và là s thu n o.ố ầ ảGi iảa) Đ t ặ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 373z a bi, (a, b )  3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2ib 2 b 2               2z 1 2i z 2 1 2i   2w z 3z 25iz z4 3i z 26 6i2 i    z x yi (x,y )  2x 4 x 2z 2 ix y 1 y 1          22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i       z a bi, (a, b )  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i            22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3z 3 4i14a 18b 30 b 4                  25i 3 4i25i4 3iz 25   z 22zz 2z 51 3i zz 2 5i 1  iz 1 2 1 i z 1 2i  z x yi, x, y  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có: M t khác: ặ là s thu n o nên ố ầ ả Ta có h : ệ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s o nên ố ả . Thay vào (*) ta đ c ượ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ c) Đ t ặ . Ta có: M t khác: S ph c có ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o nên ặ ố ứ ầ ự ủ ằ ầ ầ ả thay vào ph ngươtrình (*) ta đ c: ượ V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) G iọTa cólà s th c ố ựta có (th a mãn)ỏV y có hai s ph c z th a mãn là ậ ố ứ ỏ e) Đ tặ và , khi đó ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 38www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2      22 2 2z x yi x y 2xyi     2 2x y 0  2 2 22 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1         1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.       z x yi, x,y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *      z x yi x 0x 02y 2y 4 .y 2 1 2z 2i, z 2i. z x yi, x,y  2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *      x 2y2 25y 25 y 5 y 5.    1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i   z a bi; a, b  1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i           1 3i zb 3a 0 b 3a    z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1              a 27a57 21z 2 6i;z i.5 5   z' 1z' iz 1 z *i    2z' 2 z'z'  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ S ph c này là s o, do đó ta có:ố ứ ố ả . Thay vào (*) ta có .Ví d 5ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và b) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và .c) Tìm s ph c z bi t: ố ứ ế và d) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i: ố ứ ỏ ồ ờ và e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .f) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .Gi iảa) G i z = a + bi ọ , Ta có: T gi thi t ta có: ừ ả ế và Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượV y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ ho c ặb) G i ọ , ta có: T (1) và (2) tìm đ c ừ ượ .V y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và .c) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 391 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i             1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'      21 i.2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'        z 1;z 1 2i   z 2 i 10  zz 2522z 2z.z z 8  z z 2 z 2z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14     z i1z 1z i1z 3i z 1 5 17 z z 5zz 0  z 1 2i 5  z.z 34a R, b R z 2 i a 2 b 1 i;     z 2 i 10  2 2a 2 b 1 10 1    z.z 252 2a b 25 2  a 3 a 5b 4 b 0     z 3 4i z 5z x yi 22 2z x yi; z z zz x y x,y      222 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1z z 2 2x 2 x 1 2           x 1; y 1 1 i1 i2z z 3i 2z z 3i 10   2 z z 3i z z 10    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặD n đ n: ẫ ếK t h p v i gi thi t ban đ u: ế ợ ớ ả ế ầNên k t h p l i ta đ c s ph c: ế ợ ạ ượ ố ứd) G i ọ . T bài toán suy ra:ừ.V y ậe) Đ t ặ , ta có: M t khác ặThay (2) vào (1) đ c ượ . K t h p v i (1) có ế ợ ớV y có hai s ph c th a mãn bài toán là ậ ố ứ ỏ và .f) G i ọTa có T (1) và (2) ta có h ừ ệV y ậ .Ví d 6.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ph ng trình ố ứ ỏ ươ . Tính mô-đun c aủz. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 40www.thuvienhoclieu .comz a bi, z a bi   5 3b2a 3b 5 a2    2 2z 2 a b 4   13 3 3z 1 3i; z i7 7   z x yi, x,y  x 1y,x 0y 32 22 22 22 2x y 1 x 10 yx yx y 18y 8x y 1 x y 3            z 1 i z a bi 22 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1          2 23417 z z 5z.z 0 a b a 25     24a 24 a 55   2b 9 b 3  5 3i5 3iz a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5           2 2a 1 b 2 5 1    2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2       2 22 22 2 a 3b 5a 2b 7a b 2a 4b 203aa b 34a b 34529b5          29 3z 3 5i, z i5 5   1 i z 2 i z 4 i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Tìm mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .c) Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a s ph c z.ủ ố ứ d) Tìm mô-đun c a s ph c z, bi t r ng ủ ố ứ ế ằe) Cho hai s ph c ố ứ th a các đi u ki n sau: ỏ ề ệ và Hãy tính Gi iảa) Ta có:G i ọb) Đ t ặ . Khi đó theo gi thi t ta có:ả ế c) Đ t ặV y ậ .d) G i ọ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 41z 3z 1 2i  2z 1 i z 11i   z4 3i z 26 6i2 i    1 2z ,z1 2z 3z 4 1 2z z 1. 1 23z z .1 i z 2 i z 4 i *    z a bi (a, b )  a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 ib 1z 5              z a bi, (a, b )  1a1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i44b 11 17z 116 4              z a bi, (a, b )  2 2 22 222 22z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 ia ba 2a b2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a ba b 1a b 1 a 32ab a b 112ab a b 11b 22b 2b 12 0                                    2 2z a b 13  z a bi a, b  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i                  22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậCách 1. Ta có:V y ậCách 2. Đ t ặ Ta cóLúc đó:Do đó: Ví d 7ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ .b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ d) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 42www.thuvienhoclieu .comz 3 4i z 5   21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 21 1 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16z 3 z z z z 9 z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2                           21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 23z z 3z z 3z z 3z z 3z z9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4              1 23z z 2. 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y    2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1       2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1                 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 23z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4             1 23z z 2. 2 2z i z z 0  z 1 1 izi1zz 1 iz 1 i z .1 i z   2z iz 1 1 i z1 i   2 iz z 2i2z2 i 1 2i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảa) Ta có: Gi i (1): Đ t ả ặ . Ph ng trình (1) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ (vô nghi m)ệV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V y ậ  Gi i (2): Đ t ả ặ . Ph ng trình (2) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượV y ta đ c ậ ượ V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượ V y ta đ c ậ ượ b) Đi u ki n: ề ệ .Gi s ả ử . Khi đó tr thành:ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 4322 22z i 0 1z i z z 0z z 0 2     z x yi, x, y  2 2 2 22 2x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x yx y 0x y2xy 1 02xy 1 0 *             x y22x 1 0 x y222x 1 0 x2    1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2   z a bi, a, b  2 2 2 22 22 2a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 * *a b a 0b 02ab b 01a2                  b 02a 0a a 0 a a 1 0a 1     3 4z 0, z 1 1a22 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2      5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2   z 0, z 1 22z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 iz 1 z 1z 1z i z z 1 i *               z x yi; x,y  *Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com N u ế thì , th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệN u ế thì , khi đó không th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .c) Đ t ặ v i ớ ). Ta có+) V i ớ tac có th a mãn (1). Suy ra ỏ +) V i ớ tac có không th a mãn (1), lo iỏ ạd) Đ t ặ v i ớ . Khi đó V y ậ ho c ặe) Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 44www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0x 0x 0x 0y 1y y y 1 0x y x y y 1 0y 1 2                                       x 0,y 1 2  z 1 2 i x 0,y 1 z iz 1z 1 2 i (z x yi 2 2x,y ; x y 0  2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y x y x y x y x y1 x y x y x y x y 1x y 0 1xy 0x y x y 1 2                                    x 0,22 y y 1 y 1,   z iy 0,22 x x 1 x 1,   z x yi x,y2z iz 1 1 i z1 i   2 22 22 22x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x yx 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 010 10                               z i3 1z i10 10 2 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ (1).+) G a s ỉ ử .Lúc đó: (1) V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .Ví d 8.ụ a) Tính môđun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ng.ầ ự ươb) Tìm s ph c z có ph n o b ng 164 và ố ứ ầ ả ằ th a :ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn hai đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ và là m t s thu n o.ộ ố ầ ảd) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ là s th c và ố ự .Gi iảa) Gi s ả ửTh ế vào ph ng trình th hai ta đ c:ươ ứ ượSuy ramôđun c a s ph c z là: ủ ố ứb) G i ọTheo gi thi t, ta có ả ếc) Gi s ả ử . Theo bài ra ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 452 4i 2 i z 4 3i z     z a bi a, b  2 4i 2 i a bi 4 3i a bi       2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                z i 1 3z 12i z *nz4iz nz 1 2i z 3 4i    z 2iz iz 1 . z 2i z i 2  z x yi x 0, x,y 33 3 2 2 33 2 2 22 3 2 3z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yix xy x x 3y 1dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y                            2 2x 3y 1 2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .              z 2 y  z 5z a 164i a  z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n          a 656a 656a 164i 656 a n i4 a n 164n 697          z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i       2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com S ph c ố ứ .w là m t s o ộ ố ảV y ậd) Gi s ả ửKhi đó:T (1) và (2) ta đ c ừ ượ ho c ặV y ậVí d ụ 9. a) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c z có mođunố ứnh nh t.ỏ ấb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ự đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấc) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c z có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấd) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấGi iảa) Đ t ặ . Khi đó Các đi m M bi u di n s ph c z th a mãn h th c đã cho n m trên đ ng tròn tâm I(2;-3)ể ể ễ ố ứ ỏ ệ ứ ằ ườvà bán kính Ta có: khi và ch khi M n m trên đ ng tròn và g n O nh t.ỉ ằ ườ ầ ấĐó là đi m ể (B n đ c t v hình).ạ ọ ự ẽThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 46www.thuvienhoclieu .com222x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iwx 1 y iz ix y 1          222x y 2 y 1 012x72y 3 0, x y 1 0 *23yy x 57              12 23z i7 7 z a bi, a, b  z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1                        22z 2 2 a b 1 2 2     a 1, b 0 1 12a , b5 5 1 21 12z 1, z i5 5  3z 2 3i2  z 1 z 2i zz 3i iz 3 10   z 2 i z 1 4i    z x yi, x, y  2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4       3R= .2Min z1MChuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: K ẻTheo đ nh lý talet ta có: ịV y ậb) Gi s ả ử . Khi đó:Đ ể là s th c thì ố ự hay . Suy ra t p h p cácậ ợđi m M bi u di n s ph c z th a mãn ể ể ễ ố ứ ỏ là s th c là đ ng th ng ố ự ườ ẳ cóph ng trình ươ .Đ ể nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ỏ ấ ả ế ủ lên .T đó tìm đ c ừ ượ nên .c) Áp d ng công th c: ụ ứTa có: . Gi i b t ph ng trình ta có ả ấ ươV y ậ đ t đ c khi ạ ượd) Gi s ả ử . Khi đó: và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 47 OI= 4 9 13.  1M H Ox.1 11313M H OM78 9 132M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132OH .2 1313      26 3 13 78 9 13z= i13 26 z x yi x,y  z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i            z 1 z 2i x 1 2 y xy 0   2x y 2 0  z 1 z 2i 2x y 2 0  zO 0; 04 2M ;5 5   4 2z i5 5 2z.z z ; z w z w   2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3              222 z 3i iz 32 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3                  24 z.z 9 4 z 36   z 4min z 4z 3i iz 3z 4, z 4z 4    z a bi, a, b  z 2 i a 2 b 1 i     z 1 4i a 1 b 4 i     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ th a mãn đ bài.ỏ ềII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Tìm s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảCách 1. Gi s ả ửTa có . V y ậ . V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 2. S ố s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ , suy ra .Thay vào ph ng trình đã cho ta có ươV y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 3. Số s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ . Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 48www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 22 2 2z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 bz a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2                       z 1 i z 2 z z 2 6i   2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 z x yi (x,y )  z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i           25x yi 2 6i x; y ; 65         2z 6i5 21 1z z z 1 z z i2 2    z a bi (a, b )  22 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a       2 2a b bi 1 ai   2 21a ba b 121b aa b2    1 1 1 1z i, z i2 2 2 2   2 2z 1 z 1 10i z 3     z a bi a, b  2 2z 1 z 1 10i z 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ ho c ặ . V y ch n đáp án Cậ ọCâu 4. Bi t ế là hai s ph c th a đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCó hai s ph c c n tìm ố ứ ầSuy ra: . V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 5. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 492 22 222a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 02a a 1 02ab 3b 10 01a; b 1; 2 a; b ; 52                              z 1 2i 1z 5i2 1 2z ,z22 z 1 z 1 1 i z    1 2z z3 11i10 10  3 11i10 10 3 11i10 103 11i10 1022 22 22 2 2 22 222 22 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a ba 03ab 3a 1a 010a 3a 0310ab 1 1103a 1 a b b 3a 1b10b 3a 1                                                1 2 3 1z i; z i10 10  1 23 11z z i10 10  1 iz 1 i z1 i z   1 ii 1 ii2 2z x yi, x,y , x y 0    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , ta có , th a mãn (1). Suy ra ỏ .V i ớ , ta có , không th a mãn (1).ỏV y ậ .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: ỏ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ , ta đ c: ượV y ậ . Suy ra . Câu 7. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: th a mãn ph ng trình ỏ ỏ ươ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐi u ki n ề ệ . G i ọ . Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 50www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 2 2 22 22 22 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y 0 1x y x y x yx y x yxy 0x y x y 11 x y x yx y x y 1 2                                   x 022 y y 1 y 1   z iy 0 22 x x 1 x 1   z i1 2z ,z2 2z 1 z 1 10i z 3     2 21 2z z .111i4 111 i 111 4i 44 i z a bi a, b  2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3        22a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 012ab 3b 10 0a2b 5            1z 1 2i, z 5i2    2 21 2 111z z i4  1 2z ,zz 104 3i1 i z  1 21 1z z 7 23i25 50 7 23i25 507 23i25 507 23i25 50 z 0z a bi a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ ho c ặ . Suy ra: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Tìm mô đun s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ửV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 9 . Tìm s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặTa có Ph ng trình ươ tr thành :ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 512 22 22z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10a 2a 2, b 45a 19a 18 09a9 13a , b5b 10 7a5 5b 10 7a                          z 2 4i 9 13z i5 5 1 21 1 7 23iz z 25 50  2 iz z 2i2z2 i 1 2i    122 2 22 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z 1     z a bi, a, b  1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                       z 1 i z 2   z z 1 i z z 2 3i 4 i.      1 1z i.2 2 1 1z i.2 2  1 1z i.2 2 1 1z i.2 2 z x yi z x yi, x,y     z z 2xz z 2yi  z z 1 i z z 2 3i 4 i      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y z c n tìm là: ậ ầ V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 10 . Tìm môđun s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặPh ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là ậ ầ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 11 . Tìm S s ph c th a đi u ki n:ố ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ ta có:K t lu n ế ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 11 . Bi t ế là s ph c th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 52www.thuvienhoclieu .com2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 422x 6y 2x 4y i 4 i2x 4y 1 1y2                    1 1z i.2 2 i z zz z4 6i.1 i 2 2i   z 101 z 10z 1z 11z x yi z x yi, x,y     i z zz z4 6i1 i 2 2i   22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10                             z 1 10i z 101.    i z zz z4 6i1 i 2 2i   1234z a bi, a, b  2 22 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7ia 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7                 z i, z 1 i  zz1 i z 5 7i.1 i   1wz1 1w i10 5 1 1w i10 5 1 1w i10 5  1 1w i10 5 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ G i ọ , khi đó (*) tr thành: ởV y ậ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 12 . Tìm s ph c z th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ởV y ậ V yậ ch n đáp án C.ọCâu 13. Bi t ế là các s ph c th a mãn đi u ki n ố ư ỏ ề ệ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ở V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V y ậ Suy ra: . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm s s ph c th a mãn đi u ki n ố ố ứ ỏ ề ệ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 53z a bi a, b  2 a bi a bi 2 12i    a 2 a 2a 3bi 2 12i3b 12 b 4           1 1z 2 4i w i10 5    z 2z 2 4i  w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3 1w 2i14 a) Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    23x 2xx yi 2 x yi 2 4i 3x - yi 2- 4i3y 4y 4          2z 4i.3 1 2z ,z2z 2z 0 1 2z z1 21z z2 1 2z z 2  1 2z z 2 2 1 2z z 2 Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    2 2 2 22 22 2x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1                   y 0 2x 0x 2x 0x 2  x 12y 3 y 3.   1 2z 3i, z 2 3i.  1 2z z 2 2z 2z 0 2310Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ Ph ng trình ươ T (2) ừ ho c ặ  V i ớ Suy ra ho c ặ ho c ặ  V i ớ Suy ra V y ph ng trình ậ ươ ho c ặ ho c ặ V y ch n đáp án B. ậ ọCách khác: Ta gi i ph ng trình h qu r i th l i.ả ươ ệ ả ồ ử ạPh ng trình ươ (1) ho c ặ V i ớ V i ớ ph ng trình (1) ươTh l i: Ta th các giá tr c a z v a tìm đ c vào ph ng trình (1).ử ạ ế ị ủ ừ ượ ươV i ớ ta có ph ng trình (1) đ c nghi m đúng.ươ ượ ệV i ớ ta có và V y ph ng trình ậ ươ đ c nghi m đúng.ượ ệK t lu n: Ph ng trình có 3 nghi m là: ế ậ ươ ệ Câu 14. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành:ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 54www.thuvienhoclieu .com2 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.      2 2 2 2 2z 2 z 0 x y 2xyi 2 x y       2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2  x 0 y 0.22 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1y 2y 2y       z 0z 2iz 2i. y 0, 12 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.      z 0.2z 2 z 0 z 0   z 2iz 2i. 2z 2 z 0 22 2z 2 z z 2 z z 2 z      z 0 z 2.z 0 z 0.  z 2,2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.        z 0, 2z 0 z 2i,22 2z 2i 4i 4   2 z 2 2i 2.2 4.   2z 2 z 0 1 2 3z 0,z 2i,z 2i.  1 2z ,z22z z 1 0  1 21 1z z ii1 i0z x yi, x, y  22z z 1 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ . Suy ra .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 15. Bi t ế là các s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thànhở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ .Suy ra . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 17. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c ố ứ có ph n o âmầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 552 2 2 2 222 2x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 011 1yy y2xy 02 22                           1 1z i,z i2 2 1 21 10z z  1 2 3 4z ,z ,z ,z2z ii.z 11 2 3 4z z z z  3232 3z x yi, x, y  22z ii z i iz iz 1    2 222 22 222x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x1yx 0x y y 021 1x 2y 1 0y y 0x 04 21yx 0 x 02y 0 y 13x2                                 3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2     1 2 3 4z z z z 3   z2z i z 0 z1z 1 i2 1 1z i2 2 1 1z i2 2 1z 1 i2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ t ặ Ph ng trình ươ T ừ o V i ớ Suy ra V y ậ o V i ớ o V i ớ o V i ớ o V i ớ V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 18. Bi t ế là s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ Tìm s ph c ố ứ có ph n th c d ngầ ự ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ o V i ớ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 56www.thuvienhoclieu .comz x yi, x,y R  2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y      2 22 2x y 0 12xy x y 2  1 y x. 2 22xy x, x22 x 0   y 0.z 0.y x :22 2 22 x 02x x 212 2x 2x 2x x 2 x22x x 21x2       x 0 y 0  1 1x y2 2  1 1x y .2 2  z2iz z 1 0.   z22 5 2 5z i.4 4    22 3 2 3z i.2 2    22 10 2 10z i.4 4    22 5 2 5z i.2 2    z x yi, x,y R  2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0         2 2 2 22 22 22 2( 2xy x y 1) x y i 0x y1x y 0x y2xy x y 1 02xy x y 1 0 2                    2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra o V i ớ (vô nghi m)ệV y s ph c z c n tìm là:ậ ố ứ ầ và V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 19. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có : Nh v y ph ng trình đã cho tr thành :ư ậ ươ ở V y ph ng trình có 1 nghi m ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 20. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Suy ra:V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 21 *. S ố s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 5722 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4        2 10y x .4 2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0        22 x x 2 1 0   12 10 2 10z i4 4    22 10 2 10z i.4 4    2z z z z 1 1 i 2     z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i. z x yi, x, y  2z z 2x 2yi x yi x 3yi      z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i           x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i3y 2x 1 y 1             z 1 i. 21 2i z z 4i 20   z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i. z a bi, (a, b ) z a bi     21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3                    z 2z.z 1 z 2 6iz  120z 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Xét là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươXét . Đ t ặ , t gi thi t ta có:ừ ả ếL y (1) tr (2) v theo v ta có ấ ừ ế ếTh (3) vào(1), ta đ c: ế ượ (do )V y ta có hai s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 22. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ử v i ớ và a, b không đ ng th i b ng 0.ồ ờ ằKhi đó Khi đó ph ng trình ươ. L y (1) chia (2) theo v ta có ấ ế , th vào (1) ta cóếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 58www.thuvienhoclieu .comz 0z 02 2z a bi; a, b ,a b 0    2 22 2 3 2 2 3z 3 z 1 2 z 6 z z.i z.z 3 z 1 2 z .z 6z z z.iz 3 z 1 2 z a bi 6 z .i z . 3 z 1 2a z 6 z 2b z i                   2 222 2 223 2z . 3 z 1 4az . 3 z 1 2a z z . 3 z 1 2a3 z b 06 z 2b z 0 3 z b 0a 0, b 0                    2222 2b b 1 12ab b 1 12a 13 z b 3a 3b b 2a 0, b 0 a 0, b 0             2 2 2 2 49a 4b a b 39  2 216 3 2b b b b a ,3 13 13     a 0, b 0 2 3z i.13 13  2 3z 0,z i.13 13  25z 8 6iz  w iz 3 3 4i5i4iz 1 4i z a bi a; b2 21 1 a biz a bi;z a bia b   2 225 a bi25z 8 6i a bi 8 6iza b       2 2 2 22 2 2 2a a b 25 8 a b 1b a b 25 6 a b 2      3b a4a 0 a 4  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ (lo i)ạV i ớ . Ta có s ph c ố ứ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 23. Tìm s ph c z bi t ố ứ ế . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo đ cho ta suy ra:ềS ph c c n tìm là ố ứ ầ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 24. Tính mô- đun c a s ph c ủ ố ứ bi t ế (i là đ n v o).ơ ị ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảa) Đ t ặ , ta có . V y mô-đun c a s ph c ậ ủ ố ứ b ng ằ .Câu 25. Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Ta có:V y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 26. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 59a 0 b 0  a 4 b 3  z 4 3i z 2 3i z 1 9i   3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi a, b z a bi     a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i3a 3b 9 b 1                      z 2 i z iz i z i 2iz  3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi, (a, b )  z i z i 2iz  2 22 222 2 2z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2aia b 1 2ba b 2b 1 2 a b 1 22a 2a                     22z i a b 1 i a b 1 2        z i21 2i z 2 2i z i   12531513z a bi, (a, b )  1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0a3b 1b 1            2 216 5z a b 19 3    2 z 1 3z i 5 i   22 2 24Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c Đ t ặ . Khi đó:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 27. S ố s ph c ố ứ z th a ỏ và là s th cố ự là: A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t ta có:ả ếV y ậ .V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 28. Tìm ngh ch đ o c a ị ả ủ s ph c zố ứ , bi t ế th a mãn ỏ và là sốthu n o.ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì V i ớ ho c ặ , ta có:Vì là s thu n o nên ố ầ ảK t h p ế ợ ta có . V y s ph c đó là ậ ố ứ .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 29. Tìm mo đun s ph cố ứ z th a mãn ỏ và là s th c.ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 60www.thuvienhoclieu .comz a bi, (a, b )  2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1z 2b 1                 z 23z62543 3 2 2 3z a bi, (a, b ) z a 3ab 3a b b i       2 222 22 22 32 22 2b 0b 0a b 4a 4a 2a b 2b 0a 1b 3a3a b b 0b 3ab 3a 3a 4             z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3          zz 2i z 2 4i   z iz i1 5i4 12 3 5i17 17 3 5i17 17 3 5i2 2 z a bi, (a, b )  z 2i z 2 4i a b 4 1      a 0b 12222 22 2 a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz ia b 1 a b 1                  z iz i22a b 1a b 1 0a 1 b     13 5a , b2 2 3 5z i2 2 z 22z1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Suy ra .T gi thi t ừ ả ế là s th c nên ta có ố ự .Khi đó V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và . T đây suy ra ừ .V y ch n đáp án ậ ọCâu 30. Tính mô-đun c a s ph c z, bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ngầ ự ươ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ửDo . Th vào (2) ta đ c:ế ượGi i ph ng trình (3) ta đ c ả ươ ượ . Do nên .V y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 31. Tìm z th a mãn đi u ki n : ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 61212 2 2z a bi a, b  2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2        2z1 ib 12z 2 a i 2 a 1 2 a 3.        z 3 i z 3 i z 23z 12i z 2z 7z 3z 533z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi         3 23 2 2 32 3x 3xy x 1x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2          2 2x 0 1 x 3y 1    2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3       2y 1 x 4  x 0x 2z 2 i z 5    4z i1z i   z 0,z 1,z i.  z 0,z 1 z i,z i  z i,z 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 32. Tìm s s ph c z th a mãn:ố ố ứ ỏ .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d nướ ẫ gi iảNh n xét:ậ N u làm b ng cách g i ế ằ ọ , thay vào và tính toán v trái, r i đ ng nh t ph n ế ồ ồ ấ ầth c và ph n o c a 2 v s r t dài và d n t i h đ ng c p b c 4 r t c ng k nh. Áp d ng ự ầ ả ủ ế ẽ ấ ẫ ớ ệ ẳ ấ ậ ấ ồ ề ụcách tính căn b c hai b ng máy tính c m tay , ta có cách gi i ng n g n:ậ ằ ầ ả ắ ọĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởL n l t tay ầ ượ v a tìm đ c vào công th c (*), ta tìm đ c:ừ ượ ứ ượ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 33. Bi t ế là các s ph c ố ứ th a mãn ỏ và là s thu n o.ố ầ ả Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22H ng d n gi iướ ẫ ả Đ t ặDo đó Nh th ư ếĐ ể là s thu n o thì ố ầ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 62www.thuvienhoclieu .com22z i1 (1)z iptz i1 (2)z iz 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1                             z 0,z 1,z i.  4iz 27 24iz 3    z a bi '''iz 2 2 3zz z *z 3z i   'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2       1 2 3z ,z ,zz 3i 1 iz  9zz2 2 21 2 3z z z z x yi, x, y  2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x              2 2y 3 1 y y 2     z x 2i 2 2 29 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2ix 4 x 4 x 4                     9zz22 x 0 x 09xx 0x 5x 5x 4      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có ba s ph c th a mãn yêu c u đ toán là ậ ố ứ ỏ ầ ề và V y ch n đáp án D.ậ ọCâu 34. Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và là s thu n o.ố ầ ảA. , B. ,B. , D. , , , H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọV i ớ ho c ặV i ớ ho c ặV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35. Tìm s ph c z ố ứ có ph n o âm, ầ ả bi t ế và s ph c ố ứ có ph n oầ ảb ng 1.ằ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặTa có Vì ; có ph n o b ng 1 nên ầ ả ằThay (2) vào (1) ta đ c: ượV i ớV i ớV y có hai s ph c là ậ ố ứ và .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 36. Có bao nhiêu s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s th c.ố ựA. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 63z 2i, z 5 2i   z 5 2i z 52z iz 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i 2 2 22 22 2a b 5 b b 2 0z a bia b 1 0 a b 1                b 1 a 2 z 2 i     z 2 i b 2 a 1 z 1 2i     z 1 2i z 1 1 1 i z 1 z iz 2 i z 1 i z 3 i z x yi x,y z x yi     22z 1 1 x 1 y 1 1     1 i z 1 x y 1 x y 1 i       1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2      22 2y 0y 1 y 1 2y 2y 0y 1      y 0 x 2 z 2    y 1 x 1 z 1 i     z 2z 1 i z 5z 7iz 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com G i ọCó w là s th c ố ựT (2) có ừ , thay vào (1) đ c ph ng trình:ượ ươThay vào (*) tìm đ c y t ng ng t đó tìm đ c các s ph c: ượ ươ ứ ừ ượ ố ứ ; ;.Câu 37. Tìm môđun s ph c z bi t ố ứ ế là m t s thu n o và ộ ố ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Khi đó:u là s thu n o khi và ch khi:ố ầ ả ỉTa có:T (1) và (2) ta có: ừ . V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 39. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ , tìm s ph c z có môđun nh ố ứ ỏnh t.ấThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 64www.thuvienhoclieu .com2 2z x yi z 5 x y 25 1       2 22 2x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1x 1 y x 1 y          xy x 1 y 7 0 2    7 x 1y *2x 1 4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 02x 3; x 4; x2            z 3 4i z 4 3i 2 7 2z i2 2 z 2 3iuz i z 1 3i z 1 i    365z5265z5215z5235z5z x yi, x,y  222 222 x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iux y 1 ix y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 ix y 1                       2 22 222x y 2x 2y 3 0x 1 y 1 51x y 1 0x; y 0;1            2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2               3 16 265x; y ; z5 5 5       z 1 2i 2  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ ; G i ọ là đi m bi u di n s ph c .ể ể ễ ố ứTa có : Đ ng tròn ườ có tâm I(1;2) . Đ ng th ng ườ ẳ OI có ph ng trình ươS ph c ố ứ z th a mãn đi u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi đi m bi u di n sỏ ề ệ ỏ ấ ỉ ể ể ễ ốph c đó thu c đ ng tròn (ứ ộ ườ C ) và g n g c t a đ ầ ố ọ ộ O nh t, đi m đó ch là m t trong hai giaoấ ể ỉ ộđi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ OI v i (ớ C ), khi đó t a đ c a nó th a mãn h ọ ộ ủ ỏ ệ ho c ặ Ch n ọ nên s ph c ố ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 40. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c aị ỏ ấ ị ớ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . T gi thi t:ừ ả ếT p h p đi m bi u di n c a z là đ ng tròn tâm ậ ợ ể ể ễ ủ ườ bán kính . G i M là đi m bi u di n c a z, ta có:ọ ể ể ễ ủThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 652 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            z x yi, x,y  M x;yz 1 2i 2  2 2x 1 y 2 4    2 2x 1 2C   :y 4   y 2x2 2y 2xx 1 y 2 4   2x 15 2x 15 2x 15 4y 25  2 4z 1 2 i5 5            z 2 i2z 1 i   zmin maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   z x yi z 2 i2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i          2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10              I 0; 3R 10I M I O OM IM IO 10 3 OM 10 3        min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 41. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là m t s th c. Tìm giá tr nh nh t c aộ ố ự ị ỏ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảGi s ả ử .T gi thi t: ừ ả ếTa có T p h p bi u di n c a z là đ ng th ng ậ ợ ể ễ ủ ườ ẳ . G i M là đi m bi u di n c a z.ọ ể ể ễ ủTìm đ c ượ . Suy ra: . V y ch n đáp án B.ậ ọ CH Đ Ủ Ề 5 . TÌM S PH C TH A MÃN ĐI U KI NỐ Ứ Ỏ Ề ỆPh ng phápươ Tìm s ph c ố ứ th t ra là tìm ph n th c x và ph n o y c a nó.ậ ầ ự ầ ả ủ Chú ý r ng: ằ , khi là s th cố ự ,  . Khi đó:  . Khi đó là s o (thu n o) khi ố ả ầ ả , là s th c khi ố ự . Trong tr ng h p tườ ợ ìm s ph c có môđun l n nh t, nh nh tố ứ ớ ấ ỏ ấ ta làm nh sau:ư B c 1:ướ Tìm t p h p đi m ậ ợ ể các đi m bi u di n c a ể ể ễ ủ z th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệB c 2: ướ Tìm s ph c ố ứ z t ng ng v i đi m bi u di n ươ ứ ớ ể ể ễ sao cho kho ng ảcách OM có giá tr l n nh t ( ho c nh nh t )ị ớ ấ ặ ỏ ấI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d ụ 1 . Tìm s ph c z ố ứ th aỏ mãnThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 66www.thuvienhoclieu .comz 3 i z 1 3i   zminz 2minz 2 2minz 2min2z2z x yi w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i           2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i       w x y 4 0    d : x y 4 0  minminz OM OM d  M 2;2 z 2 2i   minz 2 2z x yi, x,y  22z z22z zzx 0z x yi 0y 0   1 1 1 2 2 2z x y i; z x y i   1 21 21 2x xz zy y z x yi, x,y  zx 0zy 0 ( ) M ( ) Chuyên Đ S Ph cề ố ứ d) ; e) Gi iảa) Đ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành :ở V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . b) Đ t ặPh ng trình ươ tr thành: ởV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượV y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầc) Đ t ặ Ph ng trình ươ tr thànhởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 672a) z z 0; 2b) z z 0; 2c)z 2z.2z z z  3z zzf ) z 2.z z x yi, x, y  2z z 0  2 2 2 22 2 2 2x y x y 0x y 2xyi x y 02xy 0        22 22 22 2 2x 0y 0 x 0y 0x 0y yy y 0x x 0x 0 x 0 x 0y 0 y 0x 0 x 0y y y y 0 y y 0x 0 x 0 x 0y 0 y 1 y 1                                                       z 0, z i, z i   2 2 2z x - yiz x yi, x,yz x y 2xyi     2z z 0 2 2 2 22 22 22 2x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0x x y 0 *x x y 0x x y 0y 0y 2x 1 02xy y 01x2                         y 0 2x 0x x 0x 1  1x23y23y21 3 1 3z 0, z 1, z i, z i.2 2 2 2     z x yi x,y R z x yi.     2z 2zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ , (1) v i ớ , (1) V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) Gi s ả ử . Khi đó:  TH1: ta đ c ượ TH2: V y có 3 s ph c th a mãn là: ậ ố ứ ỏe) Gi s ả ử V y ph ng trình cho có 5 nghi m ậ ươ ệCách 2: ho c ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 68www.thuvienhoclieu .com2 22 2x y 2x (1)x y 2xyi 2x 2yixy y (2)(2) y x 1 0 y 0,x 1.          y 0 2x 2x 0 x 0 x 2.      x 12y 3 y 3   z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3     z x yi x, y22 2 22 2 2 22 2 2 2z z z x yi x y x yix y x y xx y x y 2xyi x yi2xy y                    1x22 2 2 21 1 1 1 3y y y y4 4 2 4 4       222 4 24 233y 0y5 2 54y421 3 19y y y16y 40y 5 04 2 16            2y 0 x x x x 0 x y 0.         1 5 2 5z 0;z i2 2  z x yi x,y z x yi     33 3 2 2 32 23 22 32 22 2222 2z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yix x 3y xx 3xy x3x y y yy 3x y yx 0x 0,y 0 z 0x 3y 1 0x 0,y 1 z iy 0x 1,y 0 z 13x y 1 0                                 z 0,z i,z 1   2 4 2 2 23 3z z z.z z.z z z z z z 1 0           2z 0 2z 1 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Khi thì , do đó là m t nghi m c a ph ng trình ộ ệ ủ ươKhi nên ph ng trình ươ hayV y ph ng trình đã cho có 5 nghi m ậ ươ ệ .f) G i s ph c ọ ố ứ . Đi u ki n: ề ệTa có: Gi i h ta đ c: ả ệ ượ ho c ặ (lo i)ạTh l i ta th y ử ạ ấ th a mãn bài toán. V y s ph c c n tìm là ỏ ậ ố ứ ầ .Ví d 2.ụ Tìm s ph c z th a mãn ph ng trìnhố ứ ỏ ươa) ; b) ; Gi iảa) Đ t ặ . Ta có ph ng trìnhươ G i ọTa có  V i ớ  V i ớ V y ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 692z 0z 0z 03z zz 1 0 z 0   3 3z z z.z z.z  4z z.z 1 22 22z 1 0 z 1z 1 z 1 0z iz 1 0         z 0,z i,z 1   za bi; a, b a 0z 0b 0 2 2zz 2 z z.z 2z a bi a b 2 a biz          2 22 2 a a b 2aa a b bi 2a 2bib 2b        a 1b 0 a 0b 0z 1z 13z 2z 8 2z 2011 0 2 3c) z zt z 2z 3 3 22t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0t 2t 2t 1 3it 2t 4 0t 1 3i             z a bi a, b  t z 2z a bi 2 a bi a 3bi       a 2 a 2t 2 a 3bi 2 z 23b 0 b 0              t 1 3i a 3bi 1 3i      a 1a 13z 1 .i333b 3b3       3z 2;z 1 i3  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) Đ t ặKhi đó:Do đó N u ế thì (vô lý). Do đó . D n đ n ẫ ếV y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầc) Đ t ặ . Ta có: thay vào (*) , thay vào (*) .V y ậVí d ụ 3 . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứ th a mãn:ỏa) ; b) . c) ; d) . Gi iảa) Ta có: V y s ph c z đã cho có ph n th c là 2, ph n o là ậ ố ứ ầ ự ầ ả . b) Đ t ặ .Lúc đó:V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là , ph n o là ầ ả .c) Đ t ặ , ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 70www.thuvienhoclieu .comz a bi a, b  2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi            2 22 2 2 a b 2011 0z 2011 0 a b 2011 2abi 02ab 0          b 02a 2011 0 b 0 a 0  b 20112011.iz x yi 2 3 2 2 32 2 3xy 0z z x y 2xyi z 0x y z 0 *        x 022 33y 0y z 0 y 0 z 0z 0       y 0 z x  2 3x x 0 x 0, x 1     z 0, z 1 z21 i 2 i z 8 i 1 2i z     22 3i z 4 i z 1 3i    22 3i z 4 i z 1 3i    z 2z 3 2i   21 i 2 i z 8 i 1 2i z     2z 1 i 2 i 1 2i 8 i         z 2i 2 i 1 2i 8 i        8 i 1 2i8 iz 2 3i2i 1 5     3z x yi z x yi, x,y     2 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i6x 4y 8 x 26x 4y 2 x y i 8 6i .2x yb 6 y 5                          z25z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm có ph n th c b ng 7 và ph n o b ng 17.ậ ố ứ ầ ầ ự ằ ầ ả ằPh n th c c a s ph c c n tìm là ầ ự ủ ố ứ ầ , ph n o là 1.ầ ảd) Đ t ặ . T gi thi t ta có:ừ ả ếV y s ph c z có ph n th c b ng 1, ph n o b ng ậ ố ứ ầ ự ằ ầ ả ằ .Ví d 3.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c aầ ự ầ ả ủs ph c ố ứ .b) T ìm ph n th c và ph n oầ ự ầ ả c a s ph c ủ ố ứ , bi t r ng ế ằ .Gi iảa) Gi s ả ử . T gi thi t suy raừ ả ế .Do đó .b) G i ọ .Ta có Do đó .V y ph n th c là -4, ph n o là 3. ậ ầ ự ầ ảVí d 4ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s thu n oố ẩ ả . b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và z là s o.ố ảc) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o. ầ ự ủ ằ ầ ầ ảd) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 712 22 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i6a 2b 8 a 76a 2b 4a 2b i 8 6i4a 2b 6 b 17                          3z a bi, (a, b )  3a 3 a 1a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2ib 2 b 2               2z 1 2i z 2 1 2i   2w z 3z 25iz z4 3i z 26 6i2 i    z x yi (x,y )  2x 4 x 2z 2 ix y 1 y 1          22w z 3z 2 i 3 2 i 3 i       z a bi, (a, b )  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i            22a 16b 14a 18b i 130 30i22a 16b 130 a 3z 3 4i14a 18b 30 b 4                  25i 3 4i25i4 3iz 25   z 22zz 2z 51 3i zz 2 5i 1  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com e) Tìm s ph c z bi t ố ứ ế và là s thu n o.ố ầ ảGi iảa) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s thu n o nên ố ầ ả Ta có h : ệ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Đ t ặ .Ta có: M t khác: ặ là s o nên ố ả . Thay vào (*) ta đ c ượ V y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ c) Đ t ặ . Ta có: M t khác: S ph c có ph n th c c a nó b ng 2 l n ph n o nên ặ ố ứ ầ ự ủ ằ ầ ầ ả thay vào ph ngươtrình (*) ta đ c: ượ V y s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ .d) G iọTa cólà s th c ố ựta có (th a mãn)ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 72www.thuvienhoclieu .comiz 1 2 1 i z 1 2i  z x yi, x, y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2      22 2 2z x yi x y 2xyi     2 2x y 0  2 2 22 2 2x y 2 x 1x y 0 y 1         1 2 3 4z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.       z x yi, x,y  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *      z x yi x 0x 02y 2y 4 .y 2 1 2z 2i, z 2i. z x yi, x,y  2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *      x 2y2 25y 25 y 5 y 5.    1 1z 2 5 5i, z 2 5 5i   z a bi; a, b  1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i           1 3i zb 3a 0 b 3a    z a bi 2 2z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1              a 27a5Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có hai s ph c z th a mãn là ậ ố ứ ỏ e) Đ tặ và , khi đó ta có:S ph c này là s o, do đó ta có:ố ứ ố ả . Thay vào (*) ta có .Ví d 5ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và b) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và .c) Tìm s ph c z bi t: ố ứ ế và d) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i: ố ứ ỏ ồ ờ và e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .f) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và .Gi iảa) G i z = a + bi ọ , Ta có: T gi thi t ta có: ừ ả ế và Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượV y các s ph c c n tìm là: ậ ố ứ ầ ho c ặb) G i ọ , ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 737 21z 2 6i;z i.5 5   z' 1z' iz 1 z *i    2z' 2 z'z'  1 i 1 i1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z'i i             1 i z' 1 i z' 1 i z' 1 i z'      21 i.2 1 i z' z' 2i z' 1 iz'        z 1;z 1 2i   z 2 i 10  zz 2522z 2z.z z 8  z z 2 z 2z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14     z i1z 1z i1z 3i z 1 5 17 z z 5zz 0  z 1 2i 5  z.z 34a R, b R z 2 i a 2 b 1 i;     z 2 i 10  2 2a 2 b 1 10 1    z.z 252 2a b 25 2  a 3 a 5b 4 b 0     z 3 4i z 5z x yi 22 2z x yi; z z zz x y x,y      222 2z 2z.z z 8 4 x y 2 1z z 2 2x 2 x 1 2           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (1) và (2) tìm đ c ừ ượ .V y các s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và .c) Ta có: Đ t ặD n đ n: ẫ ếK t h p v i gi thi t ban đ u: ế ợ ớ ả ế ầNên k t h p l i ta đ c s ph c: ế ợ ạ ượ ố ứd) G i ọ . T bài toán suy ra:ừ.V y ậe) Đ t ặ , ta có: M t khác ặThay (2) vào (1) đ c ượ . K t h p v i (1) có ế ợ ớV y có hai s ph c th a mãn bài toán là ậ ố ứ ỏ và .f) G i ọTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 74www.thuvienhoclieu .comx 1; y 1 1 i1 i2z z 3i 2z z 3i 10   2 z z 3i z z 10    z a bi, z a bi   5 3b2a 3b 5 a2    2 2z 2 a b 4   13 3 3z 1 3i; z i7 7   z x yi, x,y  x 1y,x 0y 32 22 22 22 2x y 1 x 10 yx yx y 18y 8x y 1 x y 3            z 1 i z a bi 22 2 2z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1          2 23417 z z 5z.z 0 a b a 25     24a 24 a 55   2b 9 b 3  5 3i5 3iz a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5           2 2a 1 b 2 5 1    2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta có h ừ ệV y ậ .Ví d 6.ụ a) Cho s ph c z th a mãn ph ng trình ố ứ ỏ ươ . Tính mô-đun c aủz. b) Tìm mô-đun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế .c) Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a s ph c z.ủ ố ứ d) Tìm mô-đun c a s ph c z, bi t r ng ủ ố ứ ế ằe) Cho hai s ph c ố ứ th a các đi u ki n sau: ỏ ề ệ và Hãy tính Gi iảa) Ta có:G i ọb) Đ t ặ . Khi đó theo gi thi t ta có:ả ế c) Đ t ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 752 22 22 2 a 3b 5a 2b 7a b 2a 4b 203aa b 34a b 34529b5          29 3z 3 5i, z i5 5   1 i z 2 i z 4 i    z 3z 1 2i  2z 1 i z 11i   z4 3i z 26 6i2 i    1 2z ,z1 2z 3z 4 1 2z z 1. 1 23z z .1 i z 2 i z 4 i *    z a bi (a, b )  a 2* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 ib 1z 5              z a bi, (a, b )  1a1a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i44b 11 17z 116 4              z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ .d) G i ọ . Ta có:V y ậCách 1. Ta có:V y ậCách 2. Đ t ặ Ta cóLúc đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 76www.thuvienhoclieu .com2 2 22 222 22z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11ia b 2abi a b a b 11 ia ba 2a b2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a ba b 1a b 1 a 32ab a b 112ab a b 11b 22b 2b 12 0                                      2 2z a b 13  z a bi a, b  z4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i2 i22a 16b 14a 18b i 130 30i                  22a 16b 130 a 314a 18b 30 b 4         z 3 4i z 5   21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 22 21 1 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16z 3 z z z z 9 z 16 1 3 z z z z 9 16z z z z 2                           21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 23z z 3z z 3z z 3z z 3z z9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4              1 23z z 2. 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y    2 2 2 21 2 1 1 2 2z z 1 x y x y 1       2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2z 3z 4 x 3x y 3y 16x y 9 x y 6 x x y y 166 x x y y 6 x x y y 1                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Do đó: Ví d 7ụ . a) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ .b) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .c) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ d) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .e) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .Gi iảa) Ta có: Gi i (1): Đ t ả ặ . Ph ng trình (1) tr thành:ươ ở V i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ (vô nghi m)ệV i ớ thay vào (*) ta đ c: ượ V y ậ  Gi i (2): Đ t ả ặ . Ph ng trình (2) tr thành:ươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 772 2 21 2 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 23z z 3x x 3y y9 x y x y 6 x x y y 10 6 4             1 23z z 2. 2 2z i z z 0  z 1 1 izi1zz 1 iz 1 i z .1 i z   2z iz 1 1 i z1 i   2 iz z 2i2z2 i 1 2i    22 22z i 0 1z i z z 0z z 0 2     z x yi, x, y  2 2 2 22 2x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0x yx y 0x y2xy 1 02xy 1 0 *             x y22x 1 0 x y222x 1 0 x2    1 22 2 2 2z i, z i.2 2 2 2   z a bi, a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượV y ta đ c ậ ượ V i ớ thay vào (**) ta đ c: ượ V y ta đ c ậ ượ b) Đi u ki n: ề ệ .Gi s ả ử . Khi đó tr thành:ở N u ế thì , th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệN u ế thì , khi đó không th a mãn đi u ki n.ỏ ề ệV y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .c) Đ t ặ v i ớ ). Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 78www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 22 2a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0a b a 0 * *a b a 0b 02ab b 01a2                  b 02a 0a a 0 a a 1 0a 1     3 4z 0, z 1 1a22 21 1 3 3b 0 b b4 2 4 2      5 61 3 1 3z i, z i.2 2 2 2   z 0, z 1 22z z 1 1 iz z z 1 1 izPT i i z 1 iz z 1 iz 1 z 1z 1z i z z 1 i *               z x yi; x,y  *2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0x 0x 0x 0y 1y y y 1 0x y x y y 1 0y 1 2                                       x 0,y 1 2  z 1 2 i x 0,y 1 z iz 1z 1 2 i (z x yi 2 2x,y ; x y 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ +) V i ớ tac có th a mãn (1). Suy ra ỏ +) V i ớ tac có không th a mãn (1), lo iỏ ạd) Đ t ặ v i ớ . Khi đó V y ậ ho c ặe) Ta có (1).+) G a s ỉ ử .Lúc đó: (1) V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ .Ví d 8.ụ a) Tính môđun c a s ph c z bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ng.ầ ự ươb) Tìm s ph c z có ph n o b ng 164 và ố ứ ầ ả ằ th a :ỏ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 792 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y x y x y x y x y1 x y x y x y x y 1x y 0 1xy 0x y x y 1 2                                    x 0,22 y y 1 y 1,   z iy 0,22 x x 1 x 1,   z x yi x,y2z iz 1 1 i z1 i   2 22 22 22x 1 yi 1 ix 1 yi 1 i x y23x 1 y 3x 1 y i 2 x yx 0,y 1y 3x 13x 1 y 2 x y3 1x ,y10x 3x 03x 1 y 010 10                               z i3 1z i10 10 2 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z     z a bi a, b  2 4i 2 i a bi 4 3i a bi       2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                z i 1 3z 12i z *nz4iz nChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c) Tìm s ph c z th a mãn hai đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ và là m t s thu n o.ộ ố ầ ảd) Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ là s th c và ố ự .Gi iảa) Gi s ả ửTh ế vào ph ng trình th hai ta đ c:ươ ứ ượSuy ramôđun c a s ph c z là: ủ ố ứb) G i ọTheo gi thi t, ta có ả ếc) Gi s ả ử . Theo bài ra ta có: S ph c ố ứ .w là m t s o ộ ố ảV y ậd) Gi s ả ửKhi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 80www.thuvienhoclieu .comz 1 2i z 3 4i    z 2iz iz 1 . z 2i  z i 2  z x yi x 0, x,y 33 3 2 2 33 2 2 22 3 2 3z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yix xy x x 3y 1dox 0 .3x y y 12 y 3x y y 12 y                            2 2x 3y 1 2 3 3 23 y 1 y y 12 y 2y y 3 0 y 1 x 4 x 2 dox 0 .              z 2 y  z 5z a 164i a  z a 164i4i 4i a 164i 4i a 164i nz n a 164i n          a 656a 656a 164i 656 a n i4 a n 164n 697          z x yi x 1 y 2 i x 3 4 y i       2 2 2 2x 1 y 2 x 3 y 4 y x 5          222x y 2 i x y 2 y 1 x 2y 3 iz 2iwx 1 y iz ix y 1          222x y 2 y 1 012x72y 3 0, x y 1 0 *23yy x 57              12 23z i7 7 z a bi, a, b  z 1 . z 2i a 1 bi . a 2 b ia a 1 b 2 b 2a b 2 i 2a b 2 1                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta đ c ừ ượ ho c ặV y ậVí d ụ 9. a) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c z có mođunố ứnh nh t.ỏ ấb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là s th c và ố ự đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấc) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c z có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấd) Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , tìm s ph c có mô-đun nh nh t.ố ứ ỏ ấGi iảa) Đ t ặ . Khi đó Các đi m M bi u di n s ph c z th a mãn h th c đã cho n m trên đ ng tròn tâm I(2;-3)ể ể ễ ố ứ ỏ ệ ứ ằ ườvà bán kính Ta có: khi và ch khi M n m trên đ ng tròn và g n O nh t.ỉ ằ ườ ầ ấĐó là đi m ể (B n đ c t v hình).ạ ọ ự ẽTa có: K ẻTheo đ nh lý talet ta có: ịV y ậb) Gi s ả ử . Khi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8122z 2 2 a b 1 2 2     a 1, b 0 1 12a , b5 5 1 21 12z 1, z i5 5  3z 2 3i2  z 1 z 2i zz 3i iz 3 10   z 2 i z 1 4i    z x yi, x, y  2 23 9z 2 3i x 2 y 32 4       3R= .2Min z1M OI= 4 9 13.  1M H Ox.1 11313M H OM78 9 132M H ;3 OI 2613313OH 26 3 132OH .2 1313      26 3 13 78 9 13z= i13 26 z x yi x,y  z 1 z 2i x 1 yi x 2 y i            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Đ ể là s th c thì ố ự hay . Suy ra t p h p cácậ ợđi m M bi u di n s ph c z th a mãn ể ể ễ ố ứ ỏ là s th c là đ ng th ng ố ự ườ ẳ cóph ng trình ươ .Đ ể nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ỏ ấ ả ế ủ lên .T đó tìm đ c ừ ượ nên .c) Áp d ng công th c: ụ ứTa có: . Gi i b t ph ng trình ta có ả ấ ươV y ậ đ t đ c khi ạ ượd) Gi s ả ử . Khi đó: và V y ậ th a mãn đ bài.ỏ ềII. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1 . Tìm s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảCách 1. Gi s ả ửTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 82www.thuvienhoclieu .comz 1 z 2i x 1 2 y xy 0   2x y 2 0  z 1 z 2i 2x y 2 0  zO 0; 04 2M ;5 5   4 2z i5 5 2z.z z ; z w z w   2 222100 z 3i iz 3 2 z 3i iz 3 z 3i iz 3              222 z 3i iz 32 z 3i z 3i iz 3 iz 3 2 z 3i z 3i iz 3 iz 3                  24 z.z 9 4 z 36   z 4min z 4z 3i iz 3z 4, z 4z 4    z a bi, a, b  z 2 i a 2 b 1 i     z 1 4i a 1 b 4 i     2 2 2 22 22 2 2z 2 i z 1 4i a 2 b 1 a 1 b 4 a 2 bz a b 2b 4b 4 2 2 b 1 2                       z 1 i z 2 z z 2 6i   2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 2z 6i5 z x yi (x,y )  z 2 z z 2 6i x yi 2 x yi x yi 2 6i           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ . V y ậ . V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 2. S ố s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ , suy ra .Thay vào ph ng trình đã cho ta có ươV y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 3. Số s ph c z th a mãn ố ứ ỏ .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ . Ta có V y ậ ho c ặ . V y ch n đáp án Cậ ọCâu 4. Bi t ế là hai s ph c th a đi u ki n: ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8325x yi 2 6i x; y ; 65         2z 6i5 21 1z z z 1 z z i2 2    z a bi (a, b )  22 2z a bi, z a b , z z 2bi, z z 2a       2 2a b bi 1 ai   2 21a ba b 121b aa b2    1 1 1 1z i, z i2 2 2 2   2 2z 1 z 1 10i z 3     z a bi a, b  2 2z 1 z 1 10i z 3     2 22 222a 1 2 a 1 bi b a 1 b 10i a bi 32a a 1 2ab 3b 10 i 02a a 1 02ab 3b 10 01a; b 1; 2 a; b ; 52                              z 1 2i 1z 5i2 1 2z ,z22 z 1 z 1 1 i z    1 2z z3 11i10 10  3 11i10 10 3 11i10 103 11i10 10Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Có hai s ph c c n tìm ố ứ ầSuy ra: . V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 5. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có:V i ớ , ta có , th a mãn (1). Suy ra ỏ .V i ớ , ta có , không th a mãn (1).ỏV y ậ .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: ỏ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ , ta đ c: ượThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 84www.thuvienhoclieu .com22 22 22 2 2 22 222 22 z 1 z 1 1 i z 2 a bi 1 a bi 1 1 i a b3a 1 a b3a 1 bi a b i a bb a ba 03ab 3a 1a 010a 3a 0310ab 1 1103a 1 a b b 3a 1b10b 3a 1                                                1 2 3 1z i; z i10 10  1 23 11z z i10 10  1 iz 1 i z1 i z   1 ii 1 ii2 2z x yi, x,y , x y 0    2 2 2 22 2 2 22 22 22 22 21 i 1 iz 1 i z z.z z 1 i z1 i1 i zx y i x y x y x y ix y 0 1x y x y x yx y x yxy 0x y x y 11 x y x yx y x y 1 2                                   x 022 y y 1 y 1   z iy 0 22 x x 1 x 1   z i1 2z ,z2 2z 1 z 1 10i z 3     2 21 2z z .111i4 111 i 111 4i 44 i z a bi a, b  2 2a bi 1 a bi 1 10i a bi 3        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ . Suy ra . Câu 7. Bi t ế là s ph c ố ứ th a mãn: th a mãn ph ng trình ỏ ỏ ươ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐi u ki n ề ệ . G i ọ . Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớV y ậ ho c ặ . Suy ra: V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Tìm mô đun s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ửThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 8522a 1b 22a a 1 02a a 1 2ab 3b 10 i 012ab 3b 10 0a2b 5            1z 1 2i, z 5i2    2 21 2 111z z i4  1 2z ,zz 104 3i1 i z  1 21 1z z 7 23i25 50 7 23i25 507 23i25 507 23i25 50 z 0z a bi a, b  2 22 22z.z 10 1 i 4 3i 1 i z a b 10 10i a 7b 7a b ia b 10 a 7b7a b 10a 2a 2, b 45a 19a 18 09a9 13a , b5b 10 7a5 5b 10 7a                          z 2 4i 9 13z i5 5 1 21 1 7 23iz z 25 50  2 iz z 2i2z2 i 1 2i    122 2 22 iz z 2i2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z2 i 1 2i             2 4i 2 i z 4 3i z 1     z a bi, a, b  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 9 . Tìm s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặTa có Ph ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là: ậ ầ V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 10 . Tìm môđun s ph c z th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặPh ng trình ươ tr thành :ở V y z c n tìm là ậ ầ V y ch n đáp án A.ậ ọ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 86www.thuvienhoclieu .com1 2 4i 2 i a bi 4 3i a bi2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1z 1 i4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1                                       z 1 i z 2   z z 1 i z z 2 3i 4 i.      1 1z i.2 2 1 1z i.2 2  1 1z i.2 2 1 1z i.2 2 z x yi z x yi, x,y     z z 2xz z 2yi  z z 1 i z z 2 3i 4 i      2x 1 i 2yi 2 3i 4 i 2x 2xi 4yi 6y 4 i1x2x 6y 422x 6y 2x 4y i 4 i2x 4y 1 1y2                    1 1z i.2 2 i z zz z4 6i.1 i 2 2i   z 101 z 10z 1z 11z x yi z x yi, x,y     i z zz z4 6i1 i 2 2i   22x 2yi 2x 2y4 6i 4 6i1 i 1 i2 1 i 2 1 i2x 1 i y 1 i 2x y 2x y i4 6i 4 6i21 i 1 i2x y 8 x 12x y 12 y 10                             z 1 10i z 101.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 11 . Tìm S s ph c th a đi u ki n:ố ố ứ ỏ ề ệ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ ta có:K t lu n ế ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 11 . Bi t ế là s ph c th a đi u ki n:ố ứ ỏ ề ệ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ , khi đó (*) tr thành: ởV y ậ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 12 . Tìm s ph c z th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho tr thành:ươ ởV y ậ V yậ ch n đáp án C.ọCâu 13. Bi t ế là các s ph c th a mãn đi u ki n ố ư ỏ ề ệ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 87i z zz z4 6i1 i 2 2i   1234z a bi, a, b  2 22 23 a bi 4 a bi 1 a b 5 7ia 0 a 1a b a 1b 1 b 17b 7                 z i, z 1 i  zz1 i z 5 7i.1 i   1wz1 1w i10 5 1 1w i10 5 1 1w i10 5  1 1w i10 5 z a bi a, b  2 a bi a bi 2 12i    a 2 a 2a 3bi 2 12i3b 12 b 4           1 1z 2 4i w i10 5    z 2z 2 4i  w 1 2i 1 1w i3 5 2z 4i.3 1w 2i14 a) Ñaët z x yi z x - yi , x,y .    23x 2xx yi 2 x yi 2 4i 3x - yi 2- 4i3y 4y 4          2z 4i.3 1 2z ,z2z 2z 0 1 2z z1 21z z2 1 2z z 2  1 2z z 2 2 1 2z z 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ở V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V i ớ thay vào ph ng trình (*) ta đ c: ươ ượ V y ậ Suy ra: . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm s s ph c th a mãn đi u ki n ố ố ứ ỏ ề ệ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ T (2) ừ ho c ặ  V i ớ Suy ra ho c ặ ho c ặ  V i ớ Suy ra V y ph ng trình ậ ươ ho c ặ ho c ặ V y ch n đáp án B. ậ ọCách khác: Ta gi i ph ng trình h qu r i th l i.ả ươ ệ ả ồ ử ạPh ng trình ươ (1) ho c ặ V i ớ V i ớ ph ng trình (1) ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 88www.thuvienhoclieu .comÑaët z x yi z x - yi , x,y .    2 2 2 22 22 2x y 2xyi 2 x yi 0 x y 2x 2xy 2y i 0x y 2x 0 *x y 2x 0y 02y x 1 0x 1                   y 0 2x 0x 2x 0x 2  x 12y 3 y 3.   1 2z 3i, z 2 3i.  1 2z z 2 2z 2z 0 23102 2 2z x yi, x,y R z x y 2xyi.      2 2 2 2 2z 2 z 0 x y 2xyi 2 x y      2 2 2 2x y 2 x y 12xy 0 2  x 0 y 0.22 2 22x 0, y 2y y 2y 2 y y 2 y1y 2y 2y       z 0z 2iz 2i. y 0, 12 2 2x 2 x x 2 x 0 x 0.      z 0.2z 2 z 0 z 0   z 2iz 2i. 2z 2 z 0 22 2z 2 z z 2 z z 2 z      z 0 z 2.z 0 z 0.  z 2,2 2 2 2z 4 0 z 4 z 4i z 2i.        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Th l i: Ta th các giá tr c a z v a tìm đ c vào ph ng trình (1).ử ạ ế ị ủ ừ ượ ươV i ớ ta có ph ng trình (1) đ c nghi m đúng.ươ ượ ệV i ớ ta có và V y ph ng trình ậ ươ đ c nghi m đúng.ượ ệK t lu n: Ph ng trình có 3 nghi m là: ế ậ ươ ệ Câu 14. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thành:ở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ . Suy ra .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 15. Bi t ế là các s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình ươ tr thànhở V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 89z 0, 2z 0 z 2i,22 2z 2i 4i 4   2 z 2 2i 2.2 4.   2z 2 z 0 1 2 3z 0,z 2i,z 2i.  1 2z ,z22z z 1 0  1 21 1z z ii1 i0z x yi, x, y  22z z 1 0  2 2 2 2 222 2x y 2xyi x y 1 0 2y 1 2xyi 0x 0x 0 y 02y 1 011 1yy y2xy 02 22                           1 1z i,z i2 2 1 21 10z z  1 2 3 4z ,z ,z ,z2z ii.z 11 2 3 4z z z z  3232 3z x yi, x, y  22z ii z i iz iz 1    2 222 22 222x y yx yi i x yi x y 2xyi y xi2xy x1yx 0x y y 021 1x 2y 1 0y y 0x 04 21yx 0 x 02y 0 y 13x2                                 3 1 3 1z 0,z i,z i,z i2 2 2 2     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Suy ra . V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 17. Bi t ế là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm s ph c ố ứ có ph n o âmầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ Ph ng trình ươ T ừ o V i ớ Suy ra V y ậ o V i ớ o V i ớ o V i ớ o V i ớ V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 18. Bi t ế là s ph c th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ Tìm s ph c ố ứ có ph n th c d ngầ ự ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 90www.thuvienhoclieu .com1 2 3 4z z z z 3   z2z i z 0 z1z 1 i2 1 1z i2 2 1 1z i2 2 1z 1 i2 z x yi, x,y R  2 2 2 2 2z i z 0 x y 2xyi i x y      2 22 2x y 0 12xy x y 2  1 y x. 2 22xy x, x22 x 0   y 0.z 0.y x :22 2 22 x 02x x 212 2x 2x 2x x 2 x22x x 21x2       x 0 y 0  1 1x y2 2  1 1x y .2 2  z2iz z 1 0.   z22 5 2 5z i.4 4    22 3 2 3z i.2 2    22 10 2 10z i.4 4    22 5 2 5z i.2 2    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ t ặ Ph ng trình ươ o V i ớ Suy ra o V i ớ (vô nghi m)ệV y s ph c z c n tìm là:ậ ố ứ ầ và V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 19. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Ta có : Nh v y ph ng trình đã cho tr thành :ư ậ ươ ở V y ph ng trình có 1 nghi m ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 20. Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 91z x yi, x,y R  2 2 2 2 2iz z 1 0 i(x y 2xyi) x y 1 0         2 2 2 22 22 22 2( 2xy x y 1) x y i 0x y1x y 0x y2xy x y 1 02xy x y 1 0 2                    2 2 2x y : 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0         22 10 2 102 x x 2 1 0 x x4 4        2 10y x .4 2 2 2y x, 2 2x 2x 1 0 2x x 2 1 0        22 x x 2 1 0   12 10 2 10z i4 4    22 10 2 10z i.4 4    2z z z z 1 1 i 2     z 1 i. z 1 i. z 1 i. z 1 i. z x yi, x, y  2z z 2x 2yi x yi x 3yi      z z 1 1 i 2 2x 1 1 i 2 2x 1 2x 1 i           x 2x 1 x 1x 3yi 2x 1 2x 1 i3y 2x 1 y 1             z 1 i. 21 2i z z 4i 20   z 1 i. z 3 i. z 1 2i. z 4 3i. Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Suy ra:V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 21 *. S ố s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảXét là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươXét . Đ t ặ , t gi thi t ta có:ừ ả ếL y (1) tr (2) v theo v ta có ấ ừ ế ếTh (3) vào(1), ta đ c: ế ượ (do )V y ta có hai s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 22. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 92www.thuvienhoclieu .comz a bi, (a, b ) z a bi     21 2i z z 4i 20 2a 4b 4a 4b i 4i 20a 2b 10 a 4. Vaäy z 4 3i.a b 1 b 3                    z 2z.z 1 z 2 6iz  120z 4z 0z 02 2z a bi; a, b ,a b 0    2 22 2 3 2 2 3z 3 z 1 2 z 6 z z.i z.z 3 z 1 2 z .z 6z z z.iz 3 z 1 2 z a bi 6 z .i z . 3 z 1 2a z 6 z 2b z i                   2 222 2 223 2z . 3 z 1 4az . 3 z 1 2a z z . 3 z 1 2a3 z b 06 z 2b z 0 3 z b 0a 0, b 0                    2222 2b b 1 12ab b 1 12a 13 z b 3a 3b b 2a 0, b 0 a 0, b 0             2 2 2 2 49a 4b a b 39  2 216 3 2b b b b a ,3 13 13     a 0, b 0 2 3z i.13 13  2 3z 0,z i.13 13  25z 8 6iz  w iz 3 3 4i5i4iz 1 4i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi s ả ử v i ớ và a, b không đ ng th i b ng 0.ồ ờ ằKhi đó Khi đó ph ng trình ươ. L y (1) chia (2) theo v ta có ấ ế , th vào (1) ta cóếV i ớ (lo i)ạV i ớ . Ta có s ph c ố ứ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 23. Tìm s ph c z bi t ố ứ ế . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo đ cho ta suy ra:ềS ph c c n tìm là ố ứ ầ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 24. Tính mô- đun c a s ph c ủ ố ứ bi t ế (i là đ n v o).ơ ị ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảa) Đ t ặ , ta có . V y mô-đun c a s ph c ậ ủ ố ứ b ng ằ .Câu 25. Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 93z a bi a; b2 21 1 a biz a bi;z a bia b   2 225 a bi25z 8 6i a bi 8 6iza b       2 2 2 22 2 2 2a a b 25 8 a b 1b a b 25 6 a b 2      3b a4a 0 a 4  a 0 b 0  a 4 b 3  z 4 3i z 2 3i z 1 9i   3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi a, b z a bi     a 3b 1 a 2a bi 2 3i a bi 1 9i a 3b 3a 3b i 1 9i3a 3b 9 b 1                      z 2 i z iz i z i 2iz  3 4i1 5iz 2 i z 1 4i z a bi, (a, b )  z i z i 2iz  2 22 222 2 2z.z i z z 1 2iz a b 1 2ai 2b 2aia b 1 2ba b 2b 1 2 a b 1 22a 2a                     22z i a b 1 i a b 1 2        z i21 2i z 2 2i z i   12531513z a bi, (a, b )  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ . V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 26. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảc Đ t ặ . Khi đó:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 27. S ố s ph c ố ứ z th a ỏ và là s th cố ự là: A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t ta có:ả ếV y ậ .V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 28. Tìm ngh ch đ o c a ị ả ủ s ph c zố ứ , bi t ế th a mãn ỏ và là sốthu n o.ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì V i ớ ho c ặ , ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 94www.thuvienhoclieu .com1 2i a bi 2 2i a bi i 3a 4b bi i43a 4b 0a3b 1b 1            2 216 5z a b 19 3    2 z 1 3z i 5 i   22 2 24z a bi, (a, b )  2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi 1 5i a 1 5 1 b i 0a 1z 2b 1                 z 23z62543 3 2 2 3z a bi, (a, b ) z a 3ab 3a b b i       2 222 22 22 32 22 2b 0b 0a b 4a 4a 2a b 2b 0a 1b 3a3a b b 0b 3ab 3a 3a 4             z 2, z 2, z 1 3, z 1 3, z 1 3, z 1 3          zz 2i z 2 4i   z iz i1 5i4 12 3 5i17 17 3 5i17 17 3 5i2 2 z a bi, (a, b )  z 2i z 2 4i a b 4 1      a 0b 1Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì là s thu n o nên ố ầ ảK t h p ế ợ ta có . V y s ph c đó là ậ ố ứ .V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 29. Tìm mo đun s ph cố ứ z th a mãn ỏ và là s th c.ố ựA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . Suy ra .T gi thi t ừ ả ế là s th c nên ta có ố ự .Khi đó V y s ph c c n tìm là ậ ố ứ ầ và . T đây suy ra ừ .V y ch n đáp án ậ ọCâu 30. Tính mô-đun c a s ph c z, bi t ủ ố ứ ế và z có ph n th c d ngầ ự ươ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ửDo . Th vào (2) ta đ c:ế ượGi i ph ng trình (3) ta đ c ả ươ ượ . Do nên .V y ậ . V y ch n đáp án D. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 952222 22 2 a b 1 2a b 1 ia b 1 ia b 1 iz ia b 1 iz ia b 1 a b 1                  z iz i22a b 1a b 1 0a 1 b     13 5a , b2 2 3 5z i2 2 z 22z1 i212 2 2z a bi a, b  2 1 i2z a bi a 1 b 1 i1 i 2        2z1 ib 12z 2 a i 2 a 1 2 a 3.        z 3 i z 3 i z 23z 12i z 2z 7z 3z 533z x yi, x,y . z 12i z x yi 12i x yi         3 23 2 2 32 3x 3xy x 1x 3xy 3x y y 12 i x yi3x y y 12 y 2          2 2x 0 1 x 3y 1    2 3 33 3y 1 y y 12 y 2y y 3 0 3       2y 1 x 4  x 0x 2z 2 i z 5    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 31. Tìm z th a mãn đi u ki n : ỏ ề ệA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ V y ch n đáp án A.ậ ọ Câu 32. Tìm s s ph c z th a mãn:ố ố ứ ỏ .A. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d nướ ẫ gi iảNh n xét:ậ N u làm b ng cách g i ế ằ ọ , thay vào và tính toán v trái, r i đ ng nh t ph n ế ồ ồ ấ ầth c và ph n o c a 2 v s r t dài và d n t i h đ ng c p b c 4 r t c ng k nh. Áp d ng ự ầ ả ủ ế ẽ ấ ẫ ớ ệ ẳ ấ ậ ấ ồ ề ụcách tính căn b c hai b ng máy tính c m tay , ta có cách gi i ng n g n:ậ ằ ầ ả ắ ọĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởL n l t tay ầ ượ v a tìm đ c vào công th c (*), ta tìm đ c:ừ ượ ứ ượ . V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 33. Bi t ế là các s ph c ố ứ th a mãn ỏ và là s thu n o.ố ầ ả Tính .A. 51 B. 30 C. 41 D. 22H ng d n gi iướ ẫ ả Đ t ặDo đó Nh th ư ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 96www.thuvienhoclieu .com4z i1z i   z 0,z 1,z i.  z 0,z 1 z i,z i  z i,z 0 22z i1 (1)z iptz i1 (2)z iz 1 z 11 ii i (loaïi) z iz 1 z 1(1) ; (2)z 1 z 0 z 1 z 11 iz 1 z 1                             z 0,z 1,z i.  4iz 27 24iz 3    z a bi '''iz 2 2 3zz z *z 3z i   'z11 1 19 3 11 5 3z i; i; i;2 i2 2 10 10 4 4 2       1 2 3z ,z ,zz 3i 1 iz  9zz2 2 21 2 3z z z z x yi, x, y  2 22 2z 3i 1 iz x y 3 i 1 y ix x y 3 1 y x              2 2y 3 1 y y 2     z x 2i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đ ể là s thu n o thì ố ầ ảV y có ba s ph c th a mãn yêu c u đ toán là ậ ố ứ ỏ ầ ề và V y ch n đáp án D.ậ ọCâu 34. Tìm s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ và là s thu n o.ố ầ ảA. , B. ,B. , D. , , , H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọV i ớ ho c ặV i ớ ho c ặV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35. Tìm s ph c z ố ứ có ph n o âm, ầ ả bi t ế và s ph c ố ứ có ph n oầ ảb ng 1.ằ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặTa có Vì ; có ph n o b ng 1 nên ầ ả ằThay (2) vào (1) ta đ c: ượV i ớV i ớV y có hai s ph c là ậ ố ứ và .V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 972 2 29 x 2i9 9 9x 18z x 2i x 2i x 2 iz x 2ix 4 x 4 x 4                     9zz22 x 0 x 09xx 0x 5x 5x 4      z 2i, z 5 2i   z 5 2i z 52z iz 2 i z 2 i z 2 i z 1 2i z 2 i z 1 2i z 2 i z 2 i z 1 2i z 1 2i 2 2 22 22 2a b 5 b b 2 0z a bia b 1 0 a b 1                b 1 a 2 z 2 i     z 2 i b 2 a 1 z 1 2i     z 1 2i z 1 1 1 i z 1 z iz 2 i z 1 i z 3 i z x yi x,y z x yi     22z 1 1 x 1 y 1 1     1 i z 1 x y 1 x y 1 i       1 i z 1 x y 1 1 x 1 y 1 2      22 2y 0y 1 y 1 2y 2y 0y 1      y 0 x 2 z 2    y 1 x 1 z 1 i     z 2z 1 i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 36. Có bao nhiêu s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và là s th c.ố ựA. 5 B. 3 C. 4 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọCó w là s th c ố ựT (2) có ừ , thay vào (1) đ c ph ng trình:ượ ươThay vào (*) tìm đ c y t ng ng t đó tìm đ c các s ph c: ượ ươ ứ ừ ượ ố ứ ; ;.Câu 37. Tìm môđun s ph c z bi t ố ứ ế là m t s thu n o và ộ ố ầ ảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảĐ t ặ . Khi đó:u là s thu n o khi và ch khi:ố ầ ả ỉTa có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 98www.thuvienhoclieu .comz 5z 7iz 12 2z x yi z 5 x y 25 1       2 22 2x x 1 y y 7 xy x 1 y 7z 7iw iz 1x 1 y x 1 y          xy x 1 y 7 0 2    7 x 1y *2x 1 4 3 2 22x 2x 25x x 12 0 x 3 x 4 2x 1 02x 3; x 4; x2            z 3 4i z 4 3i 2 7 2z i2 2 z 2 3iuz i z 1 3i z 1 i    365z5265z5215z5235z5z x yi, x,y  222 222 x 2 y 3 i x y 1 ix 2 y 3 iux y 1 ix y 1x y 2x 2y 3 2 2x y 1 ix y 1                       2 22 222x y 2x 2y 3 0x 1 y 1 51x y 1 0x; y 0;1            2 2 2 2z 1 3i z 1 i x 1 y 3 x 1 y 1x 2y 2 0 2               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) và (2) ta có: ừ . V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 39. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ , tìm s ph c z có môđun nh ố ứ ỏnh t.ấA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ả G i ọ ; G i ọ là đi m bi u di n s ph c .ể ể ễ ố ứTa có : Đ ng tròn ườ có tâm I(1;2) . Đ ng th ng ườ ẳ OI có ph ng trình ươS ph c ố ứ z th a mãn đi u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi đi m bi u di n sỏ ề ệ ỏ ấ ỉ ể ể ễ ốph c đó thu c đ ng tròn (ứ ộ ườ C ) và g n g c t a đ ầ ố ọ ộ O nh t, đi m đó ch là m t trong hai giaoấ ể ỉ ộđi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ OI v i (ớ C ), khi đó t a đ c a nó th a mãn h ọ ộ ủ ỏ ệ ho c ặ Ch n ọ nên s ph c ố ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 40. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c aị ỏ ấ ị ớ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử . T gi thi t:ừ ả ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 993 16 265x; y ; z5 5 5       z 1 2i 2  2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            2 4z 1 2 i5 5            z x yi, x,y  M x;yz 1 2i 2  2 2x 1 y 2 4    2 2x 1 2C   :y 4   y 2x2 2y 2xx 1 y 2 4   2x 15 2x 15 2x 15 4y 25  2 4z 1 2 i5 5            z 2 i2z 1 i   zmin maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   min maxz 10 3; z 10 3   z x yi z 2 i2 x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 iz 1 i          2 2 2 2 22x 2 y 1 2 x 1 y 1 x y 3 10              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T p h p đi m bi u di n c a z là đ ng tròn tâm ậ ợ ể ể ễ ủ ườ bán kính . G i M là đi m bi u di n c a z, ta có:ọ ể ể ễ ủV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 41. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ là m t s th c. Tìm giá tr nh nh t c aộ ố ự ị ỏ ấ ủ. A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảGi s ả ử .T gi thi t: ừ ả ếTa có T p h p bi u di n c a z là đ ng th ng ậ ợ ể ễ ủ ườ ẳ . G i M là đi m bi u di n c a z.ọ ể ể ễ ủTìm đ c ượ . Suy ra: . V y ch n đáp án B.ậ ọ CH ĐỦ Ề 6. PH NG TRÌNH S PH CƯƠ Ố ỨBÀI TOÁN 1. PH NG TRÌNH QUY V PH NG TRÌNH B C NH T S PH CƯƠ Ề ƯƠ Ậ Ấ Ố ỨI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩa) b) Gi iảa) Ta có: V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầ b) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 100www.thuvienhoclieu .comI 0; 3R 10I M I O OM IM IO 10 3 OM 10 3        min maxmin maxz OM 10 3; z OM 10 3     z 3 i z 1 3i   zminz 2minz 2 2minz 2min2z2z x yi w z 3 i z 1 3i x 3 y 1 i x 1 y 3 i           2 2x y 4x 4y 6 2 x y 4 i       w x y 4 0    d : x y 4 0  minminz OM OM d  M 2;2 z 2 2i   minz 2 22 i z z 2i 1;   1 i z 2i 2 i.   2 i z z 2i 1 z 2 i 1 1 2i z 1 i 1 2i            221 2i 1 i1 2i 1 2i i 2i 1 3i 1 3z z i.1 i 1 1 2 21 i 1 i1 i                 1 3z i.2 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y s ph c z c n tìm là: ậ ố ứ ầVí d 2.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩa) b) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: Ví d 3.ụ Gi i các ph ng trình sau đây v i n z:ả ươ ớ ẩ Gi iảa) Ta cób) Ta cóVí d 4.ụ Gi i ph ng trình sau:ả ươ Gi iả Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1012 i 1 i2 i1 i z 2i 2 i z 2i z 2i1 i1 i 1 i            222 i 3i 1 3i 1 7z 2i z 2i z i.2 2 21 i          1 7z i.2 2 2i 1 3i 1z ;i 2 i 3   2 3 z 5i 2.2i i 12i 1  2i 1 3i 1 3i 1 2i 1 3i 1 i 2z x : . 1i 2 i 3 i 3 i 2 i 3 2i 1               22i 1 3 4i;  3 2i i.i i 225i 2 2i 1z 5i 2 37 9z ii 1 i 1 2 22i 1        a) 5 4i z 3 2i 4 i ; b) z 2 i 3i z 1 3i .        3 2i 4 i14 5i 50 815 4i z 3 2i 4 i z i5 4i 5 4i 41 41          2z 2 i 3i z 1 3i i.z 2i 3i 9i z 3iz9 i 13 351 4i z 9 i z i1 4i 17 17                    2iz 3 z 5i z 3 6i 0.    2iz 3 02iz 3 z 5i z 3 6i 0 z 5i 0z 3 6i 03 3z z i2i 2z 5i z 5iz 3 6iz 3 6i                         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươVí d 5ụ . a) Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ .b) Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tìm mô-đun c a s ph củ ố ứ. Gi iảa) Đ t ặ . Theo đ ra ta có: ề nên .Khi đó .V y ậ .b) Ta có:.Khi đó: b) Ta có:.T đó ừ . Suy ra .Ví d 6ụ . Cho s ph c z th a mãn h th c ố ứ ỏ ệ ứ . Tính mô-đun c a z.ủGi iảCách 1. Đ t ặ , khi đó . Theo bài ra ta có:Cách 2. Ta có: Suy ra: II. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1 . Gi i ph ng trình ả ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 102www.thuvienhoclieu .com3z i, z 5i, z 3 6i.2   1 i z 2z 2  w z 2 3i  1 i2 i z 5 i1 i    2w 1 z z  z a bi (a, b )  3a b 2 a 1a b 0 b 1       z 1 i w z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i        2 2w 3 4 5  1 i2 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i         2w z z 5 5i w 5 2.     1 i 52 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i1 i 2 i            2w 1 z z 6 5i    w 36 25 61   2 i 1 i z 4 2i    z a bi, (a, b )  z a bi 2 2a 3 4 a 12 i 1 i z 4 2i a 3 1 b i 4 2i1 b 2 b 3z 1 3i z 1 3 10.                         2 i 1 i z 4 2i z 4 2i 2 i 1 i 1 3i            z 1 3i z 10    2 3i z z 1.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 2. Gi i ph ng trình ả ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ậ V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 2. Gi i ph ng trình ả ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 3. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ . V i đi u ki n trên, ph ng trình đã cho tr thành:ớ ề ệ ươ ở V y z c n tìm là: ậ ầ . V y ch n đáp án D.ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1031 3z i.10 10 1 3z i.10 10 1 3z i.10 10 1 3z i.10 10 2 21 3i1 1 32 3i z z 1 2 3i 1 z 1 1 3i z 1 z i.1 3i 10 101 3               2 i z 4 0  1 3z i.5 5 8 4z i.5 5 5 3z i.10 10 1 3z i.13 13 2 24 2 i4 8 42 i z 4 0 z i.2 i 5 52 1       8 4z i.5 5 2 i 1 3iz .1 i 2 i    1 3z i.5 5 8 4z i.5 5 22 4z i.25 25  1 3z i.13 13 2 i 1 3i 1 3 1 7 1 7 1 3 22 4z i z i z i : i z i .1 i 2 i 2 2 5 5 5 5 2 2 25 25                              2z 11 iz i 1 3z i.5 5 1 4z i.5 5 1 1z i.2 2 1 1z i2 2 z i222z 11 i 2z 1 1 i z i 2z 1 1 i z i iz ii 1 ii i i 1 12 1 i z i 1 1 1 i z i z z i .1 i 1 i 2 21 i 1 i                             1 1z i2 2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Câu 4. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ V i đi u ki n trên, ph ng trình đã cho tr thành:ớ ề ệ ươ ở V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 5. Tìm nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Gi i (1): ảGi i (2):ả V y ph ng trình có 2 nghi m là ậ ươ ệ và . V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 6. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ Ta có: . Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 104www.thuvienhoclieu .comi 1 1.z 2 i 3 6i   1 3z i.7 7 2 4z i.3 3 3 21z i.10 10 3 5z i2 2 z 0i 1 1 i 1 1 i 2 i 1 2iz 2 i 3 6i z 2 i z 4 13 1 2i 3 1 2i 1 2i3 2 ii 2 i 1 2i i 1 2i i 7 iz 5 z 15 15 z 153 1 415i 7 i15i 15 105i 3 21z z i.7 i 49 1 10 107 i 7 i                                11 2i z 2 i iz 0i         z 1,z i z 1,z i z i,z i   z i,z 1  1iz 0 (1)1i1 2i z 2 i iz 0i1 2i z 2 i 0 (2)              2(1) i z 1 0 z 1 0 z 1         2 i 1 2i2 i 2 2 i 4i(2) z z z i z i1 2i 1 41 2i 1 2i                 z iz i37 i 3 i2z 12i 1  z 1z iz iz 21z .232i 1 11 2i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 7. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 8. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Nên . . V y ậ .V y ch n đáp án A.ậ ọCâu 9. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ . Tính mô-đun c a z.ủ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1053337 i 3 i7 i 2z 1 2i 1 3 i2z 12i 12i 1 3 i 11 2i 3 i2z 1 5 z 2.7 i 7 i                 22 i z 2z 1.10 5i3 i   z 2iz i 1 z iz 2 i 222 22 22 i z 2z 12 i z 10 5i 2z 1 3 i10 5i3 i2 i 10 5i 10 5i z 2 3 i z 3 i10 5i 2 3 i z 3 i 2 i 10 5i26 7i z 7 26i z i.                                 z 5i2i 3z 2 i  z 2i4 2 2 2 23 2z 5i 4 12i2i 3 z 5i 3 2i z 2 i z 4 2iz 2 i 2 2i               z 2i 4 4i  z 2i 4 2 1 3i1 2i z 2 i1 i   32 2 23 21 3i 1 71 2i z 2 i z i z 21 i 5 5        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com BÀI TOÁN 2. CĂN B C HAI S PH C, PH NG TRÌNH B C HAI VÀ PH NG Ậ Ố Ứ ƯƠ Ậ ƯƠTRÌNH QUY V PH NG TRÌNH B C HAIỀ ƯƠ ẬPh ng phápươ1. Ta nh c l i căn b c hai c a s ph cắ ạ ậ ủ ố ứĐ nh nghĩa: ị Cho s ph c w. M i s ph c z th a mãn ố ứ ỗ ố ứ ỏ đ c g i là m t căn b c haiượ ọ ộ ậc a w.ủ M i căn b c hai c a w là m t nghi m c a ph ng trình ỗ ậ ủ ộ ệ ủ ươ a) Tr ng h p w là s th cườ ợ ố ự Căn b c hai c a 0 là 0.ậ ủ Xét s th c ố ự Khi , ta có Ph ng trình ươ ho c ặ V y s th c a d ng có hai căc b c hai là ậ ố ự ươ ậ và Khi , ta có Ph ng trình ươ ho c ặ V y s th c a âm có hai căn b c hai là ậ ố ự ậ và Ví d : ụ -1 có hai căn b c hai là i và –i.ậ có hai căn b c hai là ai và –ai.ậb) Tr ng h p ườ ợ Đ t ặ ,z là căn b c hai c a wậ ủ Gi i h ph ng trình này, ta luôn tính đ c hai nghi m ả ệ ươ ượ ệ M i nghi m (x;y) c a h ph ng trình trên cho ta m t căn b c hai ỗ ệ ủ ệ ươ ộ ậ c a s ph củ ố ứ Kĩ thu t MTCT tìm căn b c hai c a s ph cậ ậ ủ ố ứGi s ta c n tìm căn b c hai s ph c ả ử ầ ậ ố ứ  B c 1: Nh p vào màn hình ướ ậ và n phím ấ {l u l i s ph cư ạ ố ứ } B c 2: Nh p vào màn hình ướ ậ r i n phím ồ ấ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 106www.thuvienhoclieu .com2z w2z w 0. w a 0 a 02z a z a z a .   2z a 0 z a   z a.aa.a 02 2 2z a z ai z ai z ai .        2z a 0 z ai    z ai. aiai. 21 i  2 2 2a a .i  2aw a bi a, b R, b 0 z x yi x,y R22 2 2z w x yi a bi x y 2xyi a bi          2 2x y a.2xy b x; y .z x yi w a bi. z a bi, a, b  a bia biarg AnsAns2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  B c 3: n phím ướ Ấ n u màn hình không hi n th đ y đ . Lúc này máy s hi nế ể ị ầ ủ ẽ ểth s ph c d ng ị ố ứ ạ  B c 4: K t lu n căn b c hai c n tìm là ướ ế ậ ậ ầVí d :ụ Tìm căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứ H ng d n th c hànhướ ẫ ự B c 1:ướ Nh p vào màn hình ậ và nấphím  B c 2:ướ Nh p vào màn hìnhậ r i n phím ồ ấ ta đ c k tượ ếqu là ả  B c 3:ướ B qua vì màn hình đã hi n th ỏ ể ị B c 4:ướ K t lu n căn b c hai c n tìm làế ậ ậ ầ2. Ph ng trình b c haiươ ậXét ph ng trình: ươ (A,B,C là s ph c ố ứ ) (1)Ta có  N u ế có 2 căn b c hai là ậ và , ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t là:ươ ệ ệ và  N u ế ph ng trình (1) có nghi m kép ươ ệ Chú ý: Ta ch ng minh đ c v i m i ph ng trình b c hai h s th c, n u ứ ượ ớ ọ ươ ậ ệ ố ự ế và là m t nghi m thì ộ ệ cũng là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươđó. Do tính ch t c a phép nhân s ph c, đ nh lí Vi-et v n đúng cho ph ng trình b c haiấ ủ ố ứ ị ẫ ươ ậv i n ớ ẩ Do đó các cách tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai v n áp ẩ ệ ủ ươ ậ ẫd ng đ c.ụ ượCh ng h n: ẳ ạ ; KĨ THU T GI I PH NG TRÌNH B C HAI H S PH CẬ Ả ƯƠ Ậ Ệ Ố ỨThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 107S D i  i   z 5 12i 5 12i arg AnsAns22 3i2 3i2 3i 2Az Bz C 0  A 02B 4AC.  0,  1Bz2A  2 Bz .2A  0, 1 2 Bz z .2A z x yi x,y Ry 0 z x yi z C.CA B C 0 z 1,zA     CA B C 0 z 1,z .A     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com  B c 1: Ghi vào màn hình ướ  B c 2: n CALC và khai báo các h sướ Ấ ệ ốVí d :ụ Gi i ph ng trình ả ươDùng MTCT V y hai nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ I. M T S VÍ S RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1ụ . Tìm căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứGi iảa) G i z là căn b c hai c a ọ ậ ủ , ta có: ho c ặ Vây -9 có hai căn b c hai là 3i và -3i.ậb) G i ọ là căn b c hai c a 3+4i, ta có:ậ ủ T (2) ừ và thay vào (1) ta đ c:ượ V i ớ V y ậ có hai căn b c hai là ậ và Dùng MTCTThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 108www.thuvienhoclieu .com2 arg DB E B ED B 4AC : E D : X : Y2 2A 2A         2z 2 1 2i z 7 4i 0;     z 1 2i,z 3 2i    1a) 9; b)3 4i ; c)1 3i; d) .4i  92 2 2z 9 z 9i z 3i    z 3i.z x yi, x,y R  22 2 22 22 2z 3 4i x yi 3 4i x y 2xyi 3 4ix y 3 1x y 32xy 4xy 2 2               x 0 2yx22 4 222x 1 loaïi41 x 3 x 3x 4 0xx 4       2x 2 y 1x 4x 2 y 1     3 4i2 i2 i . Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ có hai căn b c hai là ậ và c) G i ọ , là căn b c hai c a ậ ủLúc đó: T (2) ừ và thay vào ph ng trình (1) ta đ cươ ượ V i ớ V i ớ V y có hai căn b c hai c a ậ ậ ủ là và Dùng MTCTV y có hai căn b c hai c a ậ ậ ủ là và d) G i ọ là căn b c hai c a ậ ủ Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1093 4i2 i2 i . z x yi x, y R1 3i2 222 2x y 1 1x yi 1 3i x y 2xyi 1 3i2xy 3 2         x 0 3y2x22 4 222 1x loaïi3 321 x 1 4x 4x 3 0 x .234xx2         3 3 2x y2x 22   3 3 2x y .2x 22   1 3i6 2z i2 2 6 2i.2 2 1 3i6 2z i2 2 6 2i.2 2 z x yi, x,y R  14i222 2 22 224422 1 i iz x yi x y 2xyi4i 4i 4111yyx y 0y8x8x8x1112xyx 0x64x 1 046464x11 2 1 21xx xy4 48x2 22 2 2 2 hoaëc112 2xyy y .88x4 4                                           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ có hai căn b c hai là ậ và Dùng MTCTV y ậ có hai căn b c hai là ậ và Nh n xét: ậ M i s ph c đ u có hai căn b c hai đ i nhauọ ố ứ ề ậ ố . Ví d 2ụ . a) Tìm s ph c ố ứ th a mãn: ỏb) Tìm s ph c ố ứ th a mãn: ỏGi iảa) Đ t ặ , ta có: T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V iớ V i ớ V y có hai s ph c z th a mãn ậ ố ứ ỏ là b) Ta có và Suy ra: Theo k t qu trên ta có ế ả ho c ặ Đ t ặ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 110www.thuvienhoclieu .com14i2 2z i4 4  2 2z i .4 4     14i2 2z i4 4 2 2z i .4 4     z2z 164 48 5i w4w 164 48 5i z x yi, x,y R  222 22 2z 164 48 5i x yi 164 48 5ix y 2xyi 164 48 5ix y 164 1xy 24 5 2          x 0 24 5yx222 4 22x 18024 51 x 164 x 164x 2880 0 x 4xx 16             x 4 y 6 5.   x 4 y 6 5.   2z 164 48 5i z 4 6 5i, z 4 6 5i.   2z 164 48 5i 4w 164 48 5i 4 2 2 2 2w z w z w z 0 w z.      2z 4 6 5i w 4 6 5i    2w 4 6 5i. w x yi, x, y R .  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  Tr ng h p 1: V i ườ ợ ớ ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ V i ớ V y ậ  Tr ng h p 2: V i ườ ợ ớ ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ V i ớ V y ậ K t lu n: Có 4 s ph c w th a mãn ế ậ ố ứ ỏ là:, Ví d 3.ụ a) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏb) Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1112w 4 6 5i 2x yi 4 6 5i  2 22 2 x y 4 1x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2      x 0 3 5yx222 4 22x 53 5x 4 x 4x 45 0 x 3xx 9             3 5ix 3 y 5x   3 5ix 3 y 5.x   w 3 5i . 2w 4 6 5i, 2x yi 4 6 5i  2 22 2 x y 4 1x y 2xyi 4 6 5i2xy 6 5 2      x 0 3 5yx222 4 22x 93 5x 4 x 4x 45 0 x 5xx 5              3 5x 5 y 3x   3 5x 5 y 3.x   w 5 3i . 4w 164 48 5i w 3 5i w 5 3i . 4z 1;4z 11.z i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảa) Ta có:  V i ớ ta đ t ặ ta có: T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ o V i ớ o V i ớ V y ậ K t lu n: ế ậ b) Theo k t qu câu a ta có:ế ả Xét 4 tr ng h p:ườ ợ Tr ng h p 1:ườ ợThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 112www.thuvienhoclieu .com4 4 2 2 2 2z 1 z i z i z i 0 z i.        2z i,z x yi, x,y R  2 222 2 x y 0 1x yi i x y 2xyi i2xy 1 2       x 0 1y2x2 4 221 1 1 1x x x x .4 224x       1 1 1x y .2x2 2   1 1 1x y .2x2 2   1 1z i .2 2    4 1 1z i2 2z 11 1z i .2 2         4 z 1 1 iz iz 12 21 .z iz 1 1 iz i2 2            Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  Tr ng h p 2:ườ ợ  Tr ng h p 3:ườ ợ  Tr ng h p 4:ườ ợThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 11322z 1 1 i2z 2 1 i z i 2z 2 z i iz 1z i2 22 1 i 2 1 i2 1 i2 1 i z 2 1 i z2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 1 2 2 1 i 2 2 2 2 2 1 i 1 2 2 1 iz4 2 2 2 22 1 11 2 2 1 i1 iz z .2 22 2 1                                                22 222z 1 1 i( ) 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 2 1 i2 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 1                                      2 2 2 2 2 1 i 2 1 2 1 i 2 1 2 1 iz4 2 2 2 22 2 11 iz .2 2              22z 1 1 1i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 12 2i 1 i 1 iz z .4 2 2 2 2 2 2 2 2                                                   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com K t lu n: ế ậ ho c ặ ho c ặ ho c ặ .Ví d 4.ụ Gi i các ph ng trình b c hai sau đây:ả ươ ậa) b) c) d) Gi iảa) Ph ng trình: ươ có các h s ệ ố nên ph ng trình có hai ươnghi m là ệ b) Ph ng trình ươ (chú ý là ) c) Ph ng trình ươ d) Ph ng trình ươ có: Ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ MTCTThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 114www.thuvienhoclieu .com 22z 1 1 1i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i iz i2 22z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 12 1 iz2 1 i2 1 i 2 1 i2 1 12 2i 1 i 1 iz z .4 2 2 2 2 2 2 2 2                                                    4z 1 1 i1 zz i2 2      1 iz2 2  1 iz2 2 2 2  1 iz2 2 2 2  2z 4z 5 0;  2z 8z 16 2i 0;   22z 1 9 0;  2 25z 3z 0.4  2z 4z 5 0  A B C 1 4 5 0     1 2z 1,z 5. 22z 8z 16 2i 0 z 4 2i      2 2z 4 1 i   221 i 1 i 2i 1 1 2i 2i       z 4 1 i z 5 iz 4 1 i z 3 i            2 2 2 22z 1 9 0 2z 1 9 2z 1 3i        1 3z i2z i 3i2 22z i 3i 1 3z i2 2     2 25z 3z 04  22 253 4. 0 16 4i .4      3 4iz .2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 5.ụ Gi i các ph ng trình b c hai h s ph c sau đây:ả ươ ậ ệ ố ứa) b) c) ; d) Gi iảa) Ph ng trình ươ có: Đ t ặ Ta có T (2) ừ và thay vào (1) ta đ cượ V i ớ ; V i ớ V y ậ Ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ L i bình:ờ Vi c tìm căn b c hai c a s ph c ệ ậ ủ ố ứ ta dùng MTCT cho nhanhb) Ph ng trình ươ có: Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ c) Ph ng trình ươ có: Đ t ặ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1152z 7z 11 3i 0;   2z 2 1 2i z 7 4i 0;     2z 2 2 i z 6 8i 0      2z 2 i z i 1 0.     2z 7z 11 3i 0   49 44 12i 5 12i     2x yi , x,y R .   2 22x y 5 1x yi 5 12i2xy 12 2    x 0 6yx22 4 222x 4 x 3361 x 5 x 5x 36 0x 3xx 9         x 3 y 2  x 3 y 2.  23 2i .  1 2 7 3 2i 7 2 2iz 5 i, z 2 i.2 2        5 12i2z 2 1 2i z 7 4i 0     2' 1 2i 7 4i 1 4 4i 7 4i 4.          1 2z 1 2i 2 1 2i, z 1 2i 2 3 2i.         2z 2 2 i z 6 8i 0     2' 2 i 6 8i 4 1 4i 6 8i 3 4i.           2 22 x y 3, 13 4i x yi , x,y R2xy 4, 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (2) ừ và thay vào (1) ta đ c:ượ V i ớ ; V i ớ V y ậ Ph ng trình có nhi m là: ươ ệ d) Ph ng trình ươ có các h s th a mãn ệ ố ỏSuy ra ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ Ví d 6ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c ả ươ ậ ố ứ :b) Gi iảa) Đi u ki n ề ệ Ph ng trình cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ hay Cách 1: Ph ng trình này có bi t s ươ ệ ố ho c ặCách 2: G i ọ là căn b c hai c a ậ ủ , khi đó haysuy ra ho c ặb) Ta có:Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ và Ví d ụ 7 . Gi i ả các ph ng trìnhươ sau :Gi iảa) Ph ng trình đã cho tr thànhươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 116www.thuvienhoclieu .comx 0 2yx22 4 222x 441 x 3 x 3x 4 0 x 1.xx 1         x 1 y 2  x 1 y 2.  2' 3 4i 1 2i .    1 2z 2 i 1 2i 3 i,z 2 i 1 2i 1 3i.           2z 2 i z i 1 0     a b c 1 2 i i 1 0.       1 2z 1,z 1 i.  4z 3 7ia) z 2i.z i  2z 1 i z 6 3i 0    z i4z 3 7i z i z 2i    2z 4 3i z 1 7i 0 *    223 4i i 4i 4 i 2         * z 1 2i  z 3 i x yi x, y   2x yi 3 4i  2 2x y 2xyi 3 4i     2 2x y 3x,y 2;1 , 2;12xy 4   * z 1 2i  z 3 i 2 21 i 4 6 3i 24 10i 1 5i        z 1 2i z 3i.2 22 2 2 2 2a) z z 4 z z 12 0; b) z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0.           2Ñaët t z z.  222t 6 z z 6 0t 4t 12 0t 2z z 2 0         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớV i ớV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươb) Cách 1. Ta có:V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươCách 2. Đ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở .Ta có: Ph ng trình (*) có hai nghi m: ươ ệ V i ớV i ớVí d 8.ụ a) Hãy gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c ả ươ ậ ợ ố ứ . b) Gi i ph ng trình: ả ươGi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 11721 23z i2 2z z 6 01 23z i2 2     2z 1z z 2 0z 2   1 23 1 23z i, z i, z 1, z 2.2 2 2 2     22 2 222 2 2 2222 22 22 222z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0z 3z 6 2z z 3z 6 z 4z 0z 3z 6 z 2z 0 z 4z 6 2z 0z 4z 6 2z z 4z 6 2z 0z 2z 6 0 z 1 5iz 3 3z 6z 6 0                                          z 1 5i, z 3 3.    2t z 3z 6  2 2t 2zt 3z 0 *  2 22 2' 2z 3z 4z 2z    t z 2z, t z 2z.   2 2z 1 5it z 2z z 3z 6 z 2z z 2z 6 0z 1 5i             2 2z 3 3t z 2z z 3z 6 z 2z z 6z 6 0 .z 3 3             2 22z i z i 5z 5 0    2z z z 3 z 2 10, z    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) Vi t l i ph ng trình v d ng: ế ạ ươ ề ạKhai tri n, rút g n, nhân t hóa ể ọ ửGi i các ph ng trình, thu đ c ả ươ ượ và r i k t lu n.ồ ế ậĐ t ặ . Khi đó ph ng trình tr thành: ươ ởV y ph ng trình có các nghi m: ậ ươ ệV y ph ng trình đã cho có hai nghi m ậ ươ ệ ho c ặVí d 9.ụ a) G i ọ là hai nghi m c a c a ph ng trình b c hai h s ph cệ ủ ủ ươ ậ ệ ố ứ Ch ng minh r ng: ứ ằ và Áp d ng 1:ụ Bi t ph ng trình b c hai ế ươ ậ có hai nghi m là ệTính B vá C.b) Cho hai s ph c có t ng ố ứ ổ và tích Ch ng minh r ng ứ ằ và là hai nghi m c a ph ng trình b c hai ệ ủ ươ ậ Áp d ng 2:ụ Tìm hai s ph c có t ng b ng 4 và tích b ng ố ứ ổ ằ ằ Gi iảa) Ph ng trình ươ có G i ọ là m t căn b c hai c a ộ ậ ủ Ph ng ươtrình có hai nghi m là: ệ Ta có : và Áp d ng 1: ụ có hai nghi m là ệ Áp d ng k t qu trên ta có:ụ ế ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 118www.thuvienhoclieu .com22 2z 1 5z 5 0   2 2z 1 z 4 0  z iz 22 2b) PT z z 2 z 1 z 3 10 z 2z z 2z 3 10         2t z 2z 2t 3t 10 0  z 1 it 2t 5z 1 6   z 1 6; z 1 i    z 1 2i z 3 i 1 2z ,z2Az Bz C 0, A 0 .   1 2 Bz zA 1 2 Cz .z .A21 i z Bz C 0    1 2z 2,z 1 2i.  1 2z z S 1 2z .z P.1z2z2z Sz P 0.  4 2i.2Az Bz C 0  2B 4AC.  .1 2 B Bz ,z .2A 2A      1 2 B B Bz z2A 2A A        2 2221 22 2B B 4ACBB B Cz .z . .2A 2A A4A 4A                    21 i z Bz C 0    1 2z 2,z 1 2i.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ T (1) ừ T (2) ừ V y ậ và b) Hi n nhiên ể là hai nghi m c a ph ng trình b c haiệ ủ ươ ậ Áp d ng 2: G i hai s ph c ph i tìm là ụ ọ ố ứ ả và Theo gi thi t ta cóả ế và Do đó và là hai nghi m c a ph ng trình b c hai ệ ủ ươ ậ hay Ph ng trình trên t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ V y ph ng trình ậ ươcó hai nghi m là ệ Ví d 10.ụ Cho ph ng trình b c hai h s th c ươ ậ ệ ố ự (1), v i ớ a) Ch ng minh r ng n u ph ng trình (1) có m t nghi m th c ứ ằ ế ươ ộ ệ ự thì nghi m còn l i ệ ạ cũng là s th c.ố ựb) Ch ng minh r ng n u ph ng trình (1) có m t nghi m th c ứ ằ ế ươ ộ ệ ự không là s th c thì ố ự cũng là m t nghi m.ộ ệÁp d ng:ụ Tìm ph ng trình b c hai h s th c bi t ph ng trình có 1 nghi m là ươ ậ ệ ố ự ế ươ ệ .Gi iảa) Ta bi t r ng ph ng trình b c hai ế ằ ươ ậ (1) có hai nghi m là ệ và Theo công th c Vi-et ta có ứ Vì nên và ta cũng có V y ậ b) Ta có là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1191 21 2 B Bz z 2 1 2i 1A 1 iC Cz .z 2. 1 2i 2A 1 i              2B 1 i 3 2i 3 2i 2i 3i 5 i          2C 1 i 2 4i 2 4i 2i 4i 6 2i.         B 5 i C 6 2i. 1 2z ,z2 21 2 1 2 1 2z z z z 0 z z z z z .z 0 z Sz P 0.            1z2z .1 2S z z 4  1 2P z .z 4 2i.  1z2z2z Bz P 0  2z 4z 4 2i 0.   2z 2 2i 2 2z 2 1 i z 2 1 i z 2 1 i 3 i,z 2 1 i 1 i.                  1 2z 3 i,z 1 i.   2Az Bz C 0  A 0.1z2z0z0z2 i2Az Bz C 0  1z2z .1 2 Bz zA A,B  BA1z .2z .0z2Az Bz C 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com ( Vì liên hi p c a s th c là chính s th c đó suy raệ ủ ố ự ố ựV y ậ cũng là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .Áp d ng: Theo ch ng minh trên, ph ng trình b c hai h s th c có 1 nghi m là ụ ứ ươ ậ ệ ố ự ệ thì nghi m kia là ệ Ta có và V y ậ là hai nghi m c a ph ng trình bâc hai: ệ ủ ươ hay Ví d ụ 11 . Bi t ế là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Hãy tính : Gi iảTheo đ nh lý Vi-et ta có: ị Do đó:Ví d 12ụ . G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ ; M, N l n l t là cácầ ượđi m bi u di n ể ể ễ trên m t ph ng ph c. Tính đ dài đo n th ng MN.ặ ẳ ứ ộ ạ ẳGi iảPh ng trình đã cho có ươ nên có hai nghi m ệ .T đó ừ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 120www.thuvienhoclieu .com2 20 0 0 0Az Bz C 0 Az Bz C 0      20 0A z Bz C 0  0z2Az Bz C 0  1z 2 i 2z 2 i. 1 2S z z 2 i 2 i 4       2 21 2P z .z 2 i 2 i 2 i 4 1 5.         1 2z ,z2z Sz P 0  2z 4z 5 0.  1 2z ,z22z 3iz 3i 1 0   2 2 3 3 4 41 21 2 1 2 1 22 1z za)z z ; b)z z ; c)z z ; d) .z z   1 21 2 3z z i21 3iz .z2 22 21 2 1 2 1 233 31 2 1 2 1 2 1 222 2 224 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 21 2 1 21 2 1 22 1 1 2 1 2 6 3a) z z z z 2z z 1 i23 3 7 3b) z z z z 2z z z z i2 8c) z z z z z z 2z z z z 2z z 2z z31 15i16 2z z 2z zz z z z43 9d) i.z z z z z z 20 20                               1 2z , z2z 4z 9 0  1 2z , z2' 4 9 5 5i    1;2z 2 i 5 M 2; 5 , N 2; 5 MN 2 5  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đáp s : ố .Ví d 13.ụ a) Gi i ph ng trình: ả ươ b) Tìm s ph c B đ ph ng trình b c ố ứ ể ươ ậ có t ng bình ph ng hai nghi m ổ ươ ệb ng 8. ằGi iảa) Ta cóGi i (1): Ta có ả Gi i (2): ảV y nghi m c a ph ng trình là ậ ệ ủ ươ .Ví d 14ụ . a) Tìm đ ph ng trình ể ươ nh n s ph c ậ ố ứ làm nghi m.ệ b) Tìm t t c các s th c a, b sao cho s ph c ấ ả ố ự ố ứ là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ.Gi iảa) Theo đ , ta có: ềb) Tính .Suy ra T đó, có h ừ ệVí d 15.ụ Tính mô-đun c a s ph c ủ ố ứ , bi t s ph c ế ố ứ lànghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .Gi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 121MN 2 52 2z i z 2iz 1 0   2z Bz 3i 0  22 22z i 0 1z i z 2iz 1 0z 2iz 1 0 2       122 2 2z i2 2z i2 2z i2 2   22z 2iz 1 0 z i 0 z i       1 22 2 2 2z i, z i, z i2 2 2 2    a, b2z az b 0  z 1 i z 2 3i 2z az b 0  221 i a 1 i b 0 1 2i i a ai b 0           a 2 0 a 2a 2 i a b 0a b 0 b 2             2z 1 6i, az 2a 3a i   2z az b 2a b 1 3a 6 i       2a b 1 0 a 23a 6 0 b 3        w b ci b,c  871 i 1 2i1 i  2z bz c 0  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có: Vì là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên:Ta có Ví d 16ụ . Cho ph ng trình ươ , v i a là tham s . Tìm ớ ố để(1) có hai nghi m ệ th a mãn ỏ là s o, trong đó ố ả là s ph c có ph n o d ng.ố ứ ầ ả ươGi iảT gi thi t suy ra ừ ả ế không ph i là s th c. Do đó ả ố ự , haySuy ra Ta có là s o ố ả là s oố ảĐ i chi u v i đi u ki n (*) ta có giá tr c a a là ố ế ớ ề ệ ị ủ .Ví d 17.ụ a) Tìm đ ph ng trình ể ươ có hai nghi m phân ệbi t ệ th a mãn ỏ . b) G i ọ là hai nghi m ph c phân bi t c a ph ng trình ệ ứ ệ ủ ươ Tìm s ph c m sao cho ố ứ . c) Tr ê n t p s ph cậ ố ứ , tìm m đ ph ng trình b c ể ươ ậ hai: có t ng bình ph ng ổ ươhai nghi m b ng ệ ằ . Gi iảa) là nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ nên n u g i ế ọv i ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 122www.thuvienhoclieu .com4032i 1 2i 2 1 2i 1 iz 3 i2i2i 1 i        0z2z bz c 0  28 3b c 0 b 63 i b 3 i c 0 w 6 10i6 b 0 c 10                   2 2w 10 6 2 34  28z 4 a 1 z 4a 1 0 1     a1 2z , z12zz2z1 2z , z' 0 22 24 a 1 8 4a 1 0 4 a 6a 1 0 a 6a 1 0 *           2 21 2 1a 1 a 6a 1 i a 1 a 6a 1 iz , z z4 4           12zz21z22 2a 0a 1 a 6a 1 0 a 2a 0a 2          a 0, a 2 m2 24z 4 m 1 z m 3m 0    1 2z ,z1 2z z 10 1 2z ,z2z m 4i z 1 7i 0     1 22 1z z3 iz z 2 2z mz i 0  4i1 2z ,z2 24z 4 m 1 z m 3m 0    1 2z a bi z a bi    a,bChuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi thi t cho: ả ế M t khác theo Viet ta có :ặ ho c ặb) Xét ph ng trình ươ . Ta có Ph ng trình ươ có hai nghi m phân bi t ệ ệTheo đ nh lý Vi-ét, ta có ịM t khác ặc) Gi s ả ử là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ đã cho và v i ớ .Theo bài toán ta có : Suy ra d n t i h :ẫ ớ ệ ho c ặII. CÂU H I VÀ BÀI T P RÈN LUY N KĨ NĂNGỎ Ậ ỆCâu 1. Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ph ng trình đã cho có hai nghi m là: ươ ệV y ch n đáp án A.ậ ọCâu 2 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: . Ph ng trình đã cho có hai nghi m là:ươ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1232 21 2 1 2z z 10 z z 10    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10a b a b 2 a b 10 4 a b a b4           2 221 2m 3m m 3m 10z .z hay m 3m m 24 4 4      m 52z m 4i z 1 7i 0 1     2m 4i 4 7i 1    120 m 4i 4 7i 1 0       1 2 1 2z z m 4i;z .z 1 7i    2 21 2 1 22 1 1 2z z z z3 i 3 iz z 2 z .z 2     1 2z ,zm a bi a, b2 21 2z z 4i 2m 2i 2 2a b 0m 1 i2ab 2   m 1 i 2z 2z 5 0  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  1 2 z 1 2i; z -1 2i.   1 2 z -1 2i; z -1 2i.   2' 4 4i .  1 2 z -1 2i; z -1- 2i.  2z 1 3i z 2 1 i 0    1 2 z 2i; z -1- i. 1 2 z 2i; z -1 i.  1 2 z 1 2i; z -1 2i.   1 2 z -1 2i; z i.  22i 1 i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án B.ậ ọCâu 3 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là: ậ ươ ệ Câu 4 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B.C. D.H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: . Ta tìm căn b c hai ậ c a ủ Ta có: T đó, ph ng trình có hai nghi m ph c là: ừ ươ ệ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 124www.thuvienhoclieu .com1 2 1 3i 1 i 1 3i 1 iz 2i; z 1 i.2 2           2z 2 2 i z 7 4i 0    1 2 z 1 2i; z -1- i.  1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2 z 1 2i; z -1 3i.   1 2z 2 i, z 2 3i.   22' 2 i 7 4i 4 4i      1 2z 2 i, z 2 3i.   22iz 3z 4 i 0   11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2                11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2                11 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               ' 9 8i 4 i 17 32i     x yi22 222256x 17x y 17xx yi 17 32i162xy 32yx        2 17 1313x217 1313x217 1313x162yx16yx     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 5 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Suy raV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 6 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có là m t căn b c hai c a ộ ậ ủ V y ph ng trình đã cho có hai nghi mậ ươ ệCâu 7 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 8 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12511 1 1313 17 1 1313 17z 3 i;4 2 4 21 1313 17 1 1313 17z 3 i4 2 4 2               29z 12iz 11 9i 0    1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 21 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   1 2 1 1 2 z 2i; z i.3 3 3   2 2'6i 9 11 8i 135 72i 3 12i       1 26i 3 12i6i 3 12i 1 1 2z 2i;z i9 3 9 3 3       2z 2i 1 z 1 5i 0    1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2z i 1; z 2 3i   1 2 z 1 i; z -1 3i.   1 2z 2 i, z 2 3i.   2 2'2i 1 4 1 5i 7 24i 3 4i 3 4i            1 2z i 1; z 2 3i   2iz 2 1 i z 4 0   1 2 z 1 2i; z -1 i.   1 2z 2; z 2i. 1 2 z 1 i; z -1 i.   1 2z 2 4i, z 2 4i.   2 2' 1 i 4i 1 i     1 2z 2; z 2i. 2z 5 i z 8 i 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 9 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 10 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ : .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ph ng trình đã cho có hai nghi m: ậ ươ ệ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 10 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trìnhươ : .A. B. C. D. ,H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớTa có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 126www.thuvienhoclieu .com1 2 z 1 3i; z -1 4i.   1 2z 2 2i; z 2 2i.   1 2 z 1 5i; z -2 5i.   1 2z 2 i; z 3 2i.   2 25 i 4 8 i 8 6i 1 3i        1 2z 2 i; z 3 2i.   22z 2 5 2i z 28 4i 0     1 2 z 1 7i; z -1 5i.   1 2z 2 2i; z 2 i.   1 2z 3 4i; z 2 2i.   1 2z 2 2i; z 3 2i.   2 2' 5 2i 2. 28 4i 35 12i 1 6i        1 2z 3 4i; z 2 2i.   2z 3 4i z 1 5i 0    1 2z 1 i; z 2 3i.   1 2z 3 2i; z 2 2i.   1 2z 1 5i; z 1 2i.   1 2z 2 2i; z 3 3i.   2 23 4i 4 1 5i 3 4i 1 2i         1 2z 1 i; z 2 3i.   22z 3z 1 iz 4 3z i 0      1 5 1z 1 i; z i.13 13   1 2z 3; z 5 2i.  1 2z 1; z 1 2i.  z 15 1z i13 13 22 3i z 4i 3 z 1 i 0     2 24i 3 4 2 3i 1 i 3 4i 1 2i         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra và v y ph ng trình có hai nghi m là ậ ươ ệ và .V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 12 . Tìm các s th c b,c đ ph ng trình (v i n z): ố ự ể ươ ớ ẩ nh n ậ làm m tộnghi mệ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTheo đ , ề làm m t nghi mộ ệ c a ph ng trình: ủ ươNên V y, ậ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 13. Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ : Tính giá tr c a ị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảXét ph ng trình: ươLúc đó: .V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 14. G i zọ1 và z2 l n l t là nghi m c a ph ng trình: ầ ượ ệ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1271 3 4i 1 2iz 12 2 3i   22 23 4i 1 2i 1 i 2 3i1 i 5 1z i2 3i 13 132 2 3i2 3        z 15 1z i13 13 2z bz c 0  z 1 i b 2,c 2.  b 2,c 3.  b 1,c 2.  b 2,c 2. z 1 i 2z bz c 0  2b c 0 b 21 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 .2 b 0 c 2                  b 2,c 2. 22z – 4z 11 0. 2 21 221 2z zAz z2 2172512122 3 2z 1 i22z – 4z 11 03 2z 1 i2    2 22 21 221 23 2 3 21 i 1 i2 2z z17A23 2 3 2z z1 i 1 i2 2          2z 2z 10 0  2 21 2A z z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ph ng trình có hai nghi m là: ươ ệ và và . V y ậV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 15. G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có .Do đó ph ng trình có hai nghi m là ươ ệ ..V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 16. G i ọ và là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c aị ủbi u th c ể ứ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Ph ng trình đã cho có hai nghi m là ươ ệ và .N u ế thì N u ế thì V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 17. G i ọ và là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . TínhThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 128www.thuvienhoclieu .com151720102 22 4.10 36 36i    1z 1 3i 2z 1 3i. 221z 1 3 10     2 21z 1 3 10     2 21 2A z z 20.  1 2z , z22z 4z 11 0  2 21 2z z153721112' 18 18i  1 22 3 2i 2 3 2iz , z2 2  2 21 2 4 18 4 18z z 114 4              1z2z2z 2z 17 0  1 2A i z i z   A 2 23A 2 10, A 2 11 A 2 26,A 2 5 A 2 10, A 2 26  2 2' 1 17 16 4i     1 4i1 4i1z 1 4i A 2 i 1 4i 2 1 3i 2 10     1z 1 4i A 2 i 1 4i 2 1 5i 2 26      1z2z2z 4z 7 0  10 101 2z 3 2 z 3 2    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảGi i ph ng trình ta đ c ả ươ ượV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 18. Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình : ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Gi i (1): ả Gi i (2): ả có V y ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t là: ậ ươ ệ ệ Câu 19 . Bi t ế là nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ 19.1. T ính A. B. C. D. 19.2. T ính A. B. C. D. 19.3. T ính A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 12950211 2z 2 3i; z 2 3i   10 10 10 101 210 10 5 55 55 5 5z 3 2 z 3 2 3 1 i 3 1 i3 1 i 1 i 3 2i 2i6 i i 0                          2x i 2 x 2 i x 7i 1 0        z 3 i,x 1 2i.     z 3 i,x 1 2i.    z 3 i,x 1 2i.   z 3 i,x 1 2i.   22x i 2 0 1x i 2 x 2 i x 7i 1 0x 2 i x 7i 1 0 2               x 2 i 2x 2 i x 7i 1 0    2 22 i 4 7i 1 7 24i 4 3i        1 22 i 4 3i 2 i 4 3ix 3 i; x 1 2i.2 2          1 2z ,z2z 2 i z 3 5i 0.    2 21 2z z3 14i3 14i 3 14i 3 14i4 41 2z z193 74i193 74i 193 74i193 74i 2 21 21 1z z93 157i.289 578 93 157i.289 57893 157i.289 578 93 157i.289 578Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com 19.4. T ính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTheo đ nh lý Vi-et ta có: ị Do đó:Câu 20 . G i A, B là hai đi m bi u di n cho các s ph c là nghi m c a ph ng trìnhọ ể ể ễ ố ứ ệ ủ ươ. Tính đ dài đo n th ng ộ ạ ẳ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảXét ph ng trình: ươ có .Ph ng trình có hai nghi m ươ ệ ..V y ậ .Câu 21 . Cho s ph c z ố ứ có ph n th c d ng ầ ự ươ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ . T ính . A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y ch n đáp án Aậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 130www.thuvienhoclieu .com4 42 1 1 2z z z z .67 251i. 67 251i.67 251i. 67 251i.1 21 2z z 2 iz .z 3 5i   22 21 2 1 2 1 222 2 224 4 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 21 2 1 21 22 2 2 21 21 2 1 234 4 3 32 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1z z z z 2z z 3 14iz z z z z z 2z z z z 2z z 2z z193 74iz z 2z zz z1 1 93 157i.289 578z zz z z zz z z z z z z z z z z z 3z z z                                2 z 67 251i.     2z 2z 3 0  AB2 23 22 332z 2z 3 0  2' 1 3 2 i 2    1 2z 1 i 2; z 1 i 2   A 1; 2 ; B 1; 2   AB 2 2z 11z 1z 2  z 4iz 2i12232 2z 2 3iz 11z 1 z 4z 13 0, ' 9 9iz 2z 2 3iz 4i 2 iz 2 3i 12 iz 2i                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 22. G i ọ l n l t là hai nghi m c a ph ng trình ầ ượ ệ ủ ươ và th a ỏmãn . Tìm giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớDo nên ta có và Ta có Câu 23 . G i ọ l n l t là hai nghi m c a ph ng trình ầ ượ ệ ủ ươ . Tính giá tr c a ị ủbi u th c ể ứA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ nh h ng: ị ướ Ta s ti n hành gi i ph ng trình đ u tiên đ tìm ra ẽ ế ả ươ ầ ể sau đó ti n hành ếl p vào bi u th c c n tính ta có: ắ ể ứ ầ . Đ n đây vì mũ 10 l n nên ta s ti n ế ơ ẽ ếhành làm t ng l p m t, t c là:ừ ớ ộ ứ T đó ta có l i gi i nh sau:ừ ờ ả ưPh ng trình đã cho t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớDo Q là bi u th c đ i x ng v i ể ứ ố ứ ớ nên không m t tính t ng quát, gi s ấ ổ ả ử Lúc đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1311 2z ,z2z 1 3i z 2 2i 0    1 2z z22111 2A z 1 z   133212322z 2iz 2i 1 i z 2i. 1 i 0 z 2i z i 1 0z i 1                  1 2z z1z 2i2z i 1 22 2 221121 1 1 i 1 3A z 1 i 1 i 12i i 2 2 2             1 2z ,z2z 4z 7 0  10 101 2Q z 3 2 z 3 2     13051 2z ,z10 1053 1 i 1 i     5 510 10 2 25 55 5 5 55 53 1 i 1 i 3 1 i 1 i3 2i 2i 6 i i 0                                       22 22z 4z 7 0 z 2 3 z 2 i 3 z 2 i 3           1 2z ,z12z 2 i 3z 2 i 3  2 2 10 10 10 1010 101 25 55 5 5 5Q z 3 2 z 3 2 i 3 3 i 3 3 3 i 1 3 i 13 2i 2i 6 i i 0                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ch n đáp án C. ậ ọL u ý:ư Cũng có th dùng d ng l ng giác c a s ph c đ gi i quy t bài toán này.ể ạ ượ ủ ố ứ ể ả ếCâu 24. Cho s ph c z có ph n th c d ng th a mãn ố ứ ầ ự ươ ỏ . Tính .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có ho c ặV i ớ ta có V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 25. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: Ph ng trình đã cho có hai nghi m ươ ệ V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 26. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có:Do đó, ph ng trình đã cho có hai nghi mươ ệ V y ch n đáp án B. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 132www.thuvienhoclieu .com2z 6z 13 0   6zz i131777 32 2 22z 6z 13 0 z 3 4 z 3 2i z 3 2i           z 3 2i z 3 2i 6 6z 3 2i 4 i 17z i 3 3i       2z 2cos .z 1 0   1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       1 2z cos i sin , z cos i sin       22 24cos 4 4sin 2sin .       12 2cos 2i sinz cos i sin ;22cos 2i sinz cos i sin2            2z cos i sin z i sin .cos 0.        1 2z i sin , z i sin   1 2z cos , z i sin   1 2z cos , z i sin   1 2z cos , z cos   22 22cos i sin 4i sin .cos cos sin 2i sin .coscos i sin                 11 cos i sin cos i sinz cos2cos i sin cos i sinz i sin2                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 31. Bi t ph ng trình ế ươ không có nghi m th c. Tìm nh ng ệ ự ữgiá tr có th có c a ị ể ủ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảN u ph ng trình có m t nghi m th c r thì:ế ươ ộ ệ ựT ph ng trình (2) ta có:ừ ươ N u ế thì t (1) suy ra ừ ph ng trình này không có nghi m th c.ươ ệ ự N u ế thì t (1) suy ra ừV y ph ng trình đã cho không có nghi m th c khi và ch khi ậ ươ ệ ự ỉV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 32. Cho và là các s ph c th a mãn ố ứ ỏ Gi s ả ử là các nghi m ệc a ph ng trình ủ ươ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ v i m là s ph c.ớ ố ứ32.1. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủA. B. C. D. 32.2. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảS d ng đ nh lý Viet ta có ử ụ ịDo đó: T ừ suy ra Do đó đi m M bi u di nể ể ễs ph c m trên m t ph ng ph c thu c đ ng tròn tâm I(4;5)ố ứ ặ ẳ ứ ộ ườvà bán kính R=7. Ta c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh tầ ị ớ ấ ị ỏ ấc a OM. Đ ng th ng OI c t đ ng tròn t i hai đi m A,B v iủ ườ ẳ ắ ườ ạ ể ớOn m gi a Avà I. Vì ằ ữ nên:32.1. Giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ khi khi đó: V y ch n đáp án A.ậ ọ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 13321 i x i x 1 i 0        .3 1 2 3 2 2 222221 i r i r 1 i 0 r r 1 i r r 0r r 1 0,(1)r r 1 0r r 1 01 r 1 0, 2r r 1 0r r 0                                             1 2r r 1 0,  r 11 1 0 2.      2. 1z2z21 2z 4z 16 20i.   , 21 2x z x z m 0   2 7,   m .maxm 7 41. maxm 9 47. maxm 7 34. maxm 5 35. m .maxm 3 47. maxm 7 41. maxm 7 34. maxm 5 35. 1 2z , . z m.       221 24 z 4z 4m 16 20i 4m              2 7   4 5i m 7.  2 2OI 4 5 41  mM B,maxm OB OI IB 7 41.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com 32.2. Giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ khi khi đó: V y ch n đáp án B.ậ ọ Câu 33 . Tìm mô-đun c a s ph c ủ ố ứ bi t s ph c ế ố ứ là nghi m c aệ ủph ng trình ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa có Do đó Theo gi thi t ta có ả ếV y ch n đáp án C.ậ ọCâu 34. Cho a,b,c là 3 s ph c phân bi t khác 0 và ố ứ ệ . N u m t nghi m c a ế ộ ệ ủph ng trình ươ có môđun b ng 1 thì kh ng đ nh nào sau đây đúngằ ẳ ịA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảGi s ả ử là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ v i ớ . Theo đ nh lý Viet ta cóị Suy ra B i vì ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 134www.thuvienhoclieu .commM A,minm OA IA OI 7 41.    w b ci 12661 3i 2 i1 3i 1 i  2z 8bz 64c 0  2 57291932 31 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 8     32 321 3i 1 3 3i 3.3i 3 3i 81 i 2i       1246 2 361 3i 2 i8 2 i 8 2 i8 1 2i 8 16ii8 2i1 3i 1 i         28 16i 8b 8 16i 64c 0    2221 2i b 1 2i c 0 2b 4 i b c 3 02b 4 0 b 2w 2 5 29b c 3 0 c 5                         a b c 2az bz c 0  2c ab2a bcb ac2b ac1 2z ,z2az bz c 0  z 11 2 21c c 1z z z .a a z  21c c 1z . 1a a z  21 2 1 2 1 2 1 2bz z , a b z z 1,suy ra z z z z 1a        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 35 . Tìm nghi m c aệ ủ ph ng trình:ươ .A. B. C. , D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở V i ớV i ớV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 36. Tìm nghi m c aệ ủ ph ng trình:ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thànhươ ở V i ớV i ớV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 37. Tính giá tr c a ị ủ bi t ế là nghi m ph c ệ ức a ph ng trìnhủ ươ . A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1352221 2 1 2 1 21 21 1 b cz z 1 z z z .z b acz z a a                  2iz 3 iz 33 4 0z 3i z 3i       1 55 1 5z i,z i17 17 7 7   z 3i,z 3i 4   1 55z i17 17 z 3i 1 5z i,z 3i 47 7   iz 3tz 3i2t 4t 3t 4 0t 1   iz 3t 4 4 iz 3 4 z 3i iz 3 4z 13iz 3i           13i 3 1 554 i z 13i 3 z i4 i 17 17          iz 3t 1 1 iz 3 z 3i 1 i z 3 3i z 3i.z 3i            2z 3 i 6 z 3 i 13 0.       z 3i,z 1 2i    z i,z 3i 4   z 3i 4,z 3i   z 3i,z i t z 3 i  2t 3 2it 6t 13 0t 3 2i     t 3 2i z 3 i 3 2i z 3i.        t 3 2i z 3 i 3 2i z i.        2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    1 2 3 4z ,z ,z ,z2 25z 6iz 2 3z 2iz 0    122513451123 267Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi i ướ ẫ ảPh ng trình cho ươGi i ả : ta có Suy raDo đó: V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 38. G i ọ là b n nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ trên t p s ph c, tính t ng: ậ ố ứ ổ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảKhông m t tính t ng quát ta g i 4 nghi m c a ph ng trình là:ấ ổ ọ ệ ủ ươThay vào bi u th c ể ứV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 39. Cho là các nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ . TínhA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 136www.thuvienhoclieu .com2 23z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2      1 2 2i1 z 0,z3  22'3i 10 1   3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i;z i5 5 5 5 5 5      2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    2 224 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 5                                   4 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45                            1 2 3 4z ,z ,z ,z2z 1 z 2 z 2z 2 0    2 2 2 21 2 3 41 1 1 1Sz z z z   253554671 2 3 4z 1,z 2,z 1 i,z 1 i     2 2 2 2 2 21 2 3 41 1 1 1 1 1 1 5S 14 4z z z z1 i 1 i         1 2 3 4z , z , z , z2 2z 1 z 2z 2 0   2014 2014 2014 20141 2 3 4S z z z z   54232 22z 1 i z iPTz 1 iz 2z 2 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1372014 2014 20142014S i i 1 i 1 i      100710072 1007 1007 10072 1007 1007 1007i i 2i 2i 2 2 i 2 i 2              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com D NG 3. PH NG TRÌNH B C BAẠ ƯƠ ẬPh ng PhápươTheo đ nh lý c b n c a đ i s , ph ng trình b c ba có đúng 3 nghi m ph c (không ị ơ ả ủ ạ ố ươ ậ ệ ứnh t thi t phân bi t).ấ ế ệ1) Đ gi i ph ng trình b c ba t ng quát ể ả ươ ậ ổ (1), ta c n bi t ầ ếm t nghi mộ ệ c a ph ng trình. Khi đó ph ng trình (1) đ c bi n đ i thành ủ ươ ươ ượ ế ổph ng trình tíchươMu n xác đ nh ố ị ta có th dùng m t trong hai cách:ể ộCách 1: Ta th c hi n phép chia đa th c ự ệ ứ cho th ng s làươ ẽCách 2: Dùng s đ Horner sau đây đ xác đ nh h s A,b,c c a đa th c th ng làơ ồ ể ị ệ ố ủ ứ ươ. 2) Đôi khi ta có th xác đ nh ể ị b ng cách nh m nghi m nh sau:ằ ẩ ệ ưN u ế thì ph ng trình có 1 nghi m làươ ệ =1.N u ế thì ph ng trình có 1 nghi m là ươ ệ .3) Vi c bi n đ i thành ph ng trình tích có th th c hi n d dàng n u ta có th đ t ệ ế ổ ươ ể ự ệ ễ ế ể ặnhân t chung.ử4) Ta bi t r ng n u m t ph ng trình đa th c h s th c có 1 nghi m ph cế ằ ế ộ ươ ứ ệ ố ự ệ ứthì cũng là 1 nghi m. Nh v y:ệ ư ậo M i ph ng trình b c ba h s th c có ít nh t m t nghi m th c, nghĩa làọ ươ ậ ệ ố ự ấ ộ ệ ự- Ho c có 3 nghi m th cặ ệ ự- Ho c có 1 nghi m th c và 2 nghi m ph c (không th c) liên h p nhau.ặ ệ ự ệ ứ ự ợo Mu n gi i ph ng trình b c 3 h s th c, ta th ng ph i tìm nghi m th c c a ố ả ươ ậ ệ ố ự ườ ả ệ ự ủph ng trình r i bi n thành ph ng trình tích. Nghi m th c này có th tính ươ ồ ế ươ ệ ự ểchính xác nh máy tính b túi (n u là nghi m h u t ).ờ ỏ ế ệ ữ ỉo N u bi t ph ng trình b c 3 h s th c ế ế ươ ậ ệ ố ự có 1 nghi m không là s th c ệ ố ựthì cũng là nghi m, nên ph ng trình ph i có d ngệ ươ ả ạChia cho s tìm đ c th a s ẽ ượ ừ ốNh v y ph ng trình có 3 nghi m là ư ậ ươ ệI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 138www.thuvienhoclieu .com3 2Az Bz Cz D 0   A 00z0202z z 01 z z Az bz c 0Az bz c 0        2Az bz c, 3 2Az Bz Cz D  0,z z2Az bz c. 2Az bz c 0zA B C D 0   0zA B C D 0   z 10z x yi x, y ,y 0   0z x yi P z 00z0z1 0 0P z z z z z z z 0.    P z20 0 0 0 0 0z z z z z z z z z .z     1z z .0 0 1z ,z ,z .Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 1.ụ Gi i các ph ng trình sau:ả ươa) bi t 1 nghi m là ế ệ .b) bi t 1 nghi m là ế ệ .c) bi t 1 nghi m là ế ệGi iảa) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình đã cho vi t thành:ươ ếV y ph ng trình có 3 nghi m: ậ ươ ệb) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ. Do đó, h ng trình đã cho vi t thành:ươ ếGi i (1): ảGi i (2): Ta có: ảTa đi tìm căn b c hai c a ậ ủ Đ t ặT (ii) suy ra: ừT (1) suy ra: ừ (lo i) ho c ạ ặV i ớV i ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1393 2z 2 i z 2 2i z 2i 0      1z i3 2z 4z 4 i z 3 3i 0      1z i3 2z z 2 2i z 2 4i 0      1z 1 i. 3 2z 2 i z 2 2i z 2i     z i2z 2z 2  3 2 2z 2 i z 2 2i z 2i 0 z i z 2z 2 0          2 2z i 0 z iz iz 1 iz 2z 2 0 z 2z 2 0              1 2 3z i; z 1 i; z 1 i.    3 2P z z 4z 4 i z 3 3i      z i2z 4 i z 3 3i   3 2 2z 4z 4 i z 3 3i 0 z i z 4 i z 3 3i 0            2z i 0 1z 4 i z 3 3i 0 2     1 z i 24 i 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i.           23 4i x yi , x,y   2 22 2 x y 3 ix y 2xyi 3 4i2xy 4 ii      2x 0, yx 2 4 224x 3 x 3x 4 0x     2x 1 2x 4 x 2.  x 2 y 1  x 2 y 1.  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Nh v y: ư ậPh ng trình ươ có 2 nghi m là:ệV y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươc) Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là: ượ ươ . Do đó, ph ng trình đã cho vi t thành:ươ ếGi i (1): ảGi i (2): Ta có ảĐ t ặT (ii) suy ra: ưT (i) suy ra: ừho c ặ (lo i)ạV i ớV i ớNh v y: ư ậPh ng trình (2) có 2 nghi m là ươ ệV y ph ng trình đã cho có ba nghi m là: ậ ươ ệVí d 2.ụ Gi i các ph ng trình:ả ươa) và bi t ph ng trình có 1 nghi m là ế ươ ệb) và bi t ph ng trình có 1 nghi m là ế ươ ệc) Tìm các s a, b, c đ ph ng trình ố ể ươ nh n ậ và làm nghi m.ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 140www.thuvienhoclieu .com22 i .  3 2z 4z 4 i z 3 3i 0      4 i 2 i 4 i 2 iz 1 i, z 3.2 2           z i, z 1 i, z 3.   3 2P z z z 2 2i z 2 4i      z 1 i 2z iz 1 3i  3 2z z 2 2i z 2 4i 0      22z 1 i 0 1z 1 i z iz 1 3i 0z iz 1 3i 0 2            1 z 1 i  2i 4 12i 5 12i.     25 12i x yi , x,y R    2 22 2 x y 5 ix y 2xyi 5 12i2xy 12 ii      6x 0,yx 2 4 2236x 5 x 5x 36 0x     2x 4 2x 9x 2.x 2 y 3  x 2 y 3.  22 3i .  i 2 3i i 2 3iz 1 2i; z 1 i2 2        1 2 3z 1 i; z 1 2i; z 1 i.     3 2z 1 i z az b 4i 0,a, b R       z 1 i. 3 2z aiz i b z 2 2i 0,a, b R      z 1 i. 3 2z az bz c 0   z 1 i z 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảa) Theo đ : ề là nghi m cu ph ng trình ệ ả ươ nênV i ớ ph ng trình đã cho tr thành: ươ ởVì ph ng trình có 1 nghi m là ươ ệ ta chia đa th cứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trìnhươt ng đ ng v iươ ươ ớV y ph ng trình có 3 nghi m ậ ươ ệb) Ta có: là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ nên V i ớ ph ng trình đã cho tr thành:ươ ởBi t ế là 1 nghi m, chia đa th c ệ ứ cho ta đ c ượth ng là: ươ . Do đó, ph ng trình: ươ t ng đ ng ươ ươv i:ớGi i (1): ảGi i (2): ảV y ph ng trình có 3 nghi m là:ậ ươ ệ .c) Vì và là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 141z 1 i 3 2z 1 i z az b 4i 0      3 21 i 1 i 1 i a 1 i b 4i 0        a b 0a b a 4 i 0 a 4, b 4.a 4 0          a 4, b 4  3 2z 1 i z 4z 4 4i 0.     z 1 i,  3 2P z z 1 i z 4z 4 4i     z 1 i 2z 43 2z 1 i z 4z 4 4i 0      22 2z 1 iz 1 iz 1 i z 4 0z 2i.z 4 4i        z 1 i, z 2i, z 2i.   z 1 i. 3 2z aiz i b z 2 2i 0,a,b R      3 22 3 2 21 i ai 1 i i b 1 i 2 2i 01 3i 3i i ai 1 2i i i i b bi 2 2i 01 3i 3 i 2a i 1 b bi 2 2i 03 2a b 0 a 33 2a b b 3 i 0b 3 0 b 3.                                                 a 3, b 3 3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0.     z 1 i 3 2P z z 3iz i 3 z 2 2i     z 1 i 2z 1 2i z 2i    3 2z 3iz i 3 z 2 2i 0     22z 1 i 0 1z 1 i z 1 2i z 2i 0z 1 2i z 2i 0 2             1 z 1 i  2z 12 z 1 2i z 2i 0, A B C 0z 2i.        z 1 i, z 1, z 2i   z 1 i z 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 3ụ . a) Cho ph ng trình: ươ , g i ọ l n l t là 3 nghi mầ ượ ệc a ph ng trình (1) trên t p s ph c. Tính giá tr bi u th c: ủ ươ ậ ố ứ ị ể ứ . b ) Gi i ph ng trình sau trong t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ức) Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c ả ươ ậ ố ứ . Gi iảa) Ta có: có 3 nghi m là: ệLúc đó: b) Ta có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ c) Ta có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 142www.thuvienhoclieu .com333 22 a 2 2b c 04a 2b c 8 0b c 2a b 2 i 01 i a 1 i b 1 i c 0b c 2 0 a 42a b 2 0 b 6 .4a 2b c 8 0 c 4                                   3 2z 5z 16z 30 0 1    1 2 3z , z , z2 2 21 2 3A z z z  3z 6z 9 0.  3 2z 3iz 3z 2i 0   3 2z 5z 16z 30 0   1 2 3z 3; z 1 3i; z 1 3i    2 22 2 2 21 2 3A z z z 3 1 3i 1 3i 7        3 22z 3pt z 9z 3z 9 0 z 3 z 3z 3 0z 3z 3 0z 33 3 3 3z i, z i2 2 2 2                3 3 3 3z 3, z i, z i.2 2 2 2    3 33 2 322z 3iz 3z 2i 0 z i i 0 z i i 0z 2i z i i z i 1 0z 2i z 2ii 3 i 3 i 3z 2i z 0 z z2 4 2 2 2i 3 i 3z z2 2 2                                                i 3 i 3z 2i; z ; z2 2   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 4ụ . Ch ng minh r ng ph ng trình sau có nghi m thu n oứ ằ ươ ệ ầ ả.Gi iảGi s ph ng trình có nghi m thu n o.ả ử ươ ệ ầ ảĐ t ặ (a là s th c khác 0), thay vào ph ng trình ta đ c:ố ự ươ ượV y ph ng trình đã cho có nghi m thu n o là ậ ươ ệ ầ ả .Ví d 5.ụ Gi i ph ng trìnhả ươ : , trên t p s ph c, bi t ph ngậ ố ứ ế ươtrình có nghi m thu n o.ệ ầ ảGi iảGi s ả ử là m t nghi m c a ph ng trình. Khi đó, ta có:ộ ệ ủ ươ là m t nghi m c a ph ng trình nên ta bi n đ i ộ ệ ủ ươ ế ổph ng trình đã cho v d ng:ươ ề ạ V y ph ng trình đã cho có nghi mậ ươ ệII. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1. Tìm nghi m c aph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình ệ ố ủ ươ th a mãn:ỏV y ph ng trình nh n ậ ươ ậ là nghi m.ệPh ng trình ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1433 22z 5i 3 z 8i 4 z 4i 4 0       z ai3 22 3 223 22 ai 5i 3 ai 8i 4 ai 4i 4 03a 8a 4 i 2a 5a 4a 4 03a 8a 4 0a 22a 5a 4a 4 0                        z 2i3 2z 2 2i z 5 4i z 10i 0     z xi3 22 3 2x i 2 2i x 5 4i x 10i 02x 4x x 2x 5x 10 i 0              23 22x 4x 0x 2 x 2ix 2x 5x 10 0          22z 2iz 2iz 2i z 2z 5 0z 1 2iz 2z 5 0        z 2i;z 1 2i  3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.     1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    3 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      A B C D 1 1 2i 2 1 i 2 0.         z 13 2z 1 2i z 2 1 i z 2 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi i (1): ảGi i (2): Ta có ảPh ng trình (2) có 2 nghi m là ươ ệV y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 2. Tìm nghi m c aph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình ệ ố ủ ươ th a mãn:ỏ nên ph ng trình nh n ươ ậ là 1 nghi m.ệPh ng trình ươGi i (1): ảGi i (2): ảPh ng trình (2) có hai nghi m là: ươ ệ, K t lu n: ph ng trình ế ậ ươ có 3 nghi m là:ệV y ch n đáp án Dậ ọ . Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 144www.thuvienhoclieu .com22z 1 0 1z 1 z 2iz 2 0z 2iz 2 0 2        (1) z 1 22' i 2 1 2 3 3i       z 1 3 i. 1 2 3z 1,z 1 3 i,z 1 3 i.    3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      A B C D 1 2i 2 i 3 i 0         z 13 2z 2iz 2 i z 3 i 0      22z 1 0 1z 1 z (1 2i)z 3 i 0z (1 2i)z 3 i 0 2            (1) z 1 21 2i 12 4i 1 4 4i 12 4i 15.          11 2i 15i 1 1z 2 15 i2 2 2    21 2i 15i 1 1z 2 15 i.2 2 2    3 2z 2iz 2 i z 3 i 0      1 2 1 1z 1, z 2 15 i, z 2 15 i.2 2 2 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 3. Bi t ế là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ Tính A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4. Bi t ế là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tính A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươV y ch n đáp án B. ậ ọCâu 5. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa th y ph ng trình ấ ươ nh n ậ là nghi m.ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1451 2 3z ,z ,z3 2z 2 i z z 2 i 0.      1 2 3A z z z  2 32 52 72 53 2z 2 i z z 2 i 0     2 2z z 2 i z 2 i 0 z 2 i z 1 0          2 2z 2 i 0 z 2 iz 2 iz i.z 1 0 z 1             z 2 i, z i, z i.   1 2 3z ,z ,z3 2z 3iz 3z 9i 0   1 2 31 1 1z z z  2 323 2 332 752 543 33 22z 3iz 3z 9i 0 z i 2i 0z iz i z i 2i z i 4 0 .z 3                 z i, z 3.  3 22z 9z 14z 5 0   1z , z 3 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 2 i2    3 22z 9z 14z 5 0   1z2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ả .Gi i (2): ả . Ta có: Do đó, ph ng trình (2) có hai nghi m là: ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa th y ph ng trình: ấ ươ có 1 nghi m là z=3.ệChia đa th c ứ cho z-3 ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng ươtrình t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ảGi i (2): Ta có:ảDo đó ph ng trình (2) có hai nghi m:ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệCâu 7. Cho ph ng trìnhươ bi t ph ng trình có 1 ế ươnghi m là ệ Tìm t ng mô đun hai s ph c còn l iổ ố ứ ạA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 146www.thuvienhoclieu .com3 2P z 2z 9z 14z 5    1z222z 8z 10 3 22z 9z 14z 5 0   22 1z 0 112z 2z 8z 10 022z 8z 10 0 2          11 z2 22 z 4z 5 0    2' 4 5 1 i    z 2 i. 1z , z 2 i, z 2 i2    3 2z 7z 17z 15 0   1z , z 3 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 3 i2    1z , z 2 i, z 2 i2    3 2z 7z 17z 15 0   3 2P z z 7z 17z 15    2z 4z 5 3 2z 7z 17z 15 0   22z 3 0 1z 3 z 4z 5 0z 4z 5 0 2       1 z 3 2' 4 5 1 i    z 2 i. 1 2 3z 3, z 2 i, z 2 i.    3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     1z 3 2i. 13 713 513 313 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ph ng trình: ươ h s th c có 1 nghi m là ệ ố ự ệSuy ra cũng là nghi m. ệDo đó ph ng trình ph i có d ng: ươ ả ạ Chia đa th c ứ cho ta đ c th ng là ượ ươPh ng trình ươ t ng đ ng v iươ ươ ớV y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là: ậ ươ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 8. Cho ph ng trình ươ và bi t ph ng trình có nghi m thu n ế ươ ệ ầo. Tìm bảA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i nghi m thu n o c a ph ng trình là ai ọ ệ ầ ả ủ ươ ai th a mãn ph ng trình:ỏ ươTa có: V i ớ (lo i)ạV i ớV y ch n đáp án C. ậ ọCâu 9. Cho ph ng trình ươ và bi t ph ng trình có ngi m ế ươ ệth c. Tìm các nghi m c a ph ng trìnhự ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1473 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     1z 3 2i. 1z 3 2i 1z z z 3 2i z 3 2i 0.     3 2P z z 6 2 z 13 6 2 z 13 2     2z 3 2i z 3 2i z 6z 13,       z 2.3 2z 6 2 z 13 6 2 z 13 2 0     z 2 z 3 2i z 3 2i 0.     1 2 3z 2,z 3 2i,z 3 2i.    3 2z 2z 25z b 0, b R    325505a R 3 23 2232ai 2 ai 25ai b 0 a i 2a 25ai b 0b 2a 12a b a 25a i 0a 25 a 0 2                a 02a 5a 0 b 0  a 5 b 50.  3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R       1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com G i x là nghi m th c c a ph ng trình: ọ ệ ự ủ ươ ta có: Suy ra ph ng trình có d ng:ươ ạv i z=2 là nghi m th c c a ph ng trình.ớ ệ ự ủ ươChia đa th c ứ cho z-2 ta đ c th ng là ượ ươ . Do đó, ph ng trình ươ t ng đ ng v i:ươ ươ ớGi i (1): ảGi i (2): Ta có: ả . Ph ng trình (2) có hai nghi m là:ươ ệV y ph ng trình có 3 nghi m là: ậ ươ ệCâu 10. Tìm nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảBi n đ i ph ng trình thành: ế ổ ươ .Đ t ặ thì ph ng trình tr thành:ươ ở.  V i ớ : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 148www.thuvienhoclieu .com3 2z bz 9 i z 6 2i 0,b R       3 23 23 2x bx (9 i)x 6 2i 0x bx 9x 6 2 x i 02 x 0x 2b 5x bx 9x 6 0                 3 2z 5z 9 i z 6 2i 0,     3 2P z z 5z 9 i z 6 2i     2z 3z 3 i  3 2z 5z 9 i z 6 2i 0      22z 2 0 1z 2 z 3z 3 i 0z 3z 3 i 0 2         1 z 2 29 12 4i 3 4i 1 2i       1 2z 2 i, z 1 i   1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    32z i z 1 2iz2 01 i 2i       1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    z 1 2i, z i, z 2 i.    1 2 3z 2,z 2 i,z 1 i.    3 2z i z i2 01 i 1 i             z iw1 i3 2 222 2w w 2 0 w 1 w 2w 2 0w 1w 1w 2w 2 0 w 1 i 0              w 1w 1 iw 1 i   w 1z i1 z 1 2i1 i    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ  V i ớ :  V i ớ : V y ph ng trình có 3 nghi m: ậ ươ ệV y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 149w 1 i z i1 i z i1 i   w 2 i z i2 i z 2 i1 i    z 1 2i, z i, z 2 i.    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com D NG 4. PH NG TRÌNH B C B N S PH CẠ ƯƠ Ậ Ố Ố ỨPh ng Phápươ V i d ng ph ng trình trùng ph ng, ta đ t ớ ạ ươ ươ ặ , s đ a v ph ng trình b c haiẽ ư ề ươ ậtheo w. Gi i ph ng trình này, ta tính w r i l i gi i ph ng trình ả ươ ồ ạ ả ươ đ tính z.ể N u ế thì ph ng trình ươ có 1 nghi m làệ . Chia cho , ph ng trình ươ t ng ươđ ng v i ph ng trình ươ ớ ươ N u ế thì ph ng trình ươ có 1 nghi m làệ . Chia cho , ph ng trình P(z)=0 t ng ươ ươđ ng v i ph ng trình ươ ớ ươNh v y ta nên vi t các h s c a ph ng trình đ xem ph ng trình có r i vào hai ư ậ ế ệ ố ủ ươ ể ươ ơtr ng h p đ c bi t này không.ườ ợ ặ ệ Tr ng h p ph ng trình h s th c, n u bi t 1 nghi m ườ ợ ươ ệ ố ự ế ế ệ (không là s th c) thì ố ựcũng là nghi m. Do đó ph ng trình có d ng:ệ ươ ạKhi khai tri n ph ng trình này và đ ng nh t v i ph ng trình đã cho s tìm đ c ể ươ ồ ấ ớ ươ ẽ ượh s b và c.ệ ốGi i ph ng trình: ả ươ ta đ c nghi m ượ ệNh v y ph ng trình đã cho có 4 nghi m là: ư ậ ươ ệI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các ph ng trình:ả ươa)b)c)Gi iảa) Ph ng trình: ươ ta coi là ph ng trình b c hai theo ươ ậ , ph ng trình có 2 ươnghi m là ệ ho c ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 150www.thuvienhoclieu .com2w z2w zA B C D E 0    4 3 2Az Bz Cz Dz E 0    z 14 3 2P z Az Bz Cz Dz E     z 1P z 03 2z 1 Az bz cz d 0.    A B C D E 0    4 3 2Az Bz Cz Dz E 0    z 14 3 2P z Az Bz Cz Dz E     z 13 2z 1 Az bz cz d 0.    0z0z20 0z z z z Az bz c 0.    2Az bz c 0  1 2z ,z .0 0 1 2z ,z ,z ,z .4 2z 4z 5 0  4 2z 8 8i z 63 16i 0     4 2iz 2 1 2i z 8 0.   4 2z 4z 5 0  2z2z 12 2z 5 5i z 1z 5i.Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Đ t ặ ph ng trình ươ (1) tr thànhởPh ng trình (2) ươV i ớV i ớV y ph ng trình (1) có 4 nhi m là: ậ ươ ệc) (1)Đ t ặ ph ng trình ươ tr thànhở(2)Ph ng trình (2) có 2 nghi m là: ươ ệV i ớV i ớV y ph ng trình ậ ươ có 4 nghi m là:ệ Ví d 2.ụ Cho ph ng trình b c b n h s th cươ ậ ố ệ ố ựBi t ph ng trình có 1 nghi m ế ươ ệ .Tính m và nghi m còn l i.ệ ạGi iảTa có là nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươPh ng trình tr thành ươ ở (1)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1512w z ,4 2z 8 8i z 63 16i 0     2 22 2w 8 8i w 63 16i 0 w 2 4 4i w 63 16i 2' 4 4i 63 16i 32i 63 16i 63 16i 1 8i                    w 4 4i 1 8i 5 12iw 4 4i 1 8i 3 4i          22w 5 12i z 5 12i 3 2i z 3 2i .         22w 3 4i z 3 4i 2 i z 2 i .         z 3 2i ,z 2 i .   4 2iz 2 1 2i z 8 0   2w z ,4 2iz 2 1 2i z 8 0   2iw 2 1 2i w 8 0   2 22 2' 1 2i 8i 1 4i 4i 8i 1 4i 4i 1 2i .            1 221 2i 1 2i 1 2i 1 2i 2 2iw 4, w 2i.i i ii            2 2w 4 z 4i z 2i    22w 2i z 1 i z 1 i .      4 2iz 2 1 2i z 8 0   z 2i,z 1 i .  4 3 2P z z 4z 9z mz 20 0,m R.       1z 2i1z 2i4 3 2z 4z 9z mz 20 0    4 3 22i 4 2i 9 2i m 2i 20 016 32i 36 2mi 20 0 32 2m i 0 m 16.                    4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta bi t r ng n u m t ph ng trình đa th c h s th c nh n ế ằ ế ộ ươ ứ ệ ố ự ậ là 1 nghi m ph c, không ệ ứth c, ự thì cũng là nghi m c a ph ng trình. Nh v y ệ ủ ươ ư ậph ng trình nh n 2 nghi m là ươ ậ ệ Do đó ph ng trình (1) ph i có d ng:ươ ả ạĐ ng nh t h s c a hai ph ng trình (1) và (2) ta đ c ồ ấ ệ ố ủ ươ ượV y ph ng trình ậ ươV y ph ng trình có 4 nghi m: ậ ươ ệVí d 3.ụ Ch ng minh r ng ph ng trình: ứ ằ ươ có hai nghi m là s ệ ốthu n o.ầ ảGi iảĐ t ặ là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươ V y ậ là nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươVí d 4.ụ Ph ng trình ươ có 4 ngh m không th c v i các giá tr th c a,ệ ự ớ ị ựb, c, d. Bi t tích hai trong b n nghi m đó là ế ố ệ và t ng c a hai nghi m còn l i là ổ ủ ệ ạ . Tìm giá tr c a bị ủGi iảG i 4 nghi m c a ph ng trình ọ ệ ủ ươ là Khi đónên ta suy ra (*).Theo bài ra ta có .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 152www.thuvienhoclieu .com1z1z x yi, x,y R,y 0   1z x yi 1 2z 2i,z 2i. 22 24 3 2P z z 2i z 2i z az b 0, a,b RP z z 4 z az b 0P z z az b 4 z 4az 4b 0, 2                  a 4, b 5. 4 3 2P z z 4z 9z 16z 20 0      22 222 22z 4 0z 4 z 4z 5 0z 4z 5 0z 4 0 z 4 z 2iz 4z 5 0 z 2 i.                    z 2i, z 2 i.  4 3 2z 4z 14z 36z 45 0    2 2 3 3 4 4z bi z b , z ib , z b     z bi34 24 24 2 33b 4 ib 14 b 36ib 45 0b 14b 45 0b 14b 45 i 4b 36b 0 b 34b 36b 0                 z 3i4 3 2x ax bx cx d 0    13 i3 4i4 3 2x ax bx cx d 0    , , , .   4 3 2x ax bx cx d x x x x , x              b         . 13 i, 3 4i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên cũng nh ư ph i là các s ph c liên h p, do đóả ố ứ ợ.Theo (*) thì V y giá tr c n tìm c a b là 51.ậ ị ầ ủVí d 5ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ứGi iảBi n đ i ph ng trình đã cho v d ng:ế ổ ươ ề ạV y nghi m c a ph ng trình là:ậ ệ ủ ươVí d 6ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p s ph cả ươ ậ ố ứ : Gi iảNh n xét ậ không là nghi m c a ph ng trình (1) v y ệ ủ ươ ậChia hai v PT (1) cho ế ta đ cượ : (2)Đ t ặ . Khi đó Ph ng trình (2) có d ngươ ạ : (3)PT (3) có 2 nghi m ệV i ớ ta có Có PT(4) có 2 nghi m: ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 153a, b,c,d R . ; .   ;    3 4i, . 13 i        b                  b 3 4i 3 4i 13 i 13 i 51.        4 3 2z 4z 11z 14z 10 0    222 22z 2z 2z 2z 7 z 2z 10 0z 2z 5       22z 1 iz 2z 2 0 z 1 iz 1 2iz 2z 5 0z 1 2i          z 1 i; z 1 i; z 1 2i; z 1 2i.       24 3zz z z 1 02    z 0z 02z221 1 1z z 0z 2z             1t zz 2 221t z 2z  2 221z t 2z   25t t 02  251 4. 9 9i2    1 3i 1 3it , t2 2  1 3it221 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 4z 2      2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i          1 3i 3 i 1 3i 3 ii 1z 1 i, z4 4 2         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V i ớ ta có: Có PT(5) có 2 nghi m: ệV y ph ng trình đã cho có 4 nghi m: ậ ươ ệV y ph ng trình có các nghi m ậ ươ ệII. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUANẬ Ỏ Ắ ỆCâu 1. Tìm t ng mô đun các nghi m c a ph ng trình ổ ệ ủ ươ bi t ếph ng trình có nghi m th cươ ệ ựA. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ là nghi m th c c a ph ng trình, ta có:ệ ự ủ ươ(1)Nh v y ph ng trình đ c bi n đ i thành ph ng trình tích có d ng:ư ậ ươ ượ ế ổ ươ ạĐ ng nh t ph ng trình (1) và (2) ta đ c: ồ ấ ươ ượV y ph ng trình (1) t ng đ ng v i: ậ ươ ươ ươ ớGi i (i): ảGi i (ii): Ta có: ả . Ph ng trình (ii) có hai nghi mươ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 154www.thuvienhoclieu .com1 3it2 21 1 3iz 2z 1 3i z 2 0 5z 2       2 221 3i 16 8 6i 9 6i i 3 i          1 3i 3 i 1 3i 3 i1 iz 1 i, z4 4 2          i 1 i 1z 1 i, z 1 i, z , z2 2       3 3 3 3z 3; z i; z i2 2 2 2    4 3 2z z 3 i z 4z 4i 4 0,      5 23 2 3 27 2z x4 3 2x x 3 i x 4x 4i 4 0       4 3 2 224 3 2x x 3x 4x 4 i x 4 0x 4 0x 2.x x 3x 4x 4 0                2 2 24 3 2z 2 z 2 z az b 0 z 4 z az b 0z az b 4 z 4az 4b 0, 2               a 1b 4 3 i a 14a 4 b 1 i4b 4i 4         22 22z 4 iz 4 z z 1 i 0z z 1 i ii       2z 4 z 2  21 4 4i 1 2i     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m: ậ ươ ệV y ch n đáp án A. ậ ọCâu 2. Bi t ph ng trình có ế ươ có nghi m thu n o. Tìm t ng mô đunệ ầ ả ổc a các nghi m ph c có ph n o d ng.ủ ệ ứ ầ ả ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i nghi m thu n o c a ph ng trình là ọ ệ ầ ả ủ ươ ta có:V y 2 nghi m thu n o c a ph ng trình là ậ ệ ầ ả ủ ươ và ph ng trình có d ng ph ng trình ươ ạ ươtích: Đ ng nh t ph ng trình này v i ph ng trình đã cho ta đ c:ồ ấ ươ ớ ươ ượPh ng trình tr thành:ươ ởK t lu n: Ph ng trình đã cho có 4 nghi m là: ế ậ ươ ệSuy ra: V y ch n đáp án C.ậ ọ Câu 3. Cho ph ng trình: ươ Ph ng trình có bao nhiêu ươnghi m th cệ ựA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảCác h s c a ph ng trình là:ệ ố ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1551 2 1 1 2i 1 1 2iz , z 1 i2 2        1 2 3 4z 2,z 2,z i,z 1 i.    4 3 2z 2iz z 2iz 2 0    2315xi, x R ,4 4 3 3 2 2 4 3 222 2 22 3 23 2x i 2ix i x i 2i.xi 2 0 x 2x x 2x 2 0x x 2x 1 2 x 1 0 x x 1 2 x 1 0x 1 x x 1 2 0 x 1 x x 2 0x 1 0x 1x 1.x x 2 0                                    z i2 2 24 3 2z i z i z az b 0, a, b C z 1 z az b 0z az b 1 z az b 0.                a 2i a 2ib 1 1 b 2      22z iz iz i z i z 2iz 2 0z i 1z 2iz 2 0         z i, z i, z 1 i, z 1 i.     i 1.4 3 2z 3z 2 i z 3z 3 i 0 1 .      2014A 1; B 3;C 2 i;D 3; E 3 i.       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có Suy ra ph ng trình có 1 nghi m: ươ ệ .Chia đa th c ứ cho , ta bi n đ i:ế ổPh ng trình (2) l i có các h s th a mãn: ươ ạ ệ ố ỏDo đó ph ng trình (2) có 1 nghi m z= -1.ươ ệSuy ra (3) có 2 nghi m là ệK t lu n: Ph ng trình (1) có 4 nghi m là:ế ậ ươ ệCâu 4. Cho là nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tính giá tr c a bi u ị ủ ểth c: ứ . A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có: Gi iả ta có Suy ra Do đó Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 156www.thuvienhoclieu .comA B C D E 0.    z 14 3 2P z z 3z 2 i z 3z 3 i      z 13 23 2z 11 z 1 z 2z iz 3 i 0z 2z iz 3 i 0, 2           A ' B' C ' D ' 1 2 i 3 i 0.        222 z 12 z 1 z 3z 3 i 0z 3z 3 i 0, 39 12 4i 3 4i 1 2i                 z 1 i, z 2 i.   z 1, z 1, z 1 i, z 2 i.     1 2 3 4z ,z ,z ,z4z i12z i   2 2 2 21 2 3 4P z 1 z 1 z 1 z 1    134511591411344 4z i1 z i 2z i2z i       4 4 2 2 2 22 2 2 2z i 2z i 0 z i 2z i z i 2z i 05z 6iz 2 3z 2iz 0 3z 2iz 0 1 ,5z 6iz 2 0 2                                   1 2 2i1 z 0,z3  22'3i 10 1   3 43i 1 1 3 3i 1 1 3z i,z i5 5 5 5 5 5      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 5 . Bi t ế là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươTìm .A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảD th y ễ ấ không ph i là nghi m c a ph ng trình nênả ệ ủ ươGi i (*) {ả Kĩ thu t MTCT}ậGhi vào màn hình: Ta đ c nghi m c a ph ng trình:ượ ệ ủ ươ Ch c n thay đ i các h s c a ph ng trình ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình (2)ỉ ầ ổ ệ ố ủ ươ ượ ệ ủ ươ Suy ra: V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 6. Gi i ph ng trình:ả ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1572 2 2 21 2 3 42 22P z 1 z 1 z 1 z 14 1 3 1 30 1 i 1 i 1 i 19 5 5 5 54 17 6 17 6 5 289 36 131 i i9 25 25 25 25 9 625 625 45                                                                  1 2 3 4z ,z ,z ,z24 3zz z z 1 0.2    2 2 2 21 2 3 41 1 1 10z z z z    5379z 02221 1 1 1 1 5pt z z 0 z z 02 z z z 2z                    221 1 3iz2z 1 3i z 2 0 *z 2....1 1 3i2z 1 3i z 2 0 * *zz 2        2 arg DB E B ED B 4AC : E D : X : Y2 2A 2A         4 3 2z 4z 7z 16z 12 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com A. B. C. D.H ng d n gi i ướ ẫ ảD th y ễ ấ là nghi m c a ph ng trình nênệ ủ ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 158www.thuvienhoclieu .comz 1,z 3,z 3i,z 2i     z 1,z 3,z 2i,z 5i    z 1,z 3,z 6i,z 2i   z 1,z 3,z 2i,z 2i   z 13 2 22(pt) z 1 z 3z 4z 12 0 z 1 z z 3 4 z 3 0z 1z 1z 3z 3z 2iz 4 0z 2i                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 7. Ủ Ề GI I H PH NG TRÌNHẢ Ệ ƯƠPh ng phápươ Ta nh c l i cách gi i h ph ng trình b ng đ nh th c nh sau:ắ ạ ả ệ ươ ằ ị ứ ư ; ; N u ế thì h có nghi m duy nh t: ệ ệ ấ N u ế và ho c ặ thì h vô nghi mệ ệN u ế thì h có vô s nghi m.ệ ố ệ Ngoài ph ng pháp đ nh th c trên ta có th s d ng ph ng pháp c ng đ i s ,ươ ị ứ ể ử ụ ươ ộ ạ ốph ng pháp rút th ...ươ ế Ngoài ra ta còn có th d a vào tính ch t t p h p đi m s ph c đ gi i và bi n lu nể ự ấ ậ ợ ể ố ứ ể ả ệ ậh ph ng trình. ệ ươI. M T S VÍ D RÈN LUY N KĨ NĂNGỘ Ố Ụ ỆVí d 1.ụ Gi i các h ph ng trình sau trên t p s ph c:ả ệ ươ ậ ố ứGi iảa) Ta có các đ nh th cị ứ V y h ph ng trình có nghi m ậ ệ ươ ệ v iớ b) Ta có các đ nh th cị ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 159a bD ab' a'ba' b'  xc bD cb' c'bc' b'  ya bD ab' a'ba' b'  D 0yx DDx ; y .D D D 0xD 0Dy 0x yD D D 0  3 i x 4 2i y 2 6i 2 i x 2 i y 6a) ; b)4 2i x 2 3i y 5 4i 3 2i x 3 2i y 8                     xy 3 i 4 2iD 3 i 2 3i 4 2i 4 2i 21 23i4 2i 2 3i2 6i 4 2iD 2 6i 2 3i 5 4i 4 2i 2 44i5 4i 2 3i3 i 2 6iD 3 i 5 4i 4 2i 2 6i 23 21i4 2i 5 4i                                 x,yx2 2y2 22 44i 21 23iD2 44ix 1 iD 21 23i21 23D23 21i 21 23i23 21iy iD 21 23i21 23             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y h ph ng trình có nghi m ậ ệ ươ ệ v iớ Ví d 2.ụ Gi i các h ph ng trình sau v i hai n ả ệ ươ ớ ẩ và :a) b) Gi iảa) Ta có: b) H ph ng trình ệ ươV y h ph ng trình có 1 nghi m ậ ệ ươ ệVí d 3.ụ Gi i các h ph ng trình sau v i hai n ả ệ ươ ớ ẩ và :a) b) Gi iảa) Ta có: Đ t ặ h ph ng trình tr thànệ ươ ởThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 160www.thuvienhoclieu .comxy 2 i 2 iD 2 i 3 2i 3 2i 2 i 2i3 2i 3 2i6 2 iD 6 3 2i 8 2 i 2 4i8 3 2i2 i 6D 8 2 i 6 3 2i 2 4i3 2i 8                      x,yxyD2 4ix 2 iD 2iD2 4iy 2 iD 2i        zw2z w 4;2i z w 0  z w 4 3iz iw 3 2i    2z w 42z w 4 2z w 42 2i z 42i z w 0 2iz w 0               2 1 i2 1 i2zz 1 izz1 i 1 i1 11 iw 2 2iw 4 2zw 4 2 1 iw 4 2z               z w 4 3i (1)z w 4 3i1 i w 1 5i (2)z iw 3 2i1 5i 1 i1 5i 1 5 i 5i(2) w 3 2i1 i 1 i1 i 1 i(1) z 4 3i w 4 3i 3 2i 1 i.                               z 1 iw 3 2i  zwz w w i;z w z i    z w 1 w2z w 2 i w     z w w iz w w iz w z iz z w i         z x yi, w u vi , (x,y, u,v ),    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph ng trình có 1 nghi m là : ậ ươ ệb) Ta có: Đ t ặ và thì h ph ng trình tr thànhệ ươ ởV y h ph ng trình có 1 nghi m là : ậ ệ ươ ệVí d 4.ụ Gi i h ph ng trình trên t p s ph c: ả ệ ươ ậ ố ứ .Gi iảTa có:Kh x ta có h : ử ệ Lúc đó: V y h có nghi m là: ậ ệ ệ Ví d 5.ụ Tìm s ph c ố ứ th a mãn ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 161x 0x 0 x 0u 0x y 2v i ix yi 2vi i y 2v 1 u 03y2yi u vi i u 0 y 2v 1u 2y v i i52y v 1 2y v 1 1v5                                     3z i5;1w i5z w w 1z w 1 w2z w 2 i w2z w w 2 i           z x yi, w u vi(x,y,z,v R)  x 1x 2u 1y 0x 2u yi 1x yi 2u 1 y 0u 02x 2y 2v i 2 i2x 2yi 2vi 2 i 2x 212y 2v 1v2                        z 11w i2x iy 2z 10x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30       x iy 2z 10 x iy 2z 10x y 2iz 20 x y 2iz 20ix 3iy 1 i z 30 x 3y i 1 z 30i                       i 1 y 2 1 i z 104y 1 i z 20 30i      x 3 11i. x 3 11iy 3 9iz 1 7i   1 2z ,z1 22 21 2z .z 5 5iz z 5 2i   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảTa có: Ta có Nên là nghi n ph ng trình: ệ ươTa đ c nghi m: ượ ệNên là nghi n ph ng trình: ệ ươV y nghi m c a h ph ng trình là:ậ ệ ủ ệ ươ Ví d ụ 6 . Gi i h ph ng trình hai n: ả ệ ươ ẩGi iảT (2) suy ra: ừ T (1) suy ra: ừ Do đó: nên t c là ứ Suy ra: t c là ứ T ừ và suy ra nên b ng 1 ằho c b ng -1. ặ ằT ừ và (2) suy ra t c ứ ho c ặ .Mà (1): nên và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 162www.thuvienhoclieu .com1 22 21 2z .z 5 5iz z 5 2i   22 21 2 1 2 1 2z z z z 2z z   2 21 21 2 1 21 21 21 2z z 1 4i5 2i z z 2 5 5i z z 15 8iz z 1 4iz z 1 4i*z .z 5 5i                  1 2z ,z2z 4i 1 z 5 5i 0    z 2 iz 1 3i  2 i; 1 3i ; 1 3i;2 i     1 21 2z z 1 4i*z .z 5 5i   1 2z ,z2z 1 4i z 5 5i 0    z 2 iz 1 3i  1 1 1 12 2 2 2z 2 i z 1 3i z 2 i z 1 3i; ; ;z 1 3i z 2 i z 1 3i z 2 i                             3 52 4z w 0 (1)z (w) 1 (2) 126z w 1.6 10z w1210w w 122w 1w 1106z w 1 z 1.1ww1210w w 12w 1w2w 12z 1z 1z 13 5z w 0 z 1 w 1  z 1 w 1  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y h có hai nghi m ậ ệ ệ . Ví d 7.ụ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ Gi iảPh ng trình th nh t c a h t ng đ ng: ươ ứ ấ ủ ệ ươ ươ ,(d ễ th y ấ không th a mãn).ỏTh vào ph ng trình th hai c u h ta đ cế ươ ứ ả ệ ượ :V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m:ậ ệ ươ ệNh n xét: ậ Vi c bi n đ i ph ng trình b c 4 có nghi m th c thì không quá khó khăn, có thệ ế ổ ươ ậ ệ ự ểdùng máy tính đ nh m nghi m và đoán nhân t chung. Th nh ng v i ph ng trình b cể ẩ ệ ử ế ư ớ ươ ậ4 nghi m ph c (và không có nghi m th c) thì vi c dùng máy tính đ nh m nghi m r iệ ứ ệ ự ệ ể ẩ ệ ồđoán nhân t chung là không th . V y nên ta ph i dùng kĩ thu t gi i ph ng trình b c 4ử ể ậ ả ậ ả ươ ậđ phân tích nhân t chung m t cách nhanh chóng:ể ử ộ .Bây gi ta thêm vào 2 v m t l ng là ờ ế ộ ượ (đ v trái đ c m t bình ể ế ượ ộph ng đúng):ươThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 163z,w 1; 1 ; z,w 1;1   2 22z w zw 7z,wz w 2w 2     w 72 z w w 7 z2 w    w 222 4 3 22 2w 7w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 02 ww 7w 19 w w 3 0                222 2 7 277 3i 3ww2 4w 7w+19 02 21 11w w 3 01 11ww2 22 4                7 3i 3 5 3i 3w z2 27 3i 3 5 3i 3w z2 21 i 11 3 i 11w z2 21 i 11 3 i 11w z2 2                5 3i 3 7 3i 3 5 3i 3 7 3i 3z;w ; , ; ,2 2 2 23 i 11 1 i 11 3 i 11 1 i 11; , ;2 2 2 2                                   24 3 2 2 2w 6w 15w 2w+57=0 w 3w 6w 2w 57       2 22m. w 3w m    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com (*)Mu n v ph i là m t bình ph ng đúng (ho c có th là l ng âm c a bình ph ng ố ế ả ộ ươ ặ ể ượ ủ ươđúng: ) thì:Vì lí do “th m m ” nên chúng ta ch nẩ ỹ ọ . Thay vào (*):Ví d 8.ụ Gi i h b t ph ng trình sau v i n là s ph c ả ệ ấ ươ ớ ẩ ố ứ z : Gi iả G i ọ là t a v c a đi m Mọ ị ủ ểb t kỳ trong m t ph ng ph c. T p h p cácấ ặ ẳ ứ ậ ợđi m M có t a v ể ọ ị z th a mãn (ỏ 1 ) là hình tròntâm , bán kính ( k c biên ).ể ảTa có T p h p các đi m M có t a ậ ợ ể ọ độ z th a mãnỏ ( 2 ) là ph n c a m t ph ng n m bên ngoàiầ ủ ặ ẳ ằ hình tròntâm , bán kính ( k c biên ).ể ảV y nghi m c a h b t ph ng trình đã cho ậ ệ ủ ệ ấ ươ là giao c a hai t p h p trên. Đó là “ hình ủ ậ ợtrăng l i li m ” không b bôi đen trong hình v .ưỡ ề ị ẽVí d 9.ụ Gi i h b t ph ng trình sau v i n là s ph c ả ệ ấ ươ ớ ẩ ố ứ z : Gi iảG i ọ là t a v c a đi m M b tọ ị ủ ể ấ kỳ trong m t ph ng ph c.ặ ẳ ứ T p h p các đi m M cóậ ợ ể t aọv z th a mãn (ị ỏ 1 ) là n a m t ph ng không ch aử ặ ẳ ứđi m Aể có b là đ ng trung tr c c a đo n th ngờ ườ ự ủ ạ ẳ AB( k c đ ng trung tr c ), v i ể ả ườ ự ớ và. T p h p các đi m M có t a v z th aậ ợ ể ọ ị ỏ mãn ( 2 ) là hình tròn tâm , bán kính ( k cể ảbiên ). Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 164www.thuvienhoclieu .com22 2 2w - 3w m 2m 6 w 2 1 3m w m 57      2A2' 277 3 330 1 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m4            m 11m 11222 2 2 2w -3w+11 16w 64w 64 4w 8 w -7w+19 w +w+3 0      z 3 i 2 (1)2z 9 2i 5 (2)    z x yi x,y  A 3 iR 29 5(2) z i2 2   9B i2   5R2z 3 2i1 (1)z 1z 1 2i 2 (2)   z x yi x,y  A 3 2i B 1E 1 2iR 2Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y nghi m c a h b t ph ng trình đã cho làgiao c a hai t p h p trên. Đó là ph n hình ậ ệ ủ ệ ấ ươ ủ ậ ợ ầtròn k c biên không b bôi đen trong hình vể ả ị ẽVí d 11ụ . Cho ba s ph c ố ứ th a mãn h ỏ ệTính giá tr bi u th c ị ể ứGi iảVì , do đó có th đ t:ể ặSuy ra Mà nên Ta có Suy ra ho c ặ ho c ặ ho c ặ , do đó hai trong ba s ố b ng ằnhau.Gi s ả ử thì hay ta có . Do đó V y ậ ho c ặ ho c ặ .II. CÂU H I VÀ BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUANỎ Ậ Ắ ỆCâu 1. Tìm nghi m c a h ph ng trình:ệ ủ ệ ươ .A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảTa cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1651 2 3z ,z ,z1 2 331 22 3 1z z z 1zz z1z z z    1 2 3T az bz cz ;a, b,c R   31 21 2 32 3 1 zz zz z z 1 , 1z z z     1 22 3z zcosx i sinx, cosy i sinyz z   3 321 2 1z zz. cos x y i sin x y .z z z      31 22 3 1zz z1z z z  cosx cosy cos x y 1sinx siny sin x y 0        0 sinx siny sin x y    x y x y x y x y2sin cos 2sin cos2 2 2 2x y x y x y x y x y2sin cos cos 4sin sin sin .2 2 2 2 2 2            x k2 y k2 x y k2  1 2 3z ,z ,z1 2z z3 31 13 1 3 1z zz z0z z z z   233 11z1 z izz      221 2 3 1 1 1 1az bz cz az bz icz z a b ic a b c           22a b c   22b c a   22a c b  3x 1 i y 2 14iix 2i 1 y 4 9i      x,y 1 5i; 3 2i .   x,y 1 5i;3 2i .  x,y 1 5i; 3 2i .   x,y 1 5i; 3 2i .   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 2. Tìm nghi m c a h ph ng trình ệ ủ ệ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảT ph ng trình th (2) ta có: ừ ươ ứ thay vào ph ng trình th nh t ta đ c:ươ ứ ấ ượ Lúc đó: .V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ .Câu 3. Tìm s nghi m c a h ph ng trình ố ệ ủ ệ ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảT ph ng trình th nh t ta đ c: ừ ươ ứ ấ ượ th vào ph ng trình th (2) ta đ c:ế ươ ứ ượ Ta có Do đó V y ch n đáp án B. ậ ọCâu 4 . S nghi m c a ố ệ ủ h ph ng trìnhệ ươ A. B. C. D. Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 166www.thuvienhoclieu .comxy 3 1 iD 3 1 2i i 1 i 4 7ii 1 2i2 14i 1 iD 2 14i 1 2i 4 9i 1 i 39 13i4 9i 1 2i3 2 14iD 3 4 9i i 2 14i 2 29ii 4 9i                               x,y 1 5i; 3 2i .   x 3y 2 3i2x y 5 2i    17 9i 1 4ix,y ;7 7       17 9i 1 4ix,y ;7 7      17 9i 1 4ix,y ;7 7      17 9i 1 4ix,y ;7 7     y 2x 5 2i  17 9ix 3 2x 5 2i 2 3i 7x 17 9i x7          1 4iy7 17 9i 1 4ix,y ;7 7     2 2x 2 i y 2.x 3iy 5 15i    1204x 2 2 i y  23 7i y 4 2 i y 1 15i 0 *      2' 120 22i 11 i    y i x 3 2i*26 51i 45 76iy x29 29        2 2z w zw 8z w 1   1234Chuyên Đ S Ph cề ố ứ H ng d n gi i ướ ẫ ảTa cóVậy chọn đáp án D. Câu 5 . Tìm nghi m c a ệ ủ h ph ng trìnhệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có h t ng đ ng: ệ ươ ươDo đó ta có h m i: ệ ớ nên u, v là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 6 . Cho h ph ng trình ệ ươ . Tính A. B. C. D. H ng d nướ ẫ gi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1672z w zw 8zw 5 zw 13hpt i iiz w 3 z w 5z w 2 z w 15 03 i 11 3 i 11w w2 2i ;3 i 11 3 i 11z z2 25 i 27 5 i 27w w2 2ii5 i 27 5 i 27z z2 2                                            2 2u v 4uv 0u v 2i   u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u,v 1 3 i, 1 3 i .       u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     2u v 2uv 04 2uv 0 uv 2u v 2i        u v 2iuv 2 2z 1 3 iz 2iz 2 0z 1 3 i     u,v 1 3 i, 1 3 i ; u, v 1 3 i, 1 3 i .     1 22 21 2z z 4 iz z 5 2i    1 21 1z z 1 3i2 10 1 3i2 10 1 3i2 101 3i2 10Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Theo đ nh lý Vi-et thì ị là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươTóm l i, h đã cho có hai nghi m ạ ệ ệ là Vậy chọn đáp án D. Câu 7 . Gi i h ph ng trình hai n: ả ệ ươ ẩH ng d nướ ẫ gi iảTa có: Theo đ nh lí Vi-et ị là nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươTóm l i, h đã cho có hai nghi m ạ ệ ệ là Câu 8. Cho ba s ph c ố ứ th a mãn h ỏ ệTính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ v i n là s nguyên d ng.ớ ố ươA. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 168www.thuvienhoclieu .com1 21 2z z 4 ihpt . z z 5 5i   1 2z ,z22t 4 i t 5 5i 0, 5 12i 2 3i4 i 2 3it 3 i2. 4 i 2 3it 1 2i2                  1 2z ;z3 i;1 2i ; 1 2i;3 i   3 3z w 3 1 iz w 9 1 i     33 3z w z w -3zw z w =9 1 i     z w 3 1 ihpt . zw 5i  1 2z ,z 22t 3 1 i t 5i 0, 2i 1 it 2 i. t 1 2i         z;w2 i;1 2i ; 1 2i;2 i   1 2 3z ,z ,z1 2 31 2 3z z z 1z z z 1    2n 1 2n 1 2n 11 2 3S z z z    S 2S 11S2S 4Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên . Do đóV yậ là ba nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươCh ng t trong ba s ph c ứ ỏ ố ứ ph i có m t s b ng 1 và hai s còn l i đ i nhau. ả ộ ố ằ ố ạ ốKhông m t tính t ng quát, gi s ấ ổ ả ử khi đó :V y ta có t ng S=1ậ ổChú ý: Có th gi i bài toán b ng cách s d ng bi u di n hình h c s ph c ho c dùng d ngể ả ằ ử ụ ể ễ ọ ố ứ ặ ạl ng giác ( ví d d i đây)ượ ụ ướCâu 9 . Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảC ng (1) và (2) v theo v ta đ c: ộ ế ế ượ Nhân (2) v i 3 r i c ng v i (3) ta đ c ớ ồ ộ ớ ượ Lúc đó h ph ng trình tr thành:ệ ươ ở Gi i h trên ta đ c: ả ệ ượ V y ch n đáp án C. ậ ọCâu 10 . Tìm s nghi m c a h ph ng trình ố ệ ủ ệ ươ A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảTa có l u ý sau:ư Ch ng minh r ng n u 3 s ph c ứ ằ ế ố ứ thõa mãn: thì m t trong 3 s đó ph i b ng 1ộ ố ả ằ .Th t v y ậ ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1691 2 3z z z 1  1 2 31 2 31 1 1z , z , zz z z   1 2 3 1 2 31 2 31 2 2 3 3 1 1 2 31 1 1z z z z z z 1z z zz z z z z z z z z a            1 2 3z ,z ,z1 2 3z ,z ,z1 2 3z 1;z z 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 2 3 2 zS z z z 1 z z 1          1 2 31 2 31 2 3z z z 4 2i 12z z z 2 5i 2z 2z 3z 9 2i 3         1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .   1 23z 2z 6 7i 4  1 27z 5z 15 17i 5  1 2 31 21z z z 4 2i3z 2z 6 7i7z 5i 15 17i       1 2 3z ,z ,z i,3 2i,1 i .  1 2 31 2 31 2 3z z z 1z z z 1z z z 1    S 2S 1S 3S 61 2 3z ;z ;z1 2 31 2 3z z z 1z z z 1    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ta có:  N u ế thì  N u ế thì , g i đi m P bi u di n s ph c ọ ể ể ễ ố ứ thì P sẽkhông trùng v i O và ớ nên đ ng trung tr c c a OP c t đ ng trònườ ự ủ ắ ườđ n v r i hai đi m ơ ị ạ ể và cũng là hai đi m bi u di n ể ể ễ Do đó ho cặ ho c ặ . V y ậ ho c ặ ho c ặ Áp d ng:ụ gi i h ph ng trình trên thì có m t n b ng 1 và t ng hai n còn l i b ng 0.ả ệ ươ ộ ẩ ằ ổ ẩ ạ ằXét thì có nên T gi thi t ừ ả ế nên hay thì có ho c ặ V y h có 6 nghi m là hoán v các ph n t c a b ba ậ ệ ệ ị ầ ử ủ ộ V y ch n đáp án D. ậ ọCâu 11. Cho h ph ng trình ệ ươ Tìm kh ng đ nh đúngẳ ịA. H có nghi m duy nh tệ ệ ấB. H đã cho vô nghi mệ ệC. Nghi m c a h là nh ng s th cệ ủ ệ ữ ố ựD. Thành ph n nghi m c a h có m t s th c và m t s ph cầ ệ ủ ệ ộ ố ự ộ ố ứH ng d n gi i ướ ẫ ảXét h ph ng trình ệ ươTa có (*)T (*) ta có ừ , vì th ế . Do đó nên h có ệd ng ạTh l i th y th a mãn, v y h đã cho có nghi m ử ạ ấ ỏ ậ ệ ệV y ch n đáp án D. ậ ọCâu 12 . Tìm s ph c z th a mãn : ố ứ ỏThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 170www.thuvienhoclieu .com1 2 3 1 2 3z z z 1 1 z z z      z 12 3z z 0 z 111 z 0 1 2 31 z z z 0    1 2 31 z z z   11, z2 3z ,z .2 3 1z 1,z z 2 1 3z z ,z 1 1z 12z 13z 1.1z 12 3z z 0 2 3z z .1 2 3z z z 123z 1 2 23z 1 i 2 3z i,z i 2 3z i,z i. 1,i, i .3 25 3z w 0.z w 1 3 25 3z w 0 (1)z w 1 (2) 15 103 210 915 95 3 z wz w 0w w 1z w 1z w 1      10 9w w 1 w 1  910 91 w w w. w.w w  w 13 55 5z 1 z .z 1z 1z 1 z 1         z;w 1;12 22 z i z z 2iz (z) 4    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ A. B. C. D. H ng d n gi iướ ẫ ảG i s ph c ọ ố ứ H ệ V y s ph c c n tìm là : ậ ố ứ ầ . V y ch n đáp án D.ậ ọ Câu 13. Tìm tham s m đ h ph ng trình ph c có nghi m duy nh t:ố ể ệ ươ ứ ệ ấ, ( n z là s ph c)ẩ ố ứA. , B. , C. , D. , H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọTheo gi thi t, ta có ả ế là h ph ng trình t a đ giao đi m c a đ ng tròn (C): ệ ươ ọ ộ ể ủ ườVà đ ng th ng ườ ẳ : Đ ng tròn (C) có tâm ườ và bán kính .H ph ng trình có nghi m duy nh t ệ ươ ệ ấ ti p xúc v i (C).ế ớ Đ t ặ , ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 171331z 4 i4  33 1z 4 i4 331z 4 i4  33 1z 4 i4 z x yi x,y  2 x (y 1)i (2y 2)i4xyi 4    233xx 4y41y1 1y y4x x      33 1z 4 i4 z 3i 1 1z i 1 m z     m 1 3 m 1 15 m 1 3 m 1 5 m 1 5 m 1 15 m 1 5 m 1 3 z x yi, x,y  x 1 y 3 i 1x 1 y 1 i m x yi        2 22 22 2 222x 1 y 3 1x 1 y 3 1*2 m 1 x 2y 2 m 0x 1 y 1 m x y                   *2 2x 1 y 3 1   22 m 1 x 2y 2 m 0    I 1;3R 1 22 22m 2m 6d I , R 1 m 1 7 4 m 1 44 m 1 4             2t m 1 t 0  22t 7 4t 4 t 7 4t 4 t 18t 45 0 t 3,t 15             2t 3 m 1 3 m 1 3      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y giá tr c n tìm là ậ ị ầ hay V y ch n đáp án A. ậ ọCâu 14. Tìm nghi m c a ệ ủ h ph ng trình sau v i n là s ph c ệ ươ ớ ẩ ố ứ z và là tham s th c ố ựkhác 0.A. B. C. D. H ng d n gi i ướ ẫ ảG i ọ A , B theo th t là các đi m trong m t ứ ự ể ặph ng ph c ẳ ứ bi u di n s ph cể ễ ố ứ là , . Khi đó t p h p ậ ợ đi m M bi u di n s ph c ể ể ễ ố ứ z th a mãn (1) là đ ng ỏ ườ tròn đ ng kính AB, tr hai đi m A và B. Đ ng tròn ườ ừ ể ườ này có tâm E bi u di n s ph c ể ễ ố ứ và bán kính nên có ph ng trình làươ G i C, D theo th t là các đi m trong m t ọ ứ ự ể ặ ph ng ph cẳ ứbi u di n các s ph c ể ễ ố ứ . Khi đó t p h p đi m M bi uậ ợ ể ểdi n s ph c ễ ố ứ z th a mãn (2) là đ ng trung tr c c a đo nỏ ườ ự ủ ạth ng CD. Đ ng trung tr c này đi qua trung đi mẳ ườ ự ể c a đo n th ng CD và nh n ủ ạ ẳ ậ làm véctơpháp tuy n nên có ph ng trình là ế ươ . Suy ra giao đi m c a đ ng tròn vàể ủ ườđ ng trung tr c là nghi m c a h đã cho. Đó là các đi mườ ự ệ ủ ệ ể th a mãn (ỏ * ) và ( ** ), t c là nghi m c a h ph ng trình sauứ ệ ủ ệ ươ : ho c ặ .V y nghi m c a h ph ng trình là: ậ ệ ủ ệ ươ V y ch n đáp án A. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 172www.thuvienhoclieu .com2t 15 m 1 15 m 1 15      m 1 3 m 1 15 z 4 2ii (1)z 2z 21 (2)z 2i z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   z 2 2i, z 2 2i.   4 2i21 i1R 6 2i 3 i 102    2 2x 1 y 1 10 *   2, 2i H 1 iCD 2 2i 2 x 1 2 y 1 0    x y 0 * *  x; y2 2 2 2x y 0 y xx 1 y 1 10 x 1 x 1 10               y x x 2x 2 y 2      x 2y 2z 2 2i, z 2 2i.   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Câu 15. S nghi m c aố ệ ủ h ph ng trình sau v i ệ ươ ớ z là n s ẩ ố : A. 0 B. 1 C. 2 D. 4H ng d n gi i ướ ẫ ảG i E là đi m trong m t ph ng ph c có t a v là ọ ể ặ ẳ ứ ọ ị . Khi đó t p h p đi m M bi u di n ậ ợ ể ể ễs ph c ố ứ z th a mãn (ỏ 1 ) là đ ng tròn tâm E, bán kính ườ .Ph ng trình đ ng tròn này là: ươ ườ ( * ) . G iọ A,B theo th t là các đi m bi u di n s ph c ứ ự ể ể ễ ố ứ .Khi đó t p h p đi m M bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ z th a mãn (ỏ 2 ) làđ ng tròn Appollonius chia đo n th ng AB theo t s ườ ạ ẳ ỷ ố .Đ ng tròn Appollonius có tâm F là đi m có t a ườ ể ọ độ và có bán kính Ph ng trình đ ng tròn Appollonius là ươ ườ : ( ** ) Suy ra nghi m c a h đã cho là giao đi m c a hai đ ng tròn (ệ ủ ệ ể ủ ườ * ) và ( ** ), t c là các đi mứ ể th a mãn h ph ng trình sau:ỏ ệ ươ ho c ặ .V y h ph ng trình đã cho có hai nghi m là ậ ệ ươ ệ và .V y ch n đáp án C. ậ ọThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 173z 1 4i 3 (1)z 3 2i2 (2)3z i2    1 4iR 32 2x 1 y 4 9   33 2i, i2   k 22233 2i 4 i2a k bf 1 2i1 41 k          2k a bR1 k32 3 2i i21 2i 51 4       2 2x 1 y 2 5   x; y2 22 22 2 2 2x 1 y 4 9x y 2x 8y 8 0x y 2x 4y 0x 1 y 2 5                22 2 2 y 2 xx y 2 0x y 2x 4y 0 x 2 x 2x 4 2 x 0                2y 2 xx 1y 1x x 2 0     x 2y 4z 1 i z 2 4i Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 174www.thuvienhoclieu .comChuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 8. D NG L NG GIÁC S PH CỦ Ề Ạ ƯỢ Ố ỨBài toán 1: Vi t s ph c d i d ng l ng giácế ố ứ ướ ạ ượPh ng phápươ1. Đ vi t s ph c ể ế ố ứ d i d ng l ng giác ướ ạ ượTr c h t ta bi n đ i:ướ ế ế ổ Nh v y: ư ậ . Đ t ặ và T đó suy ra ừ là 1 acgumen c a ủ .2. Chú ý các công th c bi n đứ ế iổ l ng giác:ượ * I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) 5; b) -3 b)7i; d) . Gi iảa) b) c) d) Ví d 2. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) d) Gi iảa) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 175z a bi,(a, b )  z r(cos i sin )   2 22 2 2 2a bz a b ( i)a b a b   2 2r a b  2 2acosa b2 2bsina bz2*1 cos isin 2 cos 2i sin cos2 2 22 cos cos i sin2 2 2            sin 11 i tan 1 i (cos i sin )cos cos       2i5 5 1 0i 5 cos 0 i sin 0 .   3 3 1 0i 3 cos +sin i .      7i 7 0 i 7 cos i sin .2 2       2i 2 0 i 2 cos i sin2 2                   1 i 3 ;  3 i 3 ; 1 3i;3 37 37i.31 31 i 3 2 i 2 cos i sin .2 2 3 3                       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) c) d) Ví d 3. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) Gi iảa) b) c) Ví d 4. ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) ; b) c) Gi iảa) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 176www.thuvienhoclieu .com1 i3 i 3 3 1 i 6 6 cos i sin .4 42 2                        1 3 2 1 3 2i i cos i sin .3 3 3 2 2 3 3 3            7 3 7 3 14 3 1 3 14 37i 1 i 3 i cos i sin .3 3 3 2 2 3 3 3                         1 3i 1 2i ; 1 i 1 3 2 i ;     2 2i . 2 3 2 4 i ;     21 3i 1 2i 1 6i 3i 2i 5 5i 5 1 i          1 1 3 35 2 i 5 2 cos i sin .4 42 2           1 i 1 3 2 i 1 3 2 3 2 1 i           3 3 3 1 i 3 3 1 3 1 i3 13 1 3 i 2 3 1 i2 22 3 2 cos i sin .6 6                      2 2i . 2 3 2 4 i 2 6 2 8 6 4 2 2 2 i           6 2 6 6 6 2 i 6 2 6 1 i1 12 6 2 6 i2 212 6 2 cos i sin .4 4                             12 2i3 i;1 2i 1 i 3.1 i1 1 2 2cos i sin2 2i 4 4 42 1 i4 cos i sin4 4                        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) c) Ví d 5.ụ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) Gi iảa) Ta có:b) Cách khác:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 17723 i 1 2i3 i 3 2 6i i 5 5i1 i1 2i 1 41 2i 1 2i1 2i           1 12 i 2 cos i sin .4 42 2          1 i 3 2 7 7cos i sin 2 cos i sin1 i 3 4 3 4 12 122                                              i131 3 1 3 i.  sini 1 261 1 i tan 1 i cos i sin cos i sin .6 6 6 6 63 3cos cos6 6                      sin sin3 31 3 1 3 i 1 tan 1 tan i 1 1 i3 3cos cos3 3                      1 1cos sin cos i sin i3 3 3 3cos cos3 31 1cos sin sin cos i3 3 3 3cos cos3 3                                  1 12 cos 2 sin .i3 4 3 4cos cos3 32 2 cos i sin 2 2 cos i sin .12 12 12 12                                          1 31 3 1 3 i 1 3 1 i1 3tan tan4 31 3 1 i1 tan . tan4 31 3 1 i tan 1 3 1 i tan .4 3 12sin121 31 3 1 i cos i sin12coscos1212                                                                          .12       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Mà Do đó: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 178www.thuvienhoclieu .com1 3 1 3cos cos cos . cos sin . sin .12 3 4 3 4 3 42 2 2 2 2 2                1 31 3 1 3 .i cos i sin12 12cos122 2 cos i sin .12 12                                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ II. Bài t p t luy nậ ự ệBài t p 1.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) b) c) d) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta cóBài t p 2.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượa) ; b) ; c) d) Gi iảa) Ta có: b) Ta có: c) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1792 i 3 i 2 2 i 26 2i1 i 1 ( 3 2)i  33 2i 3 i3     2 22 i 3 i 5 5i 5 2 i 5 2 cos i sin .2 2 4 4               2 2 i 2 2 2 1 2 2 1i i cos i sin6 2i 4 4 2 2 2 2 4 4              1 i 1 ( 3 2)i 3 3 1 3 i 1 3 3 i3 12 2 3 i 2 2 3 cos i sin .2 2 3 3                      3 7 3 33 2i 3 i 7 i 7 i3 3 314 3 1 3 14 3i. cos i sin .3 2 2 3 3 3                                         2 1 i 2 3 i  1 2 1 i; 1 2 3 i. 1 12 1 i 2 1 i 2 1 cos i sin4 42 2              22 2 cos 2i sin .cos 2 2 cos cos i sin .8 8 8 8 8 8                 3 i 5 52 3 i 2 1 2 1 cos i sin2 2 6 6               25 5 5 5 5 52 2 cos i sin . cos 4 cos cos i sin .12 12 12 12 12 12                 1 2 1 i 2 1 2 1 2 1 i      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com d) Bài t p 3. ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giácế ố ứ ướ ạ ượ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:b) Ta có:Bài t p 4.ậ Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:ế ố ứ ướ ạ ượ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:b) Ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 180www.thuvienhoclieu .com2 1 i2 1 2 1 i 2 2 1 12 23 32 2 1 1 cos i sin4 43 3 32 2 1 2 cos 2i sin . cos8 8 83 3 32 2 2 1 . cos . cos i sin .8 8 8                                 1 2 3 i 2 3 2 3 2 3 i      2 3 i2 3 2 3 i 2 2 3 12 22 2 3 1 cos i sin6 62 2 3 2 cos 2is sin . cos12 12 124 2 3 cos . cos i sin .12 12 12                                 a) z cos i sin ; b)z 5 cos i sin .9 9 6 6                z cos i sin cos i sin cos i sin9 9 9 9 9 9cos i sin .10 10                               5 5z 5 cos i sin 5 cos i sin 5 cos i sin6 6 6 6 6 6                                       a) cos i sin ; b) cos i sin ; c) cos i sin .          cos i sin cos i sin cos i sin               cos i sin cos i sin        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ c) Ta có: Bài t p 5.ậ Vi t d i d ng l ng giác các s ph c sau:ế ướ ạ ượ ố ứ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có:  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì không có d ng l ng giác.ạ ượb) Ta có  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì d ng l ng giác là ạ ượ  Khi thì không có d ng l ng giác. ạ ượThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 181cos i sin cos i sin .           1 cos i sina) ; b) 1 cos i sin 1 cos i sin .1 cos i sin               222 sin 2i sin cos1 cos i sin1 cos i sin2 2 21 cos i sin 1 cos i sin2 cos 2i sin cos2 2 2sin i cos2 2tan . i tan2 2cos i sin2 2                       tan 02tan cos i sin2 2 2                tan 02tan cos i sin2 2 2               tan 021 cos i sin 1 cos i sin2 sin sin i cos .2 cos cos i sin2 2 2 2 2 22 sin cos i sin2 2 2                                            sin 022 sin cos i sin2 2 2                  sin 022 sin cos i sin2 2 2                   sin 02Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 2: Áp d ng công th c Moivre đ th c hi n các phép tínhụ ứ ể ự ệPh ng phápươ* * * * * I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1ụ . Tính các giá tr c a s ph c sau và vi t k t qu c a chúng d i d ng ị ủ ố ứ ế ế ả ủ ướ ạb) ; Gi iảa) Ta có: b) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 182www.thuvienhoclieu .comn(cos i sin ) cos n isin n     , , , ,(cos i sin )(cos i sin ) cos( ) i sin( )            , ,, ,cos i sincos( ) i sin( )cos i sin        21 cos i sin 2 cos 2i sin cos2 2 2      2 cos cos i sin2 2 2      sin 11 i tan 1 i (cos i sin )cos cos       a bi , a , b 2 2 3 3a) A cos i sin cos i sin . 7 7 14 14              7 cos i sin4 4B5 cos i sin12 12        34cos i sin5 5c) Ccos i sin15 15        2 2 3 3A cos i sin . cos i sin7 7 14 14              2 3 2 3cos i sin cos i sin i.7 14 7 14 2 2                    7 cos i sin4 47B cos i sin4 12 4 1255 cos i sin12 127 105 35cos i sin i.6 6 10 105                                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ví d 2ụ . Tìm s nguyên d ng n bé nh t đ ố ươ ấ ể là s th c.ố ự(Trích đ thi th sề ử ố 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế )Gi iảTa có: Do đó S đó là s th c khi và ch khi ố ố ự ỉS nguyên d ng bé nh t c n tìm là ố ươ ấ ầ .Ví d 3.ụ Tính giá tr các bi u th c sau:ị ể ứ ; b) c) d) Gi iảa) Ta cób) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 18334 3 3cos i sin cos i sin5 5 5 5C4 4cos i sincos i sin15 1515 153 4 3 4 1 3cos i sin i.5 15 5 15 2 2                                            n3 i1 i    3 i 2 cos i sin ; 1 i 2 cos i sin6 6 4 4                            3 i 5 52 cos i sin1 i 12 12       nn23 i 5n 5n2 cos i sin1 i 12 12          5n 5n 5nsin 0 k k k12 12 12         n 12 9 91 i 1 ia) A2 2            7 71 i 3 1 i 3B2 2              6 65 5C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3 ;     5 54 41 i 3 1 i 3D1 i 1 i   99 991 i 1 iA cos i sin cos i sin4 4 4 42 29 9 9 9cos i sin cos i sin4 4 4 49 9 9 9cos i sin cos i sin cos cos 24 4 4 4 4 4                                                                             7 7771 i 3 1 i 3B cos i sin cos i sin2 2 3 3 3 37 7 7 7cos i sin cos i sin3 3 3 37 7 7 7cos i sin cos i sin 2i sin i 33 3 3 3 3                                                                    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com c) Ta có d) Ta cóVí d 4. ụ Tính giá tr các bi u th c sauị ể ứa) b) ; c) .Gi iảa) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 184www.thuvienhoclieu .com6 65 56 65 55656556C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 31 i 3 1 i 1 i 1 i 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 cos i sin cos i sin3 3 4 42 2 cos i sin cos4 4 3                                                                                           6i sin3          88 6 6 5 52 2 cos i sin cos i sin3 3 4 45 5 6 62 2 cos i sin cos i sin4 4 3 3                                                    8 95 5 5 5 52 2 cos i sin cos i sin 2 2 cos 5124 4 4 4 4            5 55 55 54 4 4 44 455555 422 1 3 1 32 i 2 i1 i 3 1 i 32 2 2 2D1 i 1 i1 i 1 i2 22 2 2 22 cos i sin2 cos i sin3 33 32 cos i sin2 cos i sin4 44 4                                                                         5 55 5cos i sincos i sin3 33 38 8cos i sin5 5cos i sin4 41 i 3 1 i 38 82 2 2 281 1                                               4 45 5 5 5A 1 cos i sin 1 cos i sin ;3 3 3 3                 441 cos i sin6 6B1 cos i sin6 6            228 81 cos i sin3 3C8 81 cos i sin3 3           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ b) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1854 44 42 24 45 5 5 5A 1 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 35 5 5 5 5 52 cos 2i sin cos 2 cos 2i sin cos6 6 6 6 6 65 5 5 5 5 52 cos cos i sin 2 cos cos i sin6 6 6 6 6 65 52 cos cos i sin6 6                                                                 445 5 5 52 cos cos i sin6 6 6 6                                   4 42 3 20 20 2 3 20 20cos i sin cos i sin2 6 6 2 6 620 209 2 cos 18 cos 9.6 6                                               4 44 41 cos i sin 1 cos i sin6 6 6 6B1 cos i sin1 cos i sin6 66 64 4 2 21 cos i sin 1 cos i sin6 6 3 34 4 2 21 cos i sin 1 cos i sin6 6 3 31 co                                                                                 2 22 cos cos i sins i sin3 3 33 32 21 cos i sin2 cos cos i sin3 33 3 31 i 3cos i sin3 3 3 3 2 2                                           2 22 2228 8 2 21 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 3C8 8 2 21 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 32 2 4 41 cos i sin 1 cos i sin3 3 3 342 21 cos1 cos i sin33 3                                                                               4i sin3    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 5. ụ a) Ch ng minh s ph c ứ ố ứ là s th c.ố ự(Trích Tr ng THPT Kon Tum, l n 3 – 2012)ườ ầb) Tìm t t c s nguyên d ng n th a mãn ấ ả ố ươ ỏ là s th c.ố ự(Trích Tr ng THPT Qu Võ s 1, l n 4 – 2013)ườ ế ố ầGi iảa) Ta có: b) Ta cóVí d 6ụ . Gi s z là s ph c th a mãn ả ử ố ứ ỏ . Tìm s ph c ố ứ(Trích Tr ng THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012)ườGi iảT gi thi t ừ ả ế ta có V i ớ ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 186www.thuvienhoclieu .com222 22 2 22 2 22 sin 2i sin cos2 sin 2i sin cos3 3 33 3 32 2 2 2 2 22 sin 2i sin cos 2 sin 2i sin cos3 3 3 3 3 32 2 22 22 sin sin i cossin i cos3 3 33 32 22 2 2sin i cos2 sin sin i cos3 33 3 3                                              cos i sin6 6cos i sin6 6cos i sin6 61 i 3cos i sin .6 6 6 6 2 2cos i sin6 6                                                                        241 iz3 3i   n3 i 3A3 3i    242424242412 12 2 cos i sin4 41 iz3 3i2 cos i sin6 6cos 6 i sin 61 140962 cos 4 i sin 4 2                                    nn3 i n nA cos i sin cos i sin2 6 6 6 6nA sin 0 n 6k , k , k 16                      2z 2z 4 0  71 3 zw2 z     2z 2z 4 0  2z 1 3 z 1 3i    z 1 3i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ ta có:Ví d 7ụ . Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm ph n th c và ph n o c a ầ ự ầ ả ủ .(Trích Tr ng THPT Phan B i Châu, Ngh An l n 2 – 2013)ườ ộ ệ ầGi iảĐ t ặDo đó Ph n th c c a z là 16, ph n o c a z là 16.ầ ự ủ ầ ả ủVí d 8ụ . G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tìm s n nguyên d ngố ươnh nh t sao cho ỏ ấ .(Trích Tr ng THPT Nguy n Văn C , B c Ninh l n 3 – 2013)ườ ễ ừ ắ ầGi iảPh ng trình ươ (1). (1) có Do đó các căn b c hai c a ậ ủ là . V y (1) có các nghi m là ậ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 1877777 7 cos i sin1 i4 43 3i 1w .3 3i 8 23 icos i sin6 6                 7 7cos i sin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 78 32 328 2 3 icos i sin6 6         z 1 3i  777 7 cos i sin1 i4 41w .8 23 icos i sin6 6            7 7cos i sin1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i7 78 32 328 2 3 icos i sin6 6           z 1 2 i3 i2z 2i 9zz x yi , x, y z x yi     z 1 2 i3 i4 2i z 3 i z 2 4i x y 7 y 3x i 2 4i2z 2ix y 2x y 1 z 1 i7 y 3x 4                      999 9z 2 cos i sin 16 16i4 4       1 2z , z 25z 2 cos z 1 021     n n1 2z z 1 25z 2 cos z 1 021     2 2 5 5' cos 1 sin21 21     '5i sin211 2 5 5 5 5z cos i sin , z cos i sin21 21 21 21       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 9ụ . Cho là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tìm ph n th c, ph n oầ ự ầ ảc a s ph c: ủ ố ứ , bi t ế có ph n o d ng.ầ ả ươ(Trích Tr ng THPT Can L c, Hà Tĩnh l n 2 – 2014)ườ ộ ầGi iảVì nên ph ng trình có hai nghi m ph c: ươ ệ ứ (do có ph n o d ng)ầ ả ươTa có: Do đó: V y ph n th c b ng 1, ph n o b ng 0.ậ ầ ự ằ ầ ả ằVì n là s nguyên d ng nh nh t nên t (*) suy ra ố ươ ỏ ấ ừ .Ví d 10. ụ Cho s ph c z bi t ố ứ ế . Vi t d ng l ng giác c a ế ạ ượ ủ . Tìm ph n th c và ph n o ầ ự ầ ảc a s ph c ủ ố ứGi iảCách 1: Ta có ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình:ươ ươ ươ ớ ươDo đó: Suy ra: V y s ph c ậ ố ứ có ph n th c là ầ ự và ph n o là ầ ảCách 2: D ng l ng giác c a s ph c ạ ượ ủ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 188www.thuvienhoclieu .com1 2z , z2z 2z 4 0  201312zwz    1z3 1 2z 1 3i, z 1 3i   1z22212 1 3iz1 3i 1 3i cos i sinz 4 2 2 3 31 3i               2013402612zcos i sin cos 1342 i sin 1342 1z 3 3               n nn n1 2nn5 5 5 5z z 1 cos i sin cos i sin 121 21 21 215 5 5 5cos i sin cos i sin 121 21 21 21n5 n5 n5 n5cos i sin cos i sin 121 21 21 21n5 n5cos cos21                                                                          121n5 n5 7 42kcos cos k2 n k *21 3 21 3 5 5              n 7 z 1 3i  z5w 1 i z 1 i 3z 2 2 cos i. sin2 2 3 3           55 5 1 i 3z 32 cos i. sin 32 16 16i 33 3 2 2             w 1 i 16 16i 3 16 1 3 16 1 3 i      5w 1 i z 16 16 316 16 3z 1 3i  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Ta có: Áp d ng công th c Movie, ta có ụ ứ V y ph n th c ậ ầ ực a s ph c w là ủ ố ứ và ph n o c a s ph c w là ầ ả ủ ố ứII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1.ậ Tính các giá tr c a s ph c sau và vi t k t qu c a chúng d i d ng ị ủ ố ứ ế ế ả ủ ướ ạ; b) ;H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta cób) Ta cóc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 189r 1 3 2r 21cos z 2 cos i sin2 3 333sin2                5 55 5 1 i 3z 2 cos i. sin 32 16 1 i 33 3 2 2             5w 1 i z 1 i .16 1 i 3 16 1 3 1 3 i 16 1 3 16 1 3 i               16 16 316 16 3a bi , a , b 5 5a) A 5 cos i sin cos i sin9 9 36 36                5i 3Bcos i sin6 6     1052 22 cos i sin 3 cos i sin3 3 3 3c) C .7 72 cos i sin6 6                               5 5A 5 cos i sin cos i sin9 9 36 365 5 5 2 5 25 cos i sin 5 cos i sin i .9 36 9 36 4 4 2 2                                             5 5 3 cos i sin 3 cos i sin2 2 2 2i 3B5 5cos i sincos i sin cos i sin6 66 6 6 65 5 3 33 cos i sin 3 cos i sin i2 6 2 6 3 3 2 2                                                                             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài t p 2.ậ Cho s ph c ố ứ . Tìm m nguyên đ ể là s th c, ố ự là s oố ảH ng d nướ ẫ gi iảTa có: B ài t p 3ậ . Cho s ph c ố ứ . Tính .(Trích Tr ng THPT Chuyên Nguy n T t Thành – 2013)ườ ễ ấGi iảTa có Suy ra Bài t p 4ậ . Cho s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ . Tìm ph n th c c a s ph c ầ ự ủ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Tr n Phú, l n 2 – 2013)ườ ầ ầGi iảG i s ph c ọ ố ứ thay vào (1) ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 190www.thuvienhoclieu .com1052 22 cos i sin 3 cos i sin3 3 3 3C7 72 cos i sin6 620 2032 3 cos i sin cos i sin3 3 3 335 3532 cos i sin6 620 35 20 353 cos i sin3 3 6 3 3 6                                                                      7 73 cos i sin6 63 i 3 33 i2 2 2 2               m7 iz4 3i   z zmm27 i m mz 2 cos i sin (*)4 3i 4 4              z laø soá thöïc m 4k, k ; z laø soá aûo m4k 2 , k       z 1 3i  7z1 3z 1 3i 2 i 2 cos i sin2 2 3 3             77 7z 128 cos i sin 128 cos i sin 64 64 3i3 3 3 3                 z 6 7iz1 3i 5 2013zz a bi , a , b z a bi       a bi 1 3ia bi 6 7i 6 7ia bi a bi1 3i 5 10 510a 10 bi a 3b i b 3a 12 14i9a 3b i 11b 3a 12 4i9a 3b 12 a 111b 3a 14 b 1                               201320132013a b 1 z 1 i z 1 i 2 cos i sin4 4                Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ph n th c c a ậ ầ ự ủ là Bài t p 5ậ . G i ọ là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ . Tìm ph n th c, ph n oầ ự ầ ảc a s ph c ủ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Qu ng Bình, l n 2 – 2014)ườ ả ầGi iảTa có Áp d ng công th c Moa-vr :ụ ứ ơ. Ph n th c c a w là -1, ph n o là 0.ầ ự ủ ầ ảBài t p 6ậ . Cho các s ph c z th a mãn: ố ứ ỏ . Ch ng minh r ng z có ph n th c b ng 1.ứ ằ ầ ự ằ(Trích Tr ng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr - 2014)ườ ả ịGi iảTa có không th a mãn ph ng trình nên ỏ ươ . nên đ t ặNên V y z luôn có ph n th c là 1.ậ ầ ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19110062013 20132 . 2 cos i sin4 4     2013z1006 1006 20132 2 . cos 24 1 2z , z2z z 1 0  2014 20141 2w z z 1221 3z i2 2z z 1 01 3z i2 2     1 21 3 1 3z i cos i sin ; z i cos i sin2 2 3 3 2 2 3 3            20141201422014 2014 2 2z cos i sin cos i sin cos i sin3 3 3 3 3 32014 2014 2 2z cos i sin cos i sin cos i sin3 3 3 3 3 3                                2 2w cos cos 13 3     552 z z z 0; z 2 555 2 z2 z z 1z       2 z0z2 zr cos i sinz   552 zr cos 5 i sin 5 1 1 cos k2 i sin k2z            2 z k2 k2 2 k2 k21 cos i sin 1 cos i sin 0z 5 5 z 5 5              2 2 22 2zk2 k2k k k1 cos i sin2 cos cos i sin5 55 5 5k k k kcos i sin cos i sink5 5 5 51 i tank5k k kcoscos cos i sin55 5 5                     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài t p 7. ậ Bi t r ng s ph c ế ằ ố ứ th a mãn ỏ . Hãy tính H ng d nướ ẫ gi iảT ừBài t p 8.ậ Cho Tính H ng d nướ ẫ gi iảTa có: a) Ta có Do đó: b) Ta cóV y ậCách 2. Ta có th xem B là t ng c a c p s nhân 4 s h ng liên ti p, s h ng đ u là 1, công b i là ể ổ ủ ấ ố ố ạ ế ố ạ ầ ộ. Suy ra ta có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 192www.thuvienhoclieu .comz 1z 1z 201020101zz201020101 3z i cos i sin1 12 2 3 3z 1 z 2z1 3zz i cos -i sin2 2 3 3                       1 i 3z .212 6 9 6 38 4 2 2 3 82 3 9 10 2009 2010 2011a) A z z 1; b) B z z z 1;c) C z 2z z ; d) D 1 z z z ... z ;e) E 1 z z z ... z z ; f ) F z z z .                        1 i 3z cos i sin2 3 3               1212 12 12z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    66 6 6z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                   12 6A z z 1 3   99 9 9z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    66 6 6z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                   33 3 3z cos i sin cos i sin 13 3 3 3                                    9 6 3B z z z 1 0    3z434129 6 313 31 z1 q1 zB z z z 1 u1 q1 z 1 z       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V i ớ V y ậ c) Ta cóV y ậd) Ta có là t ng c a c p s nhân có 9 s h ng, s h ng đ u b ng 1, công ổ ủ ấ ố ố ạ ố ạ ầ ằb i là ộ Do đó: v i ớ Do đó: e) Ta có là t ng c a c p s nhân có 11 s h ng, s h ng đ u b ng 1, ổ ủ ấ ố ố ạ ố ạ ầ ằcông b i là ộ Do đó: V i ớVà .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19312 3z 1, z 1. B 0.22 2 2 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                     44 4 4 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                    88 8 8 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                     8 4 2C z 2z z 2   2 3 8D 1 z z z ... z     z9 91 1 q 1 qD u .1 q 1 q    9z 14 1 i 31 1 4D 1 i 3.1 i 3 1 i 31 i 3 1 i 32 2        2 3 9 10E 1 z z z ... z z      z1111111 z1 q1 zE1 q 1 z1 z     1 i 3 3 i 3z z 12 2 2    1111 11 11 1 i 3z cos i sin cos i sin3 3 3 3 2 2                                    113 i 3z 12 2   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậ f) Ta cóV i ớV y ậ .Bài t p 9. ậ Ch ng minh r ng:ứ ằa) và b) Cho s ph c ố ứ . Tính H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta có b) Theo câu a) ta cóTa cóDo đó: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 194www.thuvienhoclieu .com3 3i3 3i 1 i 32 2E .2 23 3 3 3ii2 2   2009 2010 2011 2009 2F z z z z 1 z z     2 21 i 3 1 i 3z z 1 z z 02 2 2       F 06 2sin12 4 6 2cos .12 4 6 2 6 2z i4 4  2 22 21 1 1 1A z z 2 ; B z z 2iz zz z         6 2sin sin sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4 46 2cos cos cos cos sin sin12 3 4 3 4 3 4 4                             2226 2 6 2z i cos i sin4 4 12 121 1z 1 z 1 hay z.z 1 z vaø zzz             2 22 2222 1 1 1 1A z z 2 z z 2z zz zz z 2.z.z z z z z z z vôùi z z 2 cos12                          Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậ .Bài t p 10ậ . Tìm ph n th c c a s ph c ầ ự ủ ố ứ . Trong đó n th a mãn:ỏ.Gi iảPh ng trình: ươ có nghi m duy nh t là ệ ấ (vì VT c a ph ng trình làủ ươm t hàm s đ ng bi n nên đ th c a nó c t đ ng th ng ộ ố ồ ế ồ ị ủ ắ ườ ẳ t i m t đi m duy nh t)ạ ộ ể ấTa có:Suy ra .Bài t p 11. ậ Cho s ph c ố ứ . Vi t z d i d ng l ng giác. Tìm ph n th c và ế ướ ạ ượ ầ ựph n o c a s ph c ầ ả ủ ố ứ .Gi iảTa có: Khi đó:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19522A 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos12 12 12 12 6 123 6 2 6 22 1 2. 2 3 .2 4 2                                     4 2 3 6 2A2  2 22 222 1 1 1 1B z z 2i z 2i zz zz zz z 2i z z z z z z 2i - z z2i sin .2 cos 2i 2i sin 2i sin 2i 2i sin12 12 12 6 121 6 2 6 6 22i sin 1 sin 2i 1 i.6 12 2 4 2                                                 nz 1 i , n  4 5log n 3 log n 6 4   4 5log n 3 log n 6 4   n 19y 4191919 191919 199 91 1z 1 i 2 i 2 cos i sin4 42 219 19 1 12 cos i sin 2 i 2 i.24 42 2                          9Re z 2 512 7 i 3z1 2i 35w 1 i 3 z 227 i 3 1 2i 37 i 3z 1 i 31 2i 31 2 3     z 2 cos i sin3 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ph n th c c a w là ậ ầ ự ủ , ph n o là ầ ả .Bài t p 12.ậ Tìm đi u ki n đ i v i các s ph c a,b,c sao cho v i m i s ph c z th a mãn ề ệ ố ớ ố ứ ớ ọ ố ứ ỏ thì là s th c.ố ựL i gi iờ ảVì là s th c nên ta có các giá tr đ c bi t:ố ự ị ặ ệ Ch n ọ thì (1) Ch n ọ thì (2) Ch n ọ thì (3) Ch n ọ thì (4)T (1) và (2) ta có ừ Nh ng t (3) và (4) ta có ư ừ do đó Khi đó, t (1) và (3) thì ừVì nên đ t ặ ta có:khi và ch khi ỉĐi u đó x y ra khi và ch khi ề ả ỉ .V y giá tr c n tìm là ậ ị ầ và c là m t s th c tùy ý.ộ ố ựThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 196www.thuvienhoclieu .com55w 1 i 3 2 cos i sin3 35 5 1 i 31 i 3 .2 cos i sin 32. 1 i 3 32 32i 33 3 2 2                        3232 3z 12az bz c 2az bz c z 1a b c R.  z 1a b c R.  z i a ib c R.   z i a ib c R.   b R.ib Rb 0.a , c R.z 1z cos i sin R     2az bz c a cos 2 i sin 2 b cos i sin ca cos 2 c ia sin 2 R                a sin 2 0 ,  a 0a b 0 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài toán 3. Tìm môđun và acgumen c a s ph củ ố ứPh ng pháp:ươ Nhìn chung các bài t p này có cách gi i nh sau: ậ ả ưGi s ta c n tìm m t acgumen c a s ph c z. Ta c n bi n đ i sao cho z có d ngả ử ầ ộ ủ ố ứ ầ ế ổ ạ 1. V i ớ ta có mô đun c a ủ là Và 1 acgumen c a ủ là th a ỏ ; 2. V i ớ thì có mô đun là và 1 acgumen c a ủ là 3. V i ớ4. V i ớI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Cho s ph c ố ứ . Tìm m t acgumen c a s ph c z.ộ ủ ố ứGi iảDo neân . V yậ , m t acgumen c a z làộ ủ Ví d 2. ụ Cho s ph c z có mô đun b ng 1 và ố ứ ằ là m t acgumen c a z ộ ủ a) Tìm m t acgumen c a ộ ủb) Tìm m t acgumen c aộ ủ n uế H ng d nướ ẫT gi thi từ ả ế suy ra a) Ta c óV y m t acgumen c a z là ậ ộ ủb) Ta có :  N uế thì . Lúc đó là m tộ acgumen c aủ  N uế thì . Lúc đó là m t acgumenộ Ví d 3.ụ Tìm môđun và m t acgumen c a các s ph c sau:ộ ủ ố ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 197z r cos i sin   z a bi ,(a , b )  z 2 2r a b  z 22 2 acosa b 22 2bsina bz r(cos isin )  zr zz r(cos i sin ) r cos( ) i sin( )          z r(sin i cos ) r cos( ) i sin( )2 2            z 1 sin i cos , 02       2z 1 sin i cos 1 cos i sin2 22 sin 2i sin cos4 2 4 2 4 22 sin sin i cos4 2 4 2 4 22 sin cos i sin4 2 4 2 4 2                                                                                                        02  2 sin 04 2     4 2 zzz z cos 0 z cos isin    cos i sinz cos i sincos 2 i sin 2z cos i sin cos i sin                  2 z z 2 cos  cos 0 z z 2 cos 2 cos cos 0 i sin 0      0z z cos 0 z z 2 cos .( 1) 2 cos cos i sin        z z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) ; b) c) ; d) e) Gi iảa) V y ậb) V y ậc) V y ậd) V y ậe) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 198www.thuvienhoclieu .comz 1 cos i sin4 4   z 1 cos i sin3 3   2 2z 1 cos i sin5 5   z 1 sin i sin3 6   z 1 sin i sin .6 6   2z 1 cos i sin 2 cos 2i sin cos4 4 8 8 8        2 cos cos i sin8 8 8      r 2 cos8.8 2z 1 cos i sin 2 cos 2i sin . cos3 3 6 6 6        2 cos cos i sin 2 cos cos i sin6 6 6 6 6 6                            r 2 cos 36.6   22 2z 1 cos i sin 2 sin 2i sin . cos5 5 5 5 5         3 32 sin sin i cos 2 sin cos i sin .5 5 5 5 10 10                  r 2 sin5310  z 1 sin i sin 1 cos 2i sin3 6 6 6        22 cos 2i sin cos12 12 1211 112 cos cos i sin 2 cos cos i sin12 12 12 12 12 12                      r 2 cos121112 z 1 sin i sin 1 cos i sin6 6 3 3        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậVí d 4. ụ Tìm môđun và m t acgumen c a các s ph c sau:ộ ủ ố ứa) b) c) d) Gi iảTa kí hi u r và ệ l n l t là môđun và acgumen c a s ph c z, ta cóầ ượ ủ ố ứa) V y ậb) V y ậc) Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 19922 sin 2i sin . cos6 6 61 7 72 sin sin i cos 2. sin i cos6 6 6 2 6 62 2cos i sin .3 3                                   r 12.3 1 1z 1 i;2 2  z 2 2 i 2 ;  z 2 3 3 i 3;  3 2 1z i.3 3 3  1 1z 1 i 1 cos i sin4 42 2       22 cos 2i sin . cos 2 cos cos i sin8 8 8 8 8 82 cos cos i sin8 8 8                            r 2 cos8.8 2 i 2z 2 2 i 2 2 1 2 1 cos i sin2 2 4 4                22 2 sin 2i sin . cos 4 sin sin i cos8 8 8 8 8 83 3 3 34 sin cos i sin 4 sin cos i sin8 8 8 8 8 8                                             r 4 sin83.8  3 1z 2 3 3 i 3 2 3 1 i 2 3 1 cos i sin2 2 6 6                22 3 2 cos 2i sin . cos 4 3 cos cos i sin12 12 12 12 12 12                 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậd) V y ậVí d 5. ụ G i ọ là hai nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ có ph n th c âm. Tính môđunầ ựvà acgumen c a các s ph c sau:ủ ố ứa) b) c) d) Gi iảTa g i r và ọ l l t là môđun và acgumen c a s ph c w.ầ ượ ủ ố ứGi i ph ng trình: ả ươ ta đ c 2 nghi m là: ượ ệ có ph n th c âm vàầ ựa) Ta có: ; Suy ra:V y w có môđun và m t acgumen là: ậ ộ b) Ta có Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 200www.thuvienhoclieu .comr 4 3 cos12.12 3 2 1 2 3 1 2 3 1z i i 1 i3 3 3 3 3 3 3 2 2             22 42 sin 2i sin . cos sin sin i cos3 12 12 12 3 12 12 124 4 7 7sin sin i cos sin cos i sin3 12 12 12 3 12 12 12                                               4r sin3 127.12  1 2z , z21z 2iz 4 0 , z  21 2w z .z ;12zw ;z 21 2w z 2 z 2 ;  1 2w z . 2 z . 2z 2iz 4 0  1 13 1 5 5z 3 i 2 i 2 cos i sin , z2 2 6 6              23 1z 3 i 2 i 2 cos i sin .2 2 6 6             215 5z 4 cos i sin3 3      2z 2 cos i sin .6 6      21 25 5 11 11w z .z 4.2. cos i sin 8 cos i sin .3 6 3 6 6 6                             r 8116  23 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos i sin2 2 6 6                   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra:V y ậ có môđun và acgumen là c) Ta có theo câu b) vàSuy ra V y ậ có môđun và m t acgumen là:ộ Cách khác: Trong tr ng h p này, ta có th áp d ng công th c Vi-et:ườ ợ ể ụ ứTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 20122 2 sin 2i sin . cos 4 sin sin i cos12 12 12 12 12 127 74 sin sin i sin 4 sin cos i sin .12 12 12 12 12 12                                               12 5 52 cos i sinz6 61 5 7 5 7w cos i sinz 2 6 12 6 127 72 sin4 sin cos i sin1212 12 121 3 3 1cos i sin cos i sin .12 12 4 42 sin 2 sin12 12                                               12zwz 21r2 sin12.4 2 7 7z 2 4 sin cos i sin12 12 12        12 3 1z 2 3 i 2 2 1 i 2 1 cos i sin2 2 6 62 2 cos 2i sin . cos 4 cos cos i sin12 12 12 12 12 1211 114 cos cos i sin .12 12 12                                              1 211 11 7 7w z 2 z 2 4 cos cos i sin .4 sin cos i sin12 12 12 12 12 1211 7 11 716. sin . cos cos i sin12 12 12 12 12 12                                       18 18 3 38. sin . cos i sin 8 sin cos i sin6 12 12 6 2 23 34 cos cos i sin .12 2 2                        1 2w z 2 z 2  r 43.2 1 2 1 2z z 2i, z z 4.   1 2 1 2 1 2w z 2 z 2 z .z 2 z z 4 4 2.2i 4 4i          3 34 0 i 4 cos i sin .2 2       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com d) V i ớvà Suy ra V y ậ có môđun và acgumen là: Ví d 6.ụ Tìm môđun và m t acgumen c a s ph c z th a mãn ph ng trình: ộ ủ ố ứ ỏ ươGi iảTa có Đ t ặTa có: Ch n ọ ta đ c ượV y có 2 s ph c z th a mãn ậ ố ứ ỏ là: có môđun , m t acgumen là ộ và có môđun , m t acgumen là ộ Ví d 7. ụ Trong các acgumen c a s ph c ủ ố ứ , tìm acgumen có s đo d ng nh nh t.ố ươ ỏ ấ(Trích Ebooktoan.com s 13 – 2013)ốThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 202www.thuvienhoclieu .com1 2 1 2 1 2 1 2w z . 2 z w z . 2 z z . 2 z z . z 2 .        15 5 5 5z 2 cos i sin 2 cos i sin6 6 6 6                 5 52 cos i sin 2 cos i sin6 6 6 6                                          2 7 7z 2 4 sin cos i sin .12 12 12        1 2 7 7w z . z 2 2 cos i sin .4 sin cos i sin6 6 12 12 127 7 5 58 sin . cos i sin 8 sin . cos i sin12 6 12 6 12 12 12 125 5w 8 sin . cos i sin 8 sin . co12 12 12 12                                                                        5 5s i sin .12 12                1 2w z . 2 z r 8 sin125.12 221 zi.1 z22 2 2 221 z 1 ii 1 z i iz 1 i z 1 i z1 i1 z            22 1 i 2i1 i 1 iz i cos i sin1 1 2 21 i 1 i           z 1. 2z cos i sin z cos 2 i sin 2 .        2z cos i sin cos 2 i sin 2 cos i sin2 2 2 22 k2 k .2 4                    k 0,11 25, .4 4    221 zi1 z1zr 1  14 2zr 1 5.4 81 3iChuyên Đ S Ph cề ố ứ Gi iảTa có Theo công th c Moav r ta có: ứ ơ ơ . T đó suy ra z có các h acgumen là:ừ ọ. Ta th y v i ấ ớ thì acgumen d ng nh nh t c a z là ươ ỏ ấ ủ .Ví d 8. ụ Tìm acgume âm l n nh t c a s ph c ớ ấ ủ ố ứ .Gi iảAps d ng công th c Moa vro, ta có:ụ ứCác acgumen c a z đ u có d ng ủ ề ạ . Ta có hayAcgumen âm l n nh t c a z t ng ng v i ớ ấ ủ ươ ứ ớV y acgumen c n tìm c a z là ậ ầ ủVí d 9ụ . Gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c: ả ươ ậ ợ ố ứ .(Trích Tr ng THPT Chuyên Lý T Tr ng, C n Th – 2013)ườ ự ọ ầ ơGi iảTa có: Gi s ả ửT (1) và (2) suy ra: ừCho ta nh n đ c các giá tr acgumen t ng ng c a s ph c ậ ượ ị ươ ứ ủ ố ứ làT đó ph ng trình đã cho có 4 nghi m l n l t là:ừ ươ ệ ầ ượ hay Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2031 31 3i 2 i 2 cos i sin2 2 6 3              8 8 8z 2 cos i sin3 3        82k , k3     k 24310z 1 i 3 10101010 10 1 3z 1 i 3 2 i 2 cos i. sin2 2 3 3             10 1010 10 4 4z 2 cos i. sin 2 cos i. sin3 3 3 3               4k 2 k Z3  4 2k2 0 k3 3      k ..., 4 , 3, 2 , 1    k 1234z i 1 i 3  4 42 2z i 1 i 3 z i 2 cos i sin 13 3          44z i r cos i sin , r z i r cos 4 i sin 4 2           44r 2r 22cos 4 cosk3k6 22sin 4 sin3            k 0, 1, 2  z i1 2 3 4 2 5, , ,6 3 3 6          4z i 2 cos i sin6 6      4418 2z 1 i2 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com hay hay hay Nh n xét: ậ D ng l ng giác luôn phát huy đ c u th c a mình khi x lí các bi u th c lũy th a ạ ượ ượ ư ế ủ ử ể ứ ừb c cao c a s ph c.ậ ủ ố ứVí d 10.ụ G i ọ là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ . Tìm s n nguyên d ng ố ươnh nh t sao cho ỏ ấGi iảĐ t ặ (1). Bi t th c c a (1) làệ ứ ủ.V y (1)ậ có các nghi m là ệ và Vì n là s nguyên nh nh t nên t ố ỏ ấ ừ suy ra: Ví d 11.ụ Tìm s ph c z th a mãn: bi t ố ứ ỏ ế có m t acgument b ng m t acgument c aộ ằ ộ ủ c ng v i ộ ớ . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ .Gi iả Đ t ặ . Khi đó có m t acgument b ng acgument c aộ ằ ủ c ng v i ộ ớ nênv i ớ .Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 204www.thuvienhoclieu .com42 2z i 2 cos i sin3 3      442 18z 1 i2 2      4z i 2 cos i sin3 3                 442 18z 1 i2 2      45 5z i 2 cos i sin6 6                 4418 2z 1 i2 2      1 2z , z 2 5z 2 co s z 1 021      n n1 2z z 1 2 5z 2 co s z 1 021      2' 2 2 2 5 5 5co s 1 sin i sin21 21 21          1 5 5z co s i sin21 21   25 5z co s i sin21 21  n nn n1 2 5 5 5 5z z 1 co s i sin co s i sin 121 21 21 21                  nn5 5 5 5co s i sin co s i sin 121 21 21 21n5 n5 n5 n5co s i sin co s i sin 121 21 21 21n5 n 5 n5c o s co s 1 2 co s 121 21 21n5 n 5 7 42kco s co s k2 n k *21 3 21 3 5 5                                                                     *n 7 z 2iz 24T z 1 z i   z a bi a , b  z 2iz 24z 2ir cos i. sin4 4z 2      r 0Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Suy ra Ta có: do (*)Ap d ng b t đ ng th c Cosi,ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ượSuy ra , đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả V y, giá tr l n nh t c a T là ậ ị ớ ấ ủ , đ t khi ạII. Bài t p áp d ngậ ụBài t p 1ậ . Tính môđun và m t acgumen c a s ph c sauộ ủ ố ứ H ng d n gi iướ ẫ ảa) Ta cóV y ậb) Ta cóV y ậc) Ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2052 22 2a b 2 i a a 2 b b 2 a 2 b 2 abz 2iiz 2 a 2 bia 2 b a 2 b               2 22 2a a 2 b b 2 a 2 b 2 abi 0a 2 b a 2 b          2 222a b 2a 2 b 0 *a b 2 0      T z 1 z i a 1 bi a b 1 i         2 22 2a 1 b a b 1 3 2a 3 2b         2 2 2T 2 6 2a 2b 2 6 2 a b 20         T 2 5 a b 1 2 5z 1 i  355 i 18 8ia) z ; b) z ;2 3i 4 9i1 3i 3 3 ic)z ; c)z .2 i3 2i            5 i 2 3i5 i 13 13iz 1 i2 3i 132 3i 2 3i1 12 i 2 cos i sin4 42 2                 r 8. 18 8i 4 9i18 8iz 2i 2 cos i sin4 9i 2 24 9i 4 9i           r 8.2 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậd) Ta có Suy ra V y ậBài t p 2ậ . Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ . Tìm mô-đun c a s ph c ủ ố ứ .(Trích đ thi th Ng i Th y – 2013)ề ử ườ ầGi iảG i ọ . Ta có:, thay vào (2) ta có Suy ra Do đó Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 206www.thuvienhoclieu .com55 555551 3i 2 i1 3i 5 5iz 1 i2 i 52 i 2 i2 22 i 2 cos i sin2 2 4 4                                              55 5 5 52 cos i sin 4 2 cos i sin4 4 4 4                                       r 4 25.4 33 3 iz .3 2i    3 3 i 3 2i 9 2 6 3 3 i3 3 i3 43 2i3 2i 3 2i      7 7 3i 1 31 i 3 2 i 2 cos i sin .7 2 2 3 3               3333 3 iz 2 cos i sin 2 cos i sin3 33 2i                  r 8. 1 i 3 z z 3  5 10w 1 z z  z a bi a , b  2 22 22 221 i 3 z z 3 1 i 3 a bi a b 3a b 3 a b 3a b 3 a b b a 3 i 3b a 3 04a 4a 3 1b a 3 2                    22 3a3 4a 0141 a1 324a 3 4aa a2 2           3b21 i 3z cos i sin2 2 3 3               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y ậBài t p 3ậ . Tìm s ph c z bi t r ng ố ứ ế ằ và có m t acgumen b ng ộ ằ .(THPT Chuyên Đ i h c Vinh, l n 2 – 2013)ạ ọ ầGi iảTa có Đ t ặ . Khi đó:Theo bài ra ta có: . Suy ra T gi thi t c a bài toán ta có: ừ ả ế ủT đó ta có ừ .Bài t p 4ậ . Vi t d ng l ng giác c a s ph c z bi t ế ạ ượ ủ ố ứ ế và có m t acgumen b ng ộ ằ .(THPT L ng Th Vinh, Hà N i l n 3 – 2013)ươ ế ộ ầGi iảTa có /G i ọ là m t acgumen c a z. Ta có ộ ủT đó suy ra:ừCh n ọ sao cho Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2075 105 5 10 10w 1 z z 1 cos i sin cos i sin3 3 3 3                                   1 i 3 1 i 31 1 i 32 2 2 2      w 1 i 3 2  z 2z 3 i  1 i z1 3 1 3 i  62 21 i z1 i 1 3i. 1 3 1 3 i41 3 1 3 i1 3 1 3         1cos i sin2 3 3       z r cos i sin , r 0    1 i zrcos i sin2 3 31 3 1 3 i                      3 6 3       3r rz i2 2 3r ri 3r ri 3 i2 2    222 2 22 r 23r r3 r 1 r 1 r 4 r 122 2r3                3 1z 3 i, z i3 3   22z .z 16i.z622222z .z 16 z.z 16 z 16 z 2      z 2 cos i sin   i.z 2i cos i sin 2 sin i cos 2 cos i sin2 2                          2 6 3       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y z có d ng l ng giác là ậ ạ ượ .Bài t p 5ậ . Tìm s ph c z bi t ố ứ ế là s th c và ố ự có m t acgumen là ộ . (THPT ChuyênPhan B i Châu, Ngh An l n 1 – 2013)ộ ệ ầGi iảVì và có m t acgumen là ộ nên có m t acgumen là ộ , suy ra z cóm t acgumen là ộ .G i ọTa có là s th c khi và ch khi:ố ự ỉ. V y ậ .Bài t p 6ậ . Tìm s ph c z sao cho ố ứ có m t acgumen b ng ộ ằ và (THPT ChuyênVĩnh Phúc kh i B, D, l n 5 – 2013)ố ầGi iảĐ t ặ có m t acgumen b ng ộ ằL i có: ạT (1) và (2) suy ra ừ .Bài t p 7ậ . Trong các s ph c z th a mãn ố ứ ỏ , s ph c nào có ố ứ nh nh t. Khi đó acgumenỏ ấc a nó b ng bao nhiêu?ủ ằ(Trích GSTT Group l n 4 – 2014)ầGi iảĐ t ặÁp d ng Bunhia copski:ụThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 208www.thuvienhoclieu .comz 2 cos i sin3 3     2z 2z1zz3z.z 1 0 1 z.z 1zz z 31z33r r 3z r cos i sin a bi a , b , r 03 3 2 2           2 2 2z 2z a b 2a 2 b a 1 i     a 1 r 22 b a 1 0b 0 r 0         z 1 3i  z iz i2z 1 z i  2 22 22 2x y 1z i 2xz x yi , x, y iz ix y 1 x y 1           z iz i2 2 2222 222x y 10x y 1x y 11x 02x0x y 1       z 1 z i x 1 y x y 1 i        2 22 2x 1 y x y 1 x y 2       2 2 2x y z i2 2 2    z 4 3i 1  z2 2z a bi z a b    2 2z 4 3i a 4 b 3 i a 4 b 3          2 22 2z 4 3i 1 a 4 b 3 1 1 a b 2 3b 4a 25             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ nh nh t khi ỏ ấD u “=” x y ra khi: ấ ả. Acgumen c a z là: ủ .Bài t p 8ậ . Tìm s ph c z th a mãn ố ứ ỏ và có m t acgumen b ng ộ ằ . (TríchTr ng THPT Chuyên ĐH Vinh, l n 3 – 2014)ườ ầGi iảĐ t ặ .Suy ra . Khi đó:Theo gi thi t ta có ả ế . Khi đó .Suy ra (vì )V y ậ .Bài t p 9. ậ Xét s ph c z th a đi u ki nố ứ ỏ ề ệ a) Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ th a (*)ỏb) Trong các s ph c z th a (*) tìm s s ph c có acgumen d ng và nh nh t.ố ứ ỏ ố ố ứ ươ ỏ ấ H ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2092 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23b 4a 3 4 b a 5 a b 1 a b 10 a b 251 a b 5 1 6 a b 4 6 z 4                       zz 42 23b 4a 016ab a 16 12 4 35z i 4 i123 4 5 5 5 5b5a b 16               z 4 cos i sin   4ar cos k25  z 2i 2 3  3 i z3z r cos i sin , r 0    z r cos i sin     3 i z 2r cos i sin6 6                   6 3 6       3r rz i2 2 3r rz 2i 2 3 2 i 2 32 2        2223r r2 12 r 2r 8 0 r 24 2             r 0z 3 i  2z 2 i 2 1 (*)  zChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com b) K ti p tuy n OK v i đ ng tròn. D th y ẻ ế ế ớ ườ ễ ấ nên V yậBài t p 10.ậ Tìm s ph cố ứ sao cho và có m t acgumen b ngộ ằ .H ng d n gi iướ ẫ ảT ừLúc đó: . Vì có 1 acgumen b ng ằ nên có d ngạ T (1) và (2) suy ra ừ V y ậBài t p 11.ậ Xác đ nh t p h p các đi m trên m t ph ng ph c bi u di n s ph c z sao cho ị ậ ợ ể ặ ẳ ứ ể ễ ố ứ sao chos ph cố ứ c ó m t acgument b ngộ ằ H ng d n gi iướ ẫ ảGi s ả ử thì Do có m t acgument b ng ộ ằ nên ta cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 210www.thuvienhoclieu .com2 22 2 1a) M(z) (C) : x y2 2 4                OI 1IK 1sin IOK IOKIO 2 6KOx4 6 12        3z OK cos i sin cos i sin12 12 2 12 12                3z cos i sin2 12 12     zz i1z 3i z 1 6xz i1 vôùi z x yiy 1z 3i     z 1 x 1 i 1   z 1 6 z 1 z 1 r cos i sin , r 06 6rx 1 i 3 i 22                       r 3x 1x 3 12r r 212      z 2 3 1 i laø soá phöùc caàn tìm  zz 2z 2  3z x yi, x,y  2 22 22 2z 2 x y 4 4yiz 2x 2 y x 2 y      z 2z 2  3Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Do đó: T (1) và (2) ta suy ra ừ và Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2112 22 22 2x y 4 4yi r cos i sin ,r 03 3x 2 y x 2 y             2 22222x y 4 r12x 2 y4y r 322x 2 y   y 0  2 22224y r 3 2 4x y23 3x 2 y               2 4Taäp hôïp ñieåm M(z) caàn tìm laø phaàn ñöôøng troøn taâm I 0; , baùn kính 3 3naèm phía treân truïc thöïc (y 0)   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 4 . Áp d ng công th c Moavr đ tính căn b c n c a s ph cụ ứ ơ ể ậ ủ ố ứPh ng phápươ1. Tính căn b c hai c a s ph c w: ậ ủ ố ứ Căn b c hai c a s ph c ậ ủ ố ứ là s ph c w th a ố ứ ỏ*Căn b c hai c a 0 b ng 0ậ ủ ằ* V i ớĐ t ặ thì * S ph c ố ứ có 2 căn b c hai đó là ậ và TT có căn b c n:ậ I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1ụ . Tìm căn b c hai c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có Đ t ặ là m t căn b c hai c a w, ta có:ộ ậ ủV y w có hai căn b c hai là: ậ ậ và Ví d 2.ụ Tính căn b c ba c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác: ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 212www.thuvienhoclieu .com z2w zz 0, z r(cos i sin ), r 0    w R(cos i sin )  2 2w z R (cos2 i sin 2 ) r(cos i sin )       2R r2 k2 ,     R rk ,2     z r(cos i sin )   r cos i sin2 2     r cos i sin2 2    n nw z R (cos n i sin n )   r(cos i sin )  nR rn k2   nR rk22 1 3w i.2 2 1 3w i cos i sin .2 2 3 3    z r cos i sin   2 2z w r cos 2 i sin 2 cos i sin3 3r 1 r 12 k2 , k Z k , k Z.3 6                        1z cos i sin6 6  27 7z cos i sin .6 6  w 1 i 3.  1 3 2 2w 1 i 3 2 i 2 cos i sin2 2 3 3              Chuyên Đ S Ph cề ố ứ w có môđun và m t acgumen ộSuy ra căn b c ba c a w là s ph c z có: Môđun ậ ủ ố ứ và m t acgumenộ L y ấ thì có ba giá tr :ịV y ậ có 3 căn b c ba là: ậVí d 3.ụ Tính căn b c b n c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác: ậ ố ủ ố ứ ế ướ ạ ượGi iảTa có: có môđun và m t acgumen ộSuy ra căn b c b n c a w là s ph c z có: môđun ậ ố ủ ố ứ và m t acgumen ộ L y ấ ta có 4 giá tr c a ị ủII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1. ậ Tìm căn b c ậ hai c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ủ ố ứ ế ướ ạ ượH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: V y w có 2 căn b c hai là:ậ ậBài t p 2.ậ Tìm căn b c ba c a s ph c sau và vi t d i d ng l ng giác ậ ủ ố ứ ế ướ ạ ượH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 213R 22.3 3r 2k2 2 k2, k Z.3 3 9 3        k 0,1, 21 2 3 2 2 2 8 2 4 14, , .9 9 3 9 9 3 9                w 1 i 3 3 31 233 2 2 8 8z 2 cos i sin , z 2 cos i sin ,9 9 9 914 14z 2 cos i sin .9 9                     w i.w i cos i sin2 2   R 1 .2 r 1  k2 k, k Z.4 4 8 2        k 0,1, 2, 3:1 2 3 4 5 9 3 13, , , .8 8 2 8 8 8 8 2 8                      w 1 i 3 i .  1 i 3 1w 1 i 3 i 2 .2. i2 22 2            2 2 cos i sin cos i sin 2 2 cos i sin4 4 6 6 4 6 4 65 58 cos i sin .12 12                                          414 425 5z 8 cos i sin24 245 5 29 29z 8 cos i sin 8 cos i sin .24 24 24 24                                 2 2w i2 2 2 2w i cos i sin2 2 4 4               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com w có môđun R=1 và acgumen Suy ra căn b c ba c a w là s ph c z có: môđun ậ ủ ố ứ và m t acgumenộV i k = 0,1,2 ta có ba giá tr c a ớ ị ủ . V y ậ có 3 căn b c 3 là:ậBài t p 3.ậ Tính căn b c b n c a ậ ố ủH ng d n gi iướ ẫ ảTa có: có:L y ấ ta có 4 giá tr cu ị ảV y ậ có 4 căn b c 4 là:ậBài t p 4.ậ Tính căn b c năm c a ậ ủH ng d n gi iướ ẫ ảCăn b c năm c a s ph c ậ ủ ố ứ là s ph c z th a mãn ố ứ ỏ Vì . Đ t ặ ta cóL y ấ ta đ c 5 giá tr c a ượ ị ủ :Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 214www.thuvienhoclieu .com.4 3r 1 1 k2 k2, k Z.3 3 12 3        1 2 3 2 7 4 15 5, , .12 12 3 12 12 3 12 4                  2 2w i2 2 1 2 37 7 5 5z cos i sin , z cos i sin , z cos i sin .12 12 12 12 4 4                     3 1w i.2 2 3 1 7 7w i cos i sin2 2 6 6    r 1k2 7 k, k Z.4 4 24 2         k 0, 1, 2, 3:1 32 47 7 31; ;24 24 247 19 7 3 43; .24 2 24 24 2 24                    3 1w i2 2 1 23 47 7 19 19z cos i sin , z cos i sin24 24 24 2431 31 43 43z cos i sin , z cos i sin .24 24 24 24            w i.w i5z i.5 5z i 1 z 1 z 1     z cos i sin ,    55z i cos i sin cos i sin2 2cos 5 i sin 5 cos i sin2 2k25 k2 , k Z2 10 5                         k 0,1, 2 , 3, 4 Chuyên Đ S Ph cề ố ứ V y có 5 căn b c năm c a i là:ậ ậ ủBài t p 5.ậ a) Vi t ế d i d ng l ng giác.ướ ạ ượb) Tính và suy ra các căn b c b n c a ậ ố ủH ng dân gi iướ ảa) b) Các căn b c 4 c a ậ ủ là : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2151 2 34 52 4 9, ,10 10 5 2 10 5 106 13 8 17, .10 5 10 10 5 10                           1 2 34 59 9z cos i sin , z cos i sin , z cos i sin ,10 10 2 2 10 1013 13 17 17z cos i sin , z cos i sin .10 10 10 10                0z 3 i 40zw 8 8i 3.  0z 2 cos i sin6 6      40z 8 8i 3. 8 8i 3 0 12 2z 2 cos i sin , z 2 cos i sin ,6 6 3 3               2 37 7 5 5z 2 cos i sin , z 2 cos i sin6 6 3 3               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com M C L CỤ ỤCH Đ 9. Ủ Ề M T S NG D NG C A S PH CỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ố Ứ ............................................................................. 3Bài toán 1. S d ng s ph c vào gi i h ph ng trìnhử ụ ố ứ ả ệ ươ .................................................................... 3Bài toán 2: ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c, đ ng th c l ng giácỨ ụ ố ứ ứ ứ ẳ ứ ượ .................... 10Bài toán 3: ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th cỨ ụ ứ ấ ẳ ứ ...................................................................... 20Bài toán 4. ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c Niut nỨ ụ ả ể ổ ị ứ ơ ..................................... 23Bài toán 5. ng d ng gi i toán đa th c và phép chia đa th cỨ ụ ả ứ ứ .......................................................... 27Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 216www.thuvienhoclieu .comChuyên Đ S Ph cề ố ứ CH Đ 9. Ủ Ề M T S NG D NG C A S PH CỘ Ố Ứ Ụ Ủ Ố ỨBài toán 1. S d ng s ph c vào gi i h ph ng trìnhử ụ ố ứ ả ệ ươXét h ph ng trình:ệ ươ L y (2) nhân ấ sau đó c ng (tr ) (1) v theo v ta đ c : ộ ừ ế ế ượĐ t ặ , bi u di n (*) thông qua các đ i l ng ể ễ ạ ươI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ Gi iảL y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th hai nhân i ta đ cấ ươ ứ ấ ộ ớ ươ ứ ượ là m t căn b c ba c a s ph c ộ ậ ủ ố ứTa có: có ba căn b c ba là ậV y v i ậ ớ ta đ c nghi m c a ph ng trình là:ượ ệ ủ ươ Ví d 2. ụ Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ .Gi iảH đã cho t ng đ ng v i ệ ươ ươ ớ L y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th 2 nhân i ta đ cấ ươ ứ ấ ộ ớ ươ ứ ươ là m t căn b c 3 c a ộ ậ ủ .Ta có: nên có ba căn b c ba làậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 217f(x; y) g(x; y) (1)h(x; y) k(x; y) (2) if( x; y) h(x; y).i g(x; y) k(x; y).i (*)  z x yi z, z,|z|,...3 22 32x 6xy 5.6x y 2y 5 3  33 2 2 31 32x 6xy i 6x y 2y 5 5 3i x yi 5 i2 2            z x yi  1 35 i2 2    1 3 1 35 i 5 cos i sin 5 i2 2 3 3 2 2                    3 3 30 1 07 7 13 13z 5 cos i sin , z 5 cos i sin , z 5 cos i sin9 9 9 9 9 9                         0 1 2z z , z z , z z   3 3 33 3 3 7 13x 5 cos x 5 cos x 5 cos9 9 9, ,7 13y 5 sin y 5 sin y 5 sin9 9 9                      3 2 2 23 2x 3xy 3x 3y 3x 0y 3x y 6xy 3y 1 0        3223x 1 3y x 1 13 x 1 y y 1     3 22 3x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y 1 i          3x 1 iy 1 i z x 1 iy        1 i1 i 2 cos i sin4 4       1 iChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y v i ậ ớ ta đ c nghi m c a ph ng trình là:ượ ệ ủ ươ Ví d 3. ụ Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ .Gi iảCách 1. L y (2) nhân ấ sau đó c ng v i (1) ta đ cộ ớ ượĐ t ặ . Lúc đó: . V y, nghi m c a h ph ng ậ ệ ủ ệ ươ trình là: . Cách 2. Ta th y ấ không là nghi m c a h ph ng trìnhệ ủ ệ ươ Nhân (1) v i ớ , nhân (2) v i ớ ta đ c ượ tr v theo v ta đ c ừ ế ế ượ Nhân (1) v i ớ , nhân (2) v i ớ ta đ c ượ c ng v theo v ta đ c ộ ế ế ượTa đ c h ượ ệ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 218www.thuvienhoclieu .com6 6 60 1 23 3 17 17z 2 cos i sin , z 2 cos i sin , z 2 cos i sin4 4 4 4 4 4                         0 1 2z z , z z , z z   6 6 66 6 6 3 17x 1 2 cos x 1 2 cos x 1 2 cos12 4 12, ,3 17y 2 sin y 2 sin y 2 sin12 4 12                         2 22 23x yx 3 (1)x yx 3yy (2)x y  i2 2 2 2 2 23x y x 3y i 3 x yi x yi ix yi 3 x yi 3(*)x y x y x y             z x yi; x , y  23 i z 3 iz 2 i(*) z 3 z 3z 1 iz|z|x 2y 1x yi 2 ix yi 1 ix 1y 1                x, y 2; 1 , x, y 1; 1  x 0 , y 0 xy 222 2222 23x xyx 3xx yxy 3yy 0x y  2 2x y 3 3x (*)  yx 22 222 23xy yxy 3yx yx 3xyxy 0x y  2xy 1 3y (*) 2 2x y 3 3x2xy 1 3y   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Đáp s :ố Ví d 4. ụ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ .Gi iảL y (2) nhân ấ sau đó c ng v i (1) ta đ cộ ớ ượĐ t ặ . Lúc đó ph ng trình (*) tr thànhươ ởV y, nghi m c a h ph ng trình là ậ ệ ủ ệ ươ .Ví d ụ 5 . Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .Gi iảĐi u ki n: ề ệ . Đ t ặ . H đã cho có d ng: ệ ạ . Đ t ặ . Ta có .T h đã cho ta cóừ ệ Gi i ph ng trình (*), ta có ả ươ suy ra các nghi m:ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 219x, y 2; 1 , x, y 1; 1  3 2 2 23 2 2 2x 3xy x 1 x 2xy y (1)y 3x y y 1 y 2xy x (2)          i3 2 3 2 2 2 2 23 2 2 3 2 2 2 23 2 2x 3xy x 1 y 3x y y 1 i x 2xy y y 2xy x ix 3x( yi) 3x ( yi) ( yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y ix yi x yi i 1 x yi x yi i (*)                                  z x yi; x , y  3 2 z 1z 1 i z z 1 i 0 z 1 z 1 z 1 i 0 z 1z 1 ix 1 x 1 x 1y 0 y 0 y 1                            x; y 1; 0 ; x; y 1; 0 ; x; y 1; 1   x, y12x 1 23x y12y 1 63x y        x 0y 0y 3xu 3x , v y u , v 0   2 22 212u 1 2 3u v12v 1 6u v        z u iv 2 21 u vizu v2 2 22 22 12 12u 1 iv 1 2 3 6u v u vu iv 12u iv 12 2 3 6i z 2 3 6izu vz 2 2 3iz 12 0 ,(*)                          2'6 6 3i 3 3 i    z 3 3 3 3 i , z 3 3 3 3 i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Vì nên ta có: , suy ra nghi m c a h là:ệ ủ ệVí d 6. ụ Gi i h ph ng trình trên t p s ph cả ệ ươ ậ ố ứ : .(Đ thi h c sinh gi i Romania năm 2002)ề ọ ỏGi iảXét h ph ng trình ệ ươRõ ràng và x,y,z đôi m t khác nhau.ộT (1) và (2) ta có ừHay T ng t h đã cho tr thành ươ ự ệ ở (4)C ng v v i v ta đ c ộ ế ớ ế ượK t h p v i (4) ta có: ế ợ ớ Suy ra Đ t ặ thì t ừ và x,y,z đôi m t khác nhau nênộ v i ớMà nên Ta có nên a=1V y các s ph c ậ ố ứ c n tìm là các hoán v c a ầ ị ủII. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1.ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m là s th c: ả ệ ươ ớ ệ ố ự .H ng d n gi iướ ẫ ảĐây là h đ ng c p b c ba. tuy nhiên, n u gi i b ng ph ng pháp thông th ng ta s đi đ n gi i ệ ẳ ấ ậ ế ả ằ ươ ườ ẽ ế ảph ng trình b c ba: ươ ậPh ng trình này không có nghi m đ c bi t!ươ ệ ặ ệThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 220www.thuvienhoclieu .comu, v 0u 3 3, v 3 3    x; y 4 2 3 ; 12 6 3 .  x x y x z 3y y x y z 3z z x z y 3      x x y x z 3, 1y y x y z 3, 2z z x z y 3, 3      x, y, z 0x x y x z y y x y z x x z y y z        2 2x y xz yz.  2 22 22 2x y xz yzy z yx zxz x zy xy      2 2 2x y z xy yz zx.    2 2 2x yz, y zx, z xy.  2 2 2x y z xyz.  a xyz2 2 2x y z xyz a   23 3 3x a , y a , z a  3 21,1 0.      x x y x z 3  2a 1 1 3.    2 2 31 1 1 3           x, y , z2(1, , ). 3 23 2x 3xy 1y 3x y 3  3 23t 3t 3 3t 1 0    Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Xét s ph c ố ứ . Vì ,nên t h đã cho ta cóừ ệ, t ng t cách làm ch ng 1, ta tìm đ c 3 giá tr c a ươ ự ở ươ ượ ị ủ là:, , T đó suy h đã cho có 3 nghi m là:ừ ệ ệBài t p 2ậ . Gi i h ph ng trình trong t p s th c: ả ệ ươ ậ ố ự .H ng d n gi i ướ ẫ ảXét s ph c ố ứVì , nên t h đã cho suy ra:ừ ệ(*)Các s ph c th a mãn (*):ố ứ ỏV y các nghi m c n tìm c a h là:ậ ệ ầ ủ ệBài t p 3. ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .L i gi iờ ảĐi u ki n ề ệ Đ t ặ . Ta có: Vì hai s ph c b ng nhau khi và ch khi ph n th c b ng nhau và ph n o b ng nhau, nên h đã choố ứ ằ ỉ ầ ự ằ ầ ả ằ ệt ng đ ng v i:ươ ươ ớThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 221z x iy 3 3 2 2 3z x 3xy i 3x y y   3 2 2z 1 3i 2 cos i sin3 3       z32 22 cos i sin9 9     38 82 cos i sin9 9     314 142 cos i sin9 9    3 3 33 3 3 2 8 14x 2 cos x 2 cos x 2 cos9 9 9; ;2 8 14y 2 cos y 2 sin y 2 sin9 9 9                      4 2 2 43 3x 6x y y 31x y y x4   z x iy. 4 2 2 4 3 3z 6x y y 4i x y y x   4z 3 i 2 cos i sin6 6       4 44 4 13 132 cos i sin , 2 cos i sin24 24 24 2425 25 37 372 cos i sin , 2 cos i sin24 24 24 24                           4 4 4 44 4 4 4 13 25 37x 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos24 24 24 24; ; ;13 25 37y 2 sin y 2 sin y 2 sin y 2 sin24 24 24 24                                  x, y R2 22 216x 11yx 7x y11x 16yy 1x y  2 2x y 0. z x iy 2 2x yi1.zx yChuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ph ng trình ươ có hai nghi m ệ nên h đã cho có cácệnghi m ệ ho c ặChú ý: Mu n gi i đ c các h ph ng trình b ng ph ng pháp s d ng s ph c, c n nh m t ố ả ượ ệ ươ ằ ươ ử ụ ố ứ ầ ớ ộcông th c c b n c a s ph c, đăc bi t là v i m i s ph c ứ ơ ả ủ ố ứ ệ ớ ỗ ố ứ thì ta có là bình ph ng ươmođun và .Bài t p 4. ậ Gi i h ph ng trình v i nghi m v i ả ệ ươ ớ ệ ớ : .H ng d n gi i ướ ẫ ảT h suy ra ừ ệ Bài h này không có ngay dàng gi ng ví d trên, tuy nhiên v i m c đích chuy n m u s v d ng ệ ố ụ ớ ụ ể ẫ ố ề ạnình ph ng mođun c a s ph c, ch c n đ t ươ ủ ố ứ ỉ ầ ặ v i ớH đã cho có d ng: ệ ạĐ t ặ . Ta có: H đã cho t ng đ ng v i:ệ ươ ươ ớGi i ph ng trình (*), ta có ả ươ suy ra các nghi m là ệ Vì nên do đó V y nghi m c n tìm là ậ ệ ầThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 222www.thuvienhoclieu .com2 2 2 22 2 2 2216x 11y 11x 16 yx i y 7 ix y x yx iy x iyx iy 16 11i 7 ix y x y16 11iz 7 i z 7 i z 16 11i 0z                           2z 7 i z 16 11i 0    z 2 3i , z 5 2i   x; y 2; 3 x; y 5; 2 .z x iy 2 2x y2 2x iy1 zzzzx y  x, y310x 1 35x y3y 1 15x y        x 0, y 0. u 5x , v y u , v 0.2 22 23 3u 12u v3v 1 1u v        z u iv 2 21 u iv.zu v2 2 2 22 22 3 3 3u 1 iv 1 i2u v u vu iv 3 3 3 2 2iu iv 3 i zz 22u v2z 3 2 2i z 6 0 ,(*)                          2'34 12 2i 2 6i    2 2iz 2 2i , z .2  u , v 02 2iz22 1u , v 1 x , y 1.2 10    1x; y ; 1 .10   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài t p 5. ậ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ .H ng d n gi iướ ẫ ảH ph ng trình đã cho t ng đ ng v iệ ươ ươ ươ ớ Nh n th y ậ ấ là m t nghi m c a h ph ng trìnhộ ệ ủ ệ ươN u ế thì h đã cho vi t thành ệ ế Suy ra: Đ t ặ ta có ph ng trìnhươ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ V i ớ ta đ c nghi m c a h là ượ ệ ủ ệ Bài t p 6.ậ Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ(Đ thi h c sinh gi i qu c gia năm 1996)ề ọ ỏ ốH ng d n gi i ướ ẫ ảT h suy ra ừ ệĐ t ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2234 4 3 222 2 3 3 2x y 4x 3xy 2x 4y 02x y 3x y 2xy 3y 2x 1 1 2 y 4y            2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2x y x y 3x x y 2 x 2y 02xy x y 3y x y 4 x y 2 2x y 0             x y 0 2 2x y 0 2 22 22 2x 2 yx y 3x 2. 0x y2x y2xy 3y 4 2. 0x y      2 22 2 2 2x 2y 2x yx y 3x 2. i 2xy 3y 4 2. 0x y x y              22 2 2 2x iy y ixx yi 3 x yi 2 4. 4i 0x y x y         2 2 2 2x iy y ix1 iz x yi ,z zx y x y      2 3 222 4iz 3z 4i 0 z 3z 4iz 2 4i 0z zz 1z 1 z 2z 4i 2 0 z 3 iz 1 i                    z 1x 0y 0z 3 i x 3y 1z 1 i  x 1y 113x 1 2x y17 y 1 4 2x y        x 0, y 0. u x , v y , u , v 0 .   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H đã chho có d ng: ệ ạĐ t ặTa có: H đã cho t ng đ ng v i:ệ ươ ươ ớGi i (*): Vì ả nên các nghi m:ệTa có nghi m ệ và do đó nghi m c a h là:ệ ủ ệho c ặBài toán 2: ng d ng s ph c vào ch ng minh các công th c, đ ng th c l ng giácỨ ụ ố ứ ứ ứ ẳ ứ ượPh ng phápươCho d ng l ng giác s ph c ạ ượ ố ứ ; ; . Ta có các công th c sau: ứCông th c Moa-vrứ ơ : N u ế v i ớ . Lúc đó I. Các ví d đi n hình th ng găpụ ể ườVí d 1. ụ Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảĐ t ặ . Ta có:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 224www.thuvienhoclieu .com2 22 2 1 2u 13u v1 4 2v 17u v        z u iv. 2 21 u iv.zu v2 22 u iv 2 4 2 1 2 4 2u iv i z iz3 7 3 7u v2 4 2z i z 1 0,(*)3 7                222 4 2 4i 4 2 2i3 7 21            1 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 71 2 2 2 1 2 2 2z i 2i 2 i3 7 21 3 21 7                             u, v221 2 2 2x & y 23 21 7           1 2 2 2x & y 23 21 7          z r cos i sin   1 1 1 1z r cos i sin   2 2 2z r cos i sin   1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2z rz .z r r cos( ) icos( ) ; cos( ) icos( )z r                     n nz r cos(n ) i sin(n )     1 1 1 2 2 2z a b i; z a b i;    1 2 1 2a , a , b , b 1 21 21 2a az zb b 3 3sin 3 3 sin 4 sin ; cos3 3cos 4cos         z cos i sin   Chuyên Đ S Ph cề ố ứ M t khác: ặ . T (1) và (2) ta đ c: ừ ượNh n xét: ậ Ta có bài toán t ng quát sau: ổ Bi u di n ể ễ theo các lũy th a c a ừ ủ v i ơn là s nguyên d ng b t kỳ.ố ươ ấÁp d ng công th c Moivre ta có ụ ứM t khác, theo công th c khai tri n nh th c Newton:ặ ứ ể ị ứT đó suy ra:ừTrong đó:C th :ụ ể V i ớ ta có:Ví d 2. ụ Ch ng minh r ng: ứ ằa) ; b) Gi iảXét Ta có M t khác:ặThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2253 2 33 3 23 2 2 33 3z cos i sin cos 3 cos .i. sin 3 cos . i sin i sincos 3i 1 sin sin 3 cos 1 cos i. sin4cos 3 cos i 3 sin 4 sin (1)                               3z cos3 i sin 3 (2)   3 3sin 3 3 sin 4 sin ; cos3 3cos 4cos         cosnx; sinnxcosx; sinxncos x i sin x cos nx i sin nx  n0 n 1 n 1 2 2 n 2 2n n n3 3 n 3 3 n 1 n 1 n 1 n n nn n ncos x i sin x C cos x iC cos x sin x i C cos x sin xi C cos x sin x ... i C cos x sin x i C sin x           0 n 2 n 2 2 4 n 4 4n n n1 n 1 3 n 3 3n ncos nx C cos x C cos x sin x C cos x sin x ... Msin nx C cos x sin x C cos x sin x ... N          m2 mm2 m 2 m2 m 11 sin x, n 2mM , m1 C cos x sin x, n 2m 1      m 12 m 1 2 m 12 mm2 m 11 C cos x sin x, n 2mN , m1 sin x, n 2m 1       n 4 0 4 2 2 2 4 4 4 24 4 41 3 3 3 3 34 4cos 4x C cos x C cos x sin x C sin x 8 cos x 8 cos x 1sin 4x C cos x sin x C cos x sin x 4 cos x sin x 4 cos x sin x        3 5 1cos cos cos7 7 7 2      3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14      z cos i sin .7 7  3 53 5 3 5z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7               Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com T (1) và (2) suy ra:ừ và Ví d 3.ụ Cho . Tính Gi iảĐ t ặ . Khi đó:Mà nên , suy ra: Ta l i có ạ nên .Chú ý: Ta cũng có k t qu ế ả .Ví d 4. ụ Tính t ng v i ổ ớ và Gi iảĐ t ặ Theo công th c nhân và c ng th c Moivre ta có: ứ ộ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 226www.thuvienhoclieu .com73 52 222z z 1 z 1 1z z z1 zz 1 z 11 cos i sin7 71 cos i sin1 17 7i cot2 2 141 cos sin7 7                     3 5 1cos cos cos7 7 7 2      3 5 1sin sin sin cot .7 7 7 2 14      2 6sin a sin b , cos a cos b2 2   sin a b .1 2z cos a i sin a , z cos b i sin b   1 26 2z z i 2 cos i sin2 2 6 6        1 26 2z z i 2 cos i sin2 2 6 6        2 21 1 1 2 2 2z z z 1, z z z 1   1 21 21 2 1 2z z1 1z zz z z z   1 21 21 2 cos i sin cos i sinz z6 6 6 6z z cos i sin3 3z zcos i sincos i sin6 66 6                       1 2z .z cos a b i sin a b   3sin(a+b) sin3 2 1cos a b cos3 2  n a 2k k :   A cos x cos x a cos x 2a ... cos x naB sin x sin x a sin x 2a ... sin x na               z cos x i sin x, w cos a i sin a.   kkkzw cos x i sin x cos a i sin azw cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka .Xeùt A iB cos x i sin x cos x a i sin x acos x 2a i sin x 2a ... cos x na i sin x na                             Chuyên Đ S Ph cề ố ứ (Vì nên ).V y ậXét ph n th c và ph n o c a hai v ta đ c:ầ ự ầ ả ủ ế ượNh n xét:ậ T hai lo i công th c trên, xét các tr ng h p riêng:ừ ạ ứ ườ ợa) N u ế thì suy ra: b) N u ế thì ta có:Ví d 5. ụ Ch ng minh các công th c: ứ ứ Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 227n 12 n1 wz zw zw ... zw z1 w     a 2k w 1n 11 cos n 1 a i sin n 1 a1 wA iB z cos x i sin x1 w 1 cos a i sin a        n 1 n 1 n 1sin a sin a i cos a2 2 2cos x i sin xa a asin sin i cos2 2 2n 1sin an 1 n 1 a a2sin a i cos a sin i cos cos x i sin xa2 2 2 2sin2n 1sin ana na2cos i sin cos x i sin xa2 2sin2n 1sin ana2cos xa2sin2                               nai sin x2           n 1 n 1sin a sin ana na2 2A cos x ; B sin xa a2 2sin sin2 2             x 0n 1sin ana21 cos a cos 2a .... cos na cosa2sin2    n 1sin ana2sin a sin 2a ... sin 3a ... sin na sina2sin2     x 2asin 2 n 1 acos a cos 3a cos 5a ... cos 2n 1 a2 sin a      2sin n 1 asin a sin 3a sin 5a ... sin 2n 1 asin a     0 05 1 5 1a) sin 18 ; b) cos 36 .4 4  Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Gi iảTa có: Do đó là nghi m d ng c a ph ng trình ệ ươ ủ ươ V y ậ suy ra Nh n xét:ậ Áp d ng công th cụ ứ ta tính đ c bi u th cượ ể ứ Đ làm đ c bài toán này tr c h t ta ch ng minh công th c sau:ể ượ ướ ế ứ ứ Th t v y:ậ ậS d ng công th c ử ụ ứ Ta có:Ví d 6. ụ Gi i ph ng trìnhả ươ : Gi iảĐ t ặ thì Ph ng trình đã cho tr thành ươ ở(*)Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 228www.thuvienhoclieu .com0 0 0 03 0 0 0 02 0 2 0cos 54 sin 36 cos 3.18 sin 2.184 cos 18 3 cos 18 2 sin 18 cos 184 sin 18 2 sin 18 1 0        0sin 1824x 2x 1 0.  05 1sin 1840 2 05 1cos 36 1 2 sin 18 .4  05 1sin 1840 0 0 0 0 0 0 0 05 1sin 2 sin 18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 8210240 0 1sin a sin 60 a sin 60 a sin 3a.4  0 00 0 0 02 2 2 2sin a sin 60 a sin 60 asin a sin 60 cos a sin a cos 60 sin 60 cos a sin a cos 603 1 3 1sin a cos a sin a cos a sin a2 2 2 23 1 3 1sin a cos a sin a sin a 3 1 sin a sin a sin 3a.4 4 4 4                             0 0 1sin a sin 60 a sin 60 a sin 3a.4  0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0sin 2 sin 18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 s in 82sin 2 sin 58 sin 62 sin 18 sin 42 sin 78 sin 22 sin 38 s in 821 1 5 1sin 6 sin 54 sin 66 sin 18 .64 256 4   1cos x cos 2x cos 3x .2  z cos x i sin x 2 4 62 3z 1 z 1 z 1cos x , cos 2x , cos 3x2z2z 2z    2 4 62 3z 1 z 1 z 1 12z 22z 2z    6 5 4 3 2z z z z z z 1 0       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì không là nghi m nên v i ệ ớ ta có:(*)Hay nên v i ớ Vì nên không nh n giá tr k=3.ậ ịV y nghi m c a ph ng trình đã cho là ậ ệ ủ ươ V y nghi m c n tìm c a h đã cho ậ ệ ầ ủ ệ ho c ặVí d 7ụ . Ch ng minh r ng ứ ằL i gi iờ ảĐ t ặ Khi đó:M t khác ặ (do ), nh ng ư nên suuy ra T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứVí d 8.ụ Cho a,b,c là các s th c th a mãn các đi u ki nố ự ỏ ề ệCh ng minh r ng ứ ằ(Đ ngh IMO năm 1989)ề ịGi iảĐ t ặTa có . Do đó nên Vì nên V y ậT đó ta có ừThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 229z 1z 16 5 4 3 2 7z 1 z z z z z z 1 0 z 1 0           7z 1 cos i sin    2k 2kz cos i sin7 7               k 0; 6. z 13 5 9x m 2 , x m 2 , x m 2 , x m 2 ,7 7 7 711 13x m 2 , x m 2 , m Z.7 7                     x; y 2; 1x; y 1; 1 . 3 2 1sin sin .10 10 8   1 z zz cos i sin z , sin .10 10 z 10 2i       3 23 2 2 2z z z z 3 1sin sin z z i z z 1 (1).10 10 2i 2i 8 8                          5 4 3 2 5 5z cos i sin i z iz z iz 1 010 10          z 14 3z iz; iz z 2 2z z i z z 1 0,(2).    cos a cos b cos c sin a sin b sin cmcos a b c sin a b c       cos a b cos b c cos c a m.     x cos a i sin a , y cos b i sin b, z cos c i sin c.     x y z cos a cos b cos c i sin a sin b sin c       m. cos a b c i.m. sin a b c mxyz      x y z mxyz  1 1 1m.xy yz zx  x y z 1  1 1 1x x, y y, z z.    1 1 1m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c axy yz zx             i sin a b sin b c sin(c a) m        cos a b cos b c cos c a m.     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com II. Bài t p rèn luy nậ ệBài t p 1ậ . Ch ng minh r ngứ ằ :a) H ng d n gi i ướ ẫ ảXét , ta có , nên z là nghi m khác -1 c a ph ng trìnhệ ủ ươ . Ta có:+) nên +) Do đó xét ph n th c c a đ ng th c ầ ự ủ ẳ ứ ta suy ra đ c:ượ;Bài t p 2. ậ Hãy bi u di n ể ễ qua H ng d n gi iướ ẫ ảTa có: S d ng khai tri n nh th c Niu-ton cho v ph i và tách ph n th c và ph n o ta cóử ụ ể ị ứ ế ả ầ ự ầ ả T đó suy ra:ừ Bài t p 3. ậ Cho là các s th c th a mãn ố ự ỏ và Ch ng minh r ng: ứ ằ và Gi iảĐ t ặ , ta có:nên Vì th : ếThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 230www.thuvienhoclieu .com2 3 1 2 3 1 3cos cos cos ; b) sin sin sin cot .7 7 7 2 7 7 7 2 14            z cos i sin7 7  7z cos i sin 1    7z 1 0 7z 1 0 7z 1 0 6 5 4 3 2 2 3 3z 1 z z z z z z 1 0 z z z 1 z 1            33 3 3 3 31 z 1 cos i sin 2 sin . sin i sin7 7 14 14 14            31 1 3 3 1 1 3sin i cos i cot314 14 2 2 141 z2 sin14          2 32 3 2 3z z z cos cos cos i sin sin sin7 7 7 7 7 7               2 331z z z1 z  2 3 1cos cos cos7 7 7 2      2 3 1 3sin sin sin cot .7 7 7 2 14      tan 5xtan x5cos 5x i sin 5x cos x i sin x  5 3 2 44 2 3 5cos 5x cos x 10 cos x sin x 5 cos x sin xsin 5x 5 cos x sin x 10 cos x sin x sin x     3 52 45 tan x 10 tan x tan xtan 5x .1 10 tan x 5 tan x   a , b, csina sinb sinc 0  cosa cosb cosc 0.  sin2a sin2b sin2c 0  cos2a cos2b cos2c 0.  1 2 3z cos a i sin a; z cos b i sin b; z cos c i sin c      1 2 3 1 2 3z z z 0, z z z 1     kk1z k 1; 2; 3 .z  22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z 2 z z z z z z       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ = Nên T đó ta suy ra đ u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứBài t p ậ 4. Gi i ph ng trình ả ươL i gi iờ ảTa có không là nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươĐ t ặ v i ớTa có V y ph ng trình đã cho tr thành:ậ ươ ở N u ế thì nên Vì và nên Do đó nghi m c a ph ng trình đã cho là ệ ủ ươ N u ế thì nên:Vì và nên Suy ra nghi m c n tìm là ệ ầV y các nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ vàBài t p 5.ậ Cho a,b,c là các s th c th a mãn đi u ki nố ự ỏ ề ệCh ng minh r ng:ứ ằThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 23121 2 3 1 2 3 1 2 31 2 31 1 10 2z z z 2z z z z z zz z z         1 2 3 1 2 32z z z z z z 0   cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c 0     1cos x cos 3x cos 5x cos 7 x cos 9x .2    cos x 1z cos x i sin x x 0; 2 . 11 n nz 1, z cos x i sin x,2 cos x z z , 2 cos nx z z        3 5 7 93 5 7 92 4 18 9 20 11 911 9 11 91 1 1 1 1z z z z z 1zz z z z1 z z ... z z z 1 z zz 1 z 1 0 z 1, z 1                        9z 19z cos 0 i sin 0 k2 k2z cos i sin , k 0; 8.9 9    x 0; 2 z 1k2x , k 1; 8.9 k2x 2m k 1; 8 , m Z.9     11z 111z cos i sin   k2 k2z cos i sin , k 0; 10.11 11       x 0; 2 z 1k2x , k 0; 9.11   k2x 2m k 0; 9 , m Z.11      k2x 2m k 1; 8 , m Z9     k2x 2m k 0; 9 , m Z.11      cos a cos b cos c sin a sin b sin c 0     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com a) Gi iảĐ t ặSuy ra a) Ta có: nên l ng giác: ượT đó ta đ c: ừ ượ và b) V i ớ thì M t khác, t ặ ừ suy ra Vì th :ếDo đó V y nên ậBài t p 6.ậ Ch ng minh r ng: ứ ằGi iảXét s ph c ố ứ có Ta có Đ ng th c c n ch ng minh tr thànhẳ ứ ầ ứ ởRút g n và chú ý ọ ta có Hay: (đúng)V y đ ng th c đ c ch ng minh.ậ ẳ ứ ượ ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 232www.thuvienhoclieu .comcos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c         cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b)b sin5c 0     x cos a i sin a , y cos b i sin b, z cos c i sin c.     x y z cos a cos b cos c i sin a sin b sin c 0        3 3 3 2 2 2x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx          3 3cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin c    3 cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin ccos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c3 cos a b c i sin(a b c)               cos 3a cos 3b cos 3c 3 cos a b c    sin 3a sin 3b sin 3c 3 sin a b c    x y z 0  5 5 5 2 2 22 x y z 5xyz x y z    x y z 1  1 1 1x x, y y , z z.    22 2 22 2x y z x y z 2 xy yz zxx y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 0                    5 5 5x y z 0  5 5 5cos a i sin a cos b i sin b cos c i sin c 0cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c 0            cos 5a cos 5b cos 5c sin 5a sin 5b sin 5c 0.     0 0 0 01 1 1 1.cos 6 sin 24 sin 48 sin 12  0 0z cos 6 i sin 6 ,  15 0 0z cos 90 i sin 90 i.  2 4 8 160 0 0 02 4 8z 1 z 1 z 1 z 1cos 6 , sin 12 , sin 24 , sin 482z2iz 2iz 2iz      2 4 82 4 8 162z 2iz 2iz 2iz0z 1 z 1 z 1 z 1      z 016 14z 1 iz z 1 0.   15 15 2z z 1 iz iz 0 iz 1 i iz 0        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài t p 7. ậ Gi s ả ử và là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ và . Ch ng minhứGi iảTa có . Không m t tính t ng quát, l y ấ ổ ấ . Theo gi thi tả ế. Lúc đó : T ng tươ ự : Do đó . M t khácặ : T đóừ ta có đ cượ : Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 233 2x 2x 2 0  cot y 1  n nny ysin nsin      2x 2x 2 0 x 1 i     1 i , 1 i     cot y 1 y cot 1      nn nncos 1y cot 1 1 i i cos n i sin nsinsin               nn nncos 1y cot 1 1 i i cos n i sin nsinsin               n nn1y y .2i sin nsin      2i   n nny ysin nsin      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Bài toán 3: ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th cỨ ụ ứ ấ ẳ ứCho s ph c ố ứ . Lúc đó môđun c a s ph c ủ ố ứCho các s ph c ố ứ . Ta có các b t đ ng th c th ng dùng sauấ ẳ ứ ườ : I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta luôn có : .Gi iảB t đ ng th c t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét . Ta có M t khácặ : Áp d ngụ : ta đ c ượVí d 2. ụ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta có : Gi iảXét Ta có : Áp d ngụ : ta đ c ượVí d 3. ụ Cho th a mãn ỏ . Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 234www.thuvienhoclieu .comz a bi; a , b  2 2z a b 1 2 3z ; z ; z1 2 1 2 1 2 3 1 2 3z z z z ; z z z z z z       a , b, c2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b         2 22 2 2 2a c b a c b 2 a b      1 2z a c bi; z a c bi     2 22 21 2z a c b ; z a c b     2 2 2 21 2 1 2z z 2a 2bi z z 4 a b 2 a b        1 2 1 2z z z z   2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ac a b c 2ac 2 a b         , 4 4 2 2cos cos sin sin 2       2 2 2 21 2 3z cos cos .i; z sin ; z sin .i       4 4 2 21 2 3z cos cos ; z sin ; z sin ;        2 2 2 21 2 3 1 2 3z z z cos cos .i sin sin .i 1 i z z z 2                1 2 3 1 2 3z z z z z z    4 4 2 2cos cos sin sin 2       a , b, c 0ab bc ac abc  2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c3 *ab cb ac    2 2 22 2 21 2 1 2 1 2bñt * 3b c aa b c                           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Theo gi thi t: ả ế . Do đó: Áp d ngụ : ta đ c ượ. Ví d 4. ụ Cho a, b, c, d là b n s th c th a mãn đi u ki nố ố ự ỏ ề ệ : .Ch ng minh r ngứ ằ : Gi iảT gi thi t ta cóừ ả ế : Xét Ta có : Vì nên II. Bài t p áp d ngậ ụBài t p 1. ậ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ta luôn có : H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét s ph cố ứ : Lúc đó : Vì Bài t p 2. ậ Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ ta luôn cóThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2351 2 12 2 21 2 32 2 21 2 321 2 1 2 1 2 1 2Xeùt z i; z i; z i.a b b c c a1 2 1 2 1 2Ta coù: z ; z ; zb c aa b c1 1 1 1 1 1Maët khaùc: z z z 2 ia b c a b c1 1 1 z z z 3a b c                                                      1 1 1ab bc ac abc 1a b c      1 2 z z z 3  1 2 3 1 2 3z z z z z z    2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c3ab cb ac    2 2 2 2a b 1 2 a b ; c d 36 12 c d       62 2a c b d 2 1 .    2 2 2 2a 1 b 1 1; c 1 d 1 36.       1 2 3z 1 a 1 b i; z c 6 d 6 i; z 5 5i         1 2 3z z z c a d b i     1 2 3 1 2 3z z z z z z    62 2 2 21 6 5 2 c a d b a c b d 2 1           x ,2 2x 2x 5 x 2x 5 2 5     2 22 2x 1 2 1 x 2 2 5     1 2z x 1 2i; z 1 x 2i      1 2z z 2 4i   2 22 2 2 21 2 1 2z z z z x 1 2 1 x 2 2 4 2 5 ÑPCM            x, y, z Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớ Xét Vì Bài t p 3.ậ Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ , ta luôn có : H ng d n gi iướ ẫ ảB t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớXét Ta luôn có : Bài t p 4. ậ Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ ta luôn cóH ng d n gi iướ ẫ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 236www.thuvienhoclieu .com2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z       22222 2y y 3z z 3x x y yz z2 2 2 2                       1 2 1 2y y 3z z 3 1 3z x i; z x i z z y z y z i2 2 2 2 2 2           22221 2 1 2222 2y y 3z z 3z z z z x x2 2 2 21 3y z y z y yz z .2 2                                     x2 2 2 21 1 16 32 1 1 4 8x 2 x x x 4x 10 x x 4 2 2 .2 2 5 5 2 2 5 5            2 2 2 22 2 2 222 2 1 32 64 8 16x 4 x x x 8x 20 x x 4 2 42 5 5 5 516 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 54 2 4                                                   1 2 3 41 2 3 416 4 8z x 2i; z 4 x 2i; z x 8i; z x i5 5 5z z 4 4i; z z 4 4i                1 2 3 4 1 2 3 42 2 2 222 22 22 2z z z z z z z z16 8 4 8x 4 4 x 2 x x5 5 5 512 164 4 4 2 4 ÑPCM5 5                                                           x, y, z 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z x xz z 3 x y z .           Chuyên Đ S Ph cề ố ứ B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v iấ ẳ ứ ươ ươ ớXét Ta có : Vì nên Bài toán 4. ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c Niut nỨ ụ ả ể ổ ị ứ ơPh ng phápươTa nh c l i công th c khai tri n nh th c Niut nắ ạ ứ ể ị ứ ơTa l u ý r ngư ằ : thì I. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d 1. ụ Tính t ng ổGi iảTa có:Ví d 2. ụ Ch ng minh r ng ứ ằL i gi i.ờ ảThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 23722 222 2y y 3z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 23 x y z                                      1 2 3y y 3z z 3 x x 3z x i; z y i; z z i2 2 2 2 2 2        1 2 33 3z z z x y z x y z i2 2       1 2 3 1 2 3z z z z z z    22 222 22 2y y 3z z 3 x x 3x y z2 2 2 2 2 29 3x y z x y z 3 x y z .4 4                                            nnk n k k o n 1 n 1 1 n 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n nk 0a b C a b C a C a b C a b ... C ab C b            *m 4 m 4 m 1 4 m 2 4 m 3i 1; i i; i 1; i i     2 4 6 1 3 5 71 n n n 2 n n n na) S 1 C C C ... b) S C C C C ...         n1 2 2 n nn n n2 4 6 1 3 5 7n n n n n n nnn nn n1 21 i 1 C i C i ... C i1 C C C ... i C C C C ... (1)n n1 i 2 cos i 2 sin (2)4 4n nTöø (1) vaø (2) suy ra: S 2 cos ; S 2 sin4 4                   0 2 4 6 98 100 50100 100 100 100 100 100C C C C ... C C 2      Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com Ví d 3. ụ Tính các t ng sauổGi iảXét khai tri n ểL y đ o hàm hai vấ ạ ếThay b i ở ta đ cượM t khác:ặ V y ậII. Bài t p rèn luyênậBài t p 1ậ . Ch ng minh r ng:ứ ằGi iảXét khai tri n nh th c Newton:ể ị ứThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 238www.thuvienhoclieu .com1000 1 2 2 100 100100 100 100 1000 2 4 100 1 3 5 99100 100 100 100 100 100 100 1002 100 50500 2 4 100 50100 100 100 1001 i C C i C i ... C iC C C ... C C C C ... C i1 i 2i 1 i 2i 2Vaäy: C C C ... C 2                       0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 151 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 15A C 3C 5C 7 C .... 13C 15C ;B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C .             150 1 2 2 3 3 12 12 13 13 14 14 15 1515 15 15 15 15 15 15 151 x C C x C x C x ... C x C x C x C x         150 1 2 2 3 3 4 12 13 13 14 14 15 15 1615 15 15 15 15 15 15 15x 1 x C x C x C x C x ... C x C x C x C x          15 140 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 1514 14 15 1515 151 x 15x 1 x C 2C x 3C x 4C x ... 13C x 14C x15C x 16C x          xi15 140 1 2 2 3 3 12 12 13 1315 15 15 15 15 1514 14 15 1515 150 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 151 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 151 i 15i 1 i C 2C i 3C i 4C i ... 13C i 14C i15C i 16C iC 3C 5C 7C .... 13C 15C2C 4C 6C 8C .... 14C 16C i                      15 1415 1415 1415 7 7 7 7 7 7 11 71 i 15i 1 i 2 cos i sin 15i 2 cos i sin4 4 4 42 22 i 15i.2 i 2 2 i 15.2 16.2 2 i 2 2 i2 2                                  0 2 4 6 12 14 1115 15 15 15 15 151 3 5 7 13 15 715 15 15 15 15 15A C 3C 5C 7C .... 13C 15C 2B 2C 4C 6C 8C .... 14C 16C 2               n0 2 4 6 81 n n n n nn1 3 5 7 92 n n n n nnS C C C C C ... 2 cos4nS C C C C C ... 2 sin4            n0 1 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 n nn n n n n n n1 i C iC i C i C i C ... i C i C         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Vì nên ta có: (1)M t khác, theo công th c Moivre thì:ặ ứ(2)T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứBài t p 2. ậ Tính t ng ổH ng d n gi i ướ ẫ ảChú ý r ng ằ nên:Vì và nên:V y ta có ậBài t p 3ậ . Tính t ng ổGi iảĐ t ặ thì Do đó ta có:Vì nên:Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 239k1,(k 4m)i ,(k 4m 1)i1,(k 4m 2)i ,(k 4m 3)     m n0 2 4 1 3 5n n n n n n1 i C C C ... i C C C ....        nn nnn n1 i 2 cos i sin 2 cos i sin4 4 4 4                 1 3 5 72 n 2 n 2 n 2n1 1 1 1S C C C C ...2 4 6 8    2 k 1 2 k2 n 2 n 11 1C C2k 2n 1 1 3 5 72 n 2 n 2 n 2 n2 4 6 82 n 1 2 n 1 2 n 1 2n 12 4 6 82 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 11 1 1 1S C C C C ...2 4 6 81 1 1 1C C C C ...2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C C C ...2n 1                     2 n 10 2 4 1 3 52 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 11 i C C C ... i C C C ...             2 n 12 n 12n 1 2n 11 i 2 cos i sin4 4        2 n 10 2 4 62 n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 2n 1C C C C ... 2 cos4         2 n 11 2n 1S 1 2 cos .2n 1 4      n 0 1 2 n 1 nn n n n n0 1 2 n 1 nn n n n nA C cos a C cos 2a C cos 3a ... C cos na C cos(n 1)aB C sin a C sin 2a C sin 3a ... C sin na C sin(n 1)a             z cos a i sin a nz cos na i sin na. 0 1 2n n nn 1 nn nn0 1 2 2 3 3 n nn n n n nA iB C cos a i sin a C cos 2a i sin 2a C cos 3a i sin 3a... C cos na i sin na C cos(n 1)a i sin(n 1)az C C z C z C z ... C z z 1 z                    a a a1 z 1 cos a i sin a 2 cos cos i sin2 2 2        Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y ậNh n xét:ậ Cho n là giá tr c th , suy ra đ c nhi u bi u th c l ng giác đ p.ị ụ ể ượ ề ể ứ ượ ẹThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 240www.thuvienhoclieu .comnn nn n a a aA iB cos a i sin a 2 cos cos i sin2 2 2a na na2 cos cos a i sin a cos i sin2 2 2a n 2 n 22 cos cos a i sin a2 2 2                     n n n n a n 2 a n 2A 2 cos cos a , B 2 cos sin a2 2 2 2   5 5 a 7acos a 5 cos 2a 10 cos 3a 10 cos 4a 5 cos 5a cos 6a 2 cos c os2 2     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Bài toán 5. ng d ng gi i toán đa th c và phép chia đa th cỨ ụ ả ứ ứPh ng phápươI. Các ví d đi n hình th ng g pụ ể ườ ặVí d ụ 1 . Ch ng minh r ng đa th c ứ ằ ứ chia h t cho đa th c ế ứ v i m i s t ớ ọ ố ựnhiên n.Vì nên có nghi m là ệĐ t ặ Ta có:Gi iảTrong các bài toán v phép chia đa th c, mu n ch nề ứ ố ứ g minh chia h t choế , ta ch ng minhứm i nghi m c a đa th c ọ ệ ủ ứ đ u là nghi m c a đa th c ề ệ ủ ứ . Cách làm này g p ph i khó khănặ ản nh ế ư không có nghi m th c, tuy nhiên s ph c giáp ta gi i quy t v n đ này.ệ ự ố ứ ả ế ấ ềV y ậ cũng là nghi m c a ệ ủ , do đó chia h t cho ếVí d 2.ụ Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n l n h n 1 và s th c ứ ằ ớ ọ ố ự ớ ơ ố ự th a mãn ỏ , đa th cứ chia h t cho đa th c ế ứ .Gi iảXét ph ng trình ươ nên có nghi mệ là hai s ph c liên h p.ố ứ ợĐ t ặ ta có:Suy ra hay V y ậ chia h t ếVí d 3.ụ Tìm s nguyên d ng n sao cho đa th c ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ứ .L i gi iờ ảCác nghi m cu đa th c ệ ả ứ là: Đ t ặ Vì là hai s ph c liên h p, nên ch c n tìm n sao cho ố ứ ợ ỉ ầ (khi đó s b ng không).ẽ ằTa có: nênThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2414 n 2 4 n 2x 1 x 1   2x 12x 1 0 x i x i 0      2x 1i.4 n 2 4 n 2f x x 1 x 1 .    4 n 2 4 n 2 2 n 12 n 1fi fi 1 i 1 (2i) 2i 0         4 n 2 2 n 1 2 n 14 n 2fi fi 1 ( i 1) 2i 2i 0            f xg xg xf xg xif xf x2x 1.sin 0 nx sin x sin n sin n 1     2x 2x cos 1  2 ' 2 2 2x 2x cos 1 0, cos 1 i sin         1 2x cos i sin , x cos i sin        2P x x sin x sin n sin n 1      1P x cos n i sin n sin cos i sin sin n sin n 1cos n sin cos sin n sin n 1 0                      1P x 02P x 0.P x2x 2x cos 1.  2 n nx x 1 2x x 1 2x x 1 1 21 3i 1 3ix , x2 2    2 n nf x x x 1.   1 2x , x1f x 02f x11 3i 2 2x cos i sin2 3 3     Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com V y đa th c ậ ứ chia h t cho đa th c ế ứ khi và ch khi n là s nguyên d ng không ỉ ố ươchia h t cho 3.ếVí d ụ 4 . Tìm s nguyên d ng n sao cho đa th c ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ứ .L i gi iờ ảCác nghi m c a đa th c ệ ủ ứ là: Đ t ặVì do đoV y giá tr c n tìm c a n là nh ng s nguyên d ng chia cho 6 d 1 ho c chia 6 d 5.ậ ị ầ ủ ữ ố ươ ư ặ ưVí d 5.ụ Phân tích các đa th c sau thành nhân t v i h s nguyên:ứ ử ớ ệ ốa) ; b) Gi iảa) Ta có Mà: Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 242www.thuvienhoclieu .com2 n n111 2 2 2 2f x cos i sin cos i sin 13 3 3 34n 2n 4n 2nf x cos cos 1 i sin sin3 3 3 32n 2n4n 2ncos 2 cos 1 0cos cos 1 03 33 3f x 04n 2n2n 2nsin sin 0sin 2 cos 1 03 33 3                                              2n2 cos 1 0 n 3k 1, k3        2 n nx x 1 2x x 1 nnx 1 x 1  2x x 1 2x x 1 1 21 3i 1 3ix , x .2 2  nnf x x 1 x 1.   1 11 3i 1 3i 2 2x cos i sin x 1 cos i sin2 3 3 2 3 3             11 2n 2n n nf x cos i sin cos i sin 1.3 3 3 3n n2n ncos 2 cos 1 0cos cos 1 03 33 3f x 02n nn nsin sin 0sin 2 cos 1 03 33 3n2 cos 1 0 n 6k 1.3                                 4x 4 242x 1 x x 1   24 4 2 2x 4 x 2i x 2i x 2i     2 22 2x 1 i . x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i x 1 i                      22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         Chuyên Đ S Ph cề ố ứ Nên b) Ta có: B ng cách gi i các ph ng trình b c hai , ta phân tích đ c thành tích:ằ ả ươ ậ ượ M t khác: ặV y ậII. Bài t p áp d ngậ ụBài t pậ 1 . Có t n t i hay không s nguyên d ng n sao cho đa th c ồ ạ ố ươ ứ chia h t cho đa th c ế ưH ng d n gi iướ ẫ ảCác nghi m c a đa th c ệ ủ ứ là: Đ t ặ , ta có , nh ngư N u ế thì .N u ế thì V y không t n t i s nguyên d ng n đ đa th c ậ ồ ạ ố ươ ể ứ chia h t chho đa th cế ứBài t p 2ậ . Phân tích các đa th c sau thành nhân t v i h s nguyên:ứ ử ớ ệ ốa) ; b) H ng d n gi i ướ ẫ ảa) Ta có: Vì Ths. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 2434 2 2x 4 x 2x 2 x 2x 2     2 244 2 2 2(x 1) x x 1 x 1 i x x 1        2 22 2x 1 i x x 1 . x 1 i x x 1                 22x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i          22x 1 i x x 1 1 i x i x 1 i          22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         21 i x i . 1 i x i 2x 2x 1            242 2 2x 1 x x 1 x 2x 2 2x 2x 1 .        2 n 2 n2 nx 1 x 1 2x   4x 1.4x 11, i. 2 n 2 n2 nf x x 1 x 1 2x    f 1 f 1 0  2 n 2 n n n n2 nfi i 1 i 1 2i 2i 2i 2 1         n 2m , m  m2 m 1fi 2 1 2 0   m  n 2m 1, m   fi 2 0. 2 n 2 n2 nx 1 x 1 2x   4x 1.222x 1 x 3  2223x 5x 4 5x 3   2 22 22 2 2x 1 x 3 x 1 i x 3      2 2x ix 1 3i x 3x 1 3i      2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i       2x ix 1 3i x 1 i x 1 2i       Chuyên Đ S Ph cề ố ứ www.thuvienhoclieu .com   V y ậb) Ta có: Vì v y ậThs. Tr n Đình C . SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Huầ ư ệ ố ế Page 244www.thuvienhoclieu .com22 2x 1 i x 1 i x 1 i x 2x 2         22 2x 1 2i x 1 2i x 1 4i x 2x 5         222 2 2x 1 x 3 x 2x 2 x 2x 5 .       2 22 22 2 23x 5x 4 5x 3 3x 5x 2 i 5x 3        2 23x 5 1 i x 4 3i . 3x 5 1 i x 4 3i              23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i        23x 5 1 i x 4 3i x 2 i 3x 1 2i        22 2x 2 i x 2 i x 2 i x 4x 5         22 23x 1 2i 3x 1 2i 3x 1 4i 9x 6x 5         222 2 23x 5x 4 5x 3 x 4x 5 9x 6x 5 .        