Một số dạng toán về số phức ôn thi Tốt Nghiệp THPTQG thường gặp nhất (có đáp án chi tiết) 

www.thuvienhoclieu .comM T S D NG TOÁN V S PH C ÔN THI T T NGHI P THPT QGỘ Ố Ạ Ề Ố Ứ Ố ỆA. KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả1. M t s ph cộ ố ứ là m t bi u th c có d ng ộ ể ứ ạ a + bi , trong đó a, b là các s th c và s ố ự ố i thoảmãn i 2 = -1. Ký hi u s ph c đó là z và vi t z = ệ ố ứ ế a + bi .i đ c gượ ọ i là đ n v oơ ị ảa đ c g i là ph n th c. Ký hi u Re(z) = a ượ ọ ầ ự ệb đ c g i là ph n o c a s ph c z = ượ ọ ầ ả ủ ố ứ a + bi , ký hi u Im(z) = bệT p h p các s ph c ký hi u là C.ậ ợ ố ứ ệ*) M t s l u ý: ộ ố ư- Mỗ i s th c a d ng đ u đ c xem nh là s ph c v i ph n o b = 0.ố ự ươ ề ượ ư ố ứ ớ ầ ả- S ph c z = ố ứ a + bi có a = 0 đ c g i là s thu n o hay là s o.ượ ọ ố ầ ả ố ả- S 0 v a là s th c v a là s o.ố ừ ố ự ừ ố ả2. Hai s ph c b ng nhau.ố ứ ằCho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.z = z’  ''a ab b3. Bi u di n hình h c c a s ph c.ể ễ ọ ủ ố ứM i s ph c đ c bi u di n b i m t đi m M(a;b) trên m t ph ng to đ Oxy.ỗ ố ứ ượ ể ễ ở ộ ể ặ ẳ ạ ộNg c l i, m i đi m M(a;b) bi u di n m t s ph c là z = ượ ạ ỗ ể ể ễ ộ ố ứ a + bi .4. Phép c ng và phép tr các s ph c.ộ ừ ố ứCho hai s ph c z = ố ứ a + bi và z’ = a’ + b’i . Ta đ nh nghĩa:ị ' ( ') ( ')' ( ') ( ')        z z a a b b iz z a a b b i5. Phép nhân s ph c.ố ứCho hai s ph c z = ố ứ a + bi và z’ = a’ + b’i . Ta đ nh nghĩa:ị ' ' ' ( ' ' )   zz aa bb ab a b i6. S ph c liên h p. ố ứ ợCho s ph c z = ố ứ a + bi . S ph c ố ứz = a – bi g i là s ph c liên h p v i s ph cọ ố ứ ợ ớ ố ứtrên.V y ậz = a bi = a - bi Chú ý: 1 0) z = z  z và z g i là hai s ph c liên h p v i nhau.ọ ố ứ ợ ớ 2 0) z.z = a 2 + b 2*) Tính ch t c a s ph c liên h p:ấ ủ ố ứ ợ(1): z z(2): ' '  z z z z www.thuvienhoclieu .com Trang 1www.thuvienhoclieu .com(3): . ' . 'z z z z(4): z.z = 2 2a b (z = a + bi ) 7. Môđun c a s ph c.ủ ố ứCho s ph c z = ố ứ a + bi . Ta ký hi u ệz là môđun c a s ph z, đó là s th c khôngủ ố ư ố ựâm đ c xác đ nh nh sau:ượ ị ư- N u M(a;b) bi u di n s phc z = ế ể ễ ố a + bi , thì z = OM =2 2a b- N u z = a + bi, thì ếz = .z z =2 2a b8. Phép chia s ph c khác 0.ố ứCho s ph c z = ố ứ a + bi ≠ 0 (t c là aứ 2+b 2 > 0 )Ta đ nh nghĩa s ngh ch đ o zị ố ị ả -1 c a s ph c z ≠ 0 là sủ ố ứ ốz -1= 22 21 1z za bzTh ng ươ'zz c a phép chia s ph c z’ cho s ph c z ≠ 0 đ c xác đ nh nh sau:ủ ố ứ ố ứ ượ ị ư12' '.. z z zz zzzV i các phép tính c ng, tr , nhân chia s ph c nói trên nó cũng có đ y đ tínhớ ộ ừ ố ứ ầ ủch t giao hoán, phân ph i, k t h p nh các phép c ng, tr , nhân, chia s th c thôngấ ố ế ợ ư ộ ừ ố ựth ng.ườ9. Ph ng trình b c hai v i h s th c.ươ ậ ớ ệ ố ự* Cho ph ng trình b c haiươ ậ : 20  ax bx c , có 24a  b c .+ N u ế > 0, PT có 2 nghi m th c phân bi t ệ ự ệ1,22  bxa+ N u ế = 0, PT có nghi m kép xệ1 = x2 = 2ba+ N u ế < 0, PT có 2 nghi m ph c ệ ứ1,2| |2  b ixa* Cho ph ng trình b c haiươ ậ : 20  ax bx c . Khi b ch n có b’ = b/2ẵ ; ' =b’ 2 – ac.+ N u ế' > 0, PT có 2 nghi m th c phân bi t ệ ự ệ1,2' '  bxa+ N u ế' = 0, PT có nghi m kép xệ1 = x2 = 'ba+ N u ế' < 0, PT có 2 nghi m ph c ệ ứ1,2' | ' |  b ixa10. M t s k t qu c n nhộ ố ế ả ầ ớ 1) i 0 = 1  i 4n = 1 2) i 1 = i  i 4n + 1 = i www.thuvienhoclieu .com Trang 2www.thuvienhoclieu .com 3) i 2 = - 1  i 4n + 2 = - 1 4) i 3 = - i  i 4n + 3 = - i 5) (1 – i) 2 = - 2i 6) (1 + i) 2 = 2iB. M T S D NG TOÁN TH NG G PỘ Ố Ạ ƯỜ ẶD NG I. TÍNH TOÁN CÁC Y U T C A S PH CẠ Ế Ố Ủ Ố ỨI. PH NG PHÁP: ƯƠ S d ng đ nh nghĩa, các phép toán đ tính toán các y u t có liênử ụ ị ể ế ốquan.II. CÁC VÍ DỤVí d 1. (Mã đ 101 - QG – 2017) ụ ề Cho hai s ph c ố ứ15 7 z i và 22 3 z i . Tìm s ph cố ứ1 2 z z z.A. 7 4 z i B. 2 5 z i C. 2 5 z i D. 3 10 z iH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 1 25 7 2 3 7 4       z z z i i iĐáp án: AVí d 2. (Mã đ 102 - QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ31  z i i . Tìm ph n th c ầ ựa và ph n ầo ảb c a ủz .A. 0, 1 a b B. 2, 1 a b C. 1, 0 a b D. 1, 2 a bH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 31 1 1 2 1, 2          z i i i i i a b .Đáp án: DVí d 3. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề Tìm s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2 3 3 2   z i iA. 1 5 z i B. 1 z i C. 5 5 z i D. 1 z iH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 2 3 3 2 3 2 2 3 1          z i i z i i iĐáp án: BVí d 4. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ2 z i . Tính z .A. 3z B. 5z C. 2z D. 5zH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 2 22 1 5  zĐáp án: DVí d 5. (QG-2019)ụ S ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứ3 4i làA. 3 4i  . B. 3 4i  . C. 3 4i . D. 4 3i  .H ng d n gi iướ ẫ ảĐáp án: C www.thuvienhoclieu .com Trang 3www.thuvienhoclieu .comIII. BÀI T PẬCâu 1. (Mã đ 101 - QG – 2017) ề S ph c nào d i đây là s thu n o?ố ứ ướ ố ầ ảA. 2 3 z i . B. 3z i . C. 2z . D. 3 z i .Câu 2. (Mã đ 102 - QG – 2017) ề Cho hai s ph c ố ứ14 3 z i và 27 3 z i . Tìm s ph cố ứ1 2 z z z A. 11z . B. 3 6 z i C. 1 10 z i D. 3 6 z iCâu 3. (Mã đ 103 - QG – 2017) ề Cho hai s ph c ố ứ11 3 z i và 22 5 z i . Tìm ph n o ầ ảb c a s ph c ủ ố ứ1 2 z z z . A. 2b B. 2b C. 3b D. 3bCâu 4. (Mã đ 103 - QG – 2017) ề Cho s ph c ố ứ2 3 z i . Tìm ph n th c a c a z.ầ ự ủA. 2a B. 3a C. 3a D. 2aCâu 5. (QG – 2018) S ph c ố ứ3 7 i có ph n o b ngầ ả ằA. 3 . B. 7 . C. 3 . D. 7 .Câu 6. (QG – 2018) S ph c có ph n th c b ng ố ứ ầ ự ằ3 và ph n o b ng ầ ả ằ4 làA. 3 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 3i .Câu 7. (QG – 2018) S ph c ố ứ5 6i có ph n th c b ng ầ ự ằA. – 5. B. 5. C. – 6. D. 6.Câu 8. (QG – 2018) S ph c có ph n th c b ng ố ứ ầ ự ằ1 và ph n o b ng ầ ả ằ3 làA. 1 3 i . B. 1 3i . C. 1 3 i . D. 1 3i .Câu 9. (QG-2019) S ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứ5 3i là A. 5 3 i . B. 3 5 i . C. 5 3 i . D. 5 3i .Câu 10. (QG-2019) S ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứ3 2i làA. 3 2i  . B. 3 2i . C. 3 2i  . D. 2 3i  .Câu 11. (QG-2019) S ph c liên h p c a s ph c ố ứ ợ ủ ố ứ1 2i làA. 1 2i  . B. 1 2i . C. 2i  . D. 1 2i .Câu 12. Cho s ph c ố ứ6 3 z i . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ầ ự ầ ả ủ ố ứz . A. Ph n th c b ng ầ ự ằ6 và ph n o b ng ầ ả ằ3i B. Ph n th c b ng ầ ự ằ6 và ph n o b ng ầ ả ằ3 C. Ph n th c b ng ầ ự ằ6 và ph n o b ng ầ ả ằ3 D. Ph n th c b ng ầ ự ằ6 và ph n o b ng ầ ả ằ3iCâu 13. Cho 2 s ph c ố ứ z và z’. Các phát bi u nào sau đây ể sai ? A. ' '  z z z z B. 2.z z z C. z z D. .' '.z z zz z z Câu 14. Cho s ph c z = 3- 4i. Ph n th c và ph n o s ph c z làố ứ ầ ự ầ ả ố ứ A. Ph n th c b ng 3 và ph n o b ng - 4i; ầ ự ằ ầ ả ằ www.thuvienhoclieu .com Trang 4www.thuvienhoclieu .com B. Ph n th c b ng 3 và ph n o b ng 4;ầ ự ằ ầ ả ằ C. Ph n th c b ng 3 và ph n o b ng 4i; ầ ự ằ ầ ả ằ D. Ph n th c b ng 3 và ph n o b ng -4.ầ ự ằ ầ ả ằCâu 15. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = iầ ự ầ ả ủ ố ứ 2020. A. 0 và 2020 B. 0 và 1 C. 1 và 0 D. 2020 và 0Câu 16. Tìm ph n th c, ph n o c a ầ ự ầ ả ủ4 2 3 5     z i i i A. ph n th c là 1, ph n o là 1 ầ ự ầ ả B. ph n th c là 11, ph n o là 1 ầ ự ầ ả C. ph n th c là 1, ph n o là 3 ầ ự ầ ả D. ph n th c là 11, ph n o là 3 ầ ự ầ ảCâu 17. Cho s ph c ố ứ1 11 1   i izi i . Trong các k t lu n sau k t lu n nào đúng?ế ậ ế ậ A. zcó ph n th c và ph n o ầ ự ầ ả0 . B. z là s thu n o.ố ầ ả C. Mô đun c a ủ z b ng 1 ằ D. z có ph n th c và ph n o đ u b ng 0.ầ ự ầ ả ề ằCâu 18. Tính z z và .z z bi t ế2 3 z i A. 4 và 13 B. 4 và 5 C. 4 và 0 D. 13 và 5Câu 19. Cho s ph c ố ứ2 3 z i . Tìm s ph c ố ứw = 2iz - z . A.8 7 w i B. 8 w i C. 4 7 w i D. 8 7 w iCâu 20. Cho s ph c ố ứ11 3 z i và 23 4 z i . Môđun s ph cố ứ 1 2z z là A. 17 ; B. 15 ; C . 4; D. 8.Câu 21. S ph c ngh ch đ o c a s ph c z = 1 - ố ứ ị ả ủ ố ứ3i là: A. 1z = 1 34 4i B. 1z = 1 32 2i C. 1z = 1 + 3i D. 1z = -1 +3iCâu 22. Mô đun c a s ph c ủ ố ứ35 2 1   z i i là A.7 B.3 C.5 D.2Câu 23. Cho s ph c z = a + bi (v i a, b là các s th c). Xét các phát bi u sauố ứ ớ ố ự ể(1) z² – z ² là s th cố ự (2) z² + z ² là s oố ả(3) zz là s th cố ự (4) |z| – z là b ng 0ằS câu phát bi u đúng làố ể A. 0 B. 1 C. 2 D. 3Câu 24. Giá tr c a A = (1 + i)ị ủ 20 b ngằ A. 1024 B. 2 20 C . –1024 D. 1024 – 1024iCâu 25. Cho s phố ứ c z th a mỏ ã n:(1 2 ) 7 4  z i i .Tìm m ô đun s phố ứ c2 z i. A. 5 B. 17 C. 24 D. 4Câu 26. Cho s ph c z bi t ố ứ ế21  iz ii . Ph n o c a s ph c zầ ả ủ ố ứ 2 là A.52i . B. -52i . C. 52 . D . 52 . www.thuvienhoclieu .com Trang 5www.thuvienhoclieu .comCâu 27. Cho s ph c z th a mãn:ố ứ ỏ31 31izi . Tìm môđun c a ủz iz . A. 8 2 B. 4 2 C. 8 D. 4Câu 28. Ph n th c c a s ph c ầ ự ủ ố ứ z th a mãn ỏ21 2 8 1 2     i i z i i z là A.6 B.3 C.2 D.1D NG II. PH NG TRÌNH TRÊN T P S PH CẠ ƯƠ Ậ Ố ỨI. PH NG PHÁPƯƠ : S d ng các ph ng pháp gi i ph ng trình m u m c nhử ụ ươ ả ươ ẫ ự ưph ng trình b c nh t, ph ng trình b c hai….v i n là s ph c z.ươ ậ ấ ươ ậ ớ ẩ ố ứII. CÁC VÍ DỤVí d 1. (Mã đ 101 - QG – 2017) ụ ề Ph ng trình nào d i đây nh n hai s ph c ươ ướ ậ ố ứ1 2i và 1 2i là nghi m ?ệA. 22 3 0  z z B. 22 3 0  z z C. 22 3 0  z z D. 22 3 0  z zH ng d n gi iướ ẫ ảCách 1: Ta có 1 2 1 2 2   i i ; 1 2 1 2 2   i i . Suy ra 1 2i và 1 2i lànghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ22 3 0  z z .Đáp án: CCách 2: Th đáp án b ng MTBTử ằVí d 2. (Mã đ 102 - QG – 2017) ụ ề Kí hi u ệ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trìnhệ ứ ủ ươ23 1 0  z z. Tính 1 2 P z zA. 33P . B. 2 33P C. 23P . D. 143P .H ng d n gi iướ ẫ ảPh ng trình ươ23 1 0  z z có hai nghi m ệ1,21 116iz .Khi đó 1 22 33  P z zĐáp án: BVí d 3.ụ Tìm s ph c sau: ố ứa) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i b) iizii23112Gi iảa) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i www.thuvienhoclieu .com Trang 6www.thuvienhoclieu .com112 351 138 1 13 13iziizz i      b) Ta có 22 1 3 ( 1 3 )(1 ) 1 2 (2 )2 4 (2 4 )(3 4 )3 4 2522 425 25i i i iz zi i ii i iz ziz i                Ví d 4. ụ Gi i các ph ng trình sau trên tr ng s ph c: ả ươ ườ ố ứa) z 4 + 2z 2 -3 = 0 b) z 4 – 4z 3 +7z 2 – 16z + 12 = 0 (1) Gi iảa) Ta có z 4 + 2z 2 -3 = 0 221133zzz iz V y ph ng trình có 4 nghi mậ ươ ệ13zz i b) Do t ng t t c các h s c a ph ng trình (1) b ng 0 nên (1) có nghi m z = 1.ổ ấ ả ệ ố ủ ươ ằ ệ(1)  (z – 1)(z 3 – 3z 2 + 4z – 12) = 0  (z – 1) (z – 3) (z 2 + 4) = 02113324 02zzzzz izz i  V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m:ậ ươ ệIII. BÀI T PẬCâu 1. (Mã đ 103 - QG – 2017) ề Kí hi u ệ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trìnhệ ứ ủ ươ26 0  z z. Tính 1 21 1 Pz zA. 16P. B. 112P C. 16P . D. 6P . www.thuvienhoclieu .com Trang 7www.thuvienhoclieu .comCâu 2. (QG-2019) G i ọ1 2,z z là hai nghi m ph c ph ng trình ệ ứ ươ26 10 0z z   . Giá trị2 21 2z zb ngằA. 16. B. 56. C. 20. D. 26.Câu 3. (QG-2019) G i ọ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ26 14 0z z   . Giá tr ịc a ủ2 21 2z z b ngằA. 36 . B . 8 . C. 28. D. 18.Câu 4. (QG-2019) G i ọ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ24 5 0z z   . Gái tr ịc a ủ2 21 2z z b ngằA . 6 . B. 8 . C. 16. D. 26 .Câu 5. (QG-2019) G i ọ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trình ệ ứ ủ ươ24 7 0z z   . Giá tr ịc a ủ2 21 2z z b ngằA. 10. B. 8. C. 16. D . 2.Câu 6. Tìm mô đun c a s ph c z tho ủ ố ứ ả3 (3 i)(1 i) 2   iz . A. 2 23z B. 3 22z C. 3 32z D. 2 33zCâu 7. Cho s ph c z th a mãn (1 + 2i)z – 5 – 5i = 0. Tìm s ph c w = ố ứ ỏ ố ứ10zz A. 6 + 2i B. 2 + 6i C. –2 + 6i D. –6 + 2iCâu 8. G i i ph ng trình ả ươ2 3 1.  i z zA. 1 3.10 10 z i B. 1 3.10 10 z i C. 1 3.10 10 z i D. 1 3.10 10 z iCâu 9. Gi i ph ng trình ả ươ2 4 0  i z .A. 1 3.5 5 z i B. 8 4.5 5 z i C. 5 3.10 10 z i D. 1 3.13 13 z iCâu 10. G i i ph ng trình ả ươ2 1 3.1 2   i izi iA. 1 3.5 5 z i B. 8 4.5 5 z i C. 22 4.25 25 z i D. 1 3.13 13 z iCâu 11. Tìm nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ2 11 ziz iA. 1 3.5 5 z i B. 1 4.5 5 z i C. 1 1.2 2 z i D. 1 12 2 z iCâu 12 . Tìm nghi m c a ệ ủ ph ng trình ươ22 5 0  z z . www.thuvienhoclieu .com Trang 8www.thuvienhoclieu .comA. 1 2 -1 2 ; -1 - 2 .  z i z i B. 1 2 -1 2 ; -1 - 2 .  z i z iC. 1 2 1 2 ; -1 2 .   z i z i D. 1 2 -1 2 ; -1 2 .   z i z iCâu 13. Tìm các s th c b,c đ ph ng trình (v i n z): ố ự ể ươ ớ ẩ20  z bz c nh n ậ1 z i làmm t nghi m.ộ ệA. 2, 2. b c B. 2, 3. b c C. 1, 2. b c D. 2, 2. b cCâu 14. G i zọ1 và z2 l n l t là nghi m c a ph ng trình: ầ ượ ệ ủ ươ22 10 0  z z . Tính giá trịc a bi u th c ủ ể ứ2 21 2 A z zA. 15B. 17 C. 20 D. 10Câu 15. G i A, B là hai đi m bi u di n cho các s ph c là nghi m c a ph ng trìnhọ ể ể ễ ố ứ ệ ủ ươ22 3 0  z z. Tính đ dài đo n th ng ộ ạ ẳAB .A. 2 2 B. 3 2C. 2 3 D. 3Câu 16. Cho s ph c z có ph n th c d ng th a mãn ố ứ ầ ự ươ ỏ26 13 0  z z . Tính 6zz i .A. 13 B. 17 C. 7 D. 7 3D NG III. Ạ TÌM S PH C TH A MÃN ĐI U KI NỐ Ứ Ỏ Ề ỆI. PH NG PHÁP: ƯƠ Đ gi i bài toán tìm s ph c th a mãn đi u ki n cho tr c, ta th cể ả ố ứ ỏ ề ệ ướ ựhi n theo các b c sau:ệ ướB1: Đ t ặ,  z a bi a bB2: Thay vào đk đ c h ph ng trình hai n a,b.ượ ệ ươ ẩB3: Gi i tìm a,bảChú ý: Tìm s ph c ố ứ,  z a bi a b th t ra là tìm ph n th c a và ph n o b c a nó.ậ ầ ự ầ ả ủ000   az a bib , 1 1 1 2 2 2;   z a b i z a b i . Khi đó: 1 21 21 2 a az zb b ,  z a bi a b . Khi đó z là s o (thu n o) khi ố ả ầ ả0a , z là s th c khi ố ự0b .Ví d 1. (Mã đ 101 - QG – 2017) ụ ề Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ3 5 z i và 4zz là s thu n o ?ố ầ ảA. 0 B. Vô số C. 1 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ,  z a bi a b . Đi u ki n ề ệ4z . Ta có 3 5 3 5     z i a b i 223 25   a b www.thuvienhoclieu .com Trang 9www.thuvienhoclieu .com 2 26 16 0 1    a b bL i có ạ22 22 2444 44 4        a a bz a bi biz a bia b a b .Vì 4zz là s thu n o nên ố ầ ả22 22240 4 0 24      a a ba b aa b .T (1) + (2) suy ra ừ34 6 16 42    a b a b . Thay vào (1), ta đ c:ượ22036 16 024213        ba b b bb .V i ớ0 4 4b a z loaïi     .V i ớ24 16 16 2413 13 13 13b a z i thoûamaõn      .Đáp án: CVí d 2. (Mã đ 101 - QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ z a bi ( , )a b th a mãnỏ1 3 0   z i z i. Tính 3 S a bA. 73SB. 5S C. 5S D. 73SH ng d n gi iướ ẫ ảTheo gi thi t, ta có:ả ế21 3 0 1 3 1 3           z i z i z z i z z2251 334 41 1; 3 53 3              z z zz i a b S a b Đáp án: BVí d 3. (Mã đ 103 - QG – 2017) ụ ề Tìm t t c các s th c ấ ả ố ự x , y sao cho 21 1 2   x yi i A. 2 , 2 x y B. 2 , 2 x y C. 0, 2 x y D. 2 , 2 x yH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 2201 21 1 222       xxx yi iyyĐáp án: CVí d 4. (Mã đ 103 - QG – 2017) ụ ề Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ3 13 z i và2zz là s thu n o ? ố ầ ảA. Vô số B. 2 C. 0 D. 1H ng d n gi iướ ẫ ả www.thuvienhoclieu .com Trang 10www.thuvienhoclieu .comĐ t ặ,  z a bi a b , ta có:22 2 23 13 3 13 3 13 6 4 0 1              z i a b i a b a b b.L i có ạ22 22 2222 22 2        a a bz a bi biz a bia b a b .Vì 2zz là s thu n oố ầ ả nên 22 2 22220 2 0 2 0 22          a a ba a b a b aa b .T (1)+(2) suy ra ừ2 6 4 3 2    a b a b . Thay vào (1), ta đ c:ượ2203 2 6 4 035     bb b bb .V i ớ0 2 2b a z loaïi     .V i ớ3 1 1 35 5 5 5b x z i thoûamaõn      .Đáp án: DVí d 5. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ z th a mãn ỏ5z và 3 3 10   z z i . Tìm s ph c ố ứ4 3  w z i . A. 3 8 w i B. 1 3 w i C. 1 7 w i D. 4 8 z iH ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ,  z a bi a b , ta có:223 5 3 5 3 25         z a bi a b L i có ạ3 3 10 3 3 10          z z i a bi a b i2 2 2 22 23 3 10 2         a b a b b b5 0 5 4 8        b a z i w i. Đáp án: DIII. BÀI T PẬCâu 1. (Mã đ 102 - QG – 2017) ề Cho s ph c ố ứ ( , )  z a bi a b tho mãn ả2  z i z . Tính 4 S a b .A. 4S B. 2S C. 2S D. 4SCâu 2. (QG – 2018) Có bao nhiêu s ph c ố ứz th a mãn ỏ3 2 4    z z i i i z ? A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .Câu 3. (QG – 2018) Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ( 6 ) 2 (7 )    z z i i i z ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.Câu 4. (QG – 2018) Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ5 2 6    z z i i i z ? www.thuvienhoclieu .com Trang 11www.thuvienhoclieu .comA. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .Câu 5. (Mã đ 103 - QG – 2017) ề Cho s ph c ố ứ z th a mãn ỏ3 5 z và 2 2 2   z i z i .Tìm s ph c ố ứz . A. 17.z B. 17.z C. 10.z D. 10.zCâu 6. (QG – 2018) Tìm hai s th c ố ựx và y th a mãn ỏ2 3 1 3 6    x yi i x i v i ới là đ n v o. ơ ị ảA. 1x ; 3y . B. 1x ; 1y . C. 1x ; 1y . D. 1x ;3y.Câu 7. (QG – 2018) Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ4 2 5    z z i i i z ?A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 8. (QG – 2018) Tìm hai s th c ố ựx và y th a mãn ỏ3 2 2 2 3    x yi i x i v i ới là đ n v o.ơ ị ảA. 2; 2 x y . B. 2; 1 x y . C. 2; 2 x y . D. 2; 1 x yCâu 9. (QG – 2018) Tìm hai s th c ố ự x và y th a mãn ỏ(3 ) (4 2 ) 5 2    x yi i x i v i ớ i là đ n v o.ơ ị ảA. 2; 4 x y . B. 2; 4 x y . C. 2; 0 x y . D. 2; 0 x y .Câu 10. (QG – 2018) Tìm hai s ốx và y th a mãn ỏ2 3 3 5 4    x yi i x i v i ới là đ n ơv o. ị ảA. 1x ; 1y . B. 1x ; 1y . C. 1x ; 1y . D. 1x ; 1y .Câu 11. (QG-2019) Cho s ph c ố ứ z th a mãn ỏ3 2 3 10z i i z i     . Mô đun c a ủ z b ngằA. 3 . B. 5 . C . 5 . D. 3 .Câu 12. (QG-2019) Cho s ph c ố ứz th a mãn ỏ3 2 3 7 16z i i z i     . Môđun c a ủz b ngằA . 5. B. 5 . C. 3 . D. 3 .Câu 13. (QG-2019) Cho s ph c ố ứ z th a ỏ(2 ) 4( ) 8 19i z z i i     . Môđun c a ủ zb ngằA. 13. B. 5 . C . 13 . D. 5.Câu 14. (QG-2019) Cho s ph c ố ứz th a ỏ(2 ) 3 16 2( )i z i z i     . Môđun c a ủz b ngằA. 5 . B. 13. C . 13 . D. 5 .Câu 15. Tìm s ph c z, bi t ố ứ ế3 4z z i   www.thuvienhoclieu .com Trang 12www.thuvienhoclieu .com A. 746 z i B. 3z C. 746 z i D. 3 4 z iCâu 16. S ph c z th a mãn:ố ứ ỏ(1 ) (2 ) 13 2    i z i z i là A. 3 + 2i ; B. 3-2i; C . -3 + 2i ; D. -3 -2i.Câu 17. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n 2z + 3(1 – i)ố ứ ỏ ề ệz = 1 – 9i. Tìm modun c a z.ủ A. |z| = 3 B. |z| = 3 C. |z| = 13 D. |z| = 13Câu 18 . Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z th a mãn (1 – i)z – (2 – i)ầ ự ầ ả ủ ố ứ ỏz = 2 + 9i A. 4 và –3 B. –4 và 3 C. 4 và 3 D. –4 và –3Câu 19. S ố s ph c z th a mãn đ ng th c: ố ứ ỏ ẳ ứ21 112 2    z z z z z i .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4Câu 20. Số s ph c z th a mãn ố ứ ỏ221 1 10 3     z z i z .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4Câu 21. Tìm mô đun s ph c z th a mãn ố ứ ỏ2 222 1 2   iz z izi i . A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 Câu 22. Bi t ếz là s ph c th a đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ20 z i z . Tìm s ph c ố ứz có ph n o âmầ ảA. 112 z i B. 1 12 2 z i C. 1 12 2 z i D. 112 z iD NG IV. BI U DI N HÌNH H C C A S PH C Ạ Ể Ễ Ọ Ủ Ố ỨI. PH NG PHÁP: ƯƠ Gi s z = x + yi (x, y ả ử  R). Khi đó s ph c z bi u di n trên m tố ứ ể ễ ặph ng ph c b i đi m M(x;y). ẳ ứ ở ểS d ng d ki n c a đ bài đ tìm m i liên h gi a x và y t đó suy ra t p h p đi m M.ử ụ ữ ệ ủ ề ể ố ệ ữ ừ ậ ợ ểM t s qu tích th ng g p:ộ ố ỹ ườ ặV i z = x+yi (x, y là các s th c) khi đó n u:ớ ố ự ế * x= a : Qu tích z là đ ng th ng x = a (song song v i Oy).ỹ ườ ẳ ớ * y= b: Qu tích z là đ ng th ng y = b (song song v i Ox).ỹ ườ ẳ ớ * (x-a) 2 +(y-b) 2= R 2 Qu tích z là đ ng tròn tâm I(a.b) bán kính R.ỹ ườ * (x-a) 2 +(y-b) 2 R 2 Qu tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( k c biên).ỹ ể ả * (x-a) 2 +(y-b) 2> R 2 Qu tích z là các đi m n m ngoài đ ng tròn tâm I(a.b) bán kính R.ỹ ể ằ ườII. CÁC VÍ DỤVí d 1. (Mã đ 101- QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ1 2 z i . Đi m nào d i đây là đi m ể ướ ểbi u di n c a s ph c ể ễ ủ ố ứw iz trên m t ph ng t a đ ?ặ ẳ ọ ộA. (1; 2)Q B. (2;1)N C. (1; 2)M D. ( 2;1)PH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 1 2 2    w iz i i i . Suy ra đi m bi u di n c a s ph c ể ể ễ ủ ố ứw là (2;1)N . www.thuvienhoclieu .com Trang 13www.thuvienhoclieu .comĐáp án: BVí d 2. (Mã đ 102 - QG – 2017) ụ ề S ph c nào sau đây có đi m bi u di n trên m t ố ứ ể ể ễ ặph ng t a đ là đi m ẳ ọ ộ ể M nh hình bên ?ưA. 42 z i B. 21 2 z iC. 32 z i D. 11 2 z iH ng d n gi iướ ẫ ảĐáp án: CVí d 3. (Mã đ 102 - QG – 2017) ụ ề Có bao nhiêu s ph c ố ứ z th a mãn ỏ| 2 | 2 2  z i và2( 1)z là s thu n o.ố ầ ảA. 0 B. 4 C. 3 D. 2H ng d n gi iướ ẫ ảĐ t ặ,  z x yi x y .Theo gi thi t, ta có ả ế| 2 | 2 2 2 1 2 2       z i x y i2 22 1 8    x y C.M t khác, ặ22 221 1 1 2 1        z x yi x y x yi .Theo gi thi t ả ế2( 1)z là s thu n o nên ố ầ ả2 22 21 011 0 111 0              x y dy xx y y xy xx y.Đ ng tròn (ườ C ) có tâm 2;1I , bán kính 2 2R .Ta có , 2 2 d I d R , suy ra d ti p xúc (ế C ).Ta có , 2 d I d R , suy ra  c t (ắ C ) t i hai đi m phân bi t.ạ ể ệT p h p các đi m bi u di n cho s ph c chính là các giao đi m c a (ậ ợ ể ể ễ ố ứ ể ủ C ) v i hai đ ngớ ườth ng ẳ d và  . S giao đi m là 3.ố ểĐáp án: CVí d 4. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề Cho s ph c ố ứ1 21 2 , 3   z i z i . Tìm đi m bi u di nể ể ễc a s ph c ủ ố ứ1 2 z z z trên m t ph ng t a đ .ặ ẳ ọ ộA. (4; 3)N B. (2; 5)M C. ( 2; 1) P D. ( 1; 7)QH ng d n gi iướ ẫ ảTa có 1 22   z z z i .V y đi m bi u di n c a s ph c ậ ể ể ễ ủ ố ứz là ( 2; 1) P .Đáp án: C www.thuvienhoclieu .com Trang 14www.thuvienhoclieu .comVí d 5. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề Kí hi u ệ1 2,z z là hai nghi m ph c c a ph ng trìnhệ ứ ủ ươ24 0 z. G i ọ M, N l n l t là các đi m bi u di n c a ầ ượ ể ể ễ ủ1 2,z z trên m t ph ng t a đ . ặ ẳ ọ ộTính  T OM ON v i ớ O là g c t a đ .ố ọ ộA. 2 2T . B. 2T C. 8T . D. 4T .H ng d n gi iướ ẫ ảTa có 12224 02  z izz i .Suy ra 0; 2 , 0; 2 2 4.       M N OM ON T OM ON Đáp án: DVí d 6. (Mã đ 104 - QG – 2017) ụ ề G i ọ S là t p h p t t c các giá tr th c c a tham s ậ ợ ấ ả ị ự ủ ố mđ t n t i duy nh t s ph c ể ồ ạ ấ ố ứ z th a mãn ỏ. 1z z và3  z i m . Tìm s ph n t c a ố ầ ử ủ S .A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 .H ng d n gi iướ ẫ ảĐi u ki n: ề ệ0m .Đ t ặ,  z x yi x y .Theo gi thi t ả ế22 21. 1 1 1     z z z x y C .1C là đ ng tròn tâm ườ0; 0O , bán kính 11R .M t khác ặ22223 3 1 3 1            z i m x y m x y m C2C là đ ng tròn tâm ườ3; 1I , bán kính 2R m .Đ t n t i duy nh t s ph c ể ồ ạ ấ ố ứ z thì 1C và 2C ti p xúc ngoài ho c trong.ế ặTH1: 1C và 2C ti p xúc ngoài khi và ch khi ế ỉ1 21 2 1      R R OI m m thoûa maõn. TH2 1C và 2C ti p xúc trong khi và ch khiế ỉ1 22 11 2 32 1 1            R OI R m m thoûa maõnOI R R m m loaïi.V y ậ1, 3S . Đáp án: AVí d 7. (QG – 2018) ụ Xét các s ph c ố ứz th a mãn ỏ2 z i z là s thu n o. Trên m t ố ầ ả ặph ng t a đ , t p h p t t c các đi m bi u di n s ph c ẳ ọ ộ ậ ợ ấ ả ể ể ễ ố ứ z là m t đ ng tròn có bán ộ ườkính b ngằA. 1 . B. 54 . C. 52 . D. 32 .H ng d n gi iướ ẫ ả www.thuvienhoclieu .com Trang 15www.thuvienhoclieu .comĐ t ặ,  z x yi x y .Ta có 2 22 2 2 2 2             z i z x yi i x yi x x y y x y iVì 2 z i z là s thu n o nên ố ầ ả222 21 52 0 12 4           x x y y x y .Trên m t ph ng t a đ , t p h p t t c các đi m bi u di n s ph c ặ ẳ ọ ộ ậ ợ ấ ả ể ể ễ ố ứ z là m t đ ng trònộ ườcó bán kính b ng ằ52 .Đáp án: CIII. BÀI T PẬCâu 1. (QG – 2018) Xét các s ph c ố ứz th a mãn ỏ3 3 z i z là s thu n o. Trên m t ố ầ ả ặph ng t a đ , t p h p t t c các đi m bi u di n các s ph c ẳ ọ ộ ậ ợ ấ ả ể ể ễ ố ứz là m t đ ng tròn có bánộ ườkính b ng ằA. 92 . B. 3 2 . C. 3 . D. 3 22 .Câu 2. (QG – 2018) Xét các s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2 2 z i z là s thu n o. Trên m tố ầ ả ặph ng t a đ , t p h p t t c các đi m bi u di n các s ph c ẳ ọ ộ ậ ợ ấ ả ể ể ễ ố ứ z là m t đ ng tròn có bánộ ườkính b ngằA. 2. B. 2 2 . C. 4. D. 2 .Câu 3. (QG – 2018) Xét các s ph c ố ứz th a mãn ỏ2 2 z i z là s thu n o. Trên m t ố ầ ả ặph ng t a đ , t p h p t t c các đi m bi u di n các s ph c ẳ ọ ộ ậ ợ ấ ả ể ể ễ ố ứz là m t đ ng tròn có bánộ ườkính b ngằA. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 4 .Câu 4. (QG-2019) Cho hai s ph c ố ứ11z i  và 21 2z i  . Trên m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộOxy , đi m bi u di n s ph c ể ể ễ ố ứ1 23z z có to đ làạ ộA . 4 1; . B. 1 4; . C. 4 1; . D. 1 4; .Câu 5. (QG-2019) Xét các s ph c ố ứz th a mãn ỏ2z . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộOxy , t p ậh p đi m bi u di n c a các s ph c ợ ể ể ễ ủ ố ứ4w1izz là m t đ ng tròn có bán kính b ngộ ườ ằA . 34. B. 26. C. 34. D. 26.Câu 6. (QG-2019) Xét các s ph c ố ứz th a mãn ỏ2z . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộOxy , t p ậh p đi m bi u di n các s ph c ợ ể ể ễ ố ứ31izwz là m t đ ng tròn có bán kính b ngộ ườ ằ www.thuvienhoclieu .com Trang 16www.thuvienhoclieu .comA. 2 3 B. 12 C. 20D . 2 5Câu 7. (QG-2019) Cho hai s ph c ố ứ 12z i  và 21z i  . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộOxyđi m bi u di n s ph c ể ể ễ ố ứ1 22z z có t a đ làọ ộA. 3; 3 . B. 2; 3 . C . 3; 3 . D. 3; 2 .Câu 8. (QG-2019) Cho hai s ph c ố ứ11z i  và 22z i  . Trên m t ph ng ặ ẳOxy , đi m bi u ể ểdi n s ph c ễ ố ứ1 22z z có t a đ làọ ộA. 2; 5 . B. 3; 5 . C. 5; 2 . D . 5; 3 .Câu 9. (QG-2019) Cho s ph c ố ứz th a mãn ỏ2z . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộOxy , t p h pậ ợcác đi m bi u di n c a s ph c ể ể ễ ủ ố ứw th a mãn ỏ21izwz là m t đ ng tròn có bán kínhộ ườb ngằA. 10. B. 2 . C. 2 . D . 10 .Câu 10. (QG-2019) Cho hai s ph c ố ứ1 22 , 1z i z i    . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy , đi m ểbi u di n s ph c ể ễ ố ứ1 22z z có t a đ là:ọ ộA . 5; 1 . B. 1; 5 . C. 5; 0 . D. 0; 5 .Câu 11. (QG-2019) Cho s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2z . Trên m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộOxy , t p ậh p các đi m bi u di n c a s ph c ợ ể ể ễ ủ ố ứw th a mãn ỏ51izwz là m t đ ng tròn có bán ộ ườkính b ngằA. 52 . B . 2 13 . C. 2 11 . D. 44 .Câu 12 . Gi s M(z) là đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n s ph c z. T p h pả ử ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ậ ợnh ng đi m M(z) th a mãn đi u ữ ể ỏ ề2  z i z làA. Đ ng th ng ườ ẳ4 2 3 0  x y B. Đ ng th ng ườ ẳ4 2 3 0  x yA. Đ ng th ng ườ ẳ2 3 0  x y D. Đ ng th ng ườ ẳ9 3 0  x yCâu 13. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi uậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ềki n ệ2 1   z i z i làA. Đ ng th ng ườ ẳ3 0  x y B. Đ ng th ng ườ ẳ2 3 0  x yA. Đ ng th ng ườ ẳ2 3 0  x y D. Đ ng th ng ườ ẳ1 0  x yCâu 15 . T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi uậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ềki n ệ1 2  z i làA. Đu ng th ng ờ ẳ2 0  x yB. Đ ng tròn ườ2 21 1 4   x y www.thuvienhoclieu .com Trang 17www.thuvienhoclieu .comC. Đ ng th ng ườ ẳ2 0  x y D. Đ ng tròn tâm ườ1; 1I và bán kính2.RCâu 16. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãn đi uậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏ ềki n ệ4 4 10   z i z i làA. Đu ng elip ờ2 219 16 x y B. Đu ng elip ờ2 2116 9 x yC. Đu ng elip ờ2 214 3 x y D. Đu ng elip ờ2 219 4 x yCâu 17. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãnậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏđi u ki n ề ệ2 2  z z làA. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên ph i tr c tung ể ử ặ ẳ ở ả ụB. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng bên trái tr c tungể ử ặ ẳ ở ụC. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía trên tr c hoànhể ử ặ ẳ ụD. T p h p ậ ợ các đi m là n a m t ph ng phía d i tr c hoànhể ử ặ ẳ ướ ụCâu 18. T p h p các đi m trên m t ph ng t a đ bi u di n các s ph c z th a mãnậ ợ ể ặ ẳ ọ ộ ể ễ ố ứ ỏđi u ki n ề ệ1 1 2   z i làA. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể1; 1I , bán kính 2B. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ1;1A và các bán kính l n và nh l nớ ỏ ầl t là ượ2; 1 C. T p h p ậ ợ các đi m là hình tròn có tâm ể1; 1I , bán kính 1D. T p h p ậ ợ các đi m là hình vành khăn có tâm t i ể ạ1; 1I và các bán kính l n và nh l nớ ỏ ầl t là ượ2; 1Câu 19. Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z sao cho ậ ợ ể ể ễ ố ứ2 3 z iuz i là m t s thu nộ ố ầoả . A. Đ ng tròn tâm ườ1; 1 I bán kính 5RB. Đ ng tròn tâm ườ1; 1 I bán kính 5R tr đi hai đi m ừ ể0;1 ; 2; 3 A B . C. Đ ng tròn tâm ườ1;1I bán kính 5RD. Đ ng tròn tâm ườ1;1I bán kính 5R tr đi hai đi m ừ ể0;1 ; 2; 3 A B . Câu 20 . Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c ậ ợ ể ể ễ ố ứ  z x yi th a mãn đi u ki nỏ ề ệ1 x y làA. Ba c nh c a tam giácạ ủB. B n c nh c a hình vuôngố ạ ủC. B n c nh c a hình ch nh tố ạ ủ ữ ậ www.thuvienhoclieu .com Trang 18www.thuvienhoclieu .comD. B n c nh c a hình thoiố ạ ủD NG V. C C TR C A S PH CẠ Ự Ị Ủ Ố ỨI. PH NG PHÁP: ƯƠ S d ngử ụ c ác ki n th c c b n nh : B t đ ng th c liên h gi aế ứ ơ ả ư ấ ẳ ứ ệ ữtrung bình c ng và trung bình nhân, b t đ ng th c Bunhia- C pxki, b t đ ng th c hìnhộ ấ ẳ ứ ố ấ ẳ ứh c và m t s bài toán công c sau:ọ ộ ố ụBÀI TOÁN CÔNG C 1: ỤCho đ ng tròn ườ( )T c đ nh có tâm I bán kính R và đi m A c đ nh. Đi m M diố ị ể ố ị ểđ ng trên đ ng tròn ộ ườ( )T . Hãy xác đ nh v trí đi m M sao cho AM l n nh t, nhị ị ể ớ ấ ỏnh t.ấH ng d n gi i:ướ ẫ ảTH1: A thu c đ ng tròn (T) ộ ườTa có: AM đ t giá tr nh nh t b ng 0 khi M trùng v i Aạ ị ỏ ấ ằ ớ AM đ t giá tr l n nh t b ng 2R khi M là đi m đ i x ng v i A qua Iạ ị ớ ấ ằ ể ố ứ ớTH2: A không thu c đ ng tròn (T)ộ ườG i B, C là giao đi m c a đ ng th ng qua A,I và đ ng tròn (T); ọ ể ủ ườ ẳ ườGi s ả ử AB < AC.+) N u A n m ngoài đ ng tròn (T) thì v i đi m M b t kì trên (T), ta có:ế ằ ườ ớ ể ấ    AM AI IM AI IB AB.Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ảM B    AM AI IM AI IC AC. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ảM C+) N u A n m trong đ ng tròn (T) thì v i đi m M b t kì trên (T), ta có:ế ằ ườ ớ ể ấ    AM IM IA IB IA AB. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ảM B    AM AI IM AI IC AC. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ảM CV y khi M trùng v i B thì AM đ t gía tr nhậ ớ ạ ị ỏ nh t.ấV y khi M trùng v i C thì AM đ t gía tr l nậ ớ ạ ị ớ nh t.ấBÀI TOÁN CÔNG C 2: ỤCho hai đ ng tròn ườ1( )T có tâm I, bán kính R1 ;đ ng tròn ườ2( )T có tâm J, bán kính R2 . Tìm v tríịc a đi m M trên ủ ể1( )T , đi m N trên ể2( )T sao choMN đ t giá tr l n nh t, nh nh t.ạ ị ớ ấ ỏ ấH ng d n gi i:ướ ẫ ảG i d là đ ng th ng đi qua I, J; ọ ườ ẳd c t đ ng tròn ắ ườ1( )T t i hai đi m phân bi t A, B (gi s JA > JB) ; d c t ạ ể ệ ả ử ắ2( )T t i haiạđi m phân bi t C, D ( gi s ID > IC).ể ệ ả ửV i đi m M b t khì trên ớ ể ấ1( )T và đi m N b t kì trên ể ấ2( )T . www.thuvienhoclieu .com Trang 19www.thuvienhoclieu .com Ta có: 1 2        MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD .Đ ng th c x y ra khi M trùng v i A và N trùng v i Dẳ ứ ả ớ ớ1 2        MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC. Đ ng th c x y ra khi M trùng v i B và Nẳ ứ ả ớtrùng v i C.ớV y khi M trùng v i A và N trùng v i D thìậ ớ ớMN đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ khi M trùng v i B và N trùng v i C thìớ ớMN đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấBÀI TOÁN CÔNG C 3: ỤCho hai đ ng tròn ườ( )T có tâm I, bán kính R; đ ng th ng ườ ẳ không có đi mểchung v i ớ( )T . Tìm v trí c a đi m M trên ị ủ ể( )T , đi m N trên ể sao cho MN đ tạgiá tr nh nh t.ị ỏ ấH ng d n gi i:ướ ẫ ảG i H là hình chi u vuông góc c a I trên dọ ế ủĐo n IH c t đ ng tròn ạ ắ ườ( )T t i JạV i M thu c đ ng th ng ớ ộ ườ ẳ , N thu c đ ng tròn ộ ườ( )T , ta có:     MN IN IM IH IJ JH const. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả; M H N IV y khi M trùng v i H; N trùng v i J thì MN đ t giá tr nhậ ớ ớ ạ ị ỏnh t.ấII. CÁC VÍ DỤVí d 1.ụ Trong các s ph c ố ứ ztho mãn ả3 4 4  z i . Tìm giá tr l n nh t, giá trị ớ ấ ịnh nh t c a ỏ ấ ủz .H ng d n gi iướ ẫ ảCách 1 G i ọ;   Rz x yi x y( ; )M x y bi u di n cho s ph c ể ễ ố ứ ztrong h to đ Oxyệ ạ ộ2 2 2 23 4 4 ( 3) ( 4) 4 ( 3) ( 4) 16            z i x y x yV y đi m M bi u di n cho s ph c z thu c đ ng tròn (T) có tâm ậ ể ể ễ ố ứ ộ ườ(3; 4)I , bán kính R =4.2 2  z x y OM;5 OI R nên O n m ngoài đ ng tròn (T)ằ ườzl n nh t khi OM l n nh t, nh nh t khi OM nh nh t.ớ ấ ớ ấ ỏ ấ ỏ ấ(Bài toán qui v Bài toán công c 1- Tr ng h p 2)ề ụ ườ ợĐ ng th ng OI c t đ ng tròn (T) t i hai đi m phân bi tườ ẳ ắ ườ ạ ể ệ3 4 27 36; ; ; 1; 95 5 5 5             A B OA OB www.thuvienhoclieu .com Trang 20www.thuvienhoclieu .comV i M di đ ng trên (T), ta có: ớ ộ1 9    OA OM OB OM1 9  z OM nh nh t khi M trùng v i A; OM l n nh t khi M trùng v i Bỏ ấ ớ ớ ấ ớV y ậz nh nh t b ng 1 khi ỏ ấ ằ3 45 5 z i ;z l n nh t b ng 9 khi ớ ấ ằ27 365 5 z iCách 2G i ọ;  Rz x yi x y( ; )M x y bi u di n cho s ph c z trong h to đ Oxyể ễ ố ứ ệ ạ ộ3 4  i(3; 4)A bi u di n cho s ph c ể ễ ố ứ; 5       z OM OA z AM; Theo gi thi t ả ế3 4 4 4 4       z i z AM .Ta có: 4 4 4 4 1 9               OM OA AM OM OA OA OM OA OM1 9  z;1z khi 3 45 5 z i ;9z khi 27 365 5 z iV y ậz nh nh t b ng 1 khi ỏ ấ ằ3 45 5 z i ;z l n nh t b ng 9 khi ớ ấ ằ27 365 5 z i Nh n xét:ậ Ngoài ra bài toán trên có th H ng d n gi i b ng ph ng pháp s ể ướ ẫ ả ằ ươ ửd ng b t đ ng th c Bunhia-C pxki ho c ph ng pháp l ng giác hoá.ụ ấ ẳ ứ ố ặ ươ ượVí d 2.ụ Trong các s ph c ố ứ z tho mãn đi u ki n ả ề ệ( 2 4 ) z z i là m t s o, tìmộ ố ảs ph c ố ứ z sao cho1  z i có môđun l n nh t.ớ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ;  Rz x yi x y( ; )M x y bi u di n cho s ph c z trong h to đ Oxyể ễ ố ứ ệ ạ ộ( 2 4 ) ( ) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 4) ( 2)              z z i x yi x y i x x y y x y y x i( 2 4 ) z z ilàm t s oộ ố ả2 2 2 2( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5              x x y y x y x y x y M bi u di n cho ể ễz thu c đ ng tròn (T) có tâm ộ ườ( 1; 2)I , bán kính 5R2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)           z i x y i x y AM v i ớ(1;1)A5 ( )  IA A T (Bài toán đ c qui v Bài toán công c 1 - tr ng h p 1)ượ ề ụ ườ ợVì M là đi m di đ ng trên (T) nên AM l n nh t ể ộ ớ ấAM là đ ng kính c a (T)ườ ủ M đ i x ng v i A qua I ố ứ ớI là trung di m c a AM ể ủ( 3; 3) 3 3 4 2       M z i iV y ậ l n nh t b ng ớ ấ ằ2 5 khi 3 3 z i .Ví d 3. ụ Trong các s ph c ố ứ z có môđun b ng ằ2 2 . Tìm s ph c ố ứz sao cho bi uể www.thuvienhoclieu .com Trang 21www.thuvienhoclieu .comth c ứ1   P z z i đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ;  Rz x yi x y2 2 2 22 2 2 2 8      z x y x y2 2 2 21 ( 1) ( 1)         P z z i x y x yÁp d ng b t đ ng th c Bunhia-côpxki cho hai b s ụ ấ ẳ ứ ộ ố1;1 và 2 2 2 2( 1) ; ( 1)   x y x y , ta có:2 2 2 2 22 ( 1) ( 1) 4(9 )          P x y x y x yÁp d ng b t đ ng th c Bunhia-c pxki cho hai b s 1;1 và ụ ấ ẳ ứ ố ộ ố;x y , ta có:2 22 4   x y x y252 2 13   P P. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả2 x yV y P đ t giá tr l n nh t b ng ậ ạ ị ớ ấ ằ2 13 khi 2 2 z i .Ví d 4. ụ Trong các s ph c ố ứz có môđun b ng ằ2 . Tìm s ph c ố ứz sao cho bi u th cể ứ1 1 7    P z z i đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ;  Rz x yi x y2 2 2 22 2 4      z x y x y2 2 2 21 1 7 ( 1) ( 1) ( 7)           P z z i x y x yXét 1; , 1 ; 7 0; 7                                                 u x y v x y u v . Khi đó:7                                              P u v u v. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả,              u v cùng h ng ướ( 1)( 7 ) (1 ) 1       x y y x x1 3  x yV i ớ1; 3 x y thì , u v ng c h ng (không tho mãn)ượ ướ ảV i ớ1; 3 x y thì ,              u v cùng h ng (tho mãn)ướ ảV y ậ1 3 z i thì P đ t giá tr nh nh t b ng 7.ạ ị ỏ ấ ằVí d 5. ụ Trong các s ph c zố ứ1 , z2 tho mãn: ả1 21 1 ; 6 6 6     z i z i , tìm sốph c zứ1 , z2 sao cho 1 2z z đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ1 2. ; . ; ( , , ,   z a b i z c d i a b c d là nh ng s th c); ữ ố ự1z đ c bi u di n b i đi m M(a;ượ ể ễ ở ểb); 2z đ c bi u di n b i đi m N(c; d) trong m t ph ng to đ Oxyượ ể ễ ở ể ặ ẳ ạ ộ www.thuvienhoclieu .com Trang 22www.thuvienhoclieu .com22 21 11 1 1 1 ( 1) ( 1) 1           z i z i a b suy ra M thu c đ ng tròn tâm I(1; 1),ộ ườbán kính R = 1.22 22 26 6 6 6 6 36 ( 6) ( 6) 36           z i z i c d suy ra M thu c đ ng tròn tâmộ ườJ(6; 6), bán kính R' = 6.2 21 2( ) ( )     z z c a d b MN.(Bài toán đ c qui v Bài toán công c 2)ượ ề ụĐ ng th ng IJ có ph ng trình y = x. Đ ng th ng IJ c t đ ng tròn tâm I t i hai đi mườ ẳ ươ ườ ẳ ắ ườ ạ ể1 22 2 2 2 2 2 2 2; ; ;2 2 2 2               M MĐ ng th ng IJ c t đ ng tròn tâm J t i hai đi mườ ẳ ắ ườ ạ ể1 26 3 2; 6 3 2 ; 6 3 2 ; 6 3 2   N N.2 1 1 2 M N MN M N 1 25 2 7 5 2 7     z z1 2 1 2max 5 2 7 ,    z z khi M M N N.V y ậ1 22 2 2 2; 6 3 2 6 3 22 2      z i z i thì 1 2z z đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấVí d 6. ụ Cho các s ph c ố ứ1 2;z z tho mãn: ả1 2 21 ; (1 ) 6 2    z z z i i là m t sộ ốth c. Tìm s ph c ự ố ứ1 2;z z sao cho 22 1 2 1 2  P z z z z z đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ1 2; ; , , ,    Rz a bi z c di a b c d( ; ), ( ; )M a b N c d l n l t bi u di n cho ầ ượ ể ễ1 2;z z trong h to đ Oxyệ ạ ộ2 2 2 211 1 1      z a b a b M thu c đ ng tròn ộ ườ( )T có tâm O, bán kính R = 1 2;1 6 2 ( 1) ( 1) 2 6( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 6                       z c diz z i i c di c d i ic c d d c d d c i là s th c ố ự( 1) ( 1) 6 0 6 0         c d d c c d N thu c đ ng th ng ộ ườ ẳ: 6 0   x yTa có ( ; ) 1 d O nên  và ( )T không có đi m chungể1 21 2 1 2 1 2( ) ;( ) 2( )           z z ac bd bc ad iz z ac bd bc ad i z z z z ac bd2 2 2 2 22( ) ( ) ( ) 1 1          P c d ac bd c a b d MN (vì 2 21 a b )(Bài toán đ c qui v Bài toán công c 3)ượ ề ụG i H là hình chi u vuông góc c a O trên ọ ế ủ: 6 0 (3; 3)    x y H www.thuvienhoclieu .com Trang 23www.thuvienhoclieu .comĐo n OH c t đ ng tròn ạ ắ ườ( )T t i ạ2 2;2 2    IV i N thu c đ ng th ng ớ ộ ườ ẳ , M thu c đ ng tròn ộ ườ( )T , ta có: 3 2 1      MN ON OM OH OI IH. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả; M I N H23 2 1 1 18 6 2     P. Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả1 22 2; 3 32 2   z i z i V y P đ t giá tr nh nh t b ng ậ ạ ị ỏ ấ ằ18 3 2 khi 1 22 2; 3 32 2   z i z i .Ví d 7.ụ Trong các s ph c ố ứz tho mãn đi u ki nả ề ệ3 3 10   z z . Tìm s ph c zố ứcó môđun l n nh t.ớ ấH ng d n gi iướ ẫ ảG i ọ;  Rz x yi x y( ; )M x y bi u di n cho s ph c z trong h to đ Oxyể ễ ố ứ ệ ạ ộ2 2 2 21 23 3 10 ( 3) ( 3) 10 10            z z x y x yMF MF; (v i ớ1 2( 3; 0); (3; 0)F F ).( ) M E có tâm O, tr c l n b ng 10; tiêu c b ng 6ụ ớ ằ ự ằ2 2( ) : 125 9   x yM E;z OM OMl n nh t ớ ấ5 (5; 0) ( 5; 0)     OM a M MV y ậz l n nh t b ng 5 khi ớ ấ ằ5 5  z zIII. BÀI T PẬCâu 1. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ. 3 5 12   z z z z i .S ph c nào có môố ứđun l n nh t?ớ ấA.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-iCâu 2. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ2 2  z i .S ph c nào có mô đun nhố ứ ỏnh t?ấA.2+i B.4-i C.1 3 1 i D.3 2 2 i Câu 3. Xét các s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2 4 7 6 2.     z i z i G i ọ, m M l n l t là giáầ ượtr nh nh t và giá tr l n nh t c a ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ1 z i . Tính . P m M A. 13 73 P . B. 5 2 2 732P . www.thuvienhoclieu .com Trang 24www.thuvienhoclieu .comC. 5 2 2 73 P . D. 5 2 732P .Câu 4. Xét s ph c ố ứ z th a mãn ỏ3 2 3 3 5.     z i z i G i ọ, M m l n l t là giá trầ ượ ịl n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ2 1 3    P z z i .A. 17 5, 3 2.  M m B. 26 2 5, 3 2.  M mC. 26 2 5, 2.  M m D. 17 5, 2.  M mCâu 5. Xét s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2 3 6 2 17 .     z i z i G i ọ, M m l n l t là giá trầ ượ ịl n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ1 2 2     P z i z i .A. 3 2 , 0. M m B. 3 2 , 2. M mC. 3 2 , 5 2 2 5.  M m D. 2 , 5 2 2 5.  M mCâu 6. Xét s ph c ố ứ z th a mãn ỏ2 2 1 3 34.     z i z i Tìm giá tr nh nh t c a bi nị ỏ ấ ủ ểth c ứ1 .  P z iA. min 9.34P B. min3.P C. min13.P D. min4.PCâu 7. Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n ố ứ ỏ ề ệ1 2 2  z i , tìm s ph c z cóố ứmôđun nh nh t.ỏ ấA. 2 41 25 5            z i B. 2 41 25 5            z iC. 2 41 25 5            z i D. 2 41 25 5            z iCâu 8. Cho s ph c z th a mãn ố ứ ỏ221  z iz i . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l nị ỏ ấ ị ớnh t c a ấ ủz . A. min max10 3; 10 3   z z B. min max10 3; 10 3   z zC. min max10 3; 10 3   z zD. min max10 3; 10 3   z z www.thuvienhoclieu .com Trang 25