Sáng Kiến Kinh Nghiệm Tìm Hiểu Bài Toán Cực Trị Hình Học Giải Tích Trong Mặt Phẳng Oxy

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊNTRƯỜNG THPT VĂN GIANGSÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCHTRONG MẶT PHẲNG OXY BỘ MÔN TOÁN HỌCGIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNHĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANGNăm học 2013-20141MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiXuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơngiản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dụctrong các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực trị được đưa vàothường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phảichú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏicủa thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Toán học nói riêng gần hơn với cuộcsống.Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chấtlượng quá trình giáo dục chúng tôi mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hìnhhọc giải tích trong mặt phẳng Oxy” .2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cựctrị hình học giải tích.3. Nhiệm vụ nghiên cứu.Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích.4. Khách thể và đối tượng nghiên cứuKhách thể : Công tác dạy học bộ môn Toán học ở trường phổ thông.Đối tượng : Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích.5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứuNghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tíchđược giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013;2013-2014.6. Giả thuyết khoa họcHiện nay việc giảng dạy và học tập các phương pháp giải bài toán cực trịtrong hình học giải tích còn gặp một số khó khăn. Nếu áp dụng sáng kiến kinhnghiệm của tác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảng dạy chuyênđề cực trị trong hình học giải tích sẽ tốt hơn.27. Phương pháp nghiên cứuPhương pháp nghiên cứu lý luậnPhương pháp nghiên cứu thực tiễnPhương pháp thống kê Toán học8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệmMở đầuNội dungKết luậnTài liệu tham khảo3NỘI DUNGI. Cơ sở lý luận1. Các tính chất của Bất đẳng thứcĐiều kiện Nội dunga b a c b c< Û + < +0c>a b ac bc< Û <0c<a b ac bc< Û >a ba c b dc d <ìÞ + < +í<î00 a bac bdc d< <ìÞ <í< <î2 1 2 1 *2 2 *;0 ;n nn n a b a b n Na b a b n N+ +< Û < Î< < Þ < Î3 30 a b a ba b a b < < Û << Û < 2. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtCho hàm số () f x xác định trên tập D Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số () f x trên D nếu ()()();ax f x: .0 0f x M x DMMDx D f x MìïÛíïî£ " Î=$ Î =Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số () f x trên D nếu ()()();min f x: .0 0f x m x DmDx D f x mìïÛíïî³ " Î=$ Î =Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)Cho n số không âm: ; ;...;1 2a a an khi đó ta có: ...1 2...1 2a a anna a ann+ + +³Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ...1 2a a an= = = 44. Bất đẳng thức BunhiacopxkiCho hai bộ n số: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n na a a b b b khi đó ta có bất đẳng thức:()()()22 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 . . ... . ... ...n n n na b a b a b a a a b b b + + + £ + + + + + +Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 21 2 ... nnaa ab b b = = =.5. Định lý Nếu hàm số () y f x = liên tục trên đoạn [] ;a b thì hàm số tồn tạigiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [] ;a b.6. Phương trình tham số của đường thẳngĐường thẳng D đi qua ()0 0 ;M x y nhận () ; 0u a b ¹r r làm vector chỉ phương.Khi đó D có phương trình tham số là: 00;.x x aty y bt= +ìí= +î7. Phương trình tổng quát của đường thẳngĐường thẳng D đi qua điểm ()0 0 ;M x y nhận () ; 0u a b ¹r r làm vector pháptuyến. Khi đó D có phương trình tổng quát là: ()()()0 0 0 0x-x 0 x 0; xa b y y a by c c a by + - = Û + + = = - -8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngCho đường thẳng D có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm()0 0 ;M x y. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D được tínhbằng công thức: ()0 02 2x,a by cd Ma b+ +D =+ .9. Góc giữa hai đường thẳngCho 2 đường thẳng 1 2 ;D D lần lượt có phương trình()()2 21 1 1 1 12 22 2 2 2 2 0 0 ;0 0 .a x b y c a ba x b y c a b + + = + ¹+ + = + ¹Gọi a là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó:51 2 1 22 2 2 21 1 2 2os.a a b bca b a ba +=+ + .10. Phương trình tổng quát của mặt phẳngCho đường thẳng D đi qua ()0 0 0 ; ;M x y z nhận () ; ; 0n a b c ¹r r làm vectorpháp tuyến. Khi đó đường thẳng D có phương trình tổng quát là:()()()()0 0 0 0 0 0 0 + y + z + d = 0; d = - .a x x b y y c z z ax b c ax by cz - + - + - = Û - -11. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho mặt phẳng () : ax + by + cz + d = 0a và điểm ()0 0 0 ; ;M x y z. Khoảngcách từ điểm M đến ()a được tính bằng công thức ()() 0 0 02 2 2x, a by cz dd Ma b ca+ + +=+ + .II. Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trìnhphổ thông1. Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trịBài 1 Cho đường thẳng ()() : 2 2 0; 0; 6 ; 2; 5 x y A BD - + =. Tìm điểm M Î Dsao cho:a) MA MB +nhỏ nhất.b) MA MB - lớn nhất.Lời giảia) Phân tích: 6 B/AAMDHình 1Nếu hai điểm A, B khác phía so vớiđường thẳng D thì điểm M cần tìm chínhlà giao điểm của đường thẳng D vớiđường thẳng AB.Nếu hai điểm A, B cùng phía so vớiđường thẳng D ( Hình 1 ) khi đó ta thựchiện theo các bước sau:Bước 1 : Xác định điểm /A là điểm đối xứng với A qua D.Bước 2 : Từ đánh giá: / /MA MB MA MB A B + = + ³ = hằng số. Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi /; ;A M B thẳng hàng. Nên ta đi viết phương trình đường thẳng /A B.Bước 3 : Điểm /M A B = D Ç . Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau:Đặt () ; 2 2f x y x y = - +Ta có: ()() 0; 6 0 12 2 10; 2; 5 2 10 2 6f f = - + = - = - + = -.Như vậy hai điểm ;A B nằm về một phía so với đường thẳng D.Gọi /A là điểm đối xứng với A qua D.Đường thẳng /AA : 2( 0) 1( 6) 0 2 6 0 x y x y - + - = Û + - =Gọi /AAI = Ç D . Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:()2 6 0 2;2; 22 2 0 2.x y xIx y y + - = =ì ìÛ Þí í- + = =î îDo I là trung điểm của /AA nên ta có: () /4; 2A -Từ đó () /2; 7A B = -uuuur. Đường thẳng /: 7( 2) 2( 5) 0 7 2 24 0A B x y x y - + - = Û + - =Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:11;2 2 011 194;197 2 24 04 8.8xx yMx yyì=ï- + =ìïæ öÛ Þí íç ¸+ - =è øîï=ïîTrong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác biệt so với câu a). Nếuhai điểm A; B mà nằm về hai phía so với D thì ta lại phải đi tìm điểm /A đốixứng với A qua D. Sau đó ta sử dụng đánh giá:/ /MA MB MA MB A B - = - £ = hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi/, ,M A B thẳng hàng. Từ đó tìm ra tọa độ của M . () /M A B = Ç D7Nếu hai điểm ;A B nằm về cùng một phía so với D thì ta có ngay đánh giá:MA MB AB - £ =hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ; ;M A B thẳng hàng.Do đó điểm M cần tìm là giao của AB với D.Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm ;A B nằm về cùng phía so với D nên tacó đánh giá: MA MB AB - £ =hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ; ;M A Bthẳng hàng.Ta có ()2; 1AB= -uuur nên : 1( 0) 2( 6) 0 2 12 0AB x y x y - + - = Û + - =Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 5;2 12 075;72 2 02.2xx yMx yy =ì+ - =ìïæ öÛ Þí íç ¸- + ==è øîïîĐể củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập:Bài 2Cho hai điểm ()() 2; 5 ; 4; 5A B - và đường thẳng : 2 3 0 x yD - + =. Tìm điểm:M MA MB Î D + đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: 3 9;2 4M æ öç ¸è ø )Bài 3Cho hai điểm ()() 2; 5 ; 4; 5A B - - và đường thẳng : 2 3 0 x yD - + =. Tìm điểm:N NA NB Î D - đạt giá trị lớn nhất?Bài 4Cho hai điểm ()() 1; 2 ; 0; 1A B - và đường thẳng ;:1 2 .x ty t =ìDí= +î . Tìm M Î D saocho :a) MA MB + đạt giá trị nhỏ nhất.b) MA MB - đạt giá trị lớn nhất.Vẫn là bài toán tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị nhưng được hỏi theohình thức khác. Ta xét ví dụ tiếp theo.Bài 58Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm () 2;1M. Đường thẳng D đi qua M cắtOx ; Oy lần lượt tại ()()(); 0 ; 0; ; 0; 0A a B b a b> > .a)Tìm ;a b để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất?b) Tìm 2 21 1; :a bOA OB + đạt giá trị nhỏ nhất?c) Tìm ; :a b OA OB + đạt giá trị nhỏ nhất?a) Lời giải 1Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: : 1 x ya bD + =Nhận thấy tam giác OAB vuông tại O nên: 1.2OABS a bD = Mặt khác do () 2 11; 1Ma bÎ D Þ + =Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: () 2 1 2 22 1 2 8; 2 aba b ab ab + ³ Û ³ Û ³Từ đó suy ra: 142OABS abD = ³. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ()2 xảy ra dấubằng. Khi đó kết hợp với () 1 ta có hệ phương trình: 2 14;2 1 2.1 aa bba bì=ï=ìïÛí í=îï+ =ïî Bình luận : Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệuquả cao, lời giải gọn gàng và đẹp. Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiềucách giải cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy(theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễnbiến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không? . Câu hỏi đó làm cho học sinh cóhứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên bằnglòng theo kiểu “ăn xổi”.a) Lời giải 2 9Từ kết quả () 1 ta rút ra: 2 112aba b a+ = Þ =-Theo bài ra do 0; 0 2b a a > > Þ >Từ đó: ()() 21; 22 2 4OAB aS ab f a aaD = = = >-Ta đi khảo sát hàm số () f a trên miền 2a> .()()()()22/2 22 . 2 4 22 82 4 2 4a a aa af aa a - --= =- -()()()/ 004 /a lf aa t m =é= Ûê=êëLại có: () 22 2lim lim2 4a a af aa+ +® ® = = +¥-()2lim lim2 4a a af aa®+¥ ®+¥ = = +¥-Lập bảng biến thiên ta có:a2 4+¥()/f a- 0+()f a+¥+¥()4f Suy ra: ()() min 4 42 f a fa = =>Với 4 2a b = Þ =. Vậy các giá trị cần tìm là: 4;2.ab =ìí=îBình luận : Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vàobài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnhtrong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo.b) Lời giải 1 Gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB 10